Bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 tập 3

Bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 tập 3

: 3

3 3

x A

y y

2 1 9

6 3

10

3

1

2 2

1 3

6 1 3 2

ộ đề thi Học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 www.PNE.edu.vn

5

4 12 7

1 6

Câu II: (2 điểm)

1) Xác định a, b để da thức f(x) x3 2x2axb chia hết cho đa thức

1 )

1

Câu III: (2 điểm)

1) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0 Tính giá trị của biểu thức:

2 2

2 2

2 2

c a

c c

( ) )(

( ) )(

(

2 2

ab c c

b a b

ac b c

a b

a

bc a

Câu IV: (3điểm)

1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B Trên cùng nửa mặtphẳng bờ AB kẻ các hình vuông ACDM và MNPB Gọi K là giao điểm của

' '

'

CC

HC BB

HB AA

b ab a

b ab a Q

Rút gọn biểu thức:

ab c ca b bc a

N

2

1 2

1 2

1

2 2

Bài 4: (3điểm)

Cho hình vuông ABCD M là một điểm trên đờng chéo BD Kẻ ME và

MF vuông góc với AB và AD

a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF và CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất

Bài 5: (1điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

345 5

3 2 2



 y x

2 1

c b

bc

b a





Bài 4 : (3điểm)

ộ đề thi Học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 www.PNE.edu.vn Cho tam giác ABC cân tại A Trên BC lấy M bất kì sao cho BM  CM

Từ N vẽ đờng thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt

AC tại F Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F

a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm

b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân

c) Tính : ANB + ACB = ?

d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của

 ABC để cho AEMF là hình vuông

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

2 2

x x

x x

x

M

1) Rút gọn M

2) Tìm giá trị x để M > 0

Bài 2: (2điểm) Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể và một vòi nớc chảy ra ở

lng chừng bể Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc.Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vòichảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra

1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòichảy ra

2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến

đáy bể là bao nhiêu

Bài 3: (1điểm) Tìm x, y nguyên sao cho: 2 2 2 4 0

Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a E là

điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác D) Đờng thẳng AE cắt BC tại F, đờngthẳng vuông góc với AE tại A cát CD tại K

1) Chứng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK

2) Gọi I là trung điểm KF, J là trung điểm của AF Chứng minh rằng:

JA = JB = JF = JI

3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a vàx

Tính

xy

z zx

y yz

x N

2 2 2

x

2)

3 ) 2 ( 18 )

1

(

3

30 ) 1 ( 11 )

1

(

2 4

2 4

a a

Câu II: (4 điểm)

1) Cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng nếu a chia cho 13 d 2 và bchia cho 13 d 3 thì a 2 b2 chia hết cho 13

2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn abc = 1

Tính giá trị của biểu thức:

ac c

c bc

b

b ac

1

3) Giải phơng trình:

6

7 3 2

2 2 2

2

1 2

2

2 2

x x x x

x x

Câu III: (4 điểm)

Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ ChíMinh (26/3) Hai tổ công nhân lắp máy đợc giao làm một khối lợng côngviệc Nếu hai tổ làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ Nếu tổ I làm trong 5giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc Nếu công việc trên đợcgiao giêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành

Câu IV: (3 điểm)

Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của B,

D lên AC; H, K lần lợt là hình chiếu của C trên AB và AD

1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ?

2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA

2 Chứng minh rằng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44.

Câu III: (2điểm)

1 Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c thoả mãn: (abc) 2  3 (abbcca).Hỏi tam giác đã cho là tam giác gì ?

2 Cho đa thức f(x) = x100 x99  x2 x1 Tìm d của phép chia đa thức f(x) cho đa thức 2 1



Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH Gọi E, F lần

lợt là hình chiếu của H lên AB và AC Gọi M là giao điểm của BF và CE

1 Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ?

