3 Môđun Cohen-Macaulay dãy
3.2 Đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy
Mệnh đề sau cho ta đặc trưng đầu tiên của môđun Cohen-Macaulay dãy. Mệnh đề 3.2.1. Cho lọc chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M, của M với di = dimDi và x = x1, . . . , xd là một hệ tham số tốt của M. Các khẳng định sau là tương đương:
i) M là một môđun Cohen - Macaulay dãy.
ii) x1, . . . , xdi là một dãy chính quy trên M/Di−1 với i = 1, . . . , t. iii)(xn1
1 , . . . , xni
i )M : xni+1
i+1 = (xn1
1 , . . . , xni
i )M+0 :M xi+1 với mọi số nguyên dương n1, . . . , nd và i = 0,1, . . . , d−1.
iv) (x1, . . . , xi)M : x2j = (x1, . . . , xi)M + 0 :M xj, 0 ≤ i < j ≤ d. v) depth(M/Di−1) = di, i= 1, . . . , t.
Chứng minh. (i ⇒ii) và (i ⇒ v) được chứng minh trong Mệnh đề 3.1.2.
(ii ⇒ iii) Giả sử (x1, . . . , xds) là dãy chính quy trên M/Ds−1, s = 1, . . . , t và ds−1 < i+ 1< ds. Theo Bổ đề 2.2.5, Ds−1 = 0 :M xi+1. Khi đó (xn1 1 , . . . , xni i )(M/(0 :M xi+1)) : xni+1 i+1 = (xn1 1 , . . . , xni i )(M/(0 :M xi+1))
với mọi số nguyên dương n1, . . . , nd. Suy ra
[(xn1 1 , . . . , xni i )M + (0 :M xi+1)] : xni+1 i+1 = (xn1 1 , . . . , xni i )M + (0 :M xi+1). Khi đó [(xn1 1 , . . . , xni i )M + 0 :M xi+1] : xni+1 i+1 ⊇(xn1 1 , . . . , xni i )M : xni+1 i+1 ⊇(xn1 1 , . . . , xni i )M + (0 :M xi+1). Vậy (xn1 1 , . . . , xni i )M : xni+1 i+1 = (xn1 1 , . . . , xni i )M + (0 :M xi+1).
có (x1, . . . , xi)M :x2j = \ ni+1,...,nj−1 (x1, . . . , xi, xni+1 i+1 , . . . , xnj−1 j−1 )M : x2j = \ ni+1,...,nj−1 (x1, . . . , xi, xni+1 i+1 , . . . , xnj−1 j−1 )M + 0 :M xj = (x1, . . . , xi)M + 0 :M xj.
(iv ⇒ ii) Ta cần phải chứng minh [(x1, . . . , xj)M +Di−1] :xj+1 =
(x1, . . . , xj)M +Di−1 với mọii = 0,1, . . . , t; j < di. Vì Di−1 = 0 :M xdi
⊇ 0 :M xj+1 nên ta có
[(x1, . . . , xj)M +Di−1] :xj+1 ⊆ (x1, . . . , xj)M : xdixj+1
= [(x1, . . . , xj)M + 0 :M xj+1] : xdi
⊆ (x1, . . . , xj)M : x2di
= (x1, . . . , xj)M + Di−1.
(ii ⇒ i) và(v ⇒i)cả hai điều kiện (ii)và(v) đều suy radepthM/Di−1 ≥
di với mọi i = 1, . . . , t. Từ dãy khớp
0 −→ Di/Di−1 −→ M/Di−1 −→ M/Di −→ 0, ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
. . .−→ Hmj−1(M/Di) −→Hmj(Di/Di−1) −→Hmj(M/Di−1)
−→Hmj(M/Di) −→. . .
