Luận văn: MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN THỊ NHUNG MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY Chuyên ngành : Đại số và Lý thguyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN THỊ NHUNG MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (R, m) m M R dim M = d x = x 1 , x 2 , . . . , x d ∈ m M l(M/xM) ≥ e(x, M) l(∗) e(x, M) M x M M D : D 0 ⊂ D 1 ⊂ . . . ⊂ D t = M M l(D 0 ) < ∞ D i /D i−1 0 < dim(D 1 /D 0 ) < dim(D 2 /D 1 ) < . . . < dim(D t /D t−1 ) = d. M M 0 = D 0 ⊂ D 1 = M D M Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M D i−1 D i dim D i−1 < dim D i , i = 1, 2, . . . , t D 0 = H 0 m (M) M m t = 1 D M l R (D 0 ) < ∞ D 1 /D 0 M x = x 1 , . . . , x d M l(M/xM) = l R (D 0 ) + e(x, D 1 ) D M dim D i = d i x = x 1 , . . . , x d M D i ∩ (x d i +1 , . . . , x d )M = 0, i = 0, 1, . . . , t −1 M M x = x 1 , . . . , x d M l(M/xM) = t  i=0 e(x 1 , . . . , x d i , D i ) M x = x 1 , . . . , x d M l(M/xM) = t  i=0 e(x 1 , . . . , x d i , D i ) M I D,M (x) = l(M/xM)− t  i=0 e(x 1 , . . . , x d i , M i ) I D,M (x(n)) n 1 , . . . , n d Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M x = x 1 , . . . , x d M l(M/(x 2 1 , . . . , x 2 d )M) = t  i=0 2 d i e(x 1 , . . . , x d i , D i ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (R, m) M R dim M = d x = x 1 , . . . , x r R l R (M/xM) < +∞ M e(x, M) M x r r = 0 l R (M) < +∞ e(∅, M) = l R (M) r ≥ 1 0 : M x 1 = {m ∈ M | mx 1 = 0} x 2 , . . . , x r 0 : M x 1 M/x 1 M 0 : M x 1 e(x , M) = e(x 2 , . . . , x r , M/x 1 M) − e(x 2 , . . . , x r ; 0 : M x 1 ). e(x, M) 0 −→ M  −→ M −→ M” −→ 0 R x M e(x, M) = e(x, M  ) + e(x, M”). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n 1 , . . . , n r e(x n 1 1 , . . . , x n r r ; M) = n 1 . . . n r e(x, M). (R, m) d M x 1 , . . . , x d R q = (x 1 , . . . , x d ) e(q, M) = lim min(v i )→∞ l(M/(x v 1 1 , . . . , x v d d )M v 1 . . . v d . M (R, m) M x = x 1 , . . . , x r R x M (x 1 , . . . , x r )M = M x i M/(x 1 , . . . , x i−1 )M, i = 1, . . . , r (R, m) M R depth M = t, dim M = d H i m (M) = 0 i < t, i > d H t m (M) = 0 H d m (M) = 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (R, m) M R dim M = d d x = x 1 , . . . , x d ∈ m l(M/xM) < ∞ x = x 1 , . . . , x d ∈ m q = (x 1 , . . . , x d ) q M x (R, m) M R x 1 , . . . , x r ∈ m dim M/(x 1 , . . . , x i )M ≥ dim M − i. x 1 , . . . , x r M M x ∈ m M x /∈ P P ∈ Ass(M) dim R/P = d x M n x n M dim(M/x n M) = d − 1 dim(x n M) = d dim M = max{dim(M/x n M); dim(x n M)} N M d x n M  N n Supp(M/N) = Var(Ann(M/N)  Ann(M/N) =  P ∈Supp(M/N) P Ass(M/N) ⊆ Supp(M/N) Min(Ass(M/N)) = Min(Supp(M/N)) x /∈  Ann(M/N) =  P ∈Ass(M/N) P. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn N Ass(M/N) = {P ∈ Ass(M)|dim R/P = d}. x /∈ P P ∈ Ass(M) dim R/P = d x /∈ P P ∈ Ass(M) dim R/P = d dim M/xM = d P ∈ Ass(M/xM) dim R/P = d P = 0 : M η + xM η M x ∈ P dim M/xM < d dim M/xM = d − 1 x M N M dim(M/N) < d x M x ∈  Ann(M/N) dim(M/N) = d −t < d t x 1 , . . . , x t M x 1 , . . . , x t ∈ Ann(M/N)  Ann(M/N) =  P ∈Ass(M/N) P x ∈  P ∈Ass(M/N) P x /∈  Q∈Ass(M),dim R/Q=d Q  P ∈Ass(M/N) P ⊆  Q∈Ass(M),dim R/Q=d Q P ∈ Ass(M/N) Q ∈ Ass(M) dim R/Q = d P ⊆ Q dim R/P = d dim M/N < d dim(M/N) = d − t < d x 1 M x 1 ∈ Ann(M/N) x 1 M ⊆ N t = 1 t > 1 M 1 = M/x 1 M N 1 = N/x 1 M dim M 1 /N 1 = dim M/N = d − t < d − 1 = dim M 1 . x 2 M 1 x 2 ∈ Ann(M 1 /N 1 ) = Ann(M/N) dim M/(x 1 , x 2 )M = dim M 1 /x 2 M 1 = dim M 1 − 1 = d − 2. x 1 , x 2 M x 1 , x 2 ∈ Ann(M/N) (x 1 , x 2 )M ⊆ N d − t < d − 2 M 2 = M/(x 1 , x 2 )M N 2 = Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn đối Chương 3 Môđun Cohen - Macaulay dãy Trong chương này chúng tôi trình bày cấu trúc của môđun Cohen- Macaulay dãy thông qua hệ tham số tốt và chỉ ra mọi môđun Cohen- Macaulay dãy luôn tồn tại hệ tham số tốt là dd -dãy Tiếp theo là trình bày kết quả chính của luận văn về đặc trưng của môđun Cohen- Macaulay dãy thông qua hàm độ dài và hệ tham số tốt là dd -dãy 3.1 Môđun Cohen - Macaulay dãy. .. tính chất của môđun Cohen- Macaulay dãy Trước tiên ta có định nghĩa sau Định nghĩa 3.1.1 chiều M được gọi là môđun Cohen- Macaulay dãy nếu trong lọc D : D0 D1 Dt = M , Cohen- Macaulay với mọi mỗi môđun Di /Di1 là một môđun i = 1, 2, , t Định lý tiếp theo chỉ ra rằng mọi môđun Cohen- Macaulay dãy đều có một hệ tham số tốt là dd -dãy Định lý 3.1.2 Cho M là một môđun Cohen - Macaulay dãy có lọc chiều... 