Người ta sản xuất một loại đèn trang trí ngoài trời Trụ sở, quảng trường, công viên, sân vườn… gồm có hai phần: Phần bóng đèn có dạng mặt cầu bán kính R dm , làm bằng thủy tinh trong suố[r]
(1)TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẠO HÀM - TÍCH PHÂN Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân C , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) Biết SC = , tìm thể tích lớn khối chóp S ABC 3 2 B C D 12 12 27 27 Người ta cắt tờ giấy hình vuông cạnh để gấp thành hình chóp tứ giác cho bốn đỉnh hình vuông dán lại thành đỉnh hình chóp (hình vẽ) A Câu Để thể tích khối chóp lớn thì cạnh đáy x hình chóp bằng: 2 2 B x = C x = 2 D x = 5 Tìm chiều dài L ngắn cái thang để có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ A x = Câu có chiều cao A m Câu 3 m và cách tường 0,5 m kể từ gốc cột đỡ B m C 3m D m Một kiến đậu đầu B cứng mảnh AB có chiều dài L dựng cạnh tường thẳng đứng (hình vẽ) Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động sang phải theo sàn ngang với vận tốc không đổi v thì kiến bắt đầu bò dọc theo với vận tốc không đổi u Trong quá trình bò trên thanh, kiến đạt độ cao cực đại hmax là bao nhiêu sàn? Cho đầu A luôn tỳ lên tường thẳng đứng 3L2 A v 2L2 B v L2 C 3v L2 D 2v Trang (2) Câu Một hộp không nắp làm từ mảnh các tông theo mẫu Hộp có đáy là hình vuông cạnh x ( cm ) , chiều cao h ( cm ) và có thể tích là 500 ( cm3 ) Tìm x cho diện tích mảnh các tông đó nhỏ nhất? A 5cm Câu C 10 cm m D m Cho hai vị trí A , B cách 615 m , cùng nằm phía bờ sông hình vẽ Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông là 118 m và 487 m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B B m C Đoạn đường ngắn mà người đó có thể là A 596,5 m B 671, m C 779,8 m Câu D 20 cm Một nhà máy cần sản xuất bể nước tôn có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng không nắp, có thể tích m3 Hãy tính độ dài chiều rộng đáy hình hộp cho tốn ít vật liệu A m Câu B 100 cm D 741, m Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là: x = y = −t và hai điểm A (1; − 2; − 1) , B ( 4; 4;5 ) Giả sử M ( a ; b ; c ) thuộc ∆ cho MA + MB z = 1+ t nhỏ nhất, đó tích abc là A B C D Trang (3) Câu Một trang chữ sách giáo khoa cần diện tích 384 cm Lề trên và là 3cm , lề trái và phải là cm Kích thước tối ưu trang giấy là: A Dài 24 cm ; rộng 16 cm B Dài 24 cm ; rộng 17 cm C Dài 25cm ; rộng 15,36 cm D Dài 25, cm ; rộng 15cm Câu 10 Có sở in sách xác định rằng: Diện tích toàn trang sách là S0 (cm ) Do yêu cầu kỹ thuật nên dòng đầu và dòng cuối phải cách mép (trên và dưới) trang sách là a (cm) Lề bên trái và bên phải phải cách mép trái và mép phải trang sách là b (cm) ( b < a ) Các kích thước trang sách là bao nhiêu diện tích phần in các chữ có giá trị lớn Khi đó hãy tính tỉ lệ chiều rộng và chiều dài trang sách b−a 2b b b+a B C D a 2a − a a Câu 11 Một anh kỹ sư muốn tạo cái lu hình trụ có diện tích bề mặt (không tính hai mặt đáy) là lớn Bề mặt lu quấn mảnh tôn hình chữ nhật có chu vi 120 cm Gọi chiều dài hình = a + 3b chữ nhật là a , chiều rộng hình chữ nhật là b Tính P A 990 B 1660 C 2530 D 1108 Câu 12 Bác nông dân có 200 m rào để ngăn đàn gà nuôi dạng hình chữ nhật Để diện tích nuôi gà là lớn A thì chiều dài hình chữ nhật là a (m) và chiều rộng là b (m) Khi đó a + ab + b có giá trị A 7525 m B 7600 m C 7500 m D 7900 m Câu 13 Cho nhôm hình vuông cạnh cm Người ta muốn cắt hình thang hình vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ A cm E B x cm H cm F D G y cm C D cm cm Câu 14 Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1, m và đặt độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép màn hình hình vẽ) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhọn Tính khoảng cách từ vị trí đó đến màn ảnh? Biết góc BOC A cm B 5cm C Trang (4) A AO = 2, m B AO = m C AO = 2, m D AO = 3m Câu 15 Tìm diện tích lớn hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn bán kính 10 cm , biết cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính đường tròn A 80 cm B 100 cm C 160 cm D 200 cm Câu 16 Từ khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính 40 cm , cần xả thành xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ tô màu xám hình vẽ đây Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn A x = 34 − 17 ( cm ) B x = 34 − 19 ( cm ) C x = 34 − 15 ( cm ) D x = 34 − 13 ( cm ) Câu 17 Một ô tô chạy với vận tốc 15 ( m/s ) thì người lái hãm phanh Sau hãm phanh, ô tô chuyển −5t + 15 ( m/s ) đó t là khoảng thời gian tính động chậm dần với vận tốc v ( t ) = giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Hỏi từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ? A 22,5m B 45m C 15m D 90 m Câu 18 Một vật chuyển động với gia tốc a (= t ) 3t + t (m/s ) Vận tốc ban đầu vật là (m/s) Hỏi vận tốc vật là bao nhiêu sau chuyển động với gia tốc đó 2s A m/s B 12 m/s C 16 m/s D 10 m/s Câu 19 Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp có R thay đổi Biết điện trở cuộn cảm Z= 80 ( Ω ) L , điện trở tụ điện là= Z C 200 ( Ω ) và hiệu điện hai đầu mạch là u = U cos 100π t (V ) Để công suất tiêu thụ mạch cực đại thì giá trị R Trang (5) A 120 ( Ω ) B 50 ( Ω ) C 100 ( Ω ) D 200 ( Ω ) Câu 20 Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp có R thay đổi Biết điện trở cuộn cảm = Z L 100 ( Ω ) , điện trở tụ điện là Z= 40 ( Ω ) và hiệu điện hai đầu mạch là C u = 120 cos100π t (V ) Điện trở R phải có giá trị là bao nhiêu để công suất tiêu thụ mạch đạt cực đại và giá tri cực đại công suất là bao nhiêu? 60 ( Ω ) , Pmax = 120 ( W ) A R = B R =120 ( Ω ) , Pmax =60 ( W ) 40 ( Ω ) , Pmax = 180 ( W ) C R = D R =120 ( Ω ) , Pmax =180 ( W ) Câu 21: Thể tích V 1kg nước nhiệt độ t ( t nằm 0° C đến 30° C ) cho công thức V= 999,87 − 0, 06426t + 0, 0085043t − 0, 0000679t ( cm3 ) Nhiệt độ t nước gần với giá trị nào đây thì khối lượng riêng nước là lớn nhất? A 0° B −4° C 30° D 4° V (t ) = Câu 22: Thể tích nước bể bơi sau t phút bơm tính theo công thức t4 30t − 100 4 ( ≤ t ≤ 90 ) Tốc độ bơm nước thời điểm t tính v ( t ) = V ′ ( t ) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng A Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút thứ 90 B Tốc độ bơm luôn giảm C Tốc độ bơm tăng từ phút đến phút thứ 75 D Cả A, B, C sai Câu 23 Công ty XDPL muốn làm đường ống dẫn khí từ địa điểm A trên bờ biển đến điểm B trên hòn đảo Khoảng cách ngắn từ điểm B đến bờ biển là km Giá để xây lắp km đường ống trên bờ là 50.000 USD , còn xây lắp nước là 130.000 USD B′ là điểm trên bờ biển cho BB′ vuông góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B′ là km đảo B biển 6km B' bờ biển 9km A Hỏi vị trí điểm M trên bờ biển cách A bao xa để chi phí xây lắp đường ống từ A qua M đến B là ít tốn kém nhất? A km B km C km D 6.5 km Câu 24 Một điểm C trên hòn đảo có khoảng cách ngắn đến bờ biển là 60 km , B là điểm trên bờ biển cho CB vuông góc với bờ biển Khoảng cách từ A trên bờ biển đến B là 100 km Để tham dự buổi họp nhóm Strong Team Toán VD – VCD ngày 28/6/2019 , thầy Quý phải tính toán vị trí diễn họp địa điểm G trên đoạn AB để tổng chi phí lại hai nhóm các thầy cô là ít Biết nhóm thầy Quý từ C theo đường biển chi phí là 500 nghìn Trang (6) km, nhóm cô Thêm từ vị trí A trên đất liền km chi phí là 300 nghìn Hỏi thầy tìm vị trí điểm G cách B bao xa? A 40 km B 60 km C 55 km D 45 km Câu 25 Một xưởng in có máy in, máy in 4000 in khổ giấy A4 Chi phí để bảo trì, vận hành máy lần in là 50000 đồng Chi phí in ấn n máy chạy là 20 ( 3n + ) nghìn đồng Hỏi in 50000 in khổ giấy A4 thì phải sử dụng bao nhiêu máy để thu nhiều lãi nhất? B máy A máy C máy D máy Câu 26 Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu cho chi phí nhiên liệu làm vỏ lon là thấp nhất, tức là diện tích toàn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ đó V và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ thì nhà thiết kế phải thiết kế hình trụ có bán kính bao nhiêu? A V 2π B V 2π C V π D V π Câu 27 Trong môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn cấy vào Bằng thực nghiệm xác định 100t số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian qui luật N= (con vi khuẩn), ( t ) 1000 + 100 + t đó t là thời gian (đơn vị giây) Hãy xác định thời điểm sau thực cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên lớn là bao nhiêu? A C −10 B D 10 Câu 28 Khi nuôi cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy rằng: trên đơn vị diện tích mặt hồ có n cá thì trung bình cá sau vụ cân nặng Q (= n ) 480 − 20n (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? C 10 B 14 A 12 D 18 Câu 29 Đốt cháy các hidrocacbon dãy đồng đẳng nào đây thì tỉ lệ mol H 2O : mol CO2 giảm dần số cacbon tăng dần ? A Ankan B Anken C Ankin D Ankylbenzen Câu 30 Cho phương trình phản ứng tạo thành Nitơ (IV) Oxit từ Nitơ ddiooxxit và Oxy là o dk ,t , xt → NO + O2 ← NO2 Biết đây là phản ứng thuận nghịch Giả sử x, y là nồng độ phần trăm khí NO và O2 tham gia phản ứng Biết tốc độ phản ứng hóa học phản ứng trên xác định v = kx y , với k là số tốc độ phản ứng Để tốc độ phản ứng xảy nhanh thì tỉ số A B x là ? y C D Câu 31 Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức = G ( x ) 0, 035 x (15 − x ) , đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x tính miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều A x = B x = C x = 15 D x = 10 Trang (7) Câu 32 Các chuyên gia Y-tế ước tính số người nhiễm virus Zika kể từ ngày xuất bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f ( t ) = 45t − t , ( t = 0,1, 2, , 25 ) Nếu coi f ( t ) là hàm xác định trên đoạn [0; 25] thì f ' ( t ) xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t Tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ mấy? B 10 A 20 C 15 D Câu 33 Trong nội dung thi điền kinh, bơi lội và đua xe đạp phối hợp diễn hồ bơi có chiều rộng 70 m và chiều dài 250 m Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc hai) phải thực lộ trình xuất phát từ A đến C và đua xe đạp tới D hình vẽ Hỏi sau chạy bao xa (quãng đường x ) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi đích nhanh ? Biết vận tốc vận động viên chạy trên bờ, bơi và đua xe là m/s; 1,5 m/s và 10 m/s A 139,52 m B 129,52 m C 109,52 m D 119,52 m Câu 34 Trong nội dung thi điền kinh, bơi lội và đua xe đạp phối hợp diễn hồ bơi có chiều rộng 50 m và chiều dài 250 m Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc hai) phải thực lộ trình xuất phát từ A đến C và đua xe đạp tới D hình vẽ Hỏi sau chạy bao xa (quãng đường x ) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi đích nhanh ? Biết vận tốc vận động viên chạy trên bờ, bơi và đua xe là m/s; 1,5 m/s và 10 m/s A 109,8 m B 105,8 m C 106,8 m D 107,8 m Câu 35 Cho viên gạch men có dạng hình vuông OABC hình vẽ Sau tọa độ hóa, ta có O ( 0;0 ) , A ( 0;1) , B (1;1) , C (1;0 ) và hai đường cong là đồ thị hàm số y = x và y = x Tính diện tích phần không tô đậm trên viên gạch men y A B x O C 1 B C D Câu 36 Người ta làm cái lu đựng nước cách cắt bỏ chỏm khối cầu có bán kính dm A mặt phẳng vuông góc với đường kính và cách tâm khối cầu dm Tính thể tích lu Trang (8) dm dm dm 100 π ( dm3 ) Câu 37 Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm , thiết diện vuông góc với trục và cách A 41π ( dm3 ) B 132π ( dm3 ) C 43π ( dm3 ) D hai đáy có diện tích là 1600π ( cm ) , chiều dài trống là m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh trống là các đường Parabol Hỏi thể tích cái trống là bao nhiêu? A 425, dm3 B 425, mm3 C 425, cm3 D 425, m3 Câu 38 Bổ dọc dưa hấu ta thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm Biết 1000 cm3 dưa hấu làm cốc sinh tố giá 20000 đồng Hỏi từ dưa hấu trên có thể thu bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết bề dày vỏ dưa không đáng kể A 180000 đồng B 183000 đồng C 185000 đồng D 190000 đồng Câu 39 Một bình hoa dạng khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm − sin x + và trục Ox (tham khảo hình vẽ bên dưới) Biết đáy bình hoa là hình tròn có số y = bán kính dm , miệng bình hoa là đường tròn bán kính 1.5 dm Bỏ qua độ dày bình hoa, Thể tích bình hoa gần với giá trị nào các giá trị sau đây? A 100 dm3 B 104 dm3 C 102 dm3 D 103 dm3 Câu 40 Hình elip ứng dụng nhiều thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc xây dựng đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất Xét Lavabo (bồn rửa) làm sứ đặc hình dạng là nửa khối elip tròn xoay có thông số kĩ thuật mặt trên Lavabo là: dài × rộng: 660 × 380 mm (tham khảo hình vẽ bên dưới), Lavabo có độ dày là 20 mm Thể tích chứa nước Lavabo gần với giá trị nào các giá trị sau: Trang (9) A 18, 66 dm3 B 18, 76 dm3 C 18,86 dm3 D 18,96 dm3 Câu 41 Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v= (t ) 160 − 10t (m/s) Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t = ( s ) đến thời điểm mà vật dừng lại là A 1028 m B 1280 m C 1308 m D 1380 m Câu 42 Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian tính công thức v (t= ) 3t + 2(m/s) Biết thời điểm t = ( s ) thì vật quãng đường là 10 ( m ) Hỏi thời điểm t = 30 ( s ) thì vật quãng đường là bao nhiêu? A 1140 m B 300 m C 240 m D 1410 m Câu 43 Một vật chuyển động với vận tốc v = 25 ( m/s ) thì thay đổi vận tốc với gia tốc tính ( ) theo thời gian t là a ( t= ) 2t − m/s2 Tính quãng đường vật kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé 107 m A B 144 m D 57 m C 28 m Câu 44 Một mô tô chạy với vận tốc v0 ( m/s ) thì gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh Từ ( ) thời điểm đó ôtô chuyển động chậm dần với gia tốc a = −8t m/s đó t là thời gian tính giây Biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô còn di chuyển 12 ( m ) Tính v0 ? A 18 m/s B 86 m/s C 1269 m/s D 1296 m/s Câu 45 Đầu tháng năm 2019 , ông An đầu tư vào chăn nuôi tằm với số tiền vốn ban đầu là 200 (triệu đồng) Biết quá trình chăn nuôi gặp thuận lợi nên số tiền đầu tư ông liên tục tăng 12000 , với t là thời gian đầu tư tính tháng theo tốc độ mô tả công thức f ′(t ) = ( t + 5) (thời điểm t = ứng với đầu tháng năm 2019 ) Hỏi số tiền mà ông An thu tính đến đầu tháng năm 2023 gần với số nào sau đây? A 2737 (triệu đồng) B 2307 (triệu đồng) C 2370 (triệu đồng) D 2703 (triệu đồng) Câu 46 Giả sử sau t năm, vốn đầu tư doanh nghiệp phát sinh lợi nhuận với tốc độ P′ (= t ) 126 + t (triệu đồng/năm) Hỏi sau 10 năm đầu tiên thì doanh nghiệp thu lợi nhuận là bao nhiêu (đơn vị triệu đồng) A 5020 B 1235 C 3257 D 4780 Trang (10) Câu 47: Một cái cổng hình parabol hình vẽ Chiều cao GH = m , chiều rộng AB = m , AC = BD = 0,9 m Chủ nhà làm hai cánh cổng đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/m2 Hỏi tổng chi phí để làm hai phần nói trên gần với số tiền nào đây? A 11445000 (đồng) B 7368000 (đồng) C 4077000 (đồng) D 11370000 (đồng) Câu 48: Để tăng thêm thu nhập, ông Bình chăn nuôi thêm bò Do diện tích đất nhà ông hẹp nên ông xây chuồng bò hình vẽ bên và chia thành phần để nhốt bò Biết ABCD là hình vuông cạnh m và I là đỉnh Parabol có trục đối xứng là trung trực BC và parabol qua hai điểm A , D Tiền xây chuồng bò hết 350000 đồng/ m Biết I cách BC khoảng 5m , hãy tính số tiền chi phí ông Bình bỏ để xây dựng chuồng bò (làm tròn đến hàng nghìn)? C B D A I A 6.333.000 đồng B 7.533.000 đồng C 6.533.000 đồng D 7.333.000 đồng Câu 49 Người ta sản xuất loại đèn trang trí ngoài trời (Trụ sở, quảng trường, công viên, sân vườn…) gồm có hai phần: Phần bóng đèn có dạng mặt cầu bán kính R dm , làm thủy tinh suốt; Phần đế bóng đèn làm nhựa để cách điện, có dạng phần khối cầu bán kính r dm và thỏa mãn đường kính là dây cung hình tròn lớn bóng đèn Một công viên muốn tạo điểm nhấn ánh sáng, đặt loại bóng có kích thước R = dm , r = dm Tính thể tích V phần nhựa để làm đế bóng đèn theo đơn đặt hàng (Bỏ qua ống luồn dây điện và bulông ốc phần đế) Trang 10 (11) 68π 14π 40π dm3 dm3 dm3 C V = D V = 3 Câu 50 Một bồn nước Inox SONHA® ngang có hai đầu bồn là hình phẳng elip Thể tích tối đa đóng nắp bồn là V1 = 3000 lít Bồn có chiều dài l = 2, m và gấp lần chiều cao bồn Để A V = 36π dm B V = nước bơm tự động vào bồn, người ta lắp phao điện cho mực nước bồn cao h = 0, 75 m so với điểm thấp đáy bồn thì phao đóng không cho nước chảy vào bồn Tính thể tích nước bồn phao đóng (bỏ qua độ dày bồn nước và kết làm tròn đến phần trăm) A V = 2.41 m B V = 2.43 m C V = 2.40 m D V = 2.44 m BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.A 21.D 31.D 41.A Câu 2.B 12.C 22.A 32.C 42.D 3.B 13.C 23.D 33.D 43.D 4.D 14.A 24.D 34.D 44.D 5.C 15.B 25.D 35.D 45.C 6.D 16.C 26.B 36.B 46.D 7.C 17.A 27.D 37.A 47.A 8.A 18.B 28.A 38.B 48.C 9.A 19.A 29.A 39.D 49.D 10.C 20.A 30.B 40.B 50.A Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân C , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) Biết SC = , tìm thể tích lớn khối chóp S ABC A 12 B 12 C 27 D 27 Lời giải Chọn D Trang 11 (12) Giả sử CA = CB = x, ( < x < 1) ⇒ SA = SC − AC = − x2 Thể tích khối chóp: = V S ABC 11 = S ∆ABC x − x2 SA CA.CB= SA 3 f ( x) Khảo sát hàm = f ′= ( x) x − x trên ( 0;1) 1 x3 x − 3x3 = 2x 1− x − 6 − x2 − x2 f ′( x) = ⇔ x = 2 3 Ta max nên thể tích lớn khối chóp S ABC là V = f ( x ) f= = ( 0;1) 27 27 Câu Người ta cắt tờ giấy hình vuông cạnh để gấp thành hình chóp tứ giác cho bốn đỉnh hình vuông dán lại thành đỉnh hình chóp (hình vẽ) Để thể tích khối chóp lớn thì cạnh đáy x hình chóp bằng: A x = B x = 2 C x = 2 D x = Lời giải Chọn B Trang 12 (13) x Ta có BM = AB − MO = − 2 2 Chiều cao hình chóp h= Thể tích = khối chóp V 2 BM − MO = x x 2 − − = 2 2 1− x 2 − x x − x5 = x 3 Thể tích khối chóp lớn và (x 2 − x max trên 0; ) 2 Khảo sát hàm số f ( x= ) x − x5 trên 0; f ′ (= x ) x3 − x 2 x= f ′ ( x )= ⇔ x = Dựa vào bảng biến thiên, ta GTLN hàm số đạt x = 2 Trang 13 (14) Câu Tìm chiều dài L ngắn cái thang để có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ có chiều cao 3 m và cách tường 0,5 m kể từ gốc cột đỡ A m C 3m B m D m Lời giải Chọn B A M K Tường Cột đỡ C B H π Đặt ABC ∈ 0; = α 2 Dựa vào hình vẽ, ta có AB = AK += KB Đặt = f (α ) MK KH 3 += + cos α sin α cos α 2sin α 3 π Bài toán trở thành tìm f (α ) với α ∈ 0; + π cos α 2sin α 2 α ∈ 0; Ta có= f ′ (α ) 2 −3 3.cosα sin α − 3.cos3α sin α + = cos α 2sin α cos α sin α f ′ (α ) = ⇔ sin α − 3.cos3α = ⇔ tan α = ⇔α = 3 ⇔ tan α = π π ∈ 0; 2 Bảng biến thiên α f ′ (α ) – f (α ) π π + π f (α ) f= Vậy ABmin = = (m) π 3 α ∈ 0; Trang 14 (15) Câu Một kiến đậu đầu B cứng mảnh AB có chiều dài L dựng cạnh tường thẳng đứng (hình vẽ) Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động sang phải theo sàn ngang với vận tốc không đổi v thì kiến bắt đầu bò dọc theo với vận tốc không đổi u Trong quá trình bò trên thanh, kiến đạt độ cao cực đại hmax là bao nhiêu sàn? Cho đầu A luôn tỳ lên tường thẳng đứng A 3L2 v B 2L2 v C L2 3v D L2 2v Lời giải Chọn D L Gọi t < t < là thời gian kiến u Ta có t = L với L là chiều dài cứng u Khi đầu B di chuyển đoạn S = v.t thì kiến L = u.t Độ cao mà kiến đạt đó là h = L.sin α = u.t L2t − v 2t L2 − S = u L L Đặt f = ( t ) L2t − v 2t Bài toán trở thành tìm max f ( t ) t = Ta có f ′= ⇔ L t − 4v t = 0⇔ ( t ) L t − 4v t , f ′ ( t ) = t = L v 2 Khi t = (không thỏa mãn), ta chọn t = L v 2 Bảng biến thiên Trang 15 (16) L t f ′ (t ) L 2u v – + L2 2v f (t ) L L2 = f ( t ) f= Vậy max v 2v Câu Một hộp không nắp làm từ mảnh các tông theo mẫu Hộp có đáy là hình vuông cạnh x ( cm ) , chiều cao h ( cm ) và có thể tích là 500 ( cm3 ) Tìm x cho diện tích mảnh các tông đó nhỏ nhất? A 5cm B 100 cm C 10 cm D 20 cm Lời giải Chọn C Ta có thể tích khối hộp là: V ( x )= x 2h= 500(cm3 ) ⇒ h= 500 , x > x2 Để hộp làm ít tốn bìa các tông và diện tích toàn phần hộp là nhỏ Diện tích mảnh các tông dùng làm hộp là S ( x) =x + 4hx =x + 2000 ,x > x Bài toán quy tìm x ∈ (0; +∞) cho đó S ( x ) đạt GTNN 2x − Ta có S ′( x ) = 2000 2( x − 1000) = x2 x2 S ′( x ) = ⇔ x = 10 Trang 16 (17) Suy bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy S ( x ) đạt GTNN x = 10 Vậy muốn tốn ít nguyên liệu ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp là x = 10 cm Câu Một nhà máy cần sản xuất bể nước tôn có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng không nắp, có thể tích m3 Hãy tính độ dài chiều rộng đáy hình hộp cho tốn ít vật liệu A m B m C m D m Lời giải Chọn D Gọi x, h là chiều rộng đáy và chiều cao khối hộp với x, h ∈ ( 0; + ∞ ) Ta có chiều dài đáy là 2x Thể tích V= x.x.h= x h ⇔ h= V = 2x 3x Diện tích vật liệu làm khối hộp là S ( x) = Sđ + Sxq = x.x + 2( x + x).h = x + S ′( x= ) 4x − x x2 S ′( x) = ⇔ x − = ⇔ x =1 x2 Bảng biến thiên: Trang 17 (18) Từ bảng biến thiên suy S = x = Câu Cho hai vị trí A , B cách 615 m , cùng nằm phía bờ sông hình vẽ Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông là 118 m và 487 m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người đó có thể là A 596,5 m B 671, m C 779,8 m D 741, m Lời giải Chọn C Giả sử người đó từ A đến M để lấy nước và từ M B Dễ dàng tính = BD 369, = EF 492 Ta đặt EM = x, đó ta được: MF = 492 − x, MA = x + 1182 , MB = ( 492 − x ) + 487 Như ta có hàm số f ( x ) xác định tổng quãng đường MA + MB f ( x) = x + 1182 + ( 492 − x ) + 487 với x ∈ [ 0; 492] Trang 18 (19) Ta cần tìm giá trị nhỏ f ( x ) để có quãng đường ngắn và từ đó xác định vị trí điểm M x Ta = có: f ′ ( x ) x + 118 492 − x − ( 492 − x ) ( 492 − x ) x ( 492 − x )2 + 487 = ⇔ 0 ≤ x ≤ 492 58056 x = 605 ⇔ 58056 x = − 369 0 ≤ x ≤ 492 492 − x ( 492 − x ) + 487 = + 487 x 492 − x = = 0⇔ 2 x + 1182 ( 492 − x ) + 4872 ( 492 − x ) + 4872 x f ′( x) = − 0⇔ x + 1182 ⇔x x + 1182 ( 492 − x ) (x + 1182 ) 2 ( 487 = x ) ( 58056 − 118 x ) ⇔ 0 ≤ x ≤ 492 58056 ⇔x= 605 58056 Hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; 492] So sánh các giá trị f (0) , f , f ( 492 ) 605 58056 ta có giá trị nhỏ là f ≈ 779,8 m 605 Khi đó quãng đường ngắn là xấp xỉ 779,8 m Câu Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là: x = y = −t và hai điểm A (1; − 2; − 1) , B ( 4; 4;5 ) Giả sử M ( a ; b ; c ) thuộc ∆ cho MA + MB z = 1+ t nhỏ nhất, đó tích abc là A B C D Lời giải Chọn A M ∈ ∆ ⇒ M ( 2; −t ;1 + t ) MA Ta có: = MB 2t + ; = Từ đó MA + MB = Đặt f ( t= ) 2t + 36 2t + + 2t + 36 2t + + 2t + 36 Trang 19 (20) = f ′ (t ) 2t 2t + + 2t 2t + 36 2t 2t Ta có bảng biến thiên sau: Giải f ′ ( t ) = 0⇔ + = 0⇔t= 2t + 2t + 36 Từ bảng biến thiên suy f ( t ) = đạt t = Vậy M ( 2;0;1) thì MA + MB nhỏ Câu Một trang chữ sách giáo khoa cần diện tích 384 cm Lề trên và là 3cm , lề trái và phải là cm Kích thước tối ưu trang giấy là: A Dài 24 cm ; rộng 16 cm B Dài 24 cm ; rộng 17 cm C Dài 25cm ; rộng 15,36 cm D Dài 25, cm ; rộng 15cm Lời giải Chọn A Trang giấy có diện tích tối ưu diện tích trình bày là lớn Gọi chiều dài trang giấy là x , ( x ≥ 6) ; suy chiều rộng là 384 x 384 2304 Diện tích trình bày nội dung là : f ( x ) = −4 x − + 408 ( x − ) − = x x −4 x − Để diện tích là lớn ta cần tìm giá trị lớn f ( x) = Ta có: f '( x) =−4 + 2304 + 408 với x ≥ x ( ) 2304 x2 Trang 20 (21) f '( x) = ⇔ x = 24 Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn f ( x) là 216 x = 24 Vậy chiều dài trang giấy là 24 cm ; suy chiều rộng là 384 = 16 cm 24 Câu 10 Có sở in sách xác định rằng: Diện tích toàn trang sách là S0 (cm ) Do yêu cầu kỹ thuật nên dòng đầu và dòng cuối phải cách mép (trên và dưới) trang sách là a (cm) Lề bên trái và bên phải phải cách mép trái và mép phải trang sách là b (cm) ( b < a ) Các kích thước trang sách là bao nhiêu diện tích phần in các chữ có giá trị lớn Khi đó hãy tính tỉ lệ chiều rộng và chiều dài trang sách A b−a a B 2b 2a − C b a D b+a a Lời giải Chọn C Trang 21 (22) Gọi x, y là chiều rộng và chiều dài trang sách ( < x < y ) , P là diện tích phần in chữ trang sách x Chiều rộng phần in sách là x − 2b, b < 2 y Chiều dài phần in sách là y − 2a, a < 2 Diện tích phần in sách là: P =( x − 2b)( y − 2a ) =xy − 2by − 2ax + 4ab Mặt khác S0 = xy ⇒ y = S0 2bS0 thay vào phương trình ta P =S0 + 4ab − 2ax + x x 2bS0 Ta nhận thấy S0 + 4ab không đổi Pmax ⇔ 2ax + x x) 2ax + Xét hàm số f (= Lại có f ′′( x) = Khi đó: x = 2bS0 2bS bS0 ⇒ f ′( x) = 2a − , f ′( x) = ⇔ x = x x a bS0 4bS0 ′′ Với x dương ⇒ = f ( x ) f ⇒ f ( x ) > = abS0 x3 a bS0 bS0 bxy x b ⇒ x2 = ⇒ x2 = ⇒ = a a a y a Câu 11 Một anh kỹ sư muốn tạo cái lu hình trụ có diện tích bề mặt (không tính hai mặt đáy) là lớn Bề mặt lu quấn mảnh tôn hình chữ nhật có chu vi 120 cm Gọi chiều dài hình = a + 3b chữ nhật là a , chiều rộng hình chữ nhật là b Tính P A 990 B 1660 C 2530 D 1108 Lời giải Chọn A 60 (1) Cách 1: a + b = Slu = a.b a+b Ta có a.b ≤ 900 (B.Đ.T Cô Si) = ⇒ ( Slu )max = 900 Dấu “ =” xảy ⇔ a = b = 30 990 ⇒ a + 3b = Trang 22 (23) Cách 2: Ta có a + b = 60 ⇔ b = 60 − a Slu = a.b = a ( 60 − a ) = 60a − a Xét= y f (= a ) 60a − a với < a < 60 y=′ 60 − 2a y′ = ⇔ a = 30 ⇒ ( Slu )max = 900 a = 30 ⇒ b = 30 ⇒ a + 3b = 990 Câu 12 Bác nông dân có 200 m rào để ngăn đàn gà nuôi dạng hình chữ nhật Để diện tích nuôi gà là lớn thì chiều dài hình chữ nhật là a (m) và chiều rộng là b (m) Khi đó a + ab + b có giá trị A 7525 m B 7600 m C 7500 m D 7900 m Lời giải Chọn C 100 Cách : Ta có a + b = Diện tích S nuoi = a.b a+b Ta có a.b ≤ 2500 (B.Đ.T Cô Si) = ( Snuoi )max = 2500 Dấu “ =” xảy ⇔ a = b = 50 ⇒ a + a.b + b = 7500 Cách 2: Ta có a + b= 100 ⇔ b= 100 − a S nuoi = a.b = a (100 − a ) = 60a − a Xét = y f= ( a ) 100a − a với < a < 100 = y′ 100 − 2a Trang 23 (24) y′ = ⇔ a = 50 2500 a = 50 ⇒ b = 50 ⇒ a + a.b + b = 7500 ⇒ ( Slu )max = Câu 13 Cho nhôm hình vuông cạnh cm Người ta muốn cắt hình thang hình vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ A cm E B x cm H cm F D A cm G B 5cm y cm C C cm D cm Lời giải Chọn C Ta có S EFGH nhỏ và S = S AEH + SCGF + S DGH lớn Dễ thấy S = x + y + ( − x )( − y ) = xy − x − y + 36 (1) Theo giả thiết, ta ∆AEH ∽ ∆CGF (do có các cạnh tương ứng song song với nhau) nên AE AH = suy xy = (2) CG CF 18 9 Từ (1) và (2) suy S =42 − x + hay S =21 − x + x x 9 ≥ 2 x = 18 = nên S ≤ 21 − Từ đó x x 2 x = biểu thức S lớn 21 − , đạt ⇔x cm = ⇒ y 2 cm x= x > Theo bất đẳng thức Cô – si, ta được: x + Trang 24 (25) Khi đó, ta x + = y + 2= cm 2 Câu 14 Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1, m và đặt độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép màn hình hình vẽ) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhọn Tính khoảng cách từ vị trí đó đến màn ảnh? Biết góc BOC A AO = 2, m B AO = m C AO = 2, m D AO = 3m Lời giải Chọn A = AO x ( m ) , ( x > ) Ta BO = 3, 24 + x , CO = 10, 24 + x Đặt độ dài cạnh Sử dụng định lí cosin tam giác OBC + OC − BC OB = = cos BOC 2OB.OC ( 3, 24 + x ) + (10, 24 + x ) − 1,96 = 5, 76 + x ( 3, 24 + x )(10, 24 + x ) ( 3, 24 + x )(10, 24 + x ) 2 2 2 nhọn nên BOC lớn và cos BOC nhỏ Hay bài toán trở thành tìm Vì góc BOC 5, 76 + x x để F ( x ) = đạt giá trị nhỏ ( 3, 24 + x )(10, 24 + x ) Đặt ( 3, 24 + x ) = t , ( t > 3, 24 ) Suy= F ( t ) 63 t+ 25t + 63 25 = t ( t + ) 25 t ( t + ) Ta tìm t để F ( t ) đạt giá trị nhỏ 25 t ( t + ) − ( 25t + 63) 2t + t (t + 7) 25t + 63 ′ ′ F (t ) = = 25 t ( t + ) 25 t (t + 7) 50 ( t + 7t ) − ( 25t + 63)( 2t + ) 49t − 441 = 25 2t ( t + ) t ( t + ) 25 t t t t + + ( ) ( ) F ′ (t ) = ⇔ t = Trang 25 (26) Bảng biến thiên t 3,24 F ′ (t ) +∞ - + F (t ) Fmin Thế vào biểu thức phép đặt ta có: ( 3, 24 + x ) = ⇔ x = 144 ⇔ x = 2, m 25 Vậy để nhìn rõ thì AO = 2, m Câu 15 Tìm diện tích lớn hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn bán kính 10 cm , biết cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính đường tròn A 80 cm B 100 cm C 160 cm D 200 cm Lời giải Chọn B Gọi x ( cm ) là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm trên đường kính đường tròn ( < x < 10cm ) Khi đó, độ dài cạnh hình chữ nhật nằm trên đường kính đường tròn là 100 − x ( cm ) ( ) = S ( x ) x 100 − x cm Diện tích hình chữ nhật: S '( = x ) 100 − x − S '( x) = ⇔ x = 2x2 = 100 − x 200 − x 100 − x 10 (Do < x < 10 ) Bảng biến thiên Trang 26 (27) Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số S ( x ) đạt giá trị lớn 100 x = 10 Vậy diện tích lớn hình chữ nhật là S = 100 cm Câu 16 Từ khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính 40 cm , cần xả thành xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ tô màu xám hình vẽ đây Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn A x = 34 − 17 ( cm ) B x = 34 − 19 ( cm ) C x = 34 − 15 ( cm ) D x = 34 − 13 ( cm ) Lời giải Chọn C Gọi x , y là chiều rộng, chiều dài miếng phụ Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang = là S S MNPQ + xy Cạnh hình vuông MN = MP = 20 ( cm ) Trang 27 (28) ( Suy S = 20 ) (1) + xy = 800 + xy Ta có: x = AB − MN = AB − 20 < BD − 20 = 40 − 20 ⇒ < x < 20 − 10 ( Lại có AB + AD 2= BD ⇔ x + 20 ⇒= y ) + y 2= 1600 800 − 80 2.x − x Thế vào (1) thì ta S = 800 + x 800 − 80 2.x − x = 800 + 800 x − 80 2.x − x ( ) Xét hàm số f ( x ) = 800 x − 80 2.x − x với x ∈ 0; 20 − 10 f ′( x) = 1600 x − 240 2.x − 16 x x = 34 − 15 f ′ ( x ) =0 ⇔ x = x = 34 + 15 −2 (l ) (n) (l ) Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số f ( x ) đạt giá trị lớn x = diện tích S đạt giá trị lớn x = 34 − 15 hay 34 − 15 ( cm ) Câu 17 Một ô tô chạy với vận tốc 15 ( m/s ) thì người lái hãm phanh Sau hãm phanh, ô tô chuyển −5t + 15 ( m/s ) đó t là khoảng thời gian tính động chậm dần với vận tốc v ( t ) = giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Hỏi từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ? A 22,5 m B 45 m C 15 m D 90 m Trang 28 (29) Lời giải Chọn A Khi dừng hẳn thì v(t ) =−5t + 15 =0 ⇔ t =3 Từ lúc hãm phanh đến dừng lại, xe di chuyển được: 3 s =∫ v(t )dt =∫ (−5t + 15)dt =(− t + 15t ) =22,5 m 0 Câu 18 Một vật chuyển động với gia tốc a (= t ) 3t + t (m/s ) Vận tốc ban đầu vật là (m/s) Hỏi vận tốc vật là bao nhiêu sau chuyển động với gia tốc đó 2s A m/s B 12 m/s C 16 m/s D 10 m/s Lời giải Chọn B 2 Vận tốc chuyển động v(t ) = ∫ a(t )dt =∫ (3t + t )dt =t + t + C Chọn gốc thời gian lúc bắt đầu tăng tốc thì v(0) =2 ⇒ C =2 ⇒ v(t ) =t + t + 2 Khi đó thời điểm 2s thì v(2) = 12 m/s Câu 19 Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp có R thay đổi Biết điện trở cuộn cảm Z= 80 ( Ω ) L , điện trở tụ điện là= Z C 200 ( Ω ) và hiệu điện hai đầu mạch là u = U cos 100π t (V ) Để công suất tiêu thụ mạch cực đại thì giá trị R A 120 ( Ω ) B 50 ( Ω ) C 100 ( Ω ) D 200 ( Ω ) Lời giải Chọn A Công suất tiêu thụ mạch: P =RI =R ⋅ U2 RU = Z R + ( Z L − Z C )2 U ( Z L − Z C ) − R P(′R ) = 2 R + ( Z L − ZC ) P(′R ) =0 ⇔ R = Z L − Z C =120 ( Ω ) Ta có bảng biến thiên: Trang 29 (30) Suy công suất tiêu thụ mạch cực đại thì= R 120 ( Ω ) Câu 20 Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp có R thay đổi Biết điện trở cuộn cảm 40 ( Ω ) và hiệu điện hai đầu mạch là Z L 100 ( Ω ) , điện trở tụ điện là Z= = C u = 120 cos100π t (V ) Điện trở R phải có giá trị là bao nhiêu để công suất tiêu thụ mạch đạt cực đại và giá tri cực đại công suất là bao nhiêu? 60 ( Ω ) , Pmax = 120 ( W ) A R = B R =120 ( Ω ) , Pmax =60 ( W ) 40 ( Ω ) , Pmax = 180 ( W ) C R = D R =120 ( Ω ) , Pmax =180 ( W ) Lời giải Chọn A Công suất tiêu thụ mạch: P =RI =R ⋅ U2 RU = Z R + ( Z L − Z C )2 U ( Z L − Z C ) − R P(′R ) = 2 R + ( Z L − ZC ) P(′R ) =0 ⇔ R = Z L − Z C =60 ( Ω ) Ta có bảng biến thiên: Suy công suất tiêu thụ mạch cực đại Pmax = 120 ( W ) = R 60 ( Ω ) Câu 21: Thể tích V 1kg nước nhiệt độ t ( t nằm 0° C đến 30° C ) cho công thức V= 999,87 − 0, 06426t + 0, 0085043t − 0, 0000679t ( cm3 ) Nhiệt độ t nước gần với giá trị nào đây thì khối lượng riêng nước là lớn nhất? A 0° B −4° C 30° D 4° Lời giải Trang 30 (31) Chọn D Ta có: −0, 06426 + 2.0, 0085043t − 3.0, 0000679t V ′ (t ) = t ≈ 79,53138 ∉ ( 0°;30° ) V ′ ( t )= ⇔ t ≈ 3,9665 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có khối lượng riêng lớn vật thể tích nhỏ lúc vật có nhiệt độ xấp xỉ gần 4° C Nhận xét: Ta đã biết môn vật lý lớp 7, khối lượng riêng nước lớn thể tích tương ứng nước là nhỏ = V (t ) Câu 22: Thể tích nước bể bơi sau t phút bơm tính theo công thức t4 30t − 100 4 ( ≤ t ≤ 90 ) Tốc độ bơm nước thời điểm t tính v ( t ) = V ′ ( t ) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng A Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút thứ 90 B Tốc độ bơm luôn giảm C Tốc độ bơm tăng từ phút đến phút thứ 75 D Cả A, B, C sai Lời giải Chọn A Xét hàm V=′ t − t 10 100 ( ≤ t ≤ 90 ) t = V ′′ = t − t ⇒ V ′′ =0 ⇔ 100 t = 60 Bảng biến thiên: Trang 31 (32) t 90 60 V'' + - V' Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số V đồng biến trên ( 0;60 ) , nghịch biến trên ( 60;90 ) Câu 23 Công ty XDPL muốn làm đường ống dẫn khí từ địa điểm A trên bờ biển đến điểm B trên hòn đảo Khoảng cách ngắn từ điểm B đến bờ biển là km Giá để xây lắp km đường ống trên bờ là 50.000 USD , còn xây lắp nước là 130.000 USD B′ là điểm trên bờ biển cho BB′ vuông góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B′ là km đảo B biển 6km B' bờ biển 9km A Hỏi vị trí điểm M trên bờ biển cách A bao xa để chi phí xây lắp đường ống từ A qua M đến B là ít tốn kém nhất? A km B km C km D 6.5 km Lời giải Chọn D Đặt x B M km Khi đó BM = x + 36, AM = 9− x Chi phí xây dựng đường ống là S ( x) 130000 x + 36 + 50000(9 − x) (USD) = 13 x − 5 Hàm S ( x) xác định, liên tục trên= [0;9] và S ′( x) 10000 x + 36 169 = x 25( x + 36) S ′( x) = ⇔ 13 x = x + 36 ⇔ ⇔x= 0 ≤ x ≤ 5 = S (0) 1.230.000; = S 1.170.000; S (9) ≈ 1.406.165 2 Do đó chi phí thấp x = Vậy M cần cách A khoảng 6,5 km Câu 24 Một điểm C trên hòn đảo có khoảng cách ngắn đến bờ biển là 60 km , B là điểm trên bờ biển cho CB vuông góc với bờ biển Khoảng cách từ A trên bờ biển đến B là 100 km Để Trang 32 (33) tham dự buổi họp nhóm Strong Team Toán VD – VCD ngày 28/6/2019 , thầy Quý phải tính toán vị trí diễn họp địa điểm G trên đoạn AB để tổng chi phí lại hai nhóm các thầy cô là ít Biết nhóm thầy Quý từ C theo đường biển chi phí là 500 nghìn km, nhóm cô Thêm từ vị trí A trên đất liền km chi phí là 300 nghìn Hỏi thầy tìm vị trí điểm G cách B bao xa? A 40 km B 60 km C 55 km D 45 km Lời giải Đặt x BG (km), x ∈ [ 0;100] = Khi đó GC = x + 3600, AG = 100 − x Chi phí lại hai nhóm người để đến vị trí G là S ( x)= 500 x + 3600 + 300(100 − x) ( nghìn đồng) Hàm S ( x) xác định, liên tục trên [ 0;100= ] và S ′( x) 500 x x + 3600 − 300 25= x 9(x + 3600) S '( x) = ⇔ x = x + 3600 ⇔ ⇔ x = 45 0 ≤ x ≤ 100 = S (0) 60000; = S ( 45 ) 54000; S (100) ≈ 58310 Do đó chi phí thấp x = 45 Vậy G cần cách B khoảng 45 km Câu 25 Một xưởng in có máy in, máy in 4000 in khổ giấy A4 Chi phí để bảo trì, vận hành máy lần in là 50000 đồng Chi phí in ấn n máy chạy là 20 ( 3n + ) nghìn đồng Hỏi in 50000 in khổ giấy A4 thì phải sử dụng bao nhiêu máy để thu nhiều lãi nhất? A máy B máy C máy D máy Lời giải Chọn D Gọi số cần in là x thì n máy in 4000.n.x in x = x 50000 ⇒ nx Ta có 4000.n.