Người ta chiếu vuông góc tứ diện ABCD xuống một mặt phẳng R song song với PQ để được một tứ giác.. a – Hình chiếu của tứ diện là tứ giác gì, tại sao?[r]
(1)Nguyễn Văn Xá 96 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1993 – 1994) Bài Dãy số {xn} xác định x1 = 1994, xn2 – xn+1.xn + = 0, n = 1, 2, 3, … có giới hạn không, sao? Bài Cho hai đường thẳng chéo d1, d2 vuông góc với và nhận OI làm đoạn vuông góc chung (O d1, I d2) Trên d1 lấy điểm A cố định, trên d2 lấy hai điểm M, N di động cho (d1, M)d1, N) a) Chứng minh tích IM.IN không đổi và trực tâm AMN cố định b) Chứng minh AM2 + AN2 – MN2 không đổi và (AM + AN + MN)2 ≤ 6(OA2 + OM2 + ON2) c) Xác định vị trí M, N để diện tích AMN đạt nhỏ x3 3x2 x thì cos x 16 6 x n tan(2i x ) Bài Tính tổng S n ( x) với giả thiết các biểu thức có nghĩa i 1 x) i cos(2 Bài Chứng minh x thỏa mãn 97 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1993 – 1994) 1993 k Bài Tính tổng S cos 997 k 1 Bài Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi P, Q là trung điểm hai cạnh đối diện Người ta chiếu vuông góc tứ diện ABCD xuống mặt phẳng (R) song song với PQ để tứ giác a – Hình chiếu tứ diện là tứ giác gì, sao? b – Tính diện tích hình chiếu tứ diện, biết tứ giác hình chiếu có góc 600 2 Bài Cho bất phương trình 5.25sin x (m 6).5cos x 5(m 5) a./ Giải BPT m = b./ Tìm m để BPT nghiệm đúng với x ≠ k, k Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, tâm O; các cạnh bên hình chóp tạo với đáy góc 600 Một mặt phẳng bất kì qua SO cắt các đường AB, BC, CA M, N, P Gọi , , là góc tạo SM, SN, SP với mặ phẳng đáy Chứng minh tan + tan + tan ≤ 98 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1994 – 1995) Bài Cho ba số dương a, b, c đôi khác b c a So sánh log 2a với log 2a (a ≠ 1) c b c a b b Chứng minh ba số log 2a ( ), log 2b ( ), log 2c ( ) có ít số lớn c a a b b c AD AB BC CD a Trên mp(Q) kẻ qua AD và vuông góc với (P) ta lấy điểm S cho SAD Gọi M là trung điểm SD, N là điểm trên đoạn SB cho NB : NS = : a) Chứng minh mặt phẳng qua D, A, N vuông góc với CM Bài Trên mp(P) cho hình thang ABCD có Trang 104 Đề thi HSG môn Toán Lop10.com (2) Nguyễn Văn Xá b) Tính độ dài đoạn vuông góc chung AN và CM x1995 Bài Cho hàm số f ( x ) x1995 a) Chứng minh f(x) + f( ) = 1, x > x 1995 1995 i b) Tính S ( f ( )) k k i 1 Bài Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1, điểm M trên đoạn B1C và điểm N trên tia đối tia D1 A ND1 MC cho Chứng minh M, N, D, C1 đồng phẳng NA MB1 99 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1994 – 1995) Bài Xét dãy số (xn) có < xn < và x n+1 với n* Tìm limxn 4x n Bài Giải phương trình 2cos2x – 4cos3x.cos3x + cos6x – 4sin3x.sin3 x = Bài Tìm a để phương trình sau đây có nghiệm x a log ( x x 3) 2 x x.log (2 x a 2) Bài Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 cạnh a Gọi O là giao điểm đường chéo Gọi O là a giao điểm bốn đường chéo Qua A kẻ mặt phẳng (P) có khoảng cách tới O Gọi giao điểm (P) với A1B1, A1D1 là I, K Tính góc phẳng nhị diện cạnh AC1 có các mặt qua I, K 100 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1995 – 1996) 1996 1995 Bài I Giải phương trình 1995 x 1996 x Bài II Cho ABC nhọn Chứng minh tanA.tanB.tanC > [ tanA + tanB + tanC > 1] Bài III Xét dãy số dương u1, u2, u3, u4, u5 và hai số A = u1 + u5, B = u2 + u4 Hãy tìm điều kiện ràng buộc A và B là điều kiện cần và đủ để dãy số đó lập thành cấp soosnhaan Bài IV Cho hai hình bình hành A1B1C1D1, A2B2C2D2 tương ứng nằm hai mặt phẳng song song (P) và (Q) Các đường thẳng A1 A2, B1B2, C1C2 , D1D2 đôi chéo và cắt mặt phẳng (R) theo thứ A, B, C, D Chứng minh (R) // (P) thì A, B, C, D là bốn đỉnh hình bình hành Phát biểu và chứng minh (hoặc bác bỏ) mệnh đề đảo mệnh đề câu 101 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1995 – 1996) sin A sin B sin A sin B Bài Chứng minh ABC thỏa mãn thì cos A cos B sin C sin 2C Bài Giải phương trình 2log3(cotx) = log2(cosx) Trang 105 Đề thi HSG môn Toán Lop10.com (3) Nguyễn Văn Xá an n2 Bài Cho tứ diện ABCD với điểm O bên và cách các mặt tứ diện Tính góc ODC , biết (OBD)(OAD) Bài Dãy số {an} thỏa mãn an + - 2an + an – = k (n ≥ 2, k là số cho trước) Tìm lim 102 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1996 – 1997) Bài Cho dãy số {xn} thoảt mãn x1 = 1996, x2 = 1997, xn(xn-1 + xn+1) = 2xn-1.xn+1, n = 2, 3, 4,…Tìm limxn Bài Cho ABC vuông A, góc nhọn các đường trung tuyến BM, CN là Chứng minh 5cos2 + cos ≥ x y a a Bài Tìm a > 0, a ≠ để hệ phương trình có nghiệm với b [-1; 1] x y b Bài Cho hình lăng trụ tan giác ABC.A1B1C1 với M, N là trung điểm BC, CC1 Tính độ dài đoạn giao tuyến nằm bên lăng trụ hai mặt phẳng (ABC) và (A1B1M) theo AB 103 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1996 – 1997) =1 , n = 1, 2, 3, …Tìm f1996(1997) f n+1 (x) Bài Tam giác ABC thỏa mãn sin3 A + sin3B = sin3C Chứng minh sin2 A + sin2 B + sin2C > Bài Cho đa giác lồi A1 A2…An nội tiếp đường tròn (O) và tâm O nằm đa giác Gọi B1, B2, … , Bn theo thứ tự là các điểm chính các cung A1 A2, A2A3, …, AnA1 (O) So sánh diện tích hai đa giác A1 A2…An và B1B2…Bn Bài Giải phương trình nghiệm nguyên dương x + y.log23 = log2(1 + 52) Bài Cho hình chóp lục giác S.ABCDEF với O là tâm đáy Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm AO, DO Qua M, O, N dựng các mặt phẳng song song với (SAB) và tạo thành các thiết diện có diện tích là x, y, z Tính tỉ lệ x : y : z Bài Cho dãy các hàm số {fn(x)} xác định f1(x) = x, f n (x)+ 104 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1997 – 1998) (2un-1 + un-2), n = 2, 3, 4, …Tìm limun 5 Bài Tìm m để phương trình mcosx + cos3x – cos2x = có đúng nghiệm trên khoảng (- ; ) 2 Bài Cho ABC có a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB, và p là nửa chu vi Chứng minh Bài Cho dãy số (un) thỏa mãn u0 = 1997, u1 = 1998, un = 8[(p – a)(p – b)(p – c)]2 ≥ a2b2c2cosAcosBcosC Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ba mặt bên là hình vuông cạnh a Gọi M là trung điểm CC’ Qua tâm O hình vuông ABB’A’ dựng mp(P) song song với hai đường thẳng A’C và BM Xác định thiết diện lăng trụ cắt (P) và tính chu vi thiết diện theo a 105 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1997 – 1998) Trang 106 Đề thi HSG môn Toán Lop10.com (4) Nguyễn Văn Xá Bài 1 Cho < a < b < c Chứng minh loga(logab) + logb(logbc) + logc(logca) > x x x Giải phương trình (sinα) +(tanα) = α , với < α < Bài Chứng minh với ABC có