Bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 tập 2

Bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 tập 2

Các tài liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp Đề số www.PNE.edu.vn Bài 1: (2 điểm) 1) Chứng minh P 2P + số nguyên tố lớn 4P + hợp số 2) HÃy tìm BSCNN ba số tự nhiên liên tiếp Bài 2: (2 điểm) 42 HÃy thay chữ số vào chữ x, y 275 để N chia hết cho 13 Bài 3: (2 điểm) Vòi nớc I chảy vào đầy bể 30 phút Vòi nớc II chảy vào đầy bĨ 11 giê 40 NÕu vßi níc I chảy vào giờ; vòi nớc II chảy vào 25 phút lợng nớc chảy vào bể vòi nhiều Khi lợng nớc bể đợc phần trăm bể Bài 4: (2 điểm) Bạn Huệ nghĩ số có ba chữ số mà viết ngợc lại đợc số có ba chữ số nhỏ số ban đầu Nếu lấy hiệu số lớn số bé hai số đợc 396 Bạn Dung nghĩ số thoả mÃn điều kiện Hỏi có số có tính chất trên, hÃy tìm số Bài 5: (2 điểm) Chứng minh rằng: số có chẵn chữ số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số đứng vị trí chẵn tổng chữ số đứng vị trí lẻ, kể từ trái qua phải chia hết cho 11 (BiÕt 102 n − vµ 102 n −1 + chia hÕt cho 11) §Ị sè Câu 1: (4 điểm) a) Tìm phân số tối giản lớn mà chia phân số 154 385 231 ; ; cho ph©n 195 156 130 sè Êy ta đợc kết số tự nhiên b) Cho a số nguyên có dạng: a = 3b + Hỏi a nhận giá trị giá trị sau ? ? a = 11; a = 2002; a = 11570 ; a = 22789; a = 29563; a = 299537 Tài liệu bồi dỡng HSG Toán Cỏc b ti liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp C©u 2: (6 ®iÓm) 1) Cho A = − + − + + 99 − 100 a) TÝnh A b) A cã chia hÕt cho 2, cho 3, cho không ? www.PNE.edu.vn c) A có íc tù nhiªn Bao nhiªu íc nguyªn ? 2) Cho A = + + 22 + 23 + + 22002 B = 22003 So sánh A B 3) Tìm số nguyên tố P để P + 6; P + 8; P + 12; P +14 số nguyên tố Câu 3: (4 điểm) Có bình, đổ đầy nớc vào bình thứ rót hết lợng nớc vào hai bình lại, ta thấy: Nếu bình thứ hai đầy bình thứ ba đợc 1/3 dung tích Nếu bình thứ ba đầy bình thứ hai đợc 1/2 dung tích Tính dung tích bình, biết tổng dung tích ba bình 180 lít Câu 4: (4 ®iĨm) Cho tam gi¸c ABC cã BC = 5,5 cm §iĨm M thc tia ®èi cđa tia CB cho CM = 3cm a) Tính độ dài BM b) Biết BAM = 800, BAC = 600 TÝnh CAM c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm Câu 5: (2 điểm) Cho a = + + + + n vµ b = 2n + ( Víi n ∈ N, n ≥ ) Chøng minh: a vµ b lµ hai sè nguyên tố Đề số Câu 1: (4 điểm) HÃy xác định câu đúng, câu sai câu sau: a) Nếu p q số nguyên tố lớn p.q số lẻ b) Tổng hai số nguyên tố hợp sè c) NÕu a < th× a2 > a d) Từ đẳng thức =12 ta lập đợc cặp phân số là: = 12 g) Nếu n số nguyên tố n/35 phân số tối giản h) Hai tia CA CB hai tia đối A, B, C thẳng hàng k) Nếu góc xoy nhỏ góc xoz tia ox nằm hai tia oy oz Câu 2: (6 điểm) Cho A = − + 13 − 19 + 25 − 31 + a) BiÕt A = 181 Hái A cã số hạng ? b) Biết A có n số hạng Tính giá trị A theo n ? Tài liệu bồi dỡng HSG Toán Cỏc b ti liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp 1 1 Cho A = + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 www.PNE.edu.vn So s¸nh A víi ? Tìm số nguyên tố p để p, p + p + số nguyên tố Câu 3: (5 điểm) Một lớp học có cha đến 50 học sinh Cuối năm xếp loại học lực gồm loại: Giỏi, Khá, Trung bình, ®ã 1/16 sè häc sinh cđa líp xÕp lo¹i trung bình, 5/6 số học sinh lớp xếp loại giỏi, lại xếp loại Tính số học sinh cđa líp 5n + (n ∈ Z) cho nh÷ng số nguyên ? 8n + Có thể rút gọn Câu 4: (3 điểm) Trên tia Ax lấy hai ®iĨm B, C cho AB = 5cm; BC = cm a) TÝnh AC b) §iĨm C n»m đờng thẳng AB biết góc AOB 55 vµ gãc BOC b»ng 250 TÝnh gãc AOC ? 1 2003 + + + + = 10 n(n + 1) 2004 C©u 5: (2 điểm) Tìm số tự nhiên n biết: Đề số Câu 1: (2 điểm) + 14 27 + 21.36 21.27 + 42.81 + 63.108 3 3 S= + + ++ n ∈N * 1.4 4.7 7.10 n(n + 3) 1) Rót gän A = 2) Cho Chøng minh: S < 3) So s¸nh: 2003.2004 − 2004 2005 − vµ 2003.2004 2004.2005 Câu 2: (2 điểm) 1) Tìm số nguyên tố P cho số nguyên tố P + P +10 số nguyên tố 2) Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ 10 x y cho 3x - 4y = - 21 3)Cho ph©n sè: A= n −5 n+1 (n ∈ Z ; n ≠ − 1) a) Tìm n để A nguyên b) Tìm n để A tối giản Câu 3: (2 điểm) Tài liƯu båi dìng HSG To¸n Các tài liệu ễn thi HSG Toỏn Lp www.PNE.edu.vn Xếp loại văn hoá lớp 6A có loại giỏi cuối học kì I tỉ số học cuối học kì II có thêm học sinh trở thành loại giỏi Nên tỉ số học sinh giỏi Tính số học sinh lớp ? sinh giỏi Câu 4: (3 điểm) Cho góc AOB tia phân giác Ox Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OB Với bờ đờng thẳng OA ta vẽ tia Oy cho : AOy > AOB Chøng tá r»ng : a) Tia OB n»m gi÷a tia Ox, Oy b) xOy = (AOy + BOy ) : C©u 5: (1®iĨm) Cho n ∈ z chøng minh r»ng: 5n -1 chia hết cho Đề số Bài 1: (2 ®iĨm) 15 20 9 a) TÝnh 5.4 19 − 4.3 29 5.2 − 7.2 27 b) T×m x biÕt: −  1 1  1  :  24 − 24  − =  −  :  −  30   x −  15 Bài 2: (2 điểm) So sánh: A = B = 2 2 + + + + 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 + + + + 40.44 44.48 76.80 2003 Bài 3: (2 điểm) Chứng minh sè: 222 222 00 333 333        2001 c / s lµ hợp số 2003 c / s Bài 4: (2 ®iĨm) Ba b¹n Hång, Lan, H chia mét sè kĐo ®ùng gãi Gãi thø nhÊt cã 31 chiÕc, gãi thø hai cã 20 chiÕc, gãi thø ba cã 19 chiÕc, gãi thø t cã 18 chiÕc, gãi thứ năm có 16 chiếc, gói thứ có 15 Hồng Lan đà nhận đợc gói số kẹo Hồng gấp đôi số kẹo Lan Tính số kẹo nhận đợc bạn Tài liệu båi dìng HSG To¸n Các tài liệu Ơn thi HSG Toỏn Lp www.PNE.edu.vn Bài 5: (2 điểm) Cho điểm O đờng thẳng xy, nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ tia Oz cho góc xOz nhỏ 900 a) Vẽ tia Om, On lần lợt tia phân giác gãc xOz vµ gãc zOy TÝnh gãc MON ? b) Tính số đo góc nhọn hình số đo góc mOz 350 Đề số Câu 1: (6 điểm) Tính cách hợp lí giá trị c¸c biĨu thøc sau: A = + + + 12 + + 2007 B = 2.53.12 + 4.6.87 − 3.8.40 2006 2006 2006 2006 + + + + 2007 C= 2006 2005 2004 + + + + 2006 Câu 2: (5 điểm) 1) Tìm giá trị cđa a ®Ĩ sè 123a5 a) Chia hÕt cho 15 b) Chia hÕt cho 45 2) Ba xe « t« bắt đầu khởi hành lúc sáng, từ bến Thời gian xe thø nhÊt lµ 42 phót, cđa xe thø hai lµ 48 phót, cđa xe thø ba lµ 36 Mỗi chuyến trở bến, xe thứ nghỉ råi ®i tiÕp, xe thø hai nghØ 12 råi ®i tiÕp, xe thø ba nghØ tiếp Hỏi xe lại khởi hành từ bến lần thứ hai lúc ? Câu 3: (3 điểm) Cho P số nguyên tố lớn 5p +1 số nguyên tố Chứng minh 7p +1 hợp số Câu 4: (3 điểm) Tia OC phân giác góc AOB, vÏ tia OM cho gãc BMO = 20 BiÕt gãc AOB = 1440 a) TÝnh gãc MOC b) Gọi OB tia đối tia OB, ON phân giác góc AOC Chứng minh OA phân giác góc NOB Câu 5: (2 điểm) Tài liệu båi dìng HSG To¸n Các tài liệu Ơn thi HSG Toỏn Lp www.PNE.edu.vn Thay chữ số thích hợp (các chữ khác thay chữ số khác nhau) abc cba = 6b3 Đề số Câu 1: (2 điểm) Chọn kết câu sau: 1) Số 32450 có số ớc lµ: A 18 ; B 24 ; C 75 ; D 42 2) Biết ƯCLN(a, b) = BCNN(a, b) = 210 tích a.b là: A 1470 ; B 217 ; C 2107 ; D 30 3) Cho abc không chia hết cho Hỏi phải viết số ngày liên tiếp lần để tạo thành số chia hết cho ? A lÇn ; B lÇn ; C lÇn 4) Cho N = 1494 x 1495 x 1496 th× N chia hÕt cho: A 140 ; B 195 ; C 180 Câu 2: (2 điểm) a) Cho đẳng thức: 152 - 53 = 102 Đẳng thức hay sai ? Nếu sai hÃy chuyển vị trí chữ số để đợc đẳng thức ? b) Tìm số tự nhiên, biết số chia cho 26 ta đợc số d hai lần bình phơng số thơng Câu 3: (2 điểm) a) Một ngời nói với bạn: Nếu sống đến 100 tuổi lớn của sè ti cđa t«i 10 thêi gian t«i phải sống Hỏi ngời bao nhiªu ti ? b) Mét sè tù nhiªn chia cho th× d 3, chia cho 17 th× d cßn chia cho 19 d 13 Hái sè chia cho 1292 d ? Câu 4: (2 điểm) Ngời ta viết dÃy số tự nhiên liªn tiÕp: 4; 11; 18; 25….Hái: a) Sè 2007 cã thuộc dÃy số không ? Vì ? b) số thứ 659 số ? Câu 5: (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối cđa tia AB Gäi M, N thø tù lµ trung ®iĨm cđa OA, OB a) Chøng tá OA < OB b) Trong điểm M, O, N điểm nằm hai điểm lại c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O Câu 1: (6 điểm) Tính nhanh a) x x x x x x 25 x 125 Tµi liƯu båi dìng HSG Toán Đề số Cỏc b ti liu Ôn thi HSG Toán Lớp www.PNE.edu.vn 2004 2004 + 3006 b) 2005 2005 − 1003 c) 19001570 (20052005 2004 20042004 2005) Câu 2: (3 điểm) Tìm giá trị cña x d·y tÝnh sau: ( x + 2) + ( x + 7) + ( x + 12) + + ( x + 42) + ( x + 47) = 655 Câu 3: (3 điểm) Hai bạn Trang Giang mua 18 gói bánh 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan Giang đa cho cô bán hàng tờ 100000 đồng đợc trả lại 72000 đồng Trang nói Cô tính sai Bạn hÃy cho biết Trang nói hay sai ? Giải thích ? Câu 4: ( điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N cho AM = MN = NB vµ P điểm chia cạnh CD thành hai phần ND cắt MP O, nối PN Biết diện tích tam giác DOP lớn diện tích tam giác MON 3,5 cm2 HÃy tính diện tích hình chữ nhật ABCD Câu 5: (3 điểm) Tìm tất chữ số a b để số a459b chia cho 2; d Đề số Câu 1: (2 điểm) a) Tính A = 1 1 1 + + + + + 10 40 88 154 238 340 b) So s¸nh: 200410 + 2004 200510 Câu 2: (2 điểm) a) Tìm số nguyên x cho 4x-3 chia hết cho x-2 b) Tìm số tự nhiên a b để thoả mÃn Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 5a + 7b 29 vµ (a, b) = = 6a + 5b 28 Các tài liệu Ôn thi HSG Toỏn Lp www.PNE.edu.vn Câu 3: (2 điểm) Số häc sinh cđa mét trêng häc xÕp hµng, nÕu xÕp hàng 20 ngời 25 ngời 30 ngời thừa 15 ngời Nếu xếp hàng 41 ngời vừa đủ Tính số học sinh trờng biÕt r»ng sè häc sinh cđa trêng ®ã cha ®Õn 1000 Câu 4: (3 điểm) Cho hai góc xOy xOz, Om tia phân giác góc yOz Tính góc xOm trờng hợp sau: a) Góc xOy b»ng 1000; gãc xOz b»ng 600 b) Gãc xOy b»ng α ; gãc xOz b»ng β (α > β ) Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng: A = 10 n + 18n − chia hÕt cho 27 (n số tự nhiên) Đề số 10 Câu 1: (2 ®iĨm) a) TÝnh tỉng: S = 1 + + + 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 1  57 b) Chøng minh: A =  + + + +  > 26 24 60 9240 462 Câu 2: (2 điểm) Cho A = n + 3n + 2n a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n b) Tìm giá trị nguyên dơng n với n < 10 để A chia hết cho 15 Câu 3: (2 điểm) a) Có hay không số K nguyên dơng cho chia cho 1993 có chữ số tận 0001 b) Vòi nớc thứ chảy đầy bể 30 phút vòi thứ hai chảy đầy bể 45 phút Lúc đầu ngời ta mở vòi thứ cho chảy Tài liệu bồi dỡng HSG To¸n Các tài liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp www.PNE.edu.vn mét thêi gian b»ng thêi gian cần thiết để hai vòi chảy đầy bể, sau mở vòi thứ hai Hỏi phút sau mở vòi thứ bể đầy nớc Câu 4: (3 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB M trung điểm M1B a) Chứng tỏ M1 nằm hai điểm A, M2 Tính độ dài đoạn thẳng AM2 b) Gọi M1, M2 , M3 , M4 , lần lợt trung điểm đoạn AB, M1B, M2B, M3B, Tính độ dài đoạn thẳng AM8 Câu 5: (1 điểm) Tìm ba số tự nhiên a, b, c khác thoả mÃn: 1 + + = a b c Đề số 11 Câu 1: (2 ®iĨm) a) TÝnh tỉng: S = 9.11 + 99.101 + 999.1001 + 9999.10001 + 99999.100001 b) Cã bao nhiªu số tự nhiên có bốn chữ số có hai chữ số Câu 2: (2 điểm) a) T×m x, y, z cho: x 20041  13 yz 120    2004 c / số b) Tìm hai số nguyên tố a b cho: 3a − 13 = b(a − 3) Câu 3: (2 điểm) a) Cho 25 số tự nhiên đợc lập nên từ bốn chữ số: 6, 7, 8, Chứng minh rằng: số ta tìm ®ỵc hai sè b»ng b) Trong ®ỵt thi häc sinh giỏi cấp tỉnh có không 130 em tham gia Sau chấm thấy số em đạt điểm giỏi chiếm chiếm 1 , đạt điểm chiếm , đạt điểm yếu tổng số thí sinh dự thi, lại đạt điểm trung bình Tính số học sinh 14 loại Tài liệu bồi dìng HSG To¸n Các tài liệu Ơn thi HSG Toỏn Lp www.PNE.edu.vn Câu 4: (3 điểm) Cho gãc xOy b»ng 1000 , gãc yOz b»ng 1300 a) Vẽ tia phân giác Ot góc xOy, Oz góc yOz b) Tính góc tOv Câu 5: (1 điểm) Chøng minh r»ng: A = 10 n + 18n − chia hết cho 81 (n số tự nhiên) Đề số 12 Câu 1: (2 điểm) 10 3 − 6 −  : a) TÝnh  7  + + 0,375 : 0,5625 1 2003 + + =1 10 x ( x + 1) 2005 b) T×m x biÕt + + + Câu 2: (3 điểm) Cho A = + 32 + 33 + + 32004 a) TÝnh tæng A b) Chøng minh r»ng A 130 c) A có phải số phơng không ? Vì ? 2) Tìm n Z để n + 13n − 13 n + C©u 3: (2 điểm ) QuÃng đờng AB gồm đoạn lên dốc, đoạn xuống dốc Một ô tô từ A đến B hết 2,5 từ B đến A hết Khi lên dốc (cả lúc lúc về) vận tốc ô tô 20 km/h Khi xuống dốc (cả lúc lẫn về), vận tốc ô tô 30 km/h Tính quÃng ®êng AB C©u 4: (2 ®iĨm) Cho hai tia Oz Ot hai tia nằm hai cạnh gãc xOy cho xOz = yOt = 400 a) So sánh góc xOt yOz b) Cho góc zOt = 200 Tính góc xOy Câu 5: (2 điểm) Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 10 Cỏc b ti liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp www.PNE.edu.vn Cho 14 số tự nhiên có chữ số Chứng minh 14 số tồn số mà viết liên tiếp tạo thành số có chữ số chia hết cho 13 Đề số 13 Bài 1: (2 ®iĨm) a) Cho A = + 32 + 33 + + 3100 Tìm số tự nhiên n biÕt r»ng 2A + = 3n b) Cho số 123456789 HÃy đặt số dấu + - vào chữ số để kết phép tính 100 Bài 2: (2,5 điểm) a) Tìm tất số nguyên tố p cho p2 + 14 số nguyên tố b) Cho n N vµ n > Chøng minh r»ng nÕu n = 10a + b (0< b 50 Đề số 16 Bài 1: (2 ®iĨm) a) TÝnh: M = + + 1 + + + 10 15 2004.2005 b) Có tồn a, b hay không