3.2.6 Môđun M được gọi là Cohen- Macaulay xấp xỉ nếu M M/an M là không là Cohen- Macaulay và tồn tại phần tử Cohen- Macaulay Mệnh đề 3.2.7 a m sao cho d 1 chiều mọi n > 0 Cho M không là Cohen- Macaulay chiều d Khi đó mệnh đề sau là tương đương: i) M là một môđun Cohen- Macaulay xấp xỉ ii) Tồn tại một phần tử a m sao cho 0 :M a = 0 :M a2 môđun Cohen- Macaulay chiều iii) M và với là một d 1 là một môđun Cohen- Macaulay. .. Suy ra x là dd -dãy theo Bổ đề 2.1.5 Phần cuối chúng tôi áp dụng các kết quả của Định lý 3.2.4 và Định lý 3.2.5 vào trường hợp đặc biệt là môđun Cohen- Macaulay xấp xỉ Một vành địa phương (R, m) được gọi là vành Cohen- Macaulay xấp xỉ nếu R không là vành Cohen- Macaulay và tồn tại phần tử Macaulay d1 chiều mọi n > 0 am sao cho R/an R là Cohen- Tương tự ta có thể định nghĩa môđun Cohen- Macaulay xấp xỉ... là môđun Cohen - Macaulay dãy và x = x1 , , xd M Khi đó x là một hệ tham số tốt của M nếu và chỉ nếu Cho là hệ tham số của M x là một dd -dãy trên M Chứng minh Theo Định lý 3.1.2, (i) và Hệ quả 3.1.5 ta có điều phải chứng minh S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 3.2 Đặc trưng của môđun Cohen - Macaulay dãy Mệnh đề sau cho ta đặc trưng đầu tiên của môđun Cohen- Macaulay. .. địa phương, Noether, R- môđun hữu hạn sinh có chiều d Các tính chất cơ bản của dd - dãy Đầu tiên ta nhắc lại định nghĩa d -dãy, d -dãy mạnh Định nghĩa 2.1.1 Cho một dãy các phần tử x nếu là d- dãy của mọi M i = 1, , r Ta gọi (x1 , , xi1 )M : xj = (x1 , , xi1 )M : xi xj j i Khi đó x1 , , xr và x = x1 , , xr m là một d -dãy mạnh của M với nếu (xn1 , , xnr ) là d- dãy với mọi số nguyên... Một dãy những phần tử x1 , , x r m là dd -dãy của n i+1 (x1 , , xi ) là một d -dãy mạnh của môđun M/(xi+1 , , xnr )M r mọi số nguyên dương với n1 , , nr ; i = 1, , r Từ định nghĩa dd -dãy ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1.3 Nếu x1 , , xr cũng là dd- dãy của M với là một dd- dãy của M thì mọi dãy xn1 , , xnr r 1 n1 , , nr > 0 10 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn... Chứng minh Vì x1 , , x r dãy của môđun i+1 M/(xi+1 , , xmr )M r m xm1 n1 , , xi i ni 1 là d -dãy của môđun là một dd- dãy của m với mọi m i+1 M/(xi+1 M nên xm1 , , xmi 1 i m 1 , , m r > 0 ni+1 m , , xr r nr )M là d- Do đó với mọi ni+1 m n1 , , nr > 0 Suy ra xn1 , , xnr là d -dãy mạnh của M/(xi+1 i+1 , , xnr mr )M r r 1 n1 n Vậy x1 , , xr r là dd -dãy của M Bổ đề 2.1.4 x =... và lý luận tương tự như k, 1 k t 1 tham số của M tồn tại và xk+1 sao cho M1 , N1 Bằng quy nạp tại bước thứ x1 , , xk , xk+1 x1 , , xk+1 Ann(M/N ) là một phần của hệ Vậy ta có điều phải chứng minh Định nghĩa 1.3.5 sinh Khi đó M Cho (R, m) là vành địa phương, M là môđun Cohen - Macaulay nếu là R- môđun hữu hạn dim M = depth M Tiếp theo là một số tính chất tương đương của môđun Cohen- Macaulay. .. (x1 , , xi )M + 0 :M xj j và theo Mệnh đề 3.2.1 (iv), ta suy ra Vậy theo Định lý 3.2.4, có một lọc F M M là môđun Cohen- Macaulay dãy là môđun Cohen- Macaulay dãy khi và chỉ khi thoả mãn điều kiện chiều và một hệ tham số tốt S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn x sao cho http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 IF,M (x(n)) = 0 với mọi n1 , , nd > 0 Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra không nhất thiết phải kiểm . MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (R,. Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN THỊ NHUNG MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY Chuyên ngành : Đại số và. LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn