Tài liệu Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu ppt

§2.VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mét mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng vμ ®−êng th¼ng Mặt cầu (S) v mp(P) có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới mp(P) bằng bán kính của nó. mp(P) vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H. * Đờng thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) khi v chỉ khi có một Mặt cầu (S) v đờng thẳng a có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới đờng thẳng a bằng bán Đờng thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H. kính của mặt cầu. trong các điều kiện sau: một trong các điều kiện sau: Kiểm tra kiến thức cũ P 3. Các tính chất của tiếp tuyến Định lý 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến ny đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A. CM: a A; a OA Có vô số tiếp tuyến với (S) tại A Các tiếp tuyến ny nằm trên mp(P): mp(P) A, (P) OA Đ2.Vị trí tơng đối của một mặt cầu với mặt phẳng v đờng thẳng A O a mp(P) l tiếp diện của (S) tại A. a l tiếp tuyến của S(O;R) tại A * Đờng thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) khi v chỉ khi có một Mặt cầu (S) v đờng thẳng a có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới đờng thẳng a bằng bán Đờng thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H. kính của mặt cầu. trong các điều kiện sau: Đờng thẳng a nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) v đi qua điểm tiếp xúc. Định lý 2: Qua điểm A nằm ngoi mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S). Độ di các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau. Khi (P) thay đổi vẫn đi qua AO thì có vô số tiếp tuyến với (S) kẻ từ A. Xét AMO: AM 2 = AO 2 -OM 2 = d 2 -R 2 22 RdAM = Cm: Đặt OA = d d > R Gọi (P) l mặt phẳng tuỳ ý đi qua AO; mp(P) S(O;R) = C(O;R). Vì A nằm ngoi (S) nên A nằm ngoi (C). Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AM v AM với (C), M M (C) P A 0 Vậy các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau. đó l 2 tiếp tuyến của (S). Ví dụ. Cho mặt cầu S(O ; a) v một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại điểm B v cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C v D, biết CD a) Tính AB. b) Tính khoảng cách từ O đến đờng thẳng CD. Giải: a) Ta có AB tiếp xúc với mặt cầu tại B nên ABOB: 22 OBOAAB = b) Gọi H l hình chiếu của O lên CD ta có: 2 3a 2 CD HC:raSuy == 2 a 2 3a aHCOCOH 2 222 = == Vậy khoảng cách từ O đến CD l 2 a H B A O D C 22 aa4 = 3a= OC=OD=a, nên tam giác OCD cân tại O, do đó H l trung điểm của CD. 3a= A B M P I O Bi 5 <tr109>. Cho mặt cầu (O ; R) tiếp xúc với mp(P) tại I, M l một điểm nằm trên mặt cầu. Hai tiếp tuyến tại M của mặt cầu cắt tại mp(P) tại A v B. Chứng minh rằng AIBAMB = Vì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại I nên AI v BI l hai tiếp tuyến với mặt cầu. Giải: Vì AM v AI l hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ điểm A nên: AM = AI. AIBAMB = Tơng tự ta có BM = BI. Hai tam giác AMB v AIB bằng nhau (c, c, c). (S) ∩ (P) = φ (S) ∩ (P) = {H} (S) ∩ (P) = C(H; r) P R H M 0 P H M 0 R P M 0 R H d > R d = R d < R VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng P H 0 R (c) 0 (c) H 0 (c) A B H d > R d = R d < R ( S) = ỉ ( S ) = { H } ( S ) = { A, B} Vị trí tơng đối của mặt cầu với đờng thẳng O A O A O A P O A VÞ trÝ ®iÓm A Sè l−îngtiÕptuyÕn H×nh¶nh TiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (C) 1 A ∈(C) 2 A ngoμi(C) V« sèA ∈(S) V« sèA ngoμi(S) TiÕp tuyÕn cña mÆt cÇu (S) . một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H. kính của mặt cầu. trong các điều kiện sau: Đờng thẳng a nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) v đi qua điểm. Các tiếp tuyến ny nằm trên mp(P): mp(P) A, (P) OA Đ2 .Vị trí tơng đối của một mặt cầu với mặt phẳng v đờng thẳng A O a mp(P) l tiếp diện của (S) tại