Luận văn Đa tạp contact

Luận văn, khóa luận, tiểu luận, báo cáo, đề tài

Mục lục Lời nói đầu Chơng I Các kiến thức liên quan Đ1 Đa tạp khả vi Đ2 Đa tạp symplectic Chơng II Đa tạp contact Đ1 Dạng contact Đ2 Một số ví dụ đa tạp contact Đ3 Động lực contact Kết luận Tài liệu tham khảo Trang 11 17 26 33 40 41 Lêi nãi đầu Cách kỷ, hình học symplectic đà cung cấp ngôn ngữ cho học cổ điển phát triển mạnh vào năm 1970 với công trình nghiên cứu nhiều nhà toán học mà tiêu biểu Weinstein, Gromov, Taubes, Donaldson, Đến thời gian gần hình học symplectic đà trở thành phân ngành hình học Tôpô Trong chơng trình đào tạo hệ Cao học thạc sỹ, đà nghiên cứu đa tạp symplectic, nghiên cứu tính chất nội Tuy nhiên đa tạp symplectic có mối liên hệ với số cấu trúc đa tạp khác nh đa tạp contact Trong luận văn trình bày kiến thức sở đa tạp contact mối liên hệ đa tạp contact với đa tạp symplectic Luận văn đợc chia làm chơng: Chơng I Các kiến thức liên quan Đ1 Đa tạp khả vi Đ2 Đa tạp symplectic Chơng II Đa tạp contact Đ1 Dạng contact Đ2 Một số ví dụ đa tạp contact Đ3 Động lực contact Đ1 Chơng I, trình bày số khái niệm liên quan đến đa tạp khả vi nh : ánh xạ khả vi, véc tơ tiếp xúc không gian tiếp xúc, trờng véc tơ khả vi, ánh xạ tiếp xúc ánh xạ đối tiếp xúc, phép hợp luân đạo hàm Lie Đ2 Chơng I, trình bày khái niệm ánh xạ song tuyến tính phản xứng, không gian véc tơ symplectic đa tạp symplectic, ánh xạ symplectic phân thớ đối tiếp xúc Đ1 Chơng II, trình bày số khái niệm nh yếu tố contact, cấu trúc contact, đa tạp contact, số tính chất cấu trúc contact Đ2 Chơng II, xây dựng chi tiết đa tạp contact liên kết với đa tạp X Đ3 Chơng II, trình bày định nghĩa đồng cấu contact, tính bất biến dạng contact qua đồng cấu contact, trờng véc tơ Reeb, mối quan hệ trờng Reeb với dạng contact phép symplectic hóa đa tạp contact Luận văn đợc hoàn thành trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn nhiệt tình thầy giáo Nguyễn Duy Bình Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, cảm ơn thầy giáo môn hình học đà giảng dạy bảo vấn đề liên quan đến đề tài nghiên cứu Chúng xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, đồng nghiệp bạn bè đà tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu Vinh, ngày tháng năm 2004 Tác giả Chơng I kiến thức liên quan Đ1 Đa tạp khả vi 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa Không gian Hausdorff có sở đếm đợc M đợc gọi đa tạp tôpô n - chiều đồng phôi địa phơng với Rn Giả sử M đa tạp tôpô n- chiều Phép đồng phôi cđa mét tËp më U cđa M lªn tËp mở Rn gọi đồ hay hệ tọa độ M Kí hiệu (U, ) 1.1.2 Nhận xét Đối với đa tạp tôpô n- chiều M tồn họ U={(U, )}I cho: Họ {(U, )}I tạo thành phủ mở M Mỗi (U, ) đồ M 1.1.3 Định nghĩa Họ U={(U, )}I đa tạp tôpô n- chiỊu M tháa m·n hai ®iỊu kiƯn cđa nhËn xÐt 1.1.2 đợc gọi tập đồ đa tạp M Tập đồ U đợc gọi tập đồ khả vi với (U , ), (U, ) U ta có -1 ánh xạ khả vi Bản đồ = (V, ) M đợc gọi phù hợp với U U {} tạo thành tập đồ khả vi M Tập đồ khả vi U đa tạp M đợc gọi cấu trúc vi phân M đồ phù hợp với U thuộc U Nhận xét: Mỗi tập đồ khả vi xác định cấu trúc vi phân mà đồ cấu trúc phù hợp với tập đồ 1.1.4 Định nghĩa Một đa tạp tôpô n-chiều M với cấu trúc vi phân đợc gọi đa tạp khả vi n-chiều 1.1.5 Ví dụ không gian ơclit Rn với tập đồ {(Rn, id)} đa tạp khả vi 1.2 ánh xạ khả vi 1.2.1 Định nghĩa Giả sử M, N đa tạp khả vi có số chiều tơng ứng m, n ánh xạ liên tục f : M N đợc gọi ánh xạ khả vi đồ (U, ) M, (V, ) N, ánh xạ f-1 : Rm Rn ánh xạ khả vi ánh xạ f đợc gọi vi phôi f song ánh ánh xạ f, f-1 khả vi 1.2.2 Mệnh đề Cho đa tạp khả vi n- chiều M, điểm p M, ta kí hiệu F(p) tập hợp ánh xạ khả vi xác định lân cận mở điểm p Trong F(p) ta đa vào phÐp to¸n: PhÐp céng f, g∈ F(p): (f + g)(x) = f(x) + g(x) víi mäi x∈ Up ∩Vp PhÐp nh©n f, g∈ F(p): (f.g)(x) = f(x)g(x) víi mäi x∈ Up ∩Vp PhÐp nh©n víi mét sè λ∈ R: (λ.f)(x) = λf(x) víi mäi x∈ Up Trong ®ã Up, Vp lân cận mở p Khi F(p) R- đại số 1.3 Véc tơ tiếp xúc không gian tiếp xúc 1.3.1 Định nghĩa Cho đa tạp khả vi n- chiều M Giả sử I khoảng mở R Mỗi ánh xạ : I M đợc gọi đờng khả vi M 1.3.2 Định nghĩa Cho đa tạp khả vi n- chiều M, đờng khả vi M xác định bởi: :IM t (t) cho t0∈I, kÝ hiƯu ρ(t0) = p Ta gäi vÐc t¬ tiếp xúc tới đờng điểm t ánh x¹ : v : F(p) → R f  v(f) = d dt (f (t)) t v đợc gọi véc tơ tiếp xúc với M điểm p 1.3.3 Định lý Cho đa tạp khả vi n- chiều M, đồ (U, ) M, ®iĨm p∈U Gäi yi lµ hµm täa ®é thø i Rn, đặt ui = yi , Di đạo hàm riêng biến thứ i hàm số xác định Rn Xét ánh xạ: ∂ ( ∂ )p : F(p) → R u i ∂ f  ( ∂ )p(f) = Di(f  ϕ-1) u ϕp ) ( i ∂ Khi ®ã ( ∂ )p véc tơ tiếp xúc với đa tạp M điểm p u i 1.3.4 Mệnh đề Cho đa tạp khả vi n- chiều M, điểm p M Kí hiệu TPM tập véc tơ tiếp xúc với M điểm p Đa vào TPM hai phép toán cộng nhân với số thực xác định nh sau: (v1 + v2)(f) = v1(f) + v2(f) (λv)(f) = v(f) , R Khi TPM không gian véc tơ gọi không gian véc tơ tiếp xúc với M p 1.3.5 Định lý Cho M đa tạp khả vi n- chiều, (U, ) đồ M, pM Khi không gian véc tơ TPM nhận hệ {( )P, i=1,2, ,n} làm sở u i 1.4 Trờng véc tơ đa tạp 1.4.1 Định nghĩa Giả sử G tập mở đa tạp khả vi M Ta gọi trờng véc tơ G ánh xạ: X:G  Tp M p∈ G cho X(p)∈ TPM Ta thờng viết Xp thay cho X(p) 1.4.2 Định nghĩa Giả sử X trờng véc tơ G, fF(p) Khi Xf hàm số G đợc xác định bëi hƯ thøc (Xf)(p) = Xp(f) víi mäi p ∈ G Trờng véc tơ X G đợc gọi trờng véc tơ khả vi Xf hàm khả vi G hàm khả vi f G 1.4.3 Mệnh đề Cho M đa tạp khả vi, G tập mở M Ký hiệu F(G) tập hợp hàm khả vi xác định G Đa vào F(G) phép toán sau: PhÐp céng: f, g ∈ F(G), lÊy (f+g)∈ F(G) xác định , xG (f + g)(x) = f(x) + g(x) PhÐp nh©n: f, g ∈ F(G), lÊy f.g∈F(G) xác định , xG (f.g)(x) = f(x).g(x) Phép nhân víi sè thùc: λ∈R, g ∈ F(G), lÊy λ.g ∈ F(G) xác định (.g)(x) = .g(x) , xG Khi tập F(G) trở thành vành giao hoán có đơn vị hàm 1.4.4 Mệnh đề Kí hiệu B(G) tập trờng véc tơ G Đa vào B(G) phép toán sau: Phép cộng hai trờng vÐc t¬: X, Y∈ B(G), X+Y∈ B(G) cho (X + Y)(p) = X(p) + Y(p) Nhân hàm số với trêng vÐc t¬: f∈F(G), X∈ B(G), fX∈ B(G) cho (fX)(p) = f(p)Xp Khi B(G) trở thành F(G) - môđun 1.4.5 Mệnh đề Giả sử M đa tạp khả vi n- chiều, (U, ) đồ xác i u định M Kí hiệu (i=1,2, ,n) trờng véc tơ U đợc xác định công thức: i u (p) = ( ∂ )P , ∀p∈M u i ∂ ( )P véc tơ tiếp xúc với M p Khi đó: u i 1) Các trờng véc tơ i u khả vi U 2) HÖ { ∂ } (i = 1,2, ,n) sở B(U) - môđun u i 1.5 ánh xạ tiếp xúc ánh xạ đối tiếp xúc 1.5.1 Định nghĩa Cho M, N đa tạp khả vi, f : M N ánh xạ khả vi, pM ánh xạ tiếp xúc ánh xạ f điểm p ánh xạ : f* p : TpM Tf(p)N đợc xác định nh sau: với vTPM véc tơ tiếp xúc với đờng cong (t) p p = (t0) f*p(v) véc tơ tiếp xúc với đờng cong f f(p) = f(ρ(t0)) 1.5.2 MƯnh ®Ị Cho f : M N g : N Q ánh xạ khả vi, pM Khi đó: (g f)*p = g*f(p) f*p 1.5.3 Định nghĩa Cho M, N đa tạp khả vi, f : M N ánh xạ khả vi ánh xạ đối tiếp xóc cđa f kÝ hiƯu f* : Ωk (N) → k (M) đợc xác định nh sau: f*()(X1, , Xk) = ω(f*(X1), , f*(Xk) , ∀(X1, , Xk) 1.5.4 Định lý Cho f : M → N vµ g : N → Q lµ ánh xạ khả vi Khi (g f)* = f* g* 1.6 Phép hợp luân trờng véc tơ Giả sử M đa tạp, ánh xạ ρ : M x R → M , kÝ hiÖu t(p) = (t, p) 1.6.1 Định nghĩa ánh xạ phép hợp luân t vi phôi = idM Cho phép hợp luân , có trêng vÐc t¬ phơ thc thêi gian hay hä trêng vÐc t¬ d vt, t∈R tháa m·n : vt(p) = ds ρs (q ) s=t , q = ρ − (p) t hay dρ t = v t  t (*) dt Ngợc lại, cho trờng véc tơ phụ thuộc thời gian vt, M compact tồn phép hợp luân thỏa mÃn phơng trình (*) Giả sử M đa tạp compact, có tơng ứng 1-1 sau: 10 { phép hợp luân ρ cđa M} ← − 1→ {trêng vÐc t¬ phơ thuéc thêi gian} ρt, t∈R vt, t∈R 1− ← 1→ 1.6.2 Định nghĩa Khi vt = v không phụ thuộc thời gian t, phép hợp luân liên kết với đợc gọi ánh xạ mũ kí hiệu exptv họ vi phôi khả vi thỏa mÃn exptv t= = idM vµ d (exp tv )( p ) = v(exptv(p)) dt 1.6.3 Định nghĩa Đạo hàm Lie toán tử Lv : k(M) k(M) đợc xác định bëi Lv(ω) = d (exp tv )* ω t =0 dt Khi vt phụ thuộc thời gian đạo hàm Lie vt LVt : k(M) k(M) đợc xác định LVt() = 1.6.4 Mệnh đề (công thức Cartan) a) Lv(ω) = ivdω + divω b) d (ρt )* = * LVt() t dt 1.6.5 Định lý Với họ d - dạng khả vi t, tR ta cã: d (ρt )* ωt dt = ρ * (LVt(ω) + t dωt ) dt d (ρt )* ω t =0 dt 11 Đ2 Đa tạp symplectic Chúng ta đà đợc học nghiên cứu kỹ đa tạp symplectic, mục trình bày số kết làm sở cho việc nghiên cứu mối quan hệ đa tạp contact đa tạp symplectic 2.1 ánh xạ song tuyến tính phản xứng 2.1.1 Định nghĩa Giả sử V không gian véc tơ m - chiều R : V x V R ánh xạ song tuyến tính Khi ta định nghĩa phản xứng nÕu: Ω (u, v) = - Ω (v, u) 2.2.2 Định lý (Dạng tiêu chuẩn cho ánh xạ song tuyến tính phản xứng) Giả sử cho ánh xạ song tuyến tính phản xứng V Khi có c¬ së {u 1, u2, , uk, e1, , en, f1, , fn}(*) cña V tháa m·n: Ω (ui, v) = ,∀v∈ V vµ ∀i = k Ω (ei, ej) = ,∀i = n , ∀j = n Ω (fi, fj) = , ∀i = n , ∀j = n Ω (ei, fj) = δij , ∀i = n , ∀j = n n 1.3.1 NhËn xÐt định lý 2.1.2 có dạng : = ∑ e h ∧ fh * * h =1 * * * ®ã {u , , u * , e , , e * , f , , f * } lµ sở đối ngẫu với k n n sở {u1, u2, , uk, e1, , en, f1, , fn} cña V Chøng minh: n * * Ta cã: Ω (ui, v) = ∑ e h ∧ fh (ui, v) = h =1 n * * ,∀i = k Ω (ei, ej) = ∑ e h ∧ fh (ei, ej) = h =1 n * * Ω (fi, fj) = ∑ e h ∧ fh (fi, fj) = h =1 ,∀i = n , ∀j = n ,∀i = n , ∀j = n 21 - dαP(ui, v) = 0, ∀v∈TPM vµ ,∀i = k - dαP(ei, ej) = dαP(fi, fj ) = ,∀i = n , ∀j = n - dαP(ei, fj ) = δij ,∀i = n , ∀j = n dαP HP : HP x Hp → R lµ song tuyến tính phản xứng dP HP không suy biến dim(HP) =2n nên k = ker dP= n n u ∑ v i e i +∑ v n+i fi + v n+1   i =1 i =1 Víi v ∈TPM, v =        ∈KerαP ∈KerdαP ⇒ TPM= Kerαp+ Kerdp ii) Theo ta có kerdp = kerαp ∩ kerdαP ={0} ⇒ u1∉ kerαp ⇒ αp(u1) ≠ Vậy pKerdp không suy biến 1.7 Mệnh đề Giả sử H trờng khả vi yếu tố contact M, 1dạng xác định địa phơng H Khi dp HP không suy biến dimH P = 2n - chẵn   (dα p ) n Hp ≠ Chøng minh: Giả sử dp HP không suy biến, đó: g) Theo ta có dimHP=2n- chẵn * * * h) (dαP)nHp ≠ 0: Gäi {u , e , , e * , f , , f * } sở ®èi ngÉu víi n n c¬ së {u1, e1, , en, f1, , fn} cña TpM, dP ánh xạ song tuyến tính phản xứng TpM nên có dạng dP = (dP)n HP n ∑ e* ∧ f i* i i =1 * = n! e1 ∧ f1* ∧ ∧ e* ∧ f n* ≠ n 22  dimH P = 2n - chẵn Giả sử , ta d n  (dα p ) Hp ≠  p HP Thật vậy, giả sử dp HP không suy biến: suy biÕn ⇒ U={u∈HP/ dαp(u, v) = , ∀v∈Hp}≠0 Gi¶ sử U = , së cđa Hp lµ {u1, , uk,e1, , eh, f1, , fh}, h h < n ⇒ dαp = ∑ e * ∧ fi* i i =1 h ⇒ (dαp) = ( ∑ e * ∧ fi* )n = , mâu thuẫn với giả thiết Vậy i n i =1 dαp HP kh«ng suy biÕn 1.8 Mệnh đề Giả sử H trờng khả vi yếu tố contact M H cấu trúc contat ⇔ α∧( dα )n ≠ víi mäi 1- dạng xác định địa phơng Chứng minh: ( ) Víi p ∈M ta cã : TPM = Hp ⊕ Kerdαp, HP = Kerαp dαP H kh«ng suy biÕn ⇒ (dαP)n HP ≠0 ⇒ ∃ u1, v1, … , un, ∈ HP: (dαP)n(u1, v1, … , un, vn) ≠ αp ker dαp kh«ng suy biÕn ⇒ ∃ z ∈ kerdαp : αp(z) ≠ Tõ ®ã ta cã: (αp∧( dαP )n) ( u1, v1, … , un, vn, z ) = αp(z) (dαP)n(u1, v1, … , un, vn) ≠ ⇒ α∧( dα )n ≠ ( ) Giả sử H = ker cách địa phơng ( d )n 0, ta cần H cấu trúc contact: Thật vậy, với điểm pM, tồn sở {e1, f1, ., en, fn, r} cña TpM tháa m·n kerαp = Span< e1, f1, , en, fn> Khi ®ã (α∧(dα)n)p (e1, f1, , en, fn, r) = αp(r) (dα)np(e1, f1, , en, fn) 23 V× αp(r) ≠ 0, tõ ®ã (α∧( dα )n)p ≠ ⇒ (dαP)nHp ≠ ⇒ dαH kh«ng suy biÕn ⇒ H cấu trúc contact 1.9 Định lý ( Định lý 10.4, [1] ) Gi¶ sư ( M, H ) đa tạp contact p M, tồn hệ tọa độ (U, x1, y1, , xn, yn, z) tâm p thỏa mÃn: n α = ∑ x i dy i + dz i =1 dạng contact địa ph- ơng H 1.10 Định lý (Gray) Giả sử M đa tạp compact, t với t [0, 1] họ dạng contact khả vi M, giả sử Ht = Kert Thì tồn phép hợp luân : M x R → M tháa m·n Ht= ρt*  H0 víi mäi ≤ t ≤ Bỉ ®Ị: Ht = ρt*H0 ⇔ ρ * αt= utα0 víi hä ut : M R, t 1, hàm không t triệt tiêu điểm Chứng minh : ( ) Gi¶ sư ρ * αt = utα0, t Víi mäi p ∈ M, víi v ∈ ρt*H0P ⇒ ∃v1∈H0P : ( ρt* )p(v1)=v , ta cã: αtP(v) = αtP(( ρt* )p(v1)) = (ρ * αt)p(v1) t = (u0α0)p(v1) = u0(p)(α0)p(v1) =0 ⇒ v ∈ HtP ⇒ ( ρt* H0)p ⊂ Htp ⇒ ( ρt* H0) ⊂ Ht (*) Víi mäi p ∈ M, víi v ∈ HtP, ta cã : (utα0)p( ρt* p )-1(v) = (ρ * αt)p(( ρt* )-1p(v)) t = (αt ρt* ( ρt* )-1)p(v) = αtp(v) = ⇒ ∃ v1 = ( ρt* p )-1(v) ∈ H0P, v = ( ρt* p )( v1) ⇒ v ∈ ( ρt* H0)p ⇒ Ht p⊂ (ρt*.H0)p ⇒ Ht ⊂ (ρt*.H0) (**) Tõ (*) vµ (**) ta cã Ht= ρt*.H0 ( ⇒ ) Gi¶ sư Ht= ρt*H0, ∀v ∈Kerα0 ⇒ ∃v1 ∈ Ht: v1 = ρt*(v) 24 ⇒ ρ * αt(v) = αt(ρt*(v)) = αt(v1) = ⇒ kerρ * αt ⊂ kerα0 (1) t t ∀v1∈ Kerρ * αt hay ρ * αt(v1) = ⇒ αt(ρt*(v1)) = ⇒ ρt*(v1) ∈ Ht t t V× Ht= ρt*H0 ⇒ ρt*(v1) ∈ ρt*H0 ⇒ v1 ∈ H0 ⇒ kerα0⊂ kerρ * αt (2) t Tõ (1) vµ (2) ta cã kerα0 = kerρ * αt ⇒ ρ * αt = utα0, víi ut : M → R hµm t t không triệt tiêu điểm Chứng minh định lý: Ta cần tìm = id  ρt tháa m·n  d d (ρ *tα t ) = u t α  dt dt d * (ρt αt ) = ρ* ( Lv t t dt Thật : với phép hợp luân ta cã : víi vt= αt + dα t ) dt dt t trờng véc tơ tạo phép hợp luân t Ta tìm vt từ Ht = dt kert sau lấy tích phân để tìm t Ta giải phơng trình: * ( Lv t t + t dα t d ) = dt u t α0 dt Thay Lv t αt = div t αt + iv t dαt vµ α0 = ρ* ( div t αt + iv t dαt + t * t t ut vào phơng trình ta có: dα t du t ) = t ⋅ u ρ*αt dt dt t Do iv t t hàm đồng nhÊt b»ng víi vt ∈ kerαt ⇒ div t αt = ⇒ ρ* ( iv t dαt + t dα t du t * ) = dt ⋅ u t ρt αt dt dα t du t t ⇔ (iv t dαt + dt ) = (ρ* ) −1 ( dt ⋅ )αt ut du Thu hĐp trªn Ht = kerαt, (ρ* ) −1 ( t t dt ⋅ )αt ut HP = nªn ta cã: 25 iv t dαt Do dαt HP HP dα t = - dt (*) kh«ng suy biÕn nên phơng trình (*) có nghiệm vt Theo giả thiết M đa tạp compact nên từ phơng trình vi phân dt = vt ta t dt tìm đợc t Từ * t = ut0 tìm đợc ut : M R hàm không suy biến điểm t Vậy ta đà tìm đợc phép hợp luân {ut}thỏa mÃn * t = ut0 áp dụng bổ t đề ta có phép hợp luân t : M x R → M tháa m·n Ht = ρt*  H0 víi t (đfcm) 26 Đ2 số ví dụ đa tạp contact 2.1 Trên R3 víi täa ®é ( x, y, z ), xÐt α = xdy + dz Do α∧ dα = ( xdy + dz ) ∧ ( dx ∧ dy ) = dx ∧ dy ∧ dz ≠ ⇒ α lµ dạng tiếp xúc R3 Trờng tơng ứng siêu phẳng H = Ker ( x, y, z ) lµ :  ∂ ∂ ∂  H(x, y, z) = v = a ∂x + b ∂y + c ∂z α( v) = bx +c = 0=< v1, v2>|(x, y, z)   Víi v1 = (1, -1, x) v2 =(1, -2, 2x) n 2.2 Trên R2n+1 với täa ®é ( x1, y1, , xn, yn, z ), xÐt α = ∑ x idyi + dz i =1 Ta cã α∧( dα )n = n!dx1 ∧ dy1 ∧ dx2 ∧ dy2 ∧ ∧ dxn dyn dz dạng contact Rn 2.3 Đa tạp yếu tố contact Cho đa tạp X n chiều, có đa tạp symplectic 2n chiều liên kết với nó, gọi phân thớ ®èi tiÕp xóc víi cÊu tróc symplectic chn t¾c VÝ dụ có đa tạp contact tắc 2n-1 chiều liên kết với X Đa tạp yếu tố contact đa tạp n chiều X : C={(x,x)/ x X x siêu phẳng TxX } Ta chứng minh C đa tạp contact XÐt P*X = (T*X\{0})/∼ , (x,ξ) ∼(x, ξ’) = với R\{0} Chúng ta biểu thị phần tử P*X (x, [] ), []: lớp tơng đơng với Mệnh đề: C đẳng cấu tự nhiên với P*X nh phân thớ X Chứng minh: Chứng minh P*X đa tạp: T*X\{0} không gian tôpô P*X = T*X\{0}/ không gian tôpô với tôpô thơng Giả sử U = {(U, x )} I atlat X 27 Với (U, x ) U đồ đa tạp X với tọa độ địa phơng (x1, , xn) n KÝ hiÖu (P*Uα)i = { (p, [ξ])/ p∈Uα, ξ = ∑ ξi dx i , ξi ≠ 0} , i = n i =1 ⇒ P*Uα = n * i  ( P U α) i= Xây dựng ánh xạ i U : (P*Uα)i → Rn x Rn-1 ξ ξ ξ ξ i −1 i +1 n (p, [ξ])  ( x α(p), ξ , , ξ , ξ , , ξ ) i i i i ⇒ ϕi α U lµ song ánh từ (P*U)i x (U) x Rn-1 liªn tơc chiỊu {(( P U ) , ϕ )} họ đồ P*X liên kết với đồ (U, x ) X {(( P U ) , )} tập đồ P*X * i i Uα α * i α n i =1 i Uα α∈I , i =1 n Ta xét phù hợp đồ: Giả sử (U, x ) với tọa độ địa phơng (x1, , xn) (U, x ) với tọa độ địa phơng (y1, , yn) ®å trªn X, {(( P * U α ) i , iU )}i=1 họ đồ P*X n * i i liên kết với đồ (U, x α) vµ {(( P U β ) , ϕUβ )}i=1 họ đồ P*X liên kết n với đồ (U, x ) * i i * j j i) Xét phù hợp ®å (( P U α ) , ϕU α ) vµ (( P U α ) , ϕU α ) : * i * j Gi¶ sư i