= 25 Chi phí n máy chạy x là 20 x ( 3n + ) nghìn đồng Chi phí để bảo trì n máy là 50n nghìn đồng Tổng chi phí là f ( n ) = 20 x ( 3n + ) + 50n = 60 xn + 100 x + 50n = 750 + 1250 + 50n n Trang 33 (34) 1250 − + 50 , f ′ ( n ) = ⇔ n = f ′(n) = n Ta có bảng biến thiên Để thu tiền lãi cao cần chi phí thấp nhất, n = thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 26 Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu cho chi phí nhiên liệu làm vỏ lon là thấp nhất, tức là diện tích toàn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ đó V và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ thì nhà thiết kế phải thiết kế hình trụ có bán kính bao nhiêu? A V 2π B V 2π C V π D V π Lời giải Chọn B Gọi hình trụ có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r Ta có: Stp = S day + S xq = 2π r + 2π rl h (1) Mặt khác V= π r h ⇒ = Stp 2π r + Thay vào công thức (1) ta được:= Xét hàm số f= ( r ) 2π r + V V ⇒= l πr π r2 2V r 2V 2V V với r > Ta có f ′ ( r ) = 4π r − ; f ′ ( r ) = ⇔ r = 2π r r Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy f ( r ) đạt giá trị nhỏ r = V 2π Trang 34 (35) Hay Stp đạt giá trị nhỏ r = V 2π Câu 27 Trong môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn cấy vào Bằng thực nghiệm xác định 100t số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian qui luật N= (con vi khuẩn), ( t ) 1000 + 100 + t đó t là thời gian (đơn vị giây) Hãy xác định thời điểm sau thực cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên lớn là bao nhiêu? A C −10 B D 10 Lời giải Chọn D Ta có tốc độ phát triển đàn vi khuẩn thời điểm t là: N ′ (t ) = 100 (100 + t ) − 100t ( 2t ) (100 + t ) = 1002 − 100t (100 + t ) ( ∀t > ) Xét N ′ ( t ) = ⇔ t = 100 ⇔ t = 10 > Lập bảng biến thiên ta được: Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận max= N ( t ) N= (10 ) 1005 Câu 28 Khi nuôi cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy rằng: trên đơn vị diện tích n ) 480 − 20n (gam) mặt hồ có n cá thì trung bình cá sau vụ cân nặng Q (= Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? A 12 C 10 B 14 D 18 Lời giải Chọn A Mỗi các cân nặng trung bình sau vụ là: Q (= n ) 480 − 20n Khi đó với n cá thì cân nặng chúng là: P= ( n ) nQ= ( n ) 480n − 20n2 ⇒ P′ ( n ) =480 − 40n 12 Khi đó ta có bảng biến thiên: Xét P′ ( n ) = ⇔ n = Trang 35 (36) P ( n ) P= Dựa và bảng biến thiên, ta suy max = (12 ) 2880 ( với n > ) Câu 29 Đốt cháy các hidrocacbon dãy đồng đẳng nào đây thì tỉ lệ mol H 2O : mol CO2 giảm dần số cacbon tăng dần ? A Ankan B Anken C Ankin D Ankylbenzen Lời giải Chọn A Công thức tổng quát hidrocacbon là Cn H n + 2− k với k là số liên kết π phân tử Phương trình phản ứng cháy là: xt ,t → nCO2 + ( n + − k ) H 2O Cn H n + 2− k + O2 o Ta có nH 2O nCO2 = n +1− k n +1− k ,n∈ N* Xét hàm= số f ( n ) n n Ta có f ′ ( n ) = ⇔ k −1 Theo giả thiết ta có f ( n ) là hàm nghịch biến nên f ′ ( n ) < n2 k −1 k∈ < ⇔ k − < ⇔ k < → k = ⇒ CTTQ : Cn H n + : ankan n2 Câu 30 Cho phương trình phản ứng tạo thành Nitơ (IV) Oxit từ Nitơ ddiooxxit và Oxy là o dk ,t , xt → NO + O2 ← NO2 Biết đây là phản ứng thuận nghịch Giả sử x, y là nồng độ phần trăm khí NO và O2 tham gia phản ứng Biết tốc độ phản ứng hóa học phản ứng trên xác định v = kx y , với k là số tốc độ phản ứng Để tốc độ phản ứng xảy nhanh thì tỉ số A B x là ? y C D Lời giải Chọn B v kx = y kx (100 − x ) ( x + = y 100% ) , < x < 100 Ta có = Xét hàm số f = x ) k (100 x − x3 ) ( x ) kx (100 −= Trang 36 (37) Bài toán trở thành tìm max f ( x ) = ? x∈( 0;100 ) x = ( ktm ) k 200 x − x , f ′ ( x ) = 0⇔ Ta có: f ′ ( x ) = x 200 ∈ ( 0;100 ) = Lập bảng biến thiên ta có: 200 Dựa vào bảng biến thiên ta suy max f ( x ) = f x∈( 0;100 ) Và đó ta có y= 100 − x= 100 x ⇒ = y = G ( x ) 0, 035 x (15 − x ) , đó Câu 31 Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x tính miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều A x = B x = C x = 15 D x = 10 Lời giải Chọn D Điều kiện x ∈ [ 0;15] (vì độ giảm huyết áp không âm) Bài toán trở thành: Tìm x ∈ [ 0;15] để G ( x ) đạt giá trị lớn Theo giả thiết = G ( x ) 0, 035 (15 x − x ) ⇒ G′ (= x ) 0, 035 ( 30 x − x ) x = Cho G′ ( x )= ⇔ Khi đó ta có bảng biến thiên sau x = 10 Trang 37 (38) Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều là x = 10 (mg) Câu 32 Các chuyên gia Y-tế ước tính số người nhiễm virus Zika kể từ ngày xuất bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f ( t ) = 45t − t , ( t = 0,1, 2, , 25 ) Nếu coi f ( t ) là hàm xác định trên đoạn [0; 25] thì f ' ( t ) xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t Tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ mấy? A 20 B 10 C 15 D Lời giải Chọn C Ta có f = 90t − 3t ( t ) 45t − t ⇒ f ' ( t ) = t ) 90t − 3t Bài toán trở thành: Tìm t ∈ [ 0; 25] để g ( t ) đạt giá trị lớn Đặt g (= g ' ( t= ) 90 − 6t Cho g ' ( t ) = ⇔ t = 15 Lập bảng biến thiên Vậy tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ 15 Câu 33 Trong nội dung thi điền kinh, bơi lội và đua xe đạp phối hợp diễn hồ bơi có chiều rộng 70 m và chiều dài 250 m Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc hai) phải thực lộ trình xuất phát từ A đến C và đua xe đạp tới D hình vẽ Hỏi sau chạy bao xa (quãng đường x ) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi đích nhanh ? Biết vận tốc vận động viên chạy trên bờ, bơi và đua xe là m/s; 1,5 m/s và 10 m/s A 139,52 m B 129,52 m C 109,52 m D 119,52 m Lời giải Chọn D A x B ( 250 − x ) m 70m D 250m C Trang 38 (39) Gọi B là vị trí VĐV kết thúc phần chạy điền kinh và AB= x ( < x < 250 ) AB x = là thời gian từ A đến B v1 t1 Khi đó ta đó= Đồng thời quãng đường bơi chính là BC = BC Suy ra= t2 = 1,5 702 + ( 250 − x ) 1,5 t3 Thời gian đua xe đạp là= 702 + (250 − x) là thời gian bơi từ B đến C CD 250 = = 25s 10 10 702 + ( 250 − x ) x Tổng thời gian VĐV là T = t1 + t2 + t3 = + + 25 1,5 70 + ( 250 − x ) x Xét hàm f ( x) = + + 25 , ( < x < 250 ) 1,5 2 Bài toán trở thành tìm f ( x) x∈(0,250) Ta có f '( x)= 2(250 − x) − 702 + ( 250 − x )2 f '( x) =0 ⇔ 702 + ( 250 − x ) − 10(250 − x) =0 ⇔ 702 + ( 250 − x )= 10(250 − x) ⇔ 91( 250 − x ) = 9.702 x =250 − ⇔ = x 250 + 210 (=x0 ) 91 210 (loai ) 91 Dựa vào BBT = f ( x) f ( x0 ) ≈ 119,52 ( m ) x∈(0,250) Câu 34 Trong nội dung thi điền kinh, bơi lội và đua xe đạp phối hợp diễn hồ bơi có chiều rộng 50 m và chiều dài 250 m Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc hai) phải thực lộ trình xuất phát từ A đến C và đua xe đạp tới D hình vẽ Hỏi sau chạy bao xa (quãng đường x ) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục Trang 39 (40) bơi đích nhanh ? Biết vận tốc vận động viên chạy trên bờ, bơi và đua xe là m/s; 1,5 m/s và 10 m/s A 109,8 m B 105,8 m C 106,8 m D 107,8 m Lời giải Chọn D x A ( 250 − x ) m B 50m D C 250m Gọi B là vị trí VĐV kết thúc phần chạy điền kinh và AB= x ( < x < 250 ) AB x là thời gian từ A đến B = v1 Khi đó ta đó= t1 Đồng thời quãng đường bơi chính là BC = 502 + ( 250 − x ) BC Suy ra= t2 = 1,5 1,5 t3 Thời gian đua xe đạp là= 502 + (250 − x) là thời gian bơi