Bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 8

Bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 8

8 0 7 8

02 , 0 ).

19 , 8 81 , 11

a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE

b) FB  EC

C©u 5: (1 ®iÓm)

T×m ch÷ sè tËn cïng cña

9 1 0

5 11

5 5 , 0 625 , 0

12

3 11

3 3 , 0 375 , 0 25 , 1 3

5 5 , 2

75 , 0 1 5 , 1

 thì

d c

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5

3 2003

2 2004

a) Cho đa thức f(x) ax2bxc với a, b, c là các số thực

Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên

Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên

b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh

đó tỉ lệ với ba số nào ?

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D,

trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với

BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lợt ở M, N

Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay

đổi trên cạnh BC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm số tự nhiên n để phân số

3 2

8 7

11 : 13

3 7

3 6 , 0 75

5 : 3

25 , 0 22 7

21 ,

c c b

b b a

a M

Câu 4: (3 điểm)

Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh AB, AD lấy các

điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2 Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450

Câu 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng:

20

9 1985

1

25

1 15

1 5

az cx a

ộ đề thi học sinh giỏi Toỏn lớp 8 www.PNE.edu.vnCho ABC có góc A bằng 1200 Các đờng phân giác AD, BE, CF

a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của ADB

b) Tính số đo góc EDF và góc BED

Bài 5: (1 điểm)

Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:

2 2

5 1997

1 12 : 3

10 10

3 1

4

3 46 25

1 230 6

5 10 27

5 2 4

1

13

Bài 2: (3 điểm)

a) Chứng minh rằng: A 36  38 41 33 chia hết cho 77

b) Tìm các số nguyên x để B x 1  x 2 đạt giá trị nhỏ nhất

c) Chứng minh rằng: P(x)ax3bx2cxd có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi

và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên

Bài 3: (2 điểm)

a) Cho tỉ lệ thức

d

c b

a

 Chứng minh rằng:

2 2

d c

b a cd

b a d c

b a

Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh AB, AD lấy các

điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2 Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450

Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng: 3a 2b 17  10ab 17 (a, b  Z )

2002 2

2003 1

1

4

1 3

1 2 1

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH  BC (H  BC) Vẽ AE  AB và AE =

AB (E và C khác phía đối với AC) Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đờng thẳng

AH (M, N  AH) EF cắt AH ở O Chứng minh rằng O là trung điểm của EF

Bài 5: (1 điểm)

So sánh: 5 255 và 2 579

Đề số 7

Câu 1: (2 điểm)

1 8

1 39

1 6 1

2

512 2

512 2

z z

x

y y

Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê

lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM = AC.Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy

®iÓm N thuéc Ay sao cho AN = AB LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP.Chøng minh:

1 2 17

14

2

4

1 5 19

16 3 4

1 180

1 108

1 54

z y

 và 2 2 16





 y x

b) Cho f(x) ax2bxc Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên Chứng minh f(x)luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên

4 3 2 1

) 6 , 3 21 2 , 1 63 ( 9

1 7

1 3

1 2

1 ) 100 99

2 25

2 3

10

1

) 15

4 ( 35

2 3 7

3 8

b) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi đợc nửa quãng ờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 15 phút Tính thờigian ô tô đi từ A đến B

đ-Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa

đỉnh C bờ là đờng thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và

AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đờng thẳng AC dựng đoạn AFvuông góc với AC và AF = AC Chứng minh rằng:

1

102

1 101

1 200

1 99

1

4

1 3

1 2

1 1

5

1 25 , 0 3 1

11

7 9

7 4 , 1

11

2 9

2 4 , 0

1 28

1 3

1 15

1 10

là 2: 5 Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ?

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho đa thức f(x) ax2bxc (a, b, c nguyên)

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3.b) CMR: nếu

d

c b

a

 thì

bd b

bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5

7

5 7

2

2 2

AE  

Câu 5: (1 điểm)

Đội văn nghệ khối 7 gồm 10 bạn trong đó có 4 bạn nam, 6 bạn nữ Để chàomừng ngày 30/4 cần 1 tiết mục văn nghệ có 2 bạn nam, 2 bạn nữ tham gia Hỏi cónhiều nhất bao nhiêu cách lựa chọn để có 4 bạn nh trên tham gia

14 1 3

1 5 12 6

1 6

5

4

19

2 3

1 6 15 7

1

3

1 3

1 2

) (

d c

b a cd

11 2

3 6 ,

az cx a

Cho ABC vuông cân tại A Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác của

ABD, đờng cao IM của BID cắt đờng vuông góc với AC kẻ từ C tại N Tínhgóc IBN ?

ộ đề thi học sinh giỏi Toỏn lớp 8 www.PNE.edu.vn

a) Tính giá trị của biểu thức

25 , 1 3

5 5 , 2 12

5 11

5 5 , 0 625 , 0

12

3 11

3 3 , 0 375 , 0 : 2005

P

b) Chứng minh rằng:

10 9

19

4 3

7 3 2

5 2

1

3

2 2 2

2 2 2 2

D  2004   2003 

Câu 3: (2 điểm)

Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi đợc nửaquãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.Tính thời gian ô tô đi từ A đến B

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên nửa mặt phẳng không chứa

C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB.Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC Trên tia

đó lấy điểm E sao cho AE = AC Chứng minh rằng:

25

11

4

3 125 505

, 4 3

4 4 : 624

,

81

2

2 2

ộ đề thi học sinh giỏi Toỏn lớp 8 www.PNE.edu.vn

2 , 0 2

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

1 2

1

2004 2002 4

2 4 6

101 10

b) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a

Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt nhau tại I

a) Tính các góc của DIE nếu góc A = 600

b) Gọi giao điểm của BD và CE với đờng cao AH của ABC lần lợt là M và N.Chứng minh BM > MN + NC

Bài 5: (1 điểm) Cho z, y, z là các số dơng.

z y

y z

y x x

3 ( ) 4

z c

b a

y c

b a

họ đến C cùng một lúc

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đờng cao AH Vẽ các

điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE Gọi I, K lầnlợt là giao điểm của DE với AB và AC

Tính số đo các góc AIC và AKB ?

Bài 5: (1 điểm)

11 4

c b a

3 3 3

b) Cho a, b, c kh¸c 0 tho¶ m·n:

a c

ca c b

bc b a

ca bc ab M

y x y

z x x

8

8

2 9

3

10 7

3 7 4

60

1 24

1 6

Ba đội công nhân cùng lao động Nếu chuyển 1/3 số ngời đội I, và 1/4 số ngời

đội II, và chuyển 1/5 số ngời đội III đi làm việc khác thì số ngời mỗi đội còn lạibằng nhau Tính số ngời mỗi đội ban đầu biết tổng số ngời ban đầu là 196 ngời

Bài 4: (3 điểm)

Cho hai góc xoy và x’o’y’ có ox // o’x’ , oy // o’y’ Gọi om là tia phân giác củagóc xoy, on là tia phân giác của góc x’o’y’ Chứng minh:

a) Nếu góc xoy và x’o’y’ cùng nhọn hoặc tù thì om // o’n

b) Nếu góc xoy và x’o’y’ có một góc nhọn, một góc tù thì om  o’n

6

1 4 2 7

2 4 5

1 1 2

Cho tam gi¸c ABC cã AB = AC , gãc A b»ng 800 Trong tam gi¸c ABC lÊy

®iÓm I sao cho gãc BIC b»ng 100 vµ gãc ICB b»ng 200 TÝnh gãc AIB

260

10 140

10 56

2 3

b) Hai ngời cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B Ngời thứ nhất đi từ A

đến B rồi quay lại ngay, ngời thứ hai đi từ B đến A rồi quay lại ngay Hai ngời gặpnhau lần thứ hai tại điểm C cách A 6 km, tính quãng đờng AB Biết rằng vận tốcngời thứ hai bằng 2/3 vận tốc ngời thứ nhất

3 7

7 15

4 10

x x

4 1 3

2 3

d d

b a

c d

c a

b d

a d b a

d c d a

c b d c

b a A

z x

 và x + 2y + 3z =164

y x

z z

x

y y

đến trờng là mấy giờ (Hai kim đồng hồ đợc nói tới ở đây là kim phút và kim giờ)

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài của tam giác các tam giác vuông cân đỉnh

A là BAE và CAF

1) Nếu I là trung điểm của BC thì AI vuông góc với EF và ngợc lại nếu I thuộc BC

và AI vuông góc với EF thì I là trung điểm của BC

2) Chứng tỏ AI =EF/2 (với I là trung điểm của BC)

3) Giả sử H là trung điểm của EF, hãy xét quan hệ của AH và BC

Bài 5: (1 điểm)

Tìm x nguyên dơng để

x

x M





 2002 2001

đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị ấy

Số học sinh khối 7 của một trờng khi xếp hàng hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng

5, hàng 6 đều thiếu 1 ngời, nhng xếp hàng 7 thì vừa đủ Biết số học đó cha đến

300 Tính số học sinh khối 7 của trờng đó

Câu 4: (6 điểm)

Cho góc aOb Vẽ tia Oc nằm trong góc aOb Gọi Ox, Oy lần lợt là các tiaphân giác của các góc aOc, bOc Vẽ tia Oz là tia bất kì nằm trong góc xOy Gọi

Ot, Oh lần lợt là các tia phân giác của các góc xOz, yOz

a) Cho biết góc aOb = 1020 Tính góc tOh ?

b) Cho biết góc tOh = 200 Tính góc aOb ?

c) Tìm giá trị lớn nhất của góc tOh ?

4 3

3 3

2 3

1

100 4

3



Bài 3: (2 điểm)

a) Có một số gạch cần chuyển Nếu lớp 8A chuyển thì cần 4 ngày; 7A chuyển cần

7 ngày, nếu lớp 6A chuyển cần 12 ngày Hỏi cả ba lớp cùng chuyển số gạch đó thìmất bao lâu ?

b) Hai kim giờ và kim phút của đồng hồ gặp nhau trớc và sau mất thời gian bao lâu

6 7

1981 24

1980 25

1979 1982

22 1981

23 1980

24 1979

3 7

1 14

1

19

5 20

7 15

4 10 3

1 154

1 88

1 40

1 10

 Chøng minh r»ng ta cã:

d c

d c

b a

b a

2003 2002

2003 2002

2003 2002

2003 2002

b)

90

1 72

1 56

1 42

1 30

1 20

1 1 35

3 7

1 14

1

19

5 20

7 15

4 3 , 0

b) Cho biÕt

d

c b

a

 Chøng minh:

d c

d c

b a

b a

2005 2004

2005 2004

2005 2004

2005 2004

xx

y

A

C

xx

ộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8 www.PNE.edu.vn

C©u 4: (2 ®iÓm) Cho h×nh vÏ.

Cho biÕt Ax / / By H·y tÝnh tæng c¸c gãc

A + B + C = ?

C©u 5: (2 ®iÓm)

a) T×m x, y, z biÕt:

z y x y

x

z z

x

y y

3 :

2 2

3 13

5 7

c a







2 2

2 2

C©u 4: (1,5 ®iÓm) Cho x, y  Z Chøng minh:

3 7

7 15

4 10

1 154

1 88

1 40

y x

 và 2 2 2 28





 y x

b) Tính thời gian từ lúc kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ gặp nhau lầntrớc đến lúc chúng gặp nhau lần tiếp theo Từ đó suy ra trong một ngày chúng gặpnhau bao nhiêu lần ? Tạo với nhau góc vuông bao nhiêu lần?

Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC bằng hai lần độ dài cạnh

AB M là trung điểm của BC, N là trung điểm của BM Trên tia đối của tia NA lấy

D sao cho ND = NA Chứng minh:

a) Tam giác BCD vuông

b) Tam giác ACD cân

a) Chứng minh rằng C chia hết cho 42002

b) Hỏi C chia cho 42003 d bao nhiêu ?

Đề số 29

8 , 0 7 8

02 , 0 ).

19 , 8 81 , 11

a) Chứng minh rằng: 10  6 5 7 chia hết cho 59

b) Cho x, y là các số nguyên Chứng minh rằng 5x + 2y chia hết cho 17 khi và chỉkhi 9x + 7y chia hết cho 17

Bài 3: (2 điểm)

Chứng minh rằng nếu:

3

3 2

u

thì

2 3

v u



Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có các trung tuyến BE và CF Trên tia đối của tia EB lấy

điểm M sao cho EM = EB Trên tia đối của tia FC lấy điểm N sao cho FN = FC.Chứng minh A là trung điểm của MN

Bài 5: (1 điểm)

Tìm các số nguyên nguyên dơng x, y, z biết rằng:

xyz z

1 4

3

n n

b) Chứng tỏ rằng:

200

1

102

1 101

1 200

1 199

1

4

1 3

1 2

y x

 và 2 2 4



 y x

c) Tìm a, b biết rằng:

a

b a

a

7 23

3 20

3 7 15

2 1

1

2 Gạo chứa trong kho thứ hai nhiềuhơn kho thứ nhất 43,2 tấn Sau 1 tháng ngời ta tiêu thụ hết ở kho thứ nhất 40%, ởkho thứ hai là 30%, kho thứ 3 là 25% của số gạo trong mỗi kho Hỏi 1 tháng tất cả

ba kho tiêu thụ hết bao nhiêu tấn gạo ?

Bài 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AC = AD Trêntia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AB = AE

a) Nối D, E Chứng minh BC = DE

b) Chứng minh đờng phân giác của góc BAE vuông góc với CD

7 , 0 875 , 0 6

1 1 11

7 9

7 4 , 1

11

2 9

2 4 , 0 : 2006

2005

A

b) Chứng minh rằng:

1 2006 2005

4011

4 3

7 3 2

5 2

.

1

3

2 2 2

2 2 2 2

Câu 3: (2 điểm) Hai ngời đĩ xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau

11 km để đến C (Ba địa điểm A, B, C cùng ở trên một đờng thẳng) Vận tốc của

ộ đề thi học sinh giỏi Toỏn lớp 8 www.PNE.edu.vnngời đi từ A là 20 km/h, của ngời đi từ B là 24 km/h Tính quãng đờng của mỗi ng-

ời đã đi, biết rằng họ đến C cùng một lúc

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC với 0

2 9

y x z a

x z

z b

a c

y a

c a

ộ đề thi học sinh giỏi Toỏn lớp 8 www.PNE.edu.vn

Bài 4: (3 điểm)

Cho ABC vuông tại A và AB < AC Vẽ đờng cao AH, trên đoạn HC lấy

điểm M sao cho BM = AB Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại N và AM tại E.a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc HAC

b) Chứng minh MN vuông góc với AB

1 3 6

1 4 : 2



Bài 2: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng: 8  7 2 18 chia hết cho 14

b) Cho x, y  Z Chứng minh rằng: (6x + 11y) chia hết cho 31 khi và chỉ khi (x + 7y) chia hết cho 31

Bài 3: (2 điểm)

Chứng minh rằng nếu:   1

d

c b

a

(a, b, c, d  0)

Thì

d c

d c b a

b a

Cho tam giác ABC nhọn, các đờng cao BD, CE Trên tia đối của tia BD lấy

đoạn thẳng BH bằng AC Trên tia đối của tia CE lấy đoạn thẳng CK bằng AB Chứng minh rằng:

a) BAH = CKA

b) AH  AK

Bài 5: (1 điểm)

Cho hai số nguyên a và b chia cho 3 có cùng số d khác 0

Chứng minh rằng: (ab 1 ) chia hết cho 3

1 10

1 : ) 2 36 6 12 )(

90

3 2

7 6 7

125 , 0 5

1 25 , 0 3 1

7

8 5

8

3

3 6

a) Chøng minh r»ng: 10  6 5 7 chia hÕt cho 59

b) Chøng minh r»ng nÕu (3a + 2b) chia hÕt cho 17 th× (10a + b) chia hÕt cho 17 vµngîc l¹i

Bµi 3: (2 ®iÓm)

a) T×m x, y, z biÕt:

3 2

y x

 ;

7 5

z y

 vµ 2x 3yz 172

b) Cho tØ lÖ thøc:

d

c b

a

 Chøng minh r»ng: 2 2

2 2

d b

c a bd

Cho tam gi¸c ABC (gãc B = 900 ) Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng chøa

®iÓm C vÏ tia Ax vu«ng gãc víi AB Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC kh«ng chøa ®iÓm

B vÏ tia Ay vu«ng gãc víi AC Trªn tia Ax lÊy ®iÓm D sao cho AD = AB Trªn tia

Ay lÊy ®iÓm E sao cho AE = AC

 thì

d

a d b

b a







2 2

2 2

Câu 3: (2 điểm) Cho hàm số ym x  2

a) Xác định m ? Biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1; 1)

b) Vẽ đồ thị của hàm số đó và nhận xét về dạng của đồ thị ?

Câu 4: (2 điểm)

Trong ngày tết trồng cây nhà trờng dự định giao cho lớp 7A, 7B, 7C trồng sốcây theo tỉ lệ 5 : 4 : 3 Nhng do số học sinh các lớp đi trồng cây có thay đổi nên sốcây đợc chia cho các lớp tỉ lệ với 4 : 3 : 2 Nh vậy có một lớp trồng số cây ít hơn sovới dự định là 2 cây và có một lớp trồng số cây nhiều hơn so với dự định là 2 cây.Tính số cây mỗi lớp đã trồng đợc ?

Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác đều ABC trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ

là đờng thẳng AB ta dựng đoạn thẳng MB vuông góc với AB và MB = AB Trênnửa mặt phẳng không chứa B có bờ là đờng thẳng AC ta dựng đờng thẳng NCvuông góc với AC và NC = AC Đờng thẳng MN cắt AB tại E và cắt AC tại F.a) Chứng minh: EF // BC

b) Chứng minh rằng nếu thay đổi độ dài cạnh của tam giác ABC thì tỉ số giữa BE

1

1 4

1 1 3

1 1 2

1

A

49 , 0 875 , 0 6

1 1

25

1 25 , 0 3 1

11

49 81

7 4 ,

1

121

2 9

2 16 , 0

a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Biết p + 2 cũng là số nguyên tố

Chứng minh rằng: p + 1 chia hết cho 6

b) Tìm một số có ba chữ số Biết rằng số đó có tận cùng bằng chữ số 7 và nếuchuyển chữ số 7 lên vị trí đầu thì đợc một số mới Số này khi chia cho số phải tìmthì đợc thơng là 2 và d 21

Cho tam giác ABC có Aˆ  75 0 ,Bˆ  35 0 Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D.

Đờng thẳng qua A và vuông góc với AD cắt tia BC tại E Gọi M là trung điểm của

DE Chứng minh rằng:

a) AM = DM

b) Tam giác ACM là tam giác cân

c) Chu vi tam giác ABC bằng độ dài đoạn thẳng BE

Câu 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng:

40

1 2004

1

7

1 6

1 5

1

3 3

3