để 55a + 30 b = 3658 Bài 2: (2 điểm) a) Chøng minh r»ng: NÕu P vµ 2P +1 lµ số nguyên tố lớn 4P + số hợp số b) Tìm số tự nhiên chia hết cho chia hết cho 27 mà có 10 ớc Bài 3: (2 điểm) Tài liƯu båi dìng HSG To¸n 13 Các tài liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp www.PNE.edu.vn Ba vßi níc chảy vào bể Nếu vòi I vòi II chảy vòi II vòi III chảy sau 10 đầy bể; đầy bể, vòi I vòi III chảy sau đầy bể Hỏi vòi chảy sau đầy bể Bài 4: (3 điểm) Cho góc xoy có sè ®o b»ng 1200 VÏ tia oz cho yoz = 300 a) TÝnh sè ®o gãc xoz b) Một đờng thẳng a cắt ox, oy, oz lần lợt điểm A, B, C Biết AB = 8cm; BC = cm TÝnh AC ? Bµi 5: (1 điểm) So sánh: A = + + 1 + + + 100 B = 2 2 Đề số 17 Bài 1: (2 điểm) 5 5 + − + 1003.2005 − 1002 11 17 2004 a) TÝnh nhanh: A = 13 13 13 1003 + 2005.1002 13 − + − + 13 2004 17 11 b) So sánh: 2002 303 303202 ; 3111 1714 Bài 2: (2 điểm) a) Cho A = − + − 33 + − 2003 + 32004 Chøng minh r»ng: 4A -1 luỹ thừa b) Tìm x, y nguyªn tè biÕt: 59 x + 46 y = 2004 Bài 3: (2 điểm) Trong hội nghị học sinh giỏi, số học sinh nữ chiếm 2/5, 3/8 số nữ học sinh lớp Trong số học sinh nam dự hội nghị 2/9 số học sinh líp BiÕt sè häc sinh dù héi nghÞ khoảng từ 100 đến 150 Tính số học sinh nam, số học sinh nữ lớp Tài liệu bồi dỡng HSG To¸n 14 Các tài liệu Ơn thi HSG Toỏn Lp www.PNE.edu.vn Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm AB, N điểm nằm M B a) Biết ABC = 850 , ACM = 500 , BCN = 200 TÝnh BCM vµ MCN b) BiÕt AN = a, BN = b Tính MN Bài 5: (1 điểm) Tính S = 12 + 2 + 32 + + 99 + 100 Đề số 18 Câu 1: (2 ®iĨm) TÝnh: a) 2.4 + 2.4.8 + 4.8.16 + 8.16.32 3.4 + 2.6.8 + 4.12.16 + 8.24.32 b) 4 + + + 5.7 7.9 59.61 C©u 2: (2 điểm) a) Viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số để đợc số chia hết cho 5, 7, b) Mét sè chia cho d 3; chia cho 17 d 9; chia cho 19 d 13 Hái sè ®ã chia cho 1292 d ? Câu 3: (2 điểm) Đờng từ A đến b gồm đoạn lên dốc đoạn xuống dốc Một ngời xe đạp lên dốc với vận tèc 10 km/h vµ xng dèc víi vËn tèc 15 km/h BiÕt r»ng ngêi Êy ®i tõ A ®Õn B lại từ B A hết tất Tính quÃng đờng AB Câu 4: (3 điểm) Cho hai gãc kÒ xoy, xoz cho xoy = 1000 , xoz = 1200 a) Tia ox cã nằm hai tia oy ; oz không ? b) TÝnh yoz c) TÝnh xoy + yoz + zox C©u 5: (1 điểm) Số 5100 viết hệ thập phân tạo thành số Hỏi số có chữ số Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 15 Cỏc tài liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp www.PNE.edu.vn Đề số 19 Câu 1: (2 điểm)  −  : 0,05  a) TÝnh M =     − 5,65 .6 +  20  b) Chøng minh r»ng A lµ mét l thõa cđa víi A = + + + + + 2003 + 2004 Câu 2: (2 điểm) a) Tìm số nguyên tố P cho P + , P + 12, P + 34, P + 38 số nguyên tố b) Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhá nhÊt cho: a = b ; b 12 ; = c 21 c = d 11 Câu 3: (2 điểm) Tuổi anh gÊp ba lÇn ti em, lóc ti anh b»ng ti hiƯn cđa ngêi em §Õn ti em b»ng ti hiƯn cđa ngêi anh th× tỉng sè ti cđa hai anh em lµ 35 TÝnh ti anh, ti em Câu 4: (3 điểm) Cho hai tia Ox, Oy đối Trên nửa mặt phẳng cã bê chøa tia Ox, vÏ c¸c tia Oz, Ot cho xOz = 300 ; yOt = 750 a) Tính zOt b) Chứng tỏ tia Ot tia phân gi¸c cđa zOy c) TÝnh zOt nÕu xOz = α , yOt = β (α + β ≠ 180 ) Câu 5: (1 điểm) Chứng minh rằng: 1 1 + + + + < 2 2 4010 Tµi liƯu båi dìng HSG To¸n 16 Các tài liệu Ơn thi HSG Toỏn Lp www.PNE.edu.vn Đề số 20 Bài 1: (2 ®iĨm) 2 2 5 + 3  −   3 6 a) TÝnh: A =  35 35 105 35  : + + +  60  31.37 37.43 43.61 61.67  b) Tìm chữ số x để (12 + x3) 3 Bài 2: (2 điểm) Tæng + + + + 1 a a với + 17 18 b b phân số tối giản Chứng minh rằng: b 2431 Bài 3: (2 điểm) Hai địa điểm A B cách 72 km Một ô tô từ A B xe đạp từ B A gỈp sau giê 12 (hai xe cïng khởi hành) Sau ô tô tiếp tục B råi l¹i quay vỊ A víi vËn tèc cũ, ô tô gặp xe đạp sau 48 phút kể từ lúc gặp lần trớc Tính vận tốc ô tô xe đạp Bài 4: (3 điểm) Cho điểm O đờng thẳng xy, nửa mặt phẳng cã bê lµ xy, vÏ tia Oz cho gãc xOz < 900 a) Vẽ tia Om, On lần lợt tia phân giác góc xOz zOy Tính góc On b) Tính số đo góc nhọn hình số đo góc mOZ = 350 c) Vẽ (O; cm) cắt tia Ox, Om, Oz, On, Oy lần lợt điểm A, B, C, D, E với điểm O, A, B, C, D, E kẻ đợc đờng thẳng phân biệt qua cặp điểm ? Kể tên đờng thẳng Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c số nguyên dơng tuỳ ý Tổng sau số nguyên dơng không ? a b c + + a+b b+c c+a Đề số 21 Câu 1: (2 điểm) Tính Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 17 Các tài liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp www.PNE.edu.vn 101 + 100 + 99 + 98 + + + + a) A = 101 − 100 + 99 − 98 + + − + b) B = 423134.846267 − 423133 423133.846267 + 423134 Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh r»ng: 10 28 + chia hÕt cho 72 b) Cho A = + 2 + + + + 2001 + 2002 B = 2003 So sánh A B c) Tìm số nguyên tố p để p + 6, p + 8, p + 12 , p + 14 số nguyên tố Câu 3: (2 ®iĨm) Ngêi ta chia sè häc sinh líp 6A thành tổ, tổ em thừa em, tổ 10 em thiếu em Hái cã bao nhiªu tỉ, bao nhiªu häc sinh ? Câu 4: (3 điểm) Cho ABC có BC = 5,5 cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = 3cm a) Tính độ dài BM b) BiÕt BAM = 800 ; BAC = 600 Tính CAM c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm Câu 5: (1 điểm) Chứng minh r»ng: 1 1 + + + + n) c) VÏ p tia chung gèc Trong hình vẽ có góc Bài 5: (1 điểm) Chứng minh tổng sau không số phơng: A = abc + bca + cab §Ị sè 24 Bài 1: ( điểm) Tính nhanh: a)  3 1  2 − − −  + − + + −    57 36 15   b) − + 33 − + + 2003 2004 Bài 2: (2 điểm) a) Chøng minh r»ng: NÕu 3a + 4b + 5c chia hết cho 11 với giá trị tự nhiên ®ã cđa a, b, c th× biĨu thøc 9a + b + 4c với giá trị a, b, c cịng chia hÕt cho 11 b) Tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, lËp tÊt chữ số khác Tìm ƯCLN tất số lập đợc Bài 3: (2 điểm) 1) Ngời ta lấy tờ giấy xé thành mảnh sau lại lấy số mảnh xé mảnh thành mảnh nhỏ Hỏi sau số lần xé liên tục nh ta có đợc 2004 mảnh, 2005 mảnh hay không ? Tài liệu båi dìng HSG To¸n 20 Các tài liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp www.PNE.edu.vn 2) T×m sè cã hai chữ số khác dạng ab cho ba số nguyên tố hiệu ab ba số phơng Bài 4: (3 điểm) Cho đờng thẳng xx điểm O thuộc đờng thẳng Hai ®iĨm A, B n»m cïng mét nưa cđa mặt phẳng bờ xx điểm C nằm nửa mặt phẳng đối vủa nửa mặt phẳng bờ xx cã chøa ®iĨm A BiÕt xOB = 1150; AOB = 750 ; x’OC = 400 a) Chøng minh r»ng OA n»m gi÷a hai tia OB, Ox b) TÝnh xOA, x’OB c) Chứng tỏ ba