a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB, và p là nửa chu vi, R là bán 1 BC CA A B + ca.tan + ab.tan = 4Rp2( ) 2 a b c p Bài Tìm số tự nhiên n lớn cho (sin x) n (cos x)2 n , x 4n Bài Cho tứ diện OABC đó góc tam diện đỉnh O có ba mặt vuông Gọi R, r là bán kính các 2R mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp tứ diện Chứng minh 3(1 + 3) Dấu “=” xảy nào? r R (Tìm giá trị nhỏ ) r kính đường tròn ngoại tiếp, ta có bc.tan 106 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1998 – 1999) n Bài Tính tổng S n (4k 3).3k 1 , n * k 1 mx 3 sin x - cos x + ) =( ) có nghiệm x (0; 2) A B C Bài Cho ABC, tìm giá trị lớn biểu thức P sin sin sin 2 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tất các cạnh hình chóp a Lấy điểm I cho CI = CA , trên đoạn SI lấy điểm J tùy ý, SJ = x Qua J dựng mp(α) song song với SA và BD – Xác định thiết diện hình chóp cắt (α) Biện luận theo x hình dạng thiết diện Bài Tìm m (5; 16) cho phương trình + cos2 ( – Tìm vị trí J cho diện tích thiết diện đã dựng là lớn 107 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1998 – 1999) Bài Tìm m để phương trình x2 – 2m.sin(cosx) + = có nghiệm 1 log a log a b log c a Bài Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh 1 log a (b c) Bài Giải bất phương trình (2cos ) x (4cos 3) x cos 7 Bài Cho tứ diện ABCD tâm O Điểm M bất kì thuộc mặt BCD tứ diện Các điểm N, P, Q là hình chiếu vuông góc M lên (ABC), (ABD), (ACD) 1) Gọi khoảng cách từ M tới CD, DV (xem lại DV hay DB), BC là x, y, z Tính thể tích khối tứ diện OMNP theo x, y, z Trang 107 Đề thi HSG môn Toán Lop10.com (5) Nguyễn Văn Xá 2) Chứng minh đường thẳng OM qua trọng tâm NPQ 108 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1999 – 2000) Bài Cho ABC có ba cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d Chứng minh d C A r (tan tan ) , với r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC 2 Bài Tìm tất các giá trị tham số a (a > 0, a ≠ 1) cho tập giá trị hàm số y a x2 a2 a a x 1 không chứa số nguyên nào chia hết cho Bài Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm phương trình sin 2x 1 2x 2x sin 3cos thỏa mãn x 3x 3x 10 Bài Cho tứ diện SABC có SA = a, SB = b, SC = c đôi vuông góc Lấy điểm M nằm ABC điều kiện x ≥ 2(abc) Gọi u, v, w là khoảng cách từ M tới SA, SB, SC Chứng minh u + v + w 2 2 2 a b +b c +c a 2 109 THI HSG 11 HÀ NỘI VÒNG (1999 – 2000) 2 2 Bài Giải PT nghiệm nguyên dương x2( x 4 x3 x 4 x3 x 4 x3 ) = (2x3 + 1) 12 x 4 x3 log x ( y ) 2cos(2 cos y) log ( y ) x n a n a 9n Bài3 Cho n số [1999; 2000], i = 1, 2, 3, …, n (n*) Chứng minh ( i ).( i ) i 1 i 1 ak2 Bài Cho dãy số { ai} thỏa mãn a0 = 0, ak ≥ 0, ak+1 = ak + , k = 0, 1, 2, … Chứng minh dãy 2000 số trên có không quá 3150 số hạng Bài Cho tứ diện ABCD Gọi các góc nhị diện cạnh AB, AC, AD, CD, DB, BC là i (i = 1, ) Chứng minh cosi ≤ Tìm tất các tứ diện thỏa mãn dấu đẳng thức i=1 Bài Tìm tất các cặp số thực (x; y) thỏa mãn 110 THI HSG 11 BẮC NINH (2004 – 2005) Bài (2,5 điểm) Tính giá trị của: cos50 - cos310 - cos410 + cos670 + cos770 Bài (2,0 điểm) Cho dãy số {an} thỏa a1 = 1, an+1 = Chứng minh biểu thức 2 n an với n =1, 2, 3, … an là số nguyên, với giá trị nguyên n > a 2 Trang 108 Đề thi HSG môn Toán Lop10.com (6) Bài (2,5 điểm) S ABD =S BCD = Nguyễn Văn Xá Cho tứ diện ABCD, đường vuông góc chung AC và BD qua trung điểm BD và S ABC Giả sử tồn điểm O tứ diện cho tổng khoảng cách từ O đến B và D tổng khoảng cách từ O đến bốn mặt tứ diện Chứng minh: 1) Đường vuông góc chung AC và BD qua trung điểm AC 2) AC BD Bài (2,0 điểm) Gọi r, R là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, và r1 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có các đỉnh là tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh r Rr1 Bài (1, điểm) Giải phương trình x3 - 3x = x2 111 THI HSG 11 THPT YÊN PHONG - BẮC NINH (2008 – 2009) Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 11 y x y , với x, y là các số thực thoả mãn x2 + y2 – 2x – 6y + = a b c 1 Bài 2: Cho các số thực a, b, c ≥ 1, a2 + b2 + c2 = Tìm phần nguyên B = a b c 2006 2004 2005 2007 Bài 3: Tính giá trị biểu thức C = 2009 C2008 2009 C2008 2009 C2008 C2008 cos x sin x Bài 4: Giải phương trình lượng giác với x(0, ): 5( sinx ) cos x sin x Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 – 4y2 = 17 x y y y 10 Bài 6: Giải hệ phương trình y z z z 10 z x x x 10 Bài 7: Giả sử ba điểm G, H, O là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nào đó Chứng minh rằng: GO = HG Bài 8: Chứng minh với ABC nhọn ta luôn có tanA.tanB.tanC > Bài 9: Tìm tất các hàm số f: thoả mãn f(x3 – y) + 2y.(3f2(x) + y2) = f(y + f(x)), x, y Bài 10: Cho các số thực a, b, c với a ≠ Chứng minh đường thẳng (d) x = xứng parabol (P) y = ax2 + bx + c b là trục đối 2a 112 THI HSG 11 BẢNG A - BÌNH ĐỊNH (2005 – 2006) Câu 1: (5 điểm) Chứng minh cấp số nhân có n số (n 3) là các số tự nhiên phân biệt và công bội là số tự nhiên thì tổng tất n số hạng đó không thể là lũy thừa Câu 2: (5 điểm) Cho các dãy (an), n N * và (bn), n N * thoả mãn các công thức sau: Trang 109 Đề thi HSG môn Toán Lop10.com (7) Nguyễn Văn Xá n ( n 1) a n(1 n) n n (1 n n ) , bn ( n ) , n N * Tìm lim bn 2n n 1 n 1 n n 1 Câu 3: (5 điểm) Chứng minh phương trình: 16x – 20x + 5x + = có nghiệm và tìm nghiệm này Câu 4: (5 điểm) Gọi S là diện tích toàn phaần tứ diện gần ABCD có: BC = DA = a, 1 CA = DB = b và AB = DC = c Chứng minh 2 2 2 Dấu “=” xảy nào? b c c a a b S an 113 THI HSG 10 THPT YÊN PHONG - BẮC NINH (2008 – 2009) Câu (3 điểm) Cho hàm số y = - x2 -2x + a, Vẽ đồ thị hàm số b, Biện luận theo m số nghiệm phương trình - x2 -2|x| + m = c, Tìm a để phương trình - x2 -2|x| + – a = có nghiệm thuộc đoạn [-1; 1] Câu (3 điểm) 1 a Chứng minh , với ab > 2 a b ab a b c d b Cho a, b, c, d > và S Chứng minh < S < d ab abc bc d c d a c Chứng minh 200300 300200 Câu (3 điểm) Cho ABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm ACM, I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh GI CM Câu (1 điểm) Chứng minh a12 b12 a22 b22 (a1 a2 ) (b1 b2 )2 114 THI HSG 10 Bài Cho f(x) = (a – 1)x2 + (2a – 3)x + a – Tìm a để f(x) > với x < Bài Cho phương trình x x m a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài Giải hệ phương trình 1 x y 5 (x y) x2 y2 x2 y Bài Cho a, b, c là độ dài ba cạnh và p là nửa chu vi tam giác So sánh abc và 8(p – a)(p – b)(p – c) Trang 110 Đề thi HSG môn Toán Lop10.com (8)