Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 4: 3 điểm Cho hình vuông ABCD, một góc vuông xAy qoay quanh đỉnh A của hình vuông, cạnh Ax cắt các đường thẳng BC, CD lần lượt tại M, N; cạnh Ay cũng cắt các đường thẳng đó tại P và [r]
Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp ĐỀ SỐ (T0ÁN 8) Bài 1: (3 điểm) x : + Cho biểu thức A= + 2 x − x 27 −3 x x +3 )( ( ) a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1 c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: a) 3y 2+ x −3 x : ( x2 27 −3 x ) 6− x x 3+ x 1− − b) x− =3 − 2 ( ) Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chứng minh: a) BD // MN b) BD MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4) Chứng minh rằng: a + b + số phương ĐỀ SỐ Câu I: (2điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp a) x 2+ x −5 b) ab (a −b) −ac (a+ c)+ bc(2 a − b+c ) 2) Giải phương trình 1 + x + x x + x +2 Câu II: (2 điểm) 1) Xác định a, b để da thức f (x)=x3 +2 x 2+ ax+b chia hết cho đa thức g( x )=x 2+ x+1 2) Tìm dư phép chia đa thức P( x )=x 161 + x 37+ x 13 + x 5+ x+2006 cho đa thức Q(x )=x 2+1 Câu III: (2 điểm) 1) Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Tính giá trị biểu thức: a2 b2 c2 + + a − b2 − c b2 −c − a2 c2 −a − b2 2) Cho ba số a, b, c thoả mãn a ≠ −b ,b ≠ − c , c ≠ − a a2 − bc b2 −ac c − ab + + =0 CMR: (a+ b)(a+ c) (b+a)(b+c ) (c +a)(c+ b) P= Câu IV: (3điểm) 1) Cho đoạn thẳng AB, M điểm nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hình vng ACDM MNPB Gọi K giao điểm CP NB CMR: a) KC = KP b) A, D, K thẳng hàng c) Khi M di chuyển A B khoảng cách từ K đến AB không đổi 2) Cho tamg gáic ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AA”, BB’, CC’ đồng quy HA ' HB ' HC' H CMR: AA ' + BB ' + CC ' số Câu V: (1 điểm): Cho hai số a, b khơng đồng thời Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: Q= a − ab+b2 a2 +ab+b ĐỀ SỐ Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a¿ 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác a + b + c =0 Rút gọn biểu thức: N= 1 + + a +2 bc b +2 ca c +2 ab 2 Bộ đề thi Học sinh giỏi Tốn Lớp Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M =x + y − xy − x+ y+ b) Giải phương trình: ¿ Bài 3: (2điểm) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người gặp tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đường AB Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 2+5 y 2=345 ĐỀ SỐ Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + c) x√ x- 3x + 4√ x-2 với x Bài : (1,5điểm) Cho abc = Rút gọn biểu thức: A= a b 2c + + ab+a+ bc+b+1 ac+2 c +2 Bài 3: (2điểm) Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a b ab Tính: P= a −b Bài : (3điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ABC AEMF hình vng Bài 5: (1điểm) Chứng minh với số nguyên n : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 ĐỀ SỐ Bài 1: (2điểm) Cho biểu thức: M= 1 1 + + + x −5 x +6 x −7 x+ 12 x − x +20 x −11 x+ 30 1) Rút gọn M 2) Tìm giá trị x để M > Bài 2: (2điểm) Người ta đặt vòi nước chảy vào bể vòi nước chảy lưng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nước Cịn đóng vịi chảy mở vịi chảy vào sau 1giờ rưỡi đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy 1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy 2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể Bài 3: (1điểm) Tìm x, y nguyên cho: x 2+ xy+ x + y + y=0 Bộ đề thi Học sinh giỏi Tốn Lớp Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD cố định, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển đoạn CD (E khác D) Đường thẳng AE cắt BC F, đường thẳng vuông góc với AE A cát CD K 1) Chứng minh tam giác ABF tam giác ADK 2) Gọi I trung điểm KF, J trung điểm AF Chứng minh rằng: JA = JB = JF = JI 3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài cạnh tam giác AEK theo a x 4) Hãy vị trí E cho độ dài EK ngắn 1 Bài 5: (1điểm) Cho x, y, z khác thoả mãn: xy + yz + zx =0 x2 y2 z2 Tính N= + + yz zx xy ĐỀ SỐ Câu I: (5 điểm) Rút gọn phân thức sau: 1) |x −1|+|x|+ x x −4 x+1 2) ¿ ¿ Câu II: (4 điểm) 1) Cho a, b số nguyên, chứng minh a chia cho 13 dư b chia cho 13 dư a 2+ b2 chia hết cho 13 2) Cho a, b, c số nguyên thoả mãn abc = Tính giá trị biểu thức: A= a b c + + 1+ a+ac 1+ b+ bc 1+ c+ac 3) Giải phương trình: x2 +2 x+ x 2+2 x +2 + = x2 +2 x+ x 2+2 x+ Câu III: (4 điểm) Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đồn TNCS Hồ Chí Minh (26/3) Hai tổ công nhân lắp máy giao làm khối lượng cơng việc Nếu hai tổ làm chung hồn thành 15 Nếu tổ I làm giờ, tổ làm Bộ đề thi Học sinh giỏi Tốn Lớp làm 30% công việc Nếu công việc giao giêng cho tổ tổ cần thời gian để hồn thành Câu IV: (3 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F hình chiếu B, D lên AC; H, K hình chiếu C AB AD 1) Tứ giác DFBE hình ? ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA 3) Chứng minh AC2=AB AH+ AD AK Câu V: (2 điểm) Giải phương trình: |x −2002|2002 +|x −2003|2003=1 ĐỀ SỐ Câu I: (2điểm) Thực phép chia A=2 x − x − x − x+2 cho B=x +1 Tìm x Z để A chia hết cho B Phân tích đa thức thương thành nhân tử Câu II: (2điểm) So sánh A B biết: 16 A=532 −1 B=6 (5 +1)( +1)(5 +1)(5 + 1) Chứng minh rằng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44 Câu III: (2điểm) Cho tam giác có ba cạnh a, b, c thoả mãn: ¿ Hỏi tam giác cho tam giác ? Cho đa thức f(x) = x 100+ x 99 + + x 2+ x +1 Tìm dư phép chia đa thức f(x) cho đa thức x − Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E, F hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF CE Tứ giác AEHF hình ? Tại ? Chứng minh AB CF = AC AE So sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC Câu V : (1 điểm) Chứng minh nghiệm phương trình sau số nguyên: Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp x −2 x −3 x − x −2005 x −2004 x − 2003 + + = + + 2005 2004 2003 ĐỀ SỐ Câu 1: (2điểm) a) Cho x − xy+ y −2 x+6 y +13=0 x y −1 Tính N= xy b) Nếu a, b, c số dương đơi khác giá trị đa thức sau số dương A=a3 +b 3+ c −3 abc Câu 2: (2 điểm) Chứng minh a + b + c = thì: b ( a −c b + b −a c + c −b a )( a−c b + b−a c + c −a )=9 A= Câu 3: (2 điểm) Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc vận tốc dự định km/h Tính thời gian tơ quãng đường AB biết người đến B Câu 4: (3 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vng góc vơi AE cắt đường thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI N a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC Câu 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x +3 x2 +1= y Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp ĐỀ SỐ Bài 1: (2 điểm) − x6+ − x x ( ) ( ) Cho M = ( x+ 1x ) + x + x1 x+ 3 a) Rút gọn M b) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ M Bài 2: (2 điểm) a) Tìm x biết : ¿ b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 n - 65 hai số phương Bài 3: (2 điểm) a) Cho x y thoả mãn: x2 +17 xy+ y 2=5 xy − | y − 2| Tính H=x + y + xy b) Cho a, b, c thoả mãn: a+ b+c=abc Chứng minh: a (b2 −1)(c −1)+b (a2 −1)(c −1)+c (a −1)(b −1)=4 abc Bài 4: (4 điểm) Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I giao điểm AC BD Qua I vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD BC M N a) Chứng minh IM = IN 1 b) Chứng minh: AB + CD =MN c) Gọi K trung điểm DC, vẽ đường thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC H E Chứng minh HM + HE = 2AK d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2) Tính S(ABCD) theo a b Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp ĐỀ SỐ 10 Câu 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x − x −12 b) x + x+1 c) ( x 2+ x +2)( x 2+ 11 x +30) −5 Câu 2: (2 điểm) 1) So sánh A B biết: A=532 B=24 (52 +1)(54 +1)(58 +1)(516 +1) 2) Cho a2 +2 b2=7 ab a> b>0 2005 a− 2006 b Tính giá trị biểu thức: P=2006 a+2007 b Câu 3: (2 điểm) 2 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 2 x y xy x 12 y 1974 2) Giải phương trình: y +4 x +2 y − 2x +1+2=0 8 8 2 2 3) Chứng minh rằng: a b c d 4a b c d Câu 4: (3 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G a) Chứng minh tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh AF2 = FK FC c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Câu 5: (1 điểm) Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(1) f(2) số lẻ Chứng minh đa thức f(x) khơng có nghiệm ngun ĐỀ SỐ 11 Câu 1: (2 điểm) Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp 1 1 + )( + ) ( 19 + ) ( 4 a) Tính giá trị biểu thức: A= (2 + 14 )( + 14 ) (20 + 14 ) 4 4 4 b) Chứng minh rằng: Tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương Câu 2: (2 điểm) a) Cho xyz = 2006 2006 x y z Chứng minh rằng: xy+2006 x +2006 + yz+ y+ 2006 + xz+ z +1 =1 b) Tìm n nguyên dương để A = n3 + 31 chia hết cho n + c) Cho a+ 2b+ c ≥ 14 Chứng minh rằng: a 2+ b2+ c ≥ 14 Câu 3: (2 điểm) Cho phân thức: B= ( x +3 x−1 x −1 − − x − x + x+ x −1 x −5 x +5 ) a) Rút gọn B b) Tìm giá trị lớn B Câu 4: (3 điểm) Cho M điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ hình vng AMCD BMEF a) Chứng minh: AE BC b) Gọi H giao điểm AE BC, chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB Câu 5: (1 điểm) a) Chứng minh với n N n > thì: C=1+ 1 1 + + + +