điểm A, O, C thẳng hàng Bài 5: (1 điểm) Tính giá trị biểu thức: A= 1.2004 + 2.2003 + 3.2002 + + 2004.1 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2004.2005 §Ị số 25 Bài 1: (2 điểm) Cho A = 1.2.3 29.30 B = 31.32.33 59.60 a) Chøng minh: B chia hÕt cho 30 b) Chøng minh: B - A chia hết cho 61 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm x nguyên để 4x + nguyên 6x + b) So s¸nh A víi 1, biÕt: A = + 1 + + + 100 2 2 Bài 3: (2 điểm) Để trở hết số hàng dùng ô tô lớn chở 12 chuyến ô tô nhỏ chở 15 chuyến Ô tô lớn chở số chuyến chuyển sang làm việc khác, ô tô nhỏ chở tiÕp cho xong Nh vËy xe chë tæng céng 14 chuyến Hỏi ô tô chở chuyến? Bài 4: (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho tổng hai số số có đặc điểm sau: - Có chữ số - Là bội số Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 21 Các tài liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp www.PNE.edu.vn - Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng đơn vị chia hết cho - Tổng chữ số hàng trăm chữ hàng chục chia hết cho Bài 5: (2 điểm) Cho góc AOB Goi Ot tia phân giác góc AOB, Om tia phân giác góc AOt Tìm giá trị lớn góc AOm Đề số 26 Bài 1: (5 ®iĨm) a) BiÕt r»ng sè x7 x8 x9 chia hÕt cho 7, cho 11, cho 13 T×m sè ®ã ? b) B¹n An nghÜ hai sè tù nhiên liên tiếp có số chia hết cho Tổng hai số số có đặc điểm sau: Có ba chữ số Là bội số Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng đơn vị bội số Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng chục chia hết cho HÃy cho biết bạn An đà nghĩ số ? Bài 2: (5 ®iĨm) a) Khi chia sè A cho ta đợc số d 6, chia cho 13 đợc số d 3, hỏi chia A cho 91 số d ? b) So sánh 231 321 Bài 3: (5 điểm) a) Chứng minh p 2p + số nguyên tố lớn 4p + hợp số b) Cho p p2 + số nguyên tố Chứng minh p + số nguyên tố Bài 4: (5 điểm) Hai thành phố A B cách 100km Một ngời xe đạp từ A đến B ngời khác xe đạp từ B ®Õn A Hä khëi hµnh cïng mét lóc vµ sau gặp Nếu sau đợc 30 phút ngời xe đạp từ B dừng lại 40 phút tiếp tục phải sau 22 phút kể lúc khởi hành họ gặp Tìm vận tốc ngời Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 22 Cỏc b ti liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp www.PNE.edu.vn §Ị sè 27 Bài 1: (2 điểm) Tính giá trị biểu thøc: A=4 B= 1 + (−0,37) + + (−1,28) + (−2,5) + 12 + 120 312 − 611 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm số nguyên dơng a b cho: a + = (b + 1) b) Cho số nguyên dơng a, b, x, y thoả mÃn đẳng thức: a + b = x + y; ab + a = xy Chøng tá r»ng x = y Bµi 3: (2 ®iĨm) Chøng minh r»ng: A = 1 1 + + + + < 2 4 2005 Bµi 4: (3 điểm) Cho tam giác AOB gọi Ox tia phân giác góc AOB, tia Oy phân giác gãc xOB a) BiÕt yOb = a0 TÝnh AOB theo a0 b) Gäi giao ®iĨm cđa Ox với Oy với AB lần lợt C D BiÕt CD = AC ; BD = AC ; AC = 13 cm TÝnh AD; CD c) Lấy M, N lần lợt trung điểm AO, BO với điểm O, M, N, A, B, C, D kẻ đợc đờng thẳng phân biệt qua cặp điểm ? kể tên đờng thẳng ®ã Bµi 5: (1 ®iĨm) 1 1 + + + + 2005 TÝnh P = 2004 2003 2002 + + + + 2004 Đề số 28 Bài 1: (2 ®iÓm) TÝnh: A = − − + + 10 − 12 − 14 + 16 + + 2000 + 2002 − 2004 Tµi liƯu båi dìng HSG To¸n 23 Các tài liệu Ơn thi HSG Toán Lớp B=2 2005 −2 2004 −2 2003 www.PNE.edu.vn − − − Bµi 2: (2 ®iĨm) 1) Mét sè tù nhiªn cho 15 d 5, chia cho 18 d 17 Hái sè ®ã chia cho 90 d bao nhiªu ? 