2 Chứng minh AB CF = AC AE

3 So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC

2004 2

2005 2003

4 2004

3 2005

b c b

a b a

c b

a c a

c b c

b a

A

Câu 3: (2 điểm)

Một ô tô phải đi quãng đờng AB dài 60 km trong thời gian nhất định.Nửa quãng đờng đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h Nửaquãng đờng sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h Tính thờigian ô tô đi trên quãng đờng AB biết ngời đó đến B đúng giờ

Câu 4: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳngvuông góc vơi AE cắt đờng thẳng CD tại F Gọi I là trung điểm của EF AIcắt CD tại M Qua E dựng đờng thẳng song song với CD cắt AI tại N

a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi

b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC

6 6 6

1 1

2 1 1

x

x x x

x

x x

b) Chứng minh:

MN CD AB

2 1 1





c) Gọi K là trung điểm của DC, vẽ đờng thẳng qua M song song với AK cắt

DC, AC lần lợt tại H và E Chứng minh HM + HE = 2AK

d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2) Tính S(ABCD) theo a và b

b a

b a

P

2007 2006

2006 2005

3) Chứng minh rằng: a8 b8 c8 d8 4a2b2c2d2

Câu 4: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C).Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI của tamgiác AEF cắt CD ở K Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G

1 4 4

1 2

4

1 19

4

1 3 4

1 1

4 4

4

4 4

2006 2006

yz

y x

1

1

1 1

1 1

3

3

2 2

x x

x x

x x

C©u 5: (1 ®iÓm)

a) Chøng minh r»ng víi n  N vµ n > 3 th×:

ộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp 8 www.PNE.edu.vn

2

1

5

1 4

1 3

1 2

1

1  3  3  3  3  3 



n C

b) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

) 4 )(

3 )(

2 )(

1 ( ) 4 )(

3 )(

2 )(

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

2 2

x x

x x

5 2

4 98

2 95

5 97

3 99

AE

1 1

2

1 4

16 2  

 (víi x > 0)

§Ò sè 13

C©u 1: (6 ®iÓm)

2 2

x

x x

AC, từ H kẻ đờng thẳng song song với AB cắt BC tại I

a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác HIN

b) Tính các góc của tam giác MNI

c) Giả sử góc BAC = 900 , AB = a, AC = b Tính diện tích tam giác MINtheo a, b

Đề số 14

Câu 1: (2 điểm)

a) Phân tích thành thừa số: 3 3 3 3

) (abc  a  b  c

b) Rút gọn:

9 33 19

3

45 12 7

2

2 3

2 3

x

x x

ộ đề thi Học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 www.PNE.edu.vna) Cho ba máy bơm A, B, C hút nớc trên giếng Nếu làm một mình thì máybơm A hút hết nớc trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnớc trong 15 giờ và máybơm C hút hết nớc trong 20 giờ Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùnglàm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B Tính xem trong bao lâu thì giếng

điểm M, N

a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN

b) So sánh hai tam giác ABC và INC

09

00 1

99 224

9 số 2 -

4 4

2 3

2 3

a a a

3 )(

2 )(

1 30

11

1 20

9

1

2 2

c b c a

b a

c b

a A

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng

600 quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E Chứng minh:

a)

4

2

BC CE

b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED

Câu 5: (1 điểm)

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng

và số đo diện tích bằng số đo chu vi

xy x H

3 )

x y y

x

y x

x ; x  y.Chứng minh rằng: 11 xy38

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC > BC) Trên cạnh BC lấy M saocho MB < MC Từ M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB ở E, kẻ đờngthẳng song song với AB cắt AC ở F Gọi N là điểm đối xứng của M qua đờngthẳng EF

a) Cho AB =1002,5 cm Tính chu vi tứ giác AEMF

b) Chứng minh tứ giác ANEF là hình thang cân

4 b c a

Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức:

) 1 )(

1 ( ) 1 )(

( ) 1 )(

(

2 2 2

2

y x

y x x

y x

y y

y x

x M

b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7

Bài 3: (2điểm) Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể và một vòi nớc chảy ra ở

lng chừng bể Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc.Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vòichảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra

1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòichảy ra

2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến

đáy bể là bao nhiêu

Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E là một điểm trên cạnh BC

(E khác B và C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F Trungtuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K Đờng thẳng kẻ qua E, song song với

AB cắt AI ở G

a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi

b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF2 = FK FC

c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi

Bài 5: (1 điểm) Cho a là một số gồm 2n chữ số 1, b là một số gồm n + 1 chữ

số 1, c là một số gồm n chữ số 6 (n là số tự nhiên, n  1)

x x A

10n  n chia hÕt cho 27 víi n lµ sè tù nhiªn

b) TÝnh:

2005 2003

1

7 5

1 5 3

1 3 1

b a A

a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3

b) Tìm n với n < 10 để A chia hết cho 15

Câu 4: (3 điểm)

Cho ABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC Gọi E, F lần l ợt là

điểm đối xứng của H qua AB, AC

a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng

b) Chứng minh BEFC là hình thang

c) Tìm vị trí của H trên BC để BEFC là hình thang vuông, hình bình hành

14 3

2 3

2 3

b a b

ab a

y x A

x x B

Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì biểu thức

6 5 2 1978 3

1985 )

Bài 3: (2 điểm) Một ngời đi xe đạp, một ngời đi xe máy, một ngời đi ô tô

cùng đi từ A về B khởi hành lần lợt lúc 6 giờ, 7 giờ, 8 giờ với vận tốc thứ tự

ộ đề thi Học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 www.PNE.edu.vn

là 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều ngời đi xe đạp

và xe máy

Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có O là giao điểm của

ba đờng trung trực, vẽ ra phía ngoài tam giác hai hình vuông ABDE, ACGH Biết OE = OH Tính số đo góc BAC ?

Bài 5: (1 điểm) Giải phơng trình: ( 2 6 11 )( 2 2 4 ) 2 4 2

a a

a a

a a

2 2 1

4 4

) 2 ( 3 2

b) Tính giá trị của biểu thức:

1886 5

5

5 5

2 1

1 1

1

2 2

Câu 3: (2 điểm)

Một ô tô vận tải đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h Sau đó một thời gianmột ô tô con cũng đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và nếu không có gì thay

đổi thì đuổi kịp ô tô tải tại B Nhng ngay sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB,

xe tải giảm bớt 5 km/h nên hai xe gặp nhau tại C cách B 30 km Tính quãng

đờng AB

ộ đề thi Học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 www.PNE.edu.vn

Câu 4 : (3 điểm) Một đờng thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD

1 1 1

5 24

7 12

120

2 3 4

1

2 22

24 26

4 16

20 24

x x

x x

x x B

Câu 2: (2 điểm)

Bạn A hỏi bạn B: “ năm nay bố mẹ của anh bao nhiêu tuổi ?” B trả lời: “

bố tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi Trớc đây khi tổng số tuổi của bố mẹ tôi là 104 tuổithì tuổi của ba anh em chúng tôi là 14; 10 và 6 Hiện nay tổng số tuổi của bố

mẹ tôi gấp 2 lần tổng số tuổi của ba anh em tôi” Tính xem tuổi của bố mẹbạn B là bao nhiêu ?

Câu 3: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu: xyzt (x, y, z, t  Z ) thì số :

2 2 2

x

A    là tổng các bình phơng của ba số nguyên

b) Tìm số tự nhiên N từ ba điều kiện sau: Trong đó có 2 điều kiện đúng, 1

điều kiện sai:

1 N + 45 là bình phơng của một số tự nhiên

2 N có chữ số tận cùng là 7

3 N - 44 là bình phơng của một số tự nhiên

Câu 4: (3 điểm)

ộ đề thi Học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 www.PNE.edu.vn Hai đờng chéo AC và BD của hình thoi ABCD cắt nhau tại O Đờngtrung trực của AB cắt BD và AC tại O1 và O2

Đặt O2A = a ; O1B = b Tính diện tích ABCD theo a, b

Câu 5: (1 điểm) Tìm x, y, z  Z thoả mãn:

105 ) 2

)(

1 5 2

1 3 3

k k

k k

3 )(

2 )(

(x y x y x y x y y

P      là một số chính phơng

c) Tìm số d trong phép chia:

2007 )

7 )(

5 )(

Câu 3: ( 2 điểm)

Phơng và Hng có 110.000 đồng Hai ngời cùng rủ nhau đi chợ Phơng tiêumất 1/5 số tiền của mình Hng tiêu mất 1/6 số tiền của mình Số tiền còn lạicủa Hng nhiều hơn số tiền còn lại của Phơng là 10.000 đồng Hỏi mỗi ngời

có bao nhiêu tiền

Câu 4: (3 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt là

hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lợt là hình chiếu của C trên AB và AD.1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ?

2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA

3) Chứng minh AC2 AB.AH AD.AK





Đề số 24

ộ đề thi Học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 www.PNE.edu.vn

Câu 1: (2 điểm) Giải phơng trình:

2004

1

3

2002 2

2003

1

2004

2005

1

4

1 3

2 ) ( 2004 2005 ) 2005

Cho tam giác ABC Kẻ đờng cao AH Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua

AB, B’ là điểm đối xứng của H qua AC Gọi giao điểm của B’C’ với AC và

AB là I và K Chứng minh IB, CK là đờng cao của tam giác ABC

y xy

x

y xy

x

2 2

2 3 3 4 2

6 3

y

Câu 3: (2 điểm) Một ngời đi từ A đến B rồi đi tử B về A mất 3 giờ 17 phút,

đoạn đờng AB dài 8 km gồm một đoạn lên dốc, tiếp đó là một đoạn đờngbằng, cuối cùng là một đoạn xuống dốc Hỏi đoạn đờng bằng dài bao nhiêu

km Nếu vận tốc của ngời đó lúc lên dốc là 4km/h, lúc đi đoạn đờng bằng là

b) Chứng minh rằng 3 đờng thẳng DE, BF, CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

c c b

b b a a

Đề số 26

Câu 1: (2 điểm)

Cho phân thức:

2 4 2

2 2

2 3 4

2 3 4

x x x x

ộ đề thi Học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 www.PNE.edu.vn

3

1 2

3  x  x

x

Câu 4: (3 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối của tia AD lấy điểm F sao cho

AF = AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AD Gọi N làgiao điểm của FC với AB và M là giao điểm của EC và AD





xy

y x

Tính giá trị của biểu thức M x x y y

4

1 4 4

1 2

4

1 11

4

1 3 4

1 1

4 4

4

4 4

y a

Chứng minh rằng: 1002 102

2004 1002

2004

) (

2

b a b

y a

x







Câu 3: (2 điểm) Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đi đến nhà bình với vận tốc

4 km/h Lúc 8 giờ 20 phút, Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An với vậntốc 3 km/h An gặp Bình trên đờng rồi cả hai cùng đi về nhà Bình Khi trở về

đến nhà mình An tính ra quãng đờng mình đi dài gấp bốn lần quãng đờngBình đã đi Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình

ộ đề thi Học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 www.PNE.edu.vn

Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, một góc vuông xAy qoay quanh

đỉnh A của hình vuông, cạnh Ax cắt các đờng thẳng BC, CD lần lợt tại M, N;cạnh Ay cũng cắt các đờng thẳng đó tại P và Q

a) Chứng minh rằng ANP và AMQ vuông cân

b) Biết QM cắt PN ở R; I, K theo thứ tự là trung điểm của PN, QM Tứ giácAKRI là hình gì ?

c) Chứng minh 4 điểm: B, D, K, I cùng thuộc một đờng thẳng, từ đó suy ra

đờng thẳng IK cố định khi góc vuông xAy quay quanh đỉnh A

b x a

Chứng minh: 2 2 2 0





by cz ax

Câu 3: (2 điểm) Tìm số nguyên dơng A; Cho biết trong ba mệnh đề P, Q, R

dới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai:

P = “A+ 45 là bình phơng của một số tự nhiên”

a) Chứng minh DE, BF, CM đồng quy

b) Tìm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF là lớn nhất

Bài 5: (1 điểm)

Tìm x nguyên để y nguyên:

1

3 2

x x x

A

b)

9

1 15 14

4 10

7

3 2

2

2 2

x x

x x

b a P

Cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AA’, BB’ , CC’ cắt nhau tại H, gọi

M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC Trên tia HG

lấy điểm O sao cho OG =

'

1 1

1

CC

CC BB

BB AA

b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và  0

b c b

a

) ( ) ( )

c a

c

b c

x  

1 1 1

.Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2

1 1 1

z y x

A   theo m

Câu 4: (3 điểm)

Cho ABC , trọng tâm G, trên BC lấy điểm P, đờng thẳng qua P theo thứ tựsong song CG và BG cắt AB, AC tại E, F; EF cắt BG, CG theo tứ tự tại I, J.a) Chứng minh: EI = IJ = JF

b) Chứng minh PG đi qua trung điểm của EF

c) Một đờng thẳng P ở ngoài tam giác Chứng minh rằng tổng khoảng cách

từ ba đỉnh của tam giác ABC xuống đờng thẳng d gấp 3 lần khoảng cách từtrọng tâm đến đờng thẳng d

Câu 5: (1 điểm) Tìm tất cả các số có hai chữ số ab sao cho: a ab b

 là sốnguyên tố

Đề số 31

Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:

) 1 )( 1 ( ) 1 )(

( ) 1 )(

(

2 2 2

2

y x

y x x

y x

y y

y x

x M