Đề thi vào lớp 10 THPT môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 1988 đến 2013

Đề thi vào lớp 10 THPT môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 1988 đến 2013

®Ị thi vµo líp 10 cđa thµnh hµ néi* Năm học :1988-1989 ( thi 10/8/1988 , tg =150) Bi  2x 2 x 4x2  x    :   x  x x   2x  x Cho A=  a/ Rút gọn A b/ Tính giá trị A |x | = Bài Một xe tải từ tỉnh A đến B với vận tốc 40km/h Sau 1giờ 30 phút, xe khởi hành từ tỉnh A để đến tỉnh B với vận tốc 60km/h Hai xe gặp chúng nửa quãng đường AB Tính quãng đường AB Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD cắt AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I: dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng: a/ Góc CID góc CKD b/ Tứ giác CDFE nội tiếp c/ IK // AB d/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA A Bài 4: Tìm giá trị x để biểu thức : M = ( 2x - 1)2 – |2x-1| + Đạt giá trị nhỏ tìm GTNN GỢI Ý GIẢI đề thi vào THPT 1988-1989 Bài I: 1/ Đk: x 0 ; x   & x  `  2x 2 x  2x 2 x  x 4x2  x  4x2   :   A=   : 2 =   x  x x  x  x  x  x (2  x )(2  x )     x(2  x) 2 2 2 (2  x)  (2  x)  x x(2  x) x  x   x  x   x x (2  x) = = (2  x)(2  x) x (2  x)(2  x) x 2 x( x  2) x(2  x) x  8x x(2  x ) 4x = = = (2  x)(2  x) x  (2  x)(2  x) x  x   A 1   2/ |x| = 1=>   A     1 C B K Bài II: Gọi độ dài quãng đường AB x(km ; x > 0) Ta có phương trình: x x : 40  : 60  2 Bài III: E P O F I A D   a/ CID = CKD góc chắn cung bàng nhau.(=> CDIK nội tiếp) b/ Tứ giác CDEF nội tiếp góc ngồi góc khơng kề với c/ IK//AB tứ giác CDIK nội tiếp =>  IKD =  ICD &  ICD =  PFB ( tứ giác CDEF nội tiếp) => K luận d/ AF tt đt(AFD)  EAF =  ADF (nt chắn cung nhau) Bài IV: M = ( 2x - 1)2 – |2x-1| + = (| 2x – 1|)2 – |2x-1| + = ( |2x – 1| – 4 1 ) 4 3 ) =  | 2x - 1| = 2   2x   x1     2x – =      x    x    2 Dấu “ = ” xảy ( |2x – 1| – đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội* Năm học :1989-1990 Bi Cho biểu thức A = 1- ( 5x x   ): 2  2x 4x  1  2x x  x 1 a/ Rút gọn A nêu điều kiện phải có x b/ Tìm giá trị x để A =  Bài Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50km/h Sau 2/3 qng đường với vận tốc đó, đường khó nên người lái xe phải giảm vận tốc 10km qng đường cịn lại Do tô đến tỉnh B chậm 30 phút so với dự định Tính qng đường AB Bài Cho hình vuông ABCD điểm E cạnh BC Tia Ax vng góc với AE cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD K.Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G a/ Chứng minh AE = AF b/Chứng minh tứ giác EGFK hình thoi c/ Chứng minh tam giác AKF CAF đồng dạng AF2 = KF.CF d/Giả sử E chuyển động cạnh BC, chứng minh FK = BE + DK chu vi tam giác ECK không đổi Bài x  x  1989 Tìm giá trị x để biểu thức y= x2 (Đk x ≠ 0) đạt giá trị nhỏ tìm GTNN GỢI Ý GIẢI đề 1989-1990 Bài I: 5x x   ): 2  2x 4x  1  2x x  x 1 1/Đk x   ½ & x  5x x   A = 1- ( ):  x (2 x  1)(2 x 1) x  (2 x  1) 2(2 x  1)  x  x  (2 x  1) x   x  x  (2 x  1) = = (2 x  1)(2 x  1) (2 x  1)(2 x  1) x x x x 1 2 (2 x  1) = = 1= (2 x  1)(2 x  1) 2x  2x  x A = 1- ( 2/ A = - 2  =  2x - =  x = 2,5 2x  Bài II: Gọi quãng đường AB x (km & x >0 ) Ta có phương trình x 2x x x x : 50  x : 40       3 50 150 120 50 Bài III: a/ AE = AF Vì  FAD =  EAB (cùng phụ với  DAE) =>  ADB =  ABE (cạnh gv- gn ) => k luận b/ Các tam giác vuông IGE & IKF (GE // KT IE = IF) => GF = GE =KF = KE (vì AK trung trực) c/ tam giác AKF CAF đồng dạng AF2 = KF.CF Vì ABCD hình vng => goc ACF = 450 Vì tam giác AEF vuông cân &AI trung trực  goc FAK = 450 => tam giác đồng dạng (gg)  Tỉ số => k luận d/ FD = BE (Vì tam giác nhau) => FK = BE+DK  CECK = FK + KC + EC & CD – DK = CK = BE ;  CE = DK  CECK = 2BC (không đổi) B A G E I F D K C x  x  1989  (Đk x ≠ => y ) đạt giá trị nhỏ  đạt giá trị lớn y x2 1989 x2  max    1989 max    x x x  x  1989 x x2 1989 1989 1989.(1988  1) 1 1 1988  Mà   =   = 1989 (  2 ) + x x x x 1989 x x 1989 1989 1989 1 1988 1988 1989  = 1989 (  )2 + => Min y = x = 1989 x 1989 1989 1989 1988 Bài IV: y = ®Ị thi vµo líp 10 cđa thµnh hµ néi Năm học :1990-1991 Bi 1: Xột biu thc P=( x1 x x   ) : (1) x 1 x  x 1 x  a/ Rút gọn P b/ Tìm giá trị x để P = Bài Một xe tải xe khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B Xe với vận tốc 30km/h, xe với vận tốc 45km/h Sau ¾ quãng đường AB, xe tăng vận tốc thêm 5km/h quãng đường cịn lại Tính qng đường AB, biết xe đến tỉnh B sớm xe tải 20 phút Bài 3: Cho đường tròn (O), dây AB điểm C ngồi trịn nằm tia AB Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường trịn , cắt dây AB D.Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I.Các dây AB QI cắt K a/ Cm tứ giác PDKI nội tiếp b/ Cm CI.CP = CK.CD c/ Cm IC tia phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB d/ Giả sử A,B,C cố định Cmr đường tròn (O)thay đổi qua B đường thẳng QI ln qua điểm cố định Bài Tìm giá trị x để biểu thức y = x - x  1991 đạt giá trị nhỏ tìm GTNN GỢI Ý GIẢI đề 1990-1991 Bài I: 1/ Đk: x  1/9 => P = ( x1 x x   ) : ( 1) x 1 x  x 1 x  ( x  1)(3 x 1)  (3 x  1)  x x 1  x  : (3 x  1)(3 x 1) x 1 3x x 3x  x  x   x   x x  x 1 = = = (3 x  1)(3 x  1) x1 (3 x  1)(3 x  1) 3 = 2/ P =  = x 6  = => 5x – ( x  ) =  5x - 18 x +6 = x1 => x = Bài II: Gọi quãng đường AB x(km, x > 0) Ta có phương trình: x x x   2 30 45 50 Bài III a/ tứ giác PDKI nội tiếp  PDK =  PIK = 900 b/ CI.CP = CK.CD  ICK ~  DCP c/ IC tia pg IQ pg  AIB IC  IQ d/ K điểm cố định IC, IK phân giác I tam giác AIB ( chia điều hòa) P I O KB IB CB   mà A,B,C cố định KA IA CA Bài IV: Tìm giá trị x để biểu thức y = x - x  1991 đạt giá trị nhỏ A D K B C Q 1 y = x - x  1991 = [( x – 1991)- x  1991 + ] + 1991 4 3  + 1990 = 1991 => Min y = 1991 x = 1991 = ( x  1991 - )2 + 1990 4 ®Ị thi vào lớp 10 thành phố hà nội* Năm häc :1991-1992 Bài Cho biểu thức Q= ( 9 x x x x    1) : ( ( x  3)( x  2) x x x 2 ) x 3 a/ Rút gọn Q b/ Tìm giá trị x để Q < Bài Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe loại vận chuyển 40 hàng Lúc khởi hành , đoàn xe giao thêm 14 Do , phải điều thêm xe loại xe phải chở thêm 0,5 Tính số lượng xe phải điều theo dự định Biết xe chở số hàng Bài Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A,B Người ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB tia Ax lấy điểm I Tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P a/ Cm tứ giác CPKB nội tiếp b/ Cm AI.BK= AC.CB c/ Cm tam giác APB vuông d/ Giả sửA,B,I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn Bài Chứng minh đường thẳng có phương trình y = (m-1)x + 6m - 1991 (m tùy ý)luôn qua điểm mà ta xác định tọa ca nú GI í GII đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội Năm học :1991-1992 Bi I: a/Đk: x  , x  & x  => Q = ( 9 x x x x    1) : ( ( x  3)( x  2) x x x 2 ) x 3 x  x  x 9  x  ( x  3)( x  3)  ( x  2)( x  2) : ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  2) 9 x x 9 x4 3  3( x  3) ( x  3)( x  2) = : = = ( x  3)  ( x  2)( x  2) x 2 ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  2) b/ Tìm giá trị x để Q <  <  x  >  x >  x >1 (x 4 & x 9) x 2 = Bài II: Gọi số xe dự định điều x ( x (~ N* ) Ta có phương trình 40 40  14   x x2 Bài III: a/ tứ giác CPKB nội tiếp  CPK =  CBK = 900 b/ AI.BK= AC.CB  AIC ~  BCK (gg) c/  APB vng  APB =  APC +  BPC mà  APC =  AIC =  KGB,  BPC =  BKC => KL d/ SABKI = ½ AB.(AI + BK) Bài IV: y= (m-1)x + 6m - 1991 = mx – x + 6m - 1991 = m (x + 6) – 1991 => Nếu x = - y = - 1991 + = - 1985 Vậy ta có A (-6 ; - 1985) cố định I P K O A C B đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội* Năm học :1992-1993 Bi 1: Cho biểu thức B=( x x  x x1 x 2 ) : (1) x1 x  x 1 a/ Rút gọn B b/ Tìm B x = 5+ Bài 2: Hai người thợ làm cơng việc 12 phút xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ làm hai người làm ¾ cơng việc Hỏi người làm cơng việc xong Bài 3: Cho nửa đường trịn đường kính AB K điểm cung AB Trên cung KB lấy M (M ≠ K,B ) Trên tia AM lấy N cho AN = BM Kẻ dây BP//KM Gọi Q giao điểm đường thẳng AP, BM a/ So sánh tam giác AKN BKM b/ Cm tam giác KMN vng cân c/ Tứ giác ANKP hình gì? Tại sao? d/ Gọi R,S giao điểm thứ QA QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP, chứng minh M di động cung KB trung điểm I RS ln nằm đường trịn cố định Bài Giải phương trình 2 x   1 x x 2x GI í GII đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội Năm học :1992-1993 Bi I: Đk: x  & x  => B = ( x x  x x1 x 2 ) : (1) x1 x  x 1 = x x x x  x  x 1  x  : ( x  1)( x  x  1) x  x 1 = x1 x  x 1 = x ( x  1)( x  x  1) x b/ Tìm B x = 5+ 1 2 B= = = =>   2(2  3) B = 2 = 3 Bài II: Gọi thời gian làm xong cơng việc thứ x(giờ, x > ) Thời gain người thứ hai làm xong công việc y (giờ, y > ) Thì giờ, người thứ làm 1 (cv); người thứ hai làm (cv) & hai làm y x 36 (cv) => ta có hệ phương trình: 1  x  y  36     3  x y Q Bài III: a/tam giác AKN = BKM (cgc) b/ tam giác KMN vng cân KN = KM (2 tgbn) &  AKN +  NKB =  NKB +  MKB c/ Tứ giác ANKP hình bh  PAN =  KMN =  KNM = 450 &  RPK =  APK (tgnt) =  PAN = 450 d/  ABM =  RPM (ABMP nt)  RPM =  QSR (RPMS nt) => RS//AB BP//KM => cung KP = cung MB =>  POM = 900 R P I S K M N A E O F B =>  OMP nội tiếp đường trịn đường kính PM (k đổi) =>  Q = 450 (k đổi) Kẻ IE // AQ , IF // BQ =>  EIF = 450 không đổi, RS = OM = OB = OA k đổi =>E, F trung điểm OA OB => E, F cố định => E(~ cung 450 vẽ đoạn EF Bài IV: Giải phương trình 2 x   1 x 1 x 2x ®Ị thi vµo líp 10 cđa thµnh hµ néi Năm học :1993-1994 Bi 1: Cho biu thc M= ( x 1 2x  x x 1   1) : (1   x 1 2x  x 1 2x  x ) 2x  a/ Rút gọn M b/ Tính M x = (3+2 ) Bài 2: Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai giờ.Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể bao lâu? Bài 3: Cho đường tròn (O ) ( O ) tiếp xúc A tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O ) , ( O ) điểm B,C cắt Ax M.Kẻ đường kính B O D, C O E a/ Cmr M trung điểm BC b/ Cmr tam giác O1MO2 vuông c/ Cmr B,A,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng d/ Gọi I trung điểm DE Cmr đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng BC Bài 4:Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x2- (2m-3)x + = x2 +x + (m-5) =0 HƯỚNG DẪN GII đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội Năm học :1993-1994 Bi 1: a/ Rỳt gn; k x  & x  ½ M= ( x 1 2x  x x 1   1) : (1   x 1 2x  x 1 2x  x ) 2x  = = = ( x  1)( x  1)  ( x  x )( x  1)  (2 x  1) x   ( x 1)( x  1)  ( x  x )( x  1) : ( x  1)( x  1) ( x 1)( x  1) x 2 x  x   x  x  x  x  x 1 x   x  : ( x  1)( x  1) x  2x   2x  2x  x  ( x  1)( x  1) 2x  2x 2 x  2 x ( x  1) ( x  1)( x  1) : = =( x  1)( x  1) ( x 1)( x  1) ( x  1)( x  1)  2( x  1) b/ Tính M x =  M=Bài 2: x 2x 1 (3+2 ) = ( + 1)2 2 (  1) = - ( + 1) Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể x (h, x > ) Thời gian vòi II chảy đầy bể y (h, y > ) Thì 1h vịi I chảy 1 (bể), vòi II chảy (bể) & hai vòi chảy : (bể) y x Ta có hệ phương trình 1  x  y 24  1   x  y –  2  D I E Bài 3: a/ Cm M trung điểm BC MA  MB  => MB = MC (t/c tt cắt nhau) => Kl MB  MC  b/ Cm  O1MO2 vng Vì MA = MB = MC (cmt) =>  ABC vuông A Mà ABM  AO M (gnt, góc tâm) Và ACM  AO2 M = > AO1M  AO2 M = 900 => KL A O1 B O2 M C c/ Cm B,A,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng   Vì  ABC vng A(cmt) => BAC = 900 & EAC = 900 (gnt chắn nửa đường tròn) => KL Tương tự với C , A, D d/ Cm BC tt đt(IO1O2)  ADE vuông A(do đđ) = >ID = IA = IE (t/c) => O1I trung trực AD => O1I // O2M, tương tự  MO = 900 => tứ giác O1MO2I hình chữ nhật => tâm Đt ngoại tiếp  IO1O2 ta có O2I // O1M mà O  = 900) => IM đường trung giao điểm đ chéo IM O1O2 Tứ giác BCED hình thang vng ( B bình => IM  BC => BC tt đt(IO1O2)  MO =900 (Có thể dùng t/c đường trung bình tam giác để cm tứ giác O1MO2I hình bình hành & O => tứ giác O1MO2I l hỡnh ch nht ) đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội* Năm học :1994-1995   a3 a     a  a  a     a  2a  Bµi 1: Cho biÓu thøc P =    a   a) Rót gän P b) XÐt dÊu cđa biĨu thức P a Bài 2: Giải toán cách lập phơng trình Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau lại ngợc từ B A Thời gian xuôi thời gian ngợc 1h20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc 5km/h vận tốc riêng ca nô xuôi ngợc Bài 3: Cho tam gíac ABC cân A, A < 900, cung tròn BC nằm tam giác ABC tiếp xúc với AB,AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đờng vuông góc MI,MH,MK xuống cạnh tơng ứng BC ,CA, BA Gọi P giao điểm MB,IK Q giao điểm MC,IH a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BIMK,CIMH néi tiếp đợc b) Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc HMK c) Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy PQ//BC d) Gọi (O1) đờng tròn qua M,P,K,(O2) đờng tròn ®i qua M,Q,H; N lµ giao ®iĨm thø hai cđa (O1) (O2) D trung điểm BC Chứng minh M,N,D thẳng hàng Bài 4: Tìm tất cặp số (x;y) thoả mÃn phơng trình sau: 5x- x (2  y )  y  HDG đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội* Năm học :1994-1995 Bài 1: a/Rg biÓu thøc (Đk : x  & x )  2a     a3 a   P =    a  a  1  a a     = 2a   a  a ( a  1)(a  a  1)   2a   a ( a  1) a= a  a 1   ( a  1)(a  a  1)  2 a  a 1 a1 = a1 = a1 ( a  1)(a  a  1)    c) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P  a P  a = ( a  )  a Với a  a < thỡ Bài 2: Giải toán cách lập phơng tr×nh Gọi khoảng cách bến x (km; x > 0) a   a < => x x (h) Thời gian ngược (h) 30 20 x x Ta có phương trình = 20 30 a  P < A Thỡ thi gian xuụi l Bài 3: a/Chứng minh tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp đợc B MK  AB (gt) => MKB = 90 & MI  BC (gt)  => MIB = 90  BIMK nội tiếp Tương tự với tứ giác CIMH  b/ C/m tia đối tia MI phân giác cña HMK Gọi tia đối MI Mx, ta có:    Vì tứ giác BIMK nội tiếp (cmt) => xMK = IBK (cùng bù KMI ) 1 a x K H M Q P I C 10 ... PQ//BC ®Ị thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội* Năm học :1995-1996 A/ lý thuyết : Học sinh chọn đề Đề 1: Phát biểu định nghĩa nêu tính chất hàm số bậc Trong hàm số sau đây, hàm số hàm số bậ ?... đường trung bình tam giác để cm tứ giác O1MO2I hình bình hành & O => tứ giác O1MO2I hình chữ nht ) đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội* Năm học :1994-1995 a3 a     a  a  a     a... y 15 Tg vòi chảy = 10h, tg vòi chảy = 15h Bài III: a/ MEOF hcn có góc vng b/ OD  MB => c/ KM & KB tiếp tuyến nên gúc OMK = gúc OBK = 900 đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội Năm học :1995-1996