2) Trong tËp hợp số tự nhiên tìm đợc số có dạng: 200420042004000 chia hết cho 2005 hay không ? Bài 3: (2 điểm) Chứng minh tìm đợc 2005 số tự nhiên liên tiếp hợp số 2) Tổng số tự nhiên khác 2005 Gọi d ƯCLN số Tìm giá trị lớn d Bài 4: (2 điểm) Bạn An nói trồng thành 10 hàng hàng có HÃy cho biết bạn An đà làm nh ? Bài 5: (2 điểm) Tìm số a, b, c nguyên dơng thoả mÃn : a + 3a + = 5b a + = 5c Đề số 29 Bài 1: (2 điểm) a) Tìm số tự nhiên a biết 398 chia cho a d 38, 450 chia cho a d 18 b) Tìm số tự nhiên a nhỏ khác cho nh©n nã víi 10 , víi ta đ12 21 ợc thơng số tự nhiên Câu 2: (2 điểm) a) Cho n số tự nhiªn Chøng minh r»ng: n + + n +3 + n + n +1 chia hÕt cho 10 b) T×m x biÕt: ( x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3) + + ( x + 100) = 570 Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 24 Cỏc b ti liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp www.PNE.edu.vn C©u 3: (2 điểm) Hai bạn Hồng Hà mua 18 gói bánh 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan Hồng đa cho cô bán hàng tờ 100000 đồng đợc trả lại 72000 đồng Hà nói: Cô tính sai Em hÃy cho biết Hà nói hay sai ? Giải thích ? Bài 4: (3 điểm) Trong hình vẽ bên: a) Có tam giác nhận EF làm cạnh ? b) Có góc có đỉnh E ? c) Nếu biết sè ®o cđa gãc BDC b»ng 600, gãc EDF b»ng 500 tia DE có phải tia phân giác góc BDF không sao? Bài 5: (1 điểm) 42 275 B= 1 1 + + + + 24 60 990 Đề số 30 Bài 1: (3 ®iĨm) a) TÝnh A = 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 b) Cho B = + + 33 + + + 2003 + 2004 C = 2005 So sánh B C c) Tìm chữ số tận số A = 3n + − 2n + + 3n 2n (với n N) Bài 2: (2 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho d 1, chia cho th× d 2, chia cho th× d 3, chia cho th× d chia hết cho 13 Bài 3: (2 điểm) Vào lóc 12 giê hai kim vµ kim giê trïng Hái sau Ýt nhÊt thêi gian bao l©u kim phút kim lại trùng ? Bài 4: (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia ®èi cđa tia AB Gäi M, N thø tù lµ trung ®iĨm cđa OA, OB a) Chøng tá OA < OB Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 25 Cỏc b tài liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp www.PNE.edu.vn b) Trong điểm M, O, N điểm nằm hai điểm lại c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O Bài 5: (1điểm)    Chøng tá r»ng sè 11 .122 tích hai số tự nhiên liên tiếp n Tài liƯu båi dìng HSG To¸n n 26 ... (1 ®iÓm) TÝnh S = 12 + 2 + 32 + + 99 + 100 §Ị sè 18 Câu 1: (2 điểm) Tính: a) 2. 4 + 2. 4 .8 + 4 .8. 16 + 8. 16. 32 3.4 + 2. 6 .8 + 4. 12. 16 + 8. 24 . 32 b) 4 + + + 5.7 7.9 59.61 Câu 2: (2 điểm) a) Viết thêm... + 20 05 TÝnh P = 20 04 20 03 20 02 + + + + 20 04 §Ị sè 28 Bài 1: (2 điểm) Tính: A = − + + 10 − 12 − 14 + 16 + + 20 00 + 20 02 − 20 04 Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 23 Cỏc b ti liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp. .. 350 Đề số Câu 1: (6 điểm) Tính cách hợp lí giá trị biểu thức sau: A = + + + 12 + + 20 07 B = 2. 53. 12 + 4.6 .87 − 3 .8. 40 20 06 20 06 20 06 20 06 + + + + 20 07 C= 20 06 20 05 20 04 + + + + 20 06 Câu 2: