HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN TỈNH HƯNG YÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 11 NĂM 2015 Thời gian làm bài 180 phút (Đề này có 01 trang, gồm 05 câu) Câu 1 (4 điểm). Cho . Chứng minh rằng . Câu 2 (4 điểm). Cho dãy số được xác định bởi Tìm giới hạn của dãy khi với là số thực cho trước. Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Đường phân giác của góc cắt tại khác . Gọi là điểm đối xứng với qua . cắt tại khác . là một điểm thay đổi trên cạnh ). Đường thẳng cắt tại khác . Từ kẻ đường thẳng song song cắt tại . Đường tròn ngoại tiếp cắt tại và cắt tại . Chứng minh rằng thẳng hàng và đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi. Câu 4 (4 điểm). Cho đa thức không phải là đa thức hằng, thỏa mãn Chứng minh rằng đa thức chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức ; . Câu 5 (4 điểm). Có học sinh đứng thành hàng dọc, cứ mỗi lần thầy giáo thổi còi thì có đúng 2 học sinh đổi chỗ cho nhau. Hỏi sau 2015 lần thầy giáo thổi còi, ta có thể thấy tất cả các học sinh đều đứng trở lại đúng vị trí ban đầu của mình hay không ? HẾT Người ra đề Đặng Thị Mến - ĐT 0979572198 ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11 Câu Nội dung chính cần đạt Điểm Câu 1 Cho . Chứng minh rằng (1). Trong ba số luôn tồn tại hai số có tích không âm (nguyên lý Dirchlet). Không mất tính tổng quát, giả sử . 1đ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có Do đó 1,5đ Mà suy ra chính là (1). 1đ Dấu “=” khi và chỉ khi hoặc và các hoán vị. 0,5đ Câu 2 Cho dãy số được xác định bởi Tìm giới hạn của dãy khi với là số thực cho trước. Dễ dàng chứng minh được bằng qui nạp Ta có Bởi vậy thì 1đ Với , đặt trong đó Từ , với (1), suy ra khi . 1đ Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy với ta có 2 suy ra Mà suy ra (Ta có thể chứng minh trực tiếp , xem phần cuối). 1đ Nếu thì Nếu thì Nếu thì khi . 1đ Câu 3 Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Đường phân giác của góc cắt tại khác . Gọi là điểm đối xứng với qua . cắt tại khác . là một điểm thay đổi trên cạnh ). Đường thẳng cắt tại khác . Từ kẻ đường thẳng song song cắt tại . Đường tròn ngoại tiếp cắt tại và cắt tại . Chứng minh rằng thẳng hàng và đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định. +) là điểm chính giữa của cung của và E đối xứng qua nên (vì ). (g.c.g) là trung trực 1đ (do ). Mà (do ) Có và cùng phía đối với nên thẳng hàng. 1đ +) Đường thẳng cắt tại khác (vì ). (vì ). 1đ là đường kính của . Mà là điểm chính giữa cung chứa thì không nên cố định. Vậy đường thẳng luôn qua điểm cố định khi thay đổi. 1đ Câu 4 Cho đa thức không phải là đa thức hằng, thỏa mãn Chứng minh rằng chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức ; . Nếu thì bài toán luôn đúng. Nếu . Giả sử với và đa thức không chia hết cho và (1). 1đ Ta có ; 1đ Từ (2) cho ta có (3). Giả sử thì Với thay (2) được (4). +) Nếu có mà từ (4) suy ra . mâu thuẫn với (1). 1đ +) Nếu thì mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử sai, do đó . Từ (3) ta được Vậy Vì khác đa thức hằng nên suy ra chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức và 1đ Câu 5 Có học sinh đứng thành hàng dọc, cứ mỗi lần thầy giáo thổi còi thì có đúng 2 học sinh đổi chỗ cho nhau. Hỏi sau 2015 lần thầy giáo thổi còi, ta có thể thấy tất cả các học sinh đều đứng trở lại đúng vị trí ban đầu của mình hay không ? Đánh số từ 1 đến n cho các bạn học sinh trong hàng dọc lúc đầu. Ký hiệu là tập các hoán vị của . Gọi là một hoán vị của . Cặp của 1đ gọi là 1 nghịch thế của nếu và . Xét ánh xạ mà thu được từ bằng cách đổi chỗ hai vị trí kề nhau và giữ nguyên các vị trí còn lại. Cho . Xét ánh xạ Là hợp thành của ánh xạ. Dễ thấy thu được từ bằng cách đổi vị trí của và giữ nguyên các vị trí còn lại . 1đ Gọi là số nghịch thế của hoán vị . Ta có Do vậy (2). Từ (1) và (2) suy ra (mod2) (3). 1đ Giả sử là thứ tự của học sinh sau lần thổi còi thứ k của thầy giáo. Ta có và với nào đó. Theo (3) ta có (mod2). Do đó (vì . Nếu k lẻ thì do đó . Vậy sau 2015 lần thổi còi, tất cả các học sinh không thể đứng trở lại đúng vị trí ban đầu của mình. 1đ Nhận xét: Câu 2 ta có thể chứng minh trực tiếp như sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro) Xét dãy với Do nên tồn tại sao cho Gọi với . Với ở trên tồn tại thì hay . Xét ta có Do đó theo định nghĩa Mà suy ra HẾT Đặng Thị Mến - ĐT 0979572198 . HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN TỈNH HƯNG YÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 11 NĂM 2015 Thời gian làm bài 180 phút (Đề này có. được từ bằng cách đổi chỗ hai vị trí kề nhau và giữ nguyên các vị trí còn lại. Cho . Xét ánh xạ Là hợp thành của ánh xạ. Dễ thấy thu được từ bằng cách đổi vị trí của và giữ nguyên các vị trí. đầu của mình hay không ? Đánh số từ 1 đến n cho các bạn học sinh trong hàng dọc lúc đầu. Ký hiệu là tập các hoán vị của . Gọi là một hoán vị của . Cặp của 1đ gọi là 1 nghịch thế của nếu và . Xét