Với j < di+1, depth(M/Di) ≥ di > j > j − 1 nên Hmj−1(M/Di) = 0 và Hmj(M/Di) = 0, do đó Hmj(Di/Di−1) ' Hmj(M/Di−1). Mặt khác, từ dãy khớp
0 −→Di−1 −→Di −→Di/Di −→0,
ta luôn có dimDi = max{dimDi−1,dimDi/Di−1} = di mà dimDi−1 < di nên dimDi/Di−1 = di. Ta chứng minh di là số nguyên k duy nhất để Hmk(Di/Di−1) 6= 0 bởi Định lý 1.2.3. Ta có Hdi
28
dimDi/Di−1 = di. Nếuk > di tức làk > dimDi/Di−1 thìHmk(Di/Di−1) = 0. Nếuk < di thìk < depth(M/Di−1), suy raHmk(M/Di−1) = 0. Mặt khác, vì k < di+1 nên Hmk(Di/Di−1) ' Hmk(M/Di−1). Suy ra Hmk(Di/Di−1) = 0. Do đó Di/Di−1 là môđun Cohen-Macaulay với i = 1, . . . , t và ta có M là môđun Cohen-Macaulay dãy.
Ta biết rằng depth(M/Di−1) = Min{j|Hm(j M/Di−1) 6= 0}. Khi đó ta có hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 3.2.1.
Hệ quả 3.2.2. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu Hm(j M/Di−1) = 0 với mọi i = 1, . . . , t và j < di.
Tiếp theo ta xét bổ đề sau.
Bổ đề 3.2.3. Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và x = x1, . . . , xd là hệ tham số tốt ứng với lọc F. Giả sử IF,M(x(n)) = 0 với mọi số nguyên dươngn1, . . . , nd. Khi đó(x1, . . . , xi)M :
x2j = (x1, . . . , xi)M + 0 :M xj với mọi 0≤ i < j ≤d.
Chứng minh. Bổ đề được chứng minh quy nạp theod. Nếu d= 1 thì theo Bổ đề 2.1.5,x là dd-dãy của M ta suy ra 0 :M x21 = 0 :M x1. Xét d ≥ 2. Vì xlà dd-dãy củaM nên(x1, . . . , xi)M : x2j = (x1, . . . , xi)M : xj, 0 ≤i < j ≤ d. Ta cần chứng minh (x1, . . . , xi)M : xj = (x1, . . . , xi)M + 0 :M xj với mọi
0 ≤ i < j ≤ d. Đầu tiên ta giả sử dimM1 > 1. Với mọi số nguyên dương n1 bất kỳ, ta xét lọc sau F/xn1 1 F : (M0+xn1 1 M)/xn1 1 M ⊂ . . . ⊂ (Mt−1+xn1 1 M)/xn1 1 M ⊂ M/xn1 1 M, trong đó dim(Mi + xn1 1 M)/xn1
1 M = di − 1 với mọi i > 0. Suy ra lọc
F/xn1
1 F thoả mãn điều kiện chiều và dễ thấy (x2, . . . , xd) là hệ tham số tốt của M/xn1
1 M ứng lọc F/xn1
1 F. Hơn nữa, lý luận tương tự như chứng minh Bổ đề 2.2.8 ta có IF/xn1 1 F,M/xn1 1 M(xn2 2 , . . . , xnd d ) ≤ IF,M(x(n)), dẫn đến IF/xn1
thiết quy nạp, ta có 1 ≤ i < j ≤ d, (x2, . . . , xi)(M/xn1 1 M) : xj = (x2, . . . , xi)(M/xn1 1 M) + (xn1 1 M : xj)/xn1 1 M, suy ra (xn1 1 , x2, . . . , xi)M : xj = (xn1 1 , x2, . . . , xi)M + xn1
1 M : xj. Khi n1 = 1, ta phải chứng minh x1M : xj = x1M + 0 :M xj. Vì dimM1 ≥ 2, không mất tính tổng quát ta có thể hoán vị x1 và x2 trong dãy x1, x2, . . . , xd. Suy ra
(xn2
2 , x1, x3, . . . , xi)M : xj = (xn2
2 , x1, x3, . . . , xi)M +xn2
2 M : xj. Cho i = 1 và áp dụng Định lý Giao Krull ta có
x1M :xj = \ n2 (x1, xn2 2 )M = \ n2 ((x1, xn2 2 )M+xn2 2 M :xj) = x1M+0 :M xj. Bây giờ ta giả sử dimM1 = 1. Ta kí hiệu N = 0 :M x2, khi đó M1 ⊆ N và
dimN = 1. Đặt M = M/N. Chúng ta có dãy khớp N/x(n)N −→ϕ M/x(n)M −→ M /x(n)M −→0, trong đó Kerϕ = N ∩ x(n)M = (0 :M x2) ∩ (xn1 1 , . . . , xnd d )M = xn1 1 (0 : x2) = xn1
1 N bởi Bổ đề 3.1.4. Suy ra dãy khớp
0 −→N/Kerϕ −→ M/x(n)M −→ M /x(n)M −→0. Do đó l(M/x(n)M) = l(N/xn1
1 N) + l(M /x(n)M). Môđun N có một lọc thoả mãn điều kiện chiều F1 : M0 ⊂ N và môđun M có một lọc thoả mãn điều kiện chiều
F2 : 0 ⊂ (M2 +N)/N ⊂ (M3 + N)/N ⊂ . . . ⊂(Mt−1 +N)/N ⊂ M/N. Vì dimN = 1 và từ dãy khớp
0 −→ Mi ∩N −→Mi −→Mi/Mi ∩N −→ 0,
nêndim(Mi+N)/N = divàe(x1, . . . , xdi; (Mi+N)/N) =e(x1, . . . , xdi;Mi)
với mọi i > 1. Suy ra IF2,M(x(n)) + IF1,N(xn1
30
IF,M(x(n)) = 0. Chú ý rằng dim(M2 + N)/N ≥ 2, áp dụng phần đầu của chứng minh cho môđun M và lọc F ta có
(x1, . . . , xi)M : xj = (x1, . . . , xi)M + 0 :M xj với mọi 1≤ i < j ≤ d. Vì thế [(x1, . . . , xi)M +N] : xj = (x1, . . . , xi)M +N :M xj. Vì x là dd-dãy nên N :M xj = (0 :M x2) : xj = 0 :M x2xj = 0 :M xj. Mặt khác, ta lại có [(x1, . . . , xi)M +N] : xj ⊇(x1, . . . , xi)M : xj ⊇ (x1, . . . , xi)M + 0 :M xj, ta thu được(x1, . . . , xi)M : xj = (x1, . . . , xi)M+0 :M xj với mọi số nguyên dương 1≤ i < j ≤d.
Định lý sau đây là kết quả chính của chương này cho ta một đặc trưng tham số cho tính chất Cohen - Macaulay dãy.
Định lý 3.2.4. Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M là lọc chiều của M. Các mệnh đề sau là tương đương:
i) M là một môđun Cohen-Macaulay dãy.
ii) ID,M(x) = 0 với mọi hệ tham số tốt x của M.
iii) Tồn tại một hệ tham số x là dd-dãy sao cho ID,M(x) = 0.
iv) Tồn tại một hệ tham số tốtxsao choID,M(x(n)) = 0với mọin1, . . . , nd >
0.
Chứng minh. (i ⇒ii) đã được chứng minh trong Mệnh đề 3.1.2 (i).
(ii ⇒ iii) Xét một hệ tham số tốt x = x1, . . . , xd của M. Theo Bổ đề 2.2.4 (iii), x(n) = xn1
1 , . . . , xnd
d cũng là một hệ tham số tốt với mọi số nguyên dương n1, . . . , nd > 0. Suy ra ID,M(x(n)) = 0 và do đó theo Bổ đề 2.1.5, x là dd-dãy trên M.
(iii ⇒ iv) Giả sử x là dd-dãy và ID,M(x) = 0. Theo Bổ đề 2.1.5, ta có với mọi số nguyên dương n1, . . . , nd,
l(M/x(n)M) = d X i=0 n1. . . nie(x1, . . . , xi,(0 : xi+1)M/(xi+2,...,xd)M). Do đó ID,M(x(n)) = d X i=0 bin1. . . ni, trong đó nếu i = dimDj với j nào đó thì
bi = e(x1, . . . , xi,(0 : xi+1)M/(xi+2,...,xd)M)−e(x1, . . . , xi, Dj)
vàbi = e(x1, . . . , xi,(0 :xi+1)M/(xi+2,...,xd)M)trong các trường hợp còn lại. Ta chỉ cần chứng minhbi ≥0với mọii = 0, . . . , ttrong trường hợpi = dimDj vớij nào đó. Vì x là dd-dãy trên M nên theo Bổ đề 3.1.3 và Hệ quả 3.1.5 ta có Dj = 0 :M xi+1 và Dj ∩(xi+2, . . . , xd)M = 0. Do đó ((xi+2, . . . , xd)M + Dj)/(xi+2, . . . , xd)M ' Dj. Suy ra bi = e(x1, . . . , xi,((xi+2, . . . , xd)M :xi+1)/(xi+2, . . . , xd)M) −e(x1, . . . , xi,((xi+2, . . . , xd)M + 0 :M xi+1)/(xi+2, . . . , xd)M) = e(x1, . . . , xi,((xi+2, . . . , xd)M :xi+1)/(xi+2, . . . , xd)M + 0 :M xi+1). Như vậy bi ≥ 0 với i = 0,1, . . . , d. Mặt khác, theo giả thiết ID,M(x) =
d
P
i=0
bi = 0 nên bi = 0 với mọi i. Vậy ID,M(x(n)) = 0 với mọi n1, . . . , nd.
(iv ⇒ i) Theo Bổ đề 3.2.3, ta có
(x1, . . . , xi)M : xj2 = (x1, . . . , xi)M + 0 :M xj
và theo Mệnh đề 3.2.1 (iv), ta suy ra M là môđun Cohen-Macaulay dãy. Vậy theo Định lý 3.2.4, M là môđun Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi có một lọc F thoả mãn điều kiện chiều và một hệ tham số tốt x sao cho
32
IF,M(x(n)) = 0 với mọi n1, . . . , nd > 0. Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra không nhất thiết phải kiểm tra điều kiện trên với tất cả n1, . . . , nd ∈ N mà chỉ cần kiểm tra n1 = . . . = nd = 2.
Định lý 3.2.5. Cho x = x1, . . . , xd là một hệ tham số tốt của M. Khi đó M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu có một lọc F thoả mãn điều kiện chiều sao cho IF,M(x21, . . . , x2d) = 0.
Chứng minh. Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay dãy thì theo Mệnh đề 3.1.2 (i), IF,M(x21, . . . , x2d) = 0, với D là lọc chiều của M
D : D0 ⊂D1 ⊂ . . .⊂ Dt = M, dimDi = di. Đảo lại, giả sử tồn tại lọc thỏa mãn điều kiện chiều
F :M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂Mt0, dimMj = d0j
sao cho IF,M(x21, . . . , x2d) = 0 và chứng minhM là môđun Cohen-Macaulay dãy. Theo Bổ đề 2.2.4 (ii), với mỗi Mj tồn tại Dij sao cho Mj ⊆ Dij và
dimMj = dimDij, do đó {ij : j = 1, . . . , t0} ⊆ {1, . . . , t}. Ta có t0 X j=0 e(x1, . . . , xd0 j;Mj) ≤ t0 X j=0 e(x1, . . . , xdij;Dij) ≤ t X i=0 e(x1, . . . , xi;Di). Suy ra IF,M(x) ≥ ID,M(x). Theo Bổ đề 2.2.8 và Mệnh đề 2.2.10, ta có IF,M(x21, . . . , x2d) ≥ IF,M(x(n)) ≥ IF,M(x) ≥ ID,M(x) ≥ 0với mọin1, . . . , nd ∈ {1,2}. Vì IF,M(x21, . . . , x2d) = 0 nên IF,M(x(n)) = ID,M(x) = 0 với mọi n1, . . . , nd ∈ {1,2}. Theo Định lý 3.2.4 ta chỉ cần chứng minh nếu IF,M(x21, . . . , x2d) = 0 thì x là dd-dãy của M. Đầu tiên ta chứng minh IF,M(x(n)) = 0 với mọi n1, . . . , nd−1 ∈ {1,2} và số nguyên dương bất kỳ nd. áp dụng [4, Bổ đề 2.1] cho hệ tham số (xnd d , xn1 1 , . . . , xnd−1 d−1), ta có l(M/x(n)M)−e(x(n);M) = l((0 : xnd d )M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M)
+ nd d−2 X i=0 e(xd, xn1 1 , . . . , xni i ; (0 : xni+1 i+1)M/(xni+2 i+2 ,...,xndd−−11)M),
với mọi số nguyên dương n1, . . . , nd. Hơn nữa với n1, . . . , nd ∈ {1,2}, IF,M(x(n)) = 0, suy ra l(M/x(n)M)−e(x(n);M) =IF,M(x(n)) + t−1 X i=0 n1. . . ndie(x1, . . . , xdi;Mi) = t−1 X i=0 n1. . . ndie(x1, . . . , xdi;Mi)
không phụ thuộc vào nd với nd ∈ {1,2}. Suy ra d−2 X i=0 e(xd, xn1 1 , . . . , xni i ; (0 : xni+1 i+1 )M/(xni+2 i+2 ,...,xndd−−11)M) = 0 và (0 :x2d)M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M = (0 : xd)M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M, nên (0 : xnd d )M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M = (0 : xd)M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M với mọi nd > 0. Vì vậy với mọi n1, . . . , nd−1 ∈ {1,2}, nd ≥1,
l(M/x(n)M)−e(x(n);M) = l((0 : xnd d )M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M) = l((0 : xd)M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M) = t−1 X i=0 n1. . . ndie(x1, . . . , xdi;Mi).
Suy raIF,M(x(n)) = 0mọin1, . . . , nd−1 ∈ {1,2}, nd ≥ 1. Để chứng minhx là dd-dãy ta chứng minh quy nạp theo chiều của M. Trong trường hợp d = 1
theo chứng minh ở trên. Giả sử d > 1. Với mọi số nguyên dương nd, xét lọc
F/xnd d F : (M0 +xnd d M)/xnd d M ⊂. . . ⊂ (Ms +xns d M)/xnd s M ⊂M/xnd d M, trong đó s = t−1nếu dt−1 < d−1 vàs = t−2 nếu dt−1 = d−1. Ta luôn có (Mi +xnd
d M)/xnd
d M ' Mi/(Mi ∩ xnd
34
Do đó lọc trên thoả mãn điều kiện chiều. Từ Hệ quả 2.2.9 và giả thiết ta có IF/xnd d F,M/xndd M(x21, . . . , x2d−1) = 0. Vì dimM/xnd d M = d−1 < d nên từ giả thiết quy nạp IF/xnd d F,M/xndd M(xn1 1 , . . . , xnd−1
d−1) = 0, với mọi số nguyên dương n1, . . . , nd−1. Vì thế l(M/x(n)M) =n1. . . nd−1e(x1, . . . , xd−1;M/xnd d M) + s X i=0 n1. . . ndie(x1, . . . , xdi; (Mi +xnd d M)/xnd d M) = n1. . . nde(x;M) +n1. . . nd−1e(x1, . . . , xd−1; 0 :M xd) + s X i=0 n1. . . ndie(x1, . . . , xdi;Mi)
với mọi số nguyên dươngn1, . . . , nd. Suy raxlà dd-dãy theo Bổ đề 2.1.5. Phần cuối chúng tôi áp dụng các kết quả của Định lý 3.2.4 và Định lý 3.2.5 vào trường hợp đặc biệt là môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ. Một vành địa phương(R,m) được gọi là vành Cohen-Macaulay xấp xỉ nếuR không là vành Cohen-Macaulay và tồn tại phần tử a ∈ m sao cho R/anR là Cohen- Macaulay d − 1 chiều mọi n > 0. Tương tự ta có thể định nghĩa môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ như sau.
Định nghĩa 3.2.6. Môđun M được gọi là Cohen-Macaulay xấp xỉ nếu M không là Cohen-Macaulay và tồn tại phần tử a ∈ m sao cho M/anM là Cohen-Macaulay d−1 chiều mọi n > 0.
Mệnh đề 3.2.7. Cho M không là Cohen-Macaulay chiều d. Khi đó mệnh đề sau là tương đương:
i) M là một môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ.
ii) Tồn tại một phần tử a ∈ m sao cho 0 :M a = 0 :M a2 và M/a2M là một môđun Cohen-Macaulay chiều d−1.
iii) M là một môđun Cohen-Macaulay dãy với lọc chiều D : 0 = D0 ⊂
Chứng minh. (i ⇒ii) được suy ra từ định nghĩa.
(ii ⇒ iii) Đặtxd = avà giả sửx1, . . . , xd−1 là một hệ tham số củaM/x2dM. Khi đó x1, . . . , xd−1 là một dãy chính quy trên M/x2dM vàx1, . . . , xd là một hệ tham số của M. Vì M/x2dM là môđun Cohen-Macaulay nên ta có
l(M/(x21, . . . , x2d)M) = e(x21, . . . , x2d−1;M/x2dM)
= 2de(x, M) + 2d−1e(x1, . . . , xd−1,0 :M xd). Vì M không là môđun Cohen-Macaulay nên e(x1, . . . , xd−1,0 :M xd) > 0, hay dim(0 :M xd) = d−1. Do đó lọc F : 0 ⊂ 0 :M xd ⊂ M thoả mãn điều kiện chiều. Vì0 :M xd = 0 :M xd2 nên dễ dàng suy ra0 :M xd∩xdM = 0, nói cách khác x1, . . . , xd là hệ tham số tốt của M đối với lọc F. Từ lập luận trên ta có IF,M(x21, . . . , x2d) = 0. Khi đó M là môđun Cohen-Macaulay dãy theo Định lý 3.2.5 vàx1, . . . , xd là một dd-dãy trênM. VìHm0(M/x2dM) = 0 nên Hm0(M) = 0. Từ Bổ đề 3.1.3 suy ra lọc chiều của M là 0⊂ 0 :M xd ⊂ M.
(iii ⇒ i) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay dãy với lọc chiều F : 0 =
D0 ⊂ D1 ⊂ D2 = M trong đó dimD1 = d−1 và x là hệ tham số của M. Theo Định lý 3.1.2 (i) x là dd-dãy và
l(M/x(n)M) = e(x(n), M) +e(xn1 1 , . . . , xnd−1 d−1,0 :M xnd d ) = e(xn1 1 , . . . , xnd−1 d−1, M/xnd d M),
với mọi số nguyên dương n1, . . . , nd vì D1 = 0 :M xd = 0 :M xnd
d . Vậy M/xnd
d M là Cohen-Macaulay và M là Cohen-Macaulay xấp xỉ.
Trong lý thuyết Cohen-Macaulay nói rằng M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu tồn tại hệ tham số x = x1, . . . , xd sao cho l(M/xM) = e(x, M). Một câu hỏi tự nhiên đặt ra M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu tồn tại hệ tham số tốt x = x1, . . . , xd sao cho ID,M(x) = 0? Nói cách khác ta có thể bỏ mũ 2 trong Định lý trên không? Điều này nói chung không đúng thể hiện ở ví dụ sau.
Ví dụ 3.2.8. Xét vành chuỗi luỹ thừa hình thức R = K[[x, y, z, w]] có hệ số trên trường K và các iđean I = (x, w)∩ (y, z), J = (x, y2, z). Xét môđun
36
M = R/I ∩J. M có lọc chiều D : D0 ⊂D1 ⊂ D2 = M với D1 = I/I ∩J