từ B đến C CD 250 = = 25s 10 10 502 + ( 250 − x ) x Tổng thời gian VĐV là T = t1 + t2 + t3 = + + 25 1,5 50 + ( 250 − x ) x Xét hàm f ( x) = + + 25 , ( < x < 250 ) 1,5 2 Bài toán trở thành tìm f ( x) x∈(0,250) Ta có f '( x)= 2(250 − x) − 502 + ( 250 − x )2 f '( x) =0 ⇔ 502 + ( 250 − x ) − 10(250 − x) =0 ⇔ 502 + ( 250 − x )= 10(250 − x) ⇔ 91( 250 − x ) = 9.502 Trang 40 (41) 150 x =250 − 91 (=x0 ) ⇔ 150 = x 250 + 91 (loai ) Dựa vào BBT = f ( x) f ( x0 ) ≈ 107,8 ( m ) x∈(0,250) Câu 35 Cho viên gạch men có dạng hình vuông OABC hình vẽ Sau tọa độ hóa, ta có O ( 0;0 ) , A ( 0;1) , B (1;1) , C (1;0 ) và hai đường cong là đồ thị hàm số y = x và y = x Tính diện tích phần không tô đậm trên viên gạch men y A B x O A B C C D Lời giải Chọn D Diện tích hình vuông có cạnh là S= 1= Gọi S1 là diện tích phần tô đậm Ta có S1 = ∫ ( x4 1 x − x3 dx = ∫ x − x3 dx = x − = 0 4 0 ) Vậy diện tích phần không tô đậm trên viên gạch men S − S1 =1 − 1 = 2 Câu 36 Người ta làm cái lu đựng nước cách cắt bỏ chỏm khối cầu có bán kính dm mặt phẳng vuông góc với đường kính và cách tâm khối cầu dm Tính thể tích lu Trang 41 (42) dm dm dm A 41π ( dm3 ) B 132π ( dm3 ) C 43π ( dm3 ) D 100 π ( dm3 ) Lời giải Chọn B y -5 -3 O x -5 Đặt hệ trục với tâm O là tâm mặt cầu, đường thẳng đứng là Ox , đường ngang là Oy Ta có phương trình đường tròn lớn là x + y = 25 Thể tích cái lu là thể tích vật tròn xoay tạo thành quay hình giới hạn các đường cong = y −3, x = quay quanh Ox 25 − x , trục Ox , đường thẳng x = x3 V = π ∫ ( 25 − x )dx = π 25 x − = 132π ( dm3 ) − −3 Câu 37 Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm , thiết diện vuông góc với trục và cách hai đáy có diện tích là 1600π ( cm ) , chiều dài trống là 1m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh trống là các đường Parabol Hỏi thể tích cái trống là bao nhiêu? A 425, dm3 B 425, mm3 C 425, cm3 D 425, m3 Lời giải Chọn A Trang 42 (43) Ta có chọn hệ trục Oxy hình vẽ Thiết diện vuông góc với trục, cách hai đáy là hình tròn có bán kính r có diện tích là = r 1600π ⇒ r 40cm 1600π ( cm ) , nên π= Ta có: Parabol nhận Oy làm trục đối xứng nên phương trình Parabol có dạng:= y ax + b Parabol có đỉnh I ( 0; 40 ) và qua A ( 50;30 ) b = 40 a = − Thay tọa độ I và A vào phương trình Parabol: ⇔ 250 30 50 a + b = b = 40 − x + 40 Nên Parabol có phương trình y = 250 50 406000 x + 40 dx = π cm ≈ 425, dm3 Thể tích trống là V =π ∫ − 250 −50 Câu 38 Bổ dọc dưa hấu ta thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm Biết 1000 cm3 dưa hấu làm cốc sinh tố giá 20000 đồng Hỏi từ dưa hấu trên có thể thu bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết bề dày vỏ dưa không đáng kể A 180000 đồng B 183000 đồng C 185000 đồng D 190000 đồng Lời giải Chọn B Trang 43 (44) Đường elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm có phương trình 25 ⇔= y 2 x2 y2 + = 142 25 x2 25 x2 − ⇔ y = ± − 142 14 2 14 25 x2 x2 25 Do đó thể tích quả= dưa là V π ∫ − dx π ∫ 1 − dx 1= 14 −14 14 −14 14 25 = π 14 x3 25 56 8750π cm3 ⋅ x − = π ⋅ = 3.14 −14 Do đó tiền bán nước thu là 8750π 20000 ≈ 183259 đồng 3.1000 Câu 39 Một bình hoa dạng khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − sin x + và trục Ox (tham khảo hình vẽ bên dưới) Biết đáy bình hoa là hình tròn có bán kính dm , miệng bình hoa là đường tròn bán kính 1.5 dm Bỏ qua độ dày bình hoa, Thể tích bình hoa gần với giá trị nào các giá trị sau đây? A 100 dm3 B 104 dm3 C 102 dm3 D 103 dm3 Lời giải Chọn D Giả sử thiết diện qua trục bình hoa miêu tả hình vẽ bên Chọn hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn gốc tọa độ O trùng với tâm đáy bình hoa, trục Ox trùng với trục bình hoa Bán kính hình tròn đáy bình hoa y A = nên − sin x A + = ⇒ sin x A = ⇒ x A = Bán kính đường tròn miệng bình hoa = yB 1,5 ( 2π < xB < 3π ) , tức là: Trang 44 (45) π 17π π sin ( xB − π ) + = 1,5 ⇒ sin ( xB − π ) =sin − ⇒ xB − π =− + 2π ⇒ xB = 6 6 Khi đó thể tích bình hoa giới hạn các đường y = − sin x + 2; y = 0; x = 0; x = định theo công thức V = π 17π ∫ ( − sin x + ) = π 17π ∫ − 4sin x + dx = π 17π 17π xác ∫ ( − 4sin x + sin x ) dx − cos x dx = π 17π 9 ∫ − 4sin x − cos x dx 17π sin x 51π 32 + 15 9 =π x + cos x − = − π ≈ 103, 07 ( dm3 ) 4 0 Câu 40 Hình elip ứng dụng nhiều thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc xây dựng đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất Xét Lavabo (bồn rửa) làm sứ đặc hình dạng là nửa khối elip tròn xoay có thông số kĩ thuật mặt trên Lavabo là: dài × rộng: 660 × 380 mm (tham khảo hình vẽ bên dưới), Lavabo có độ dày là 20 mm Thể tích chứa nước Lavabo gần với giá trị nào các giá trị sau: A 18, 66 dm3 B 18, 76 dm3 C 18,86 dm3 D 18,96 dm3 Lời giải Chọn B Giả sử mặt trên Lavabo biểu diễn hình vẽ bên Gọi hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Gọi ( E ) là elip nhỏ bên Trang 45 (46) Độ dài trục lớn ( E ) là 2a = 660 − 40 = 620 mm = Độ dài trục bé ( E ) là 2b = 380 − 40 = 340 mm = Vậy phương trình ( E ) là: x2 31 10 + y2 17 10 31 31 dm ⇒ a = dm 10 17 17 dm ⇒ b = dm 10 = ⇒ y= 289 100 x 1 − 100 961 Thể tích khối tròn xoay quay miền giới hạn ( E ) , trục Ox và x = − gạch chéo hình) quanh trục Ox là: V= π 31 31 , x= (Phần 10 10 31 10 289 100 x 8959π ∫31 100 1 − 961 dx = 750 ( dm ) − 10 Vậy thể tích chứa nước Lavabo là V ≈ 18, 76 dm3 (t ) 160 − 10t (m/s) Quãng đường mà vật Câu 41 Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v= chuyển động từ thời điểm t = ( s ) đến thời điểm mà vật dừng lại là A 1028 m B 1280 m C 1308 m D 1380 m Lời giải Chọn A ⇔ t0 = Gọi t0 là thời điểm vật dừng lại, đó v(t0 ) = ⇔ 160 − 10t0 = 16 16 Vậy quãng đường vật chuyển động đến lúc dừng lại là S = ∫ (160 − 10t )dt = 1280 (m) Trang 46 (47) Câu 42 Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian tính công thức v (t= ) 3t + 2(m/s) Biết thời điểm t = ( s ) thì vật quãng đường là 10 ( m ) Hỏi thời điểm t = 30 ( s ) thì vật quãng đường là bao nhiêu? A 1140 m B 300 m C 240 m D 1410 m Lời giải Chọn D Quãng đường vật theo thời gian là S (t ) = (t ) Vì S (2) = 10 ⇒ C = Khi đó S= ∫ (3t + 2)dt = 32 t + 2t + C t + 2t Tại thời điểm t = 30 ( s ) thì S (30) = 1410 ( m ) Câu 43 Một vật chuyển động với vận tốc v = 25 ( m/s ) thì thay đổi vận tốc với gia tốc tính ( ) theo thời gian t là a ( t= ) 2t − m/s Tính quãng đường vật kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé 107 m A B 144 m D 57 m C 28 m Lời giải Chọn D Vận tốc vật thay đổi là v ( t ) = ∫ ( 2t − ) dt = t − 6t + C 25 Tại thời điểm t = (khi vật bắt đầu thay đổi vận tốc) có v0 = 25 ⇒ C = Suy v ( t ) = t − 6t + 25 Ta có v ( t ) =( t − 3) + 16 ≥ 16 , suy vận tốc vật đạt bé t = Quãng đường vật khoảng thời gian đó là 3 1 S= ∫ v ( t ) dt= ∫ ( t − 6t + 25) dt = t − 3t + 25t = 57 ( m ) 3 0 0 Câu 44 Một mô tô chạy với vận tốc v0 ( m/s ) thì gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh Từ ( ) thời điểm đó ôtô chuyển động chậm dần với gia tốc a = −8t m/s đó t là thời gian tính giây Biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô còn di chuyển 12 ( m ) Tính v0 ? Trang 47 (48) A 18 m/s B 86 m/s C 1269 m/s D 1296 m/s Lời giải Chọn D a =−8t ( m / s ) ⇒ v =∫ −8tdt =−4t + C Tại thời điểm t = thì vận tốc vật là v0 ( m/s ) nên ta có v0 = C −4t + v0 Vậy v = −4t0 + v0 ⇔ 4t0 = v0 Tại thời điểm t0 vận tốc vật là nên ta có = Ta có: ∫ t0 12 ⇔ − ( −4t + v0 ) dt = 36 4t03 4t03 ⇔ t = + 4t0 =12 + v0t0 =12 ⇔ − 3 36 = ⇒ v0 = 1296 ( m/s ) Câu 45 Đầu tháng năm 2019 , ông An đầu tư vào chăn nuôi tằm với số tiền vốn ban đầu là 200 (triệu đồng) Biết quá trình chăn nuôi gặp thuận lợi nên số tiền đầu tư ông liên tục tăng 12000 , với t là thời gian đầu tư tính tháng theo tốc độ mô tả công thức f ′(t ) = ( t + 5) (thời điểm t = ứng với đầu tháng năm 2019 ) Hỏi số tiền mà ông An thu tính đến đầu tháng năm 2023 gần với số nào sau đây? A 2737 (triệu đồng) B 2307 (triệu đồng) C 2370 (triệu đồng) D 2703 (triệu đồng) Lời giải Chọn C Tốc độ thay đổi vốn đầu tư ông An vào tháng thứ t là f ′(t ) = 12000 ( t + 5) nên nguyên hàm hàm f ′(t) là hàm số f (t) mô tả số tiền ôn An có tính đến tháng thứ t f (t ) = Ta có 12000 f ′(t )dt ∫ = dt ∫= ( t + 5) −12000 +C t +5 Số tiền ông An thời điểm t = là f (0)= −12000 + C= 200 ⇒ C= 2600 0+5 Vậy số tiền mà ông An thu tính đến đầu tháng năm 2023 (ứng với t = 48 tháng) là Trang 48 (49) f (48)= −12000 + 2600= 2373,585 (triệu đồng) 48 + Câu 46 Giả sử sau t năm, vốn đầu tư doanh nghiệp phát sinh lợi nhuận với tốc độ P′ (= t ) 126 + t (triệu đồng/năm) Hỏi sau 10 năm đầu tiên thì doanh nghiệp thu lợi nhuận là bao nhiêu (đơn vị triệu đồng) B 1235 A 5020 C 3257 D 4780 Lời giải Chọn D Sau 10 năm đầu tiên thì doanh nghiệp thu lợi nhuận là T= 10 ∫ (126 + t )dt = 4780 (triệu đồng) Câu 49: Một cái cổng hình parabol hình vẽ Chiều cao GH = m , chiều rộng AB = m , AC = BD = 0,9 m Chủ nhà làm hai cánh cổng đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/m2 Hỏi tổng chi phí để làm hai phần nói trên gần với số tiền nào đây? A 11445000 (đồng) B 7368000 (đồng) C 4077000 (đồng) D 11370000 (đồng) Lời giải Chọn A Gắn hệ trục tọa độ Oxy cho AB trùng Ox , A trùng O đó parabol có đỉnh G ( 2; ) và qua gốc tọa độ Trang 49 (50) Giả sử phương trình parabol có dạng y = ax + bx + c ( a ≠ ) c = a = −1 −b Vì parabol có đỉnh là G ( 2; ) và qua điểm O ( 0;0 ) nên ta có =2 ⇔ b = 2a c = a.22 + b.2 + c = = y f= ( x) − x + x Suy phương trình parabol là 4 x3 32 Diện tích cổng là S =∫ ( − x + x )dx = − + x = (m ) 0 Mặt khác chiều cao CF = DE = f ( 0,9 = − 2.0,9 = 2, ( m ) ) 2,79(m) ; CD = ( ) CD= CF 6,138 ≈ 6,14 m Diện tích hai cánh cổng là S= CDEF 32 6793 S SCDEF = − 6,14 = ≈ 4,53(m ) Diện tích phần xiên hoa là S xh =− 1500 Số tiền làm hai cánh cổng là T1 6,14.1200000 = = 7368000 ( đ ) và tiền làm phần xiên hoa là T2 4,53.900000 = = 4077000 ( đ ) Vậy tổng chi phí là 11445000 đồng Câu 50: Để tăng thêm thu nhập, ông Bình chăn nuôi thêm bò Do diện tích đất nhà ông hẹp nên ông xây chuồng bò hình vẽ bên và chia thành phần để nhốt bò Biết ABCD là hình vuông cạnh m và I là đỉnh Parabol có trục đối xứng là trung trực BC và parabol qua hai điểm A , D Tiền xây chuồng bò hết 350000 đồng/ m Biết I cách BC khoảng 5m , hãy tính số tiền chi phí ông Bình bỏ để xây dựng chuồng bò (làm tròn đến hàng nghìn)? Trang 50 (51) C B D A I A 6.333.000 đồng B 7.533.000 đồng C 6.533.000 đồng D 7.333.000 đồng Lời giải Chọn C Xét hệ trục tọa độ hình vẽ sau y C -2 O D B x A -5 I Khi đó parabol có đỉnh I ( 0; −5) và qua hai điểm A ( 2; −2 ) , D ( −2; −2 ) nên có phương trình = y x −5 56 Diện tích chuồng bò là S =∫ − x + dx = ( m ) −2 Vậy tổng số tiền ông Bình xây chuồng bò là 56 19600000 ⋅ 350000= ≈ 6533000 đồng 3 Câu 49 Người ta sản xuất loại đèn trang trí ngoài trời (Trụ sở, quảng trường, công viên, sân vườn…) gồm có hai phần: Phần bóng đèn có dạng mặt cầu bán kính R dm , làm thủy tinh suốt; Phần đế bóng đèn làm nhựa để cách điện, có dạng phần khối cầu bán kính r dm và thỏa mãn đường kính là dây cung hình tròn lớn bóng đèn Một công viên muốn tạo điểm nhấn ánh sáng, đặt loại bóng có kích thước R = dm , r = dm Tính thể tích V phần nhựa để làm đế bóng đèn theo đơn đặt hàng (Bỏ qua ống luồn dây điện và bulông ốc phần đế) Trang 51 (52) A V = 36π dm B V = 68π dm3 C V = 14π dm3 D V = 40π dm3 Lời giải Chọn D Gọi I , R là tâm và bán kính hình cầu phần bóng đèn và K , r là tâm và bán kính khối cầu để làm đế bóng đèn Ta có R = IA = dm ,= r KA = dm và đường kính AB vuông góc với đường thẳng nối hai tâm I và K Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ: Gốc tọa độ O ≡ K , trục Oy ≡ AB Xét tam giác vuông OIA ta có: IK= IA2 − KA2= R − r 2= 25 − 9= ⇒ I ( −4;0 ) và KD = R − IK = − = Phương trình đường tròn tâm K ( 0;0 ) bán kính r = là ( C1 ) : x + y = 25 Phương trình đường tròn tâm I ( −4;0 ) bán kính R = là ( C2 ) : ( x + ) + y = Gọi V1 là phần thể tích quay hình phẳng giới hạn ( C1 ) , trục Ox , x = và x = , ta có: x3 V1 = π ∫ ( − x ) dx = π x − = 18π ( dm3 ) 0 Gọi V2 là phần thể tích quay hình phẳng giới hạn ( C2 ) , trục Ox , x = và x = , ta có: Trang 52 (53) ( = V2 π ∫ 25 − ( x + ) V2 18π − Do đó V= V1 −= ) x + 4) ( 14π = = dx π 25 x − ( dm3 ) 3 0 14π 40π = dm3 ) ( 3 Câu 50 Một bồn nước Inox SONHA® ngang có hai đầu bồn là hình phẳng elip Thể tích tối đa đóng nắp bồn là V1 = 3000 lít Bồn có chiều dài l = 2, m và gấp lần chiều cao bồn Để nước bơm tự động vào bồn, người ta lắp phao điện cho mực nước bồn cao h = 0, 75 m so với điểm thấp đáy bồn thì phao đóng không cho nước chảy vào bồn Tính thể tích nước bồn phao đóng (bỏ qua độ dày bồn nước và kết làm tròn đến phần trăm) A V = 2.41 m B V = 2.43 m C V = 2.40 m D V = 2.44 m Lời giải Chọn A Ta có 3000 lít = m Xét thiết diện ngang bồn nước là hình elip ( E ) có độ dài trục lớn là 2a , độ dài trục nhỏ là 2b và chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Độ dài BB′ = m là chiều cao bồn nước, suy độ dài trục nhỏ ( E ) là 2b =1 ⇒ b = (m) Ta có: V1 = π a.b.l ⇒ = a V1 3 = = (m) π b.l π 0,5.2 π Trang 53 (54) Vậy phương trình Elip là: x2 y x2 y = 1 − + =⇒ 9 4 π π2 1 2 − x 2π ± = (9 − x π ) ⇒ y = 36 Khi phao điện đóng, mực nước bồn là MN ⇒ OK = OB − BK = 0,5 − 0, 25 = 0, 25 = Vì MN song song với trục Ox nên ta có phương trình MN là y = Hoành độ điểm M , N thỏa mãn phương trình : 3 3 3 27 1 ⇒ x =± ⇒ xM =− ; xN = − x 2π ) ⇔ x 2= ( = 2π 2π 2π 4π 36 Phần diện tích S2 giới hạn ( E ) qua điểm B và đường thẳng MN là: = S2 3 2π − Xét: I = 3 2π ∫ − 3 2π π 1 1 2 dx ∫ − x π −= 4 3 2π 3 2π ∫ − 3 2π 3 π 3 2π 3 I − x d x x = − − −3 4π π 2π 3 3 x x sin t ⇒ d= cos tdt − x dx Đặt = π π π Đổi cận: Khi x = − Khi x = 3 π thì sin t =− ⇒ t =− ; 2π 3 thì sin t= 2π π ⇒ t= Khi đó: π π 3 3 I =∫ cos tdt = 2π π π π − = π 3 cos d sin t t x t + = + ( ) ∫π 2π −π − 3 π 3 π 3 + − − − = + 2π 2π π 4π π 3 3 3 3 =− Vậy S = + − π 4π 4π 8π Thể tích phần không gian không chứa nước phao đóng là: V2 = S l = − 3 4π 3 Vậy thể tích nước cần tìm là: V =V1 − V2 =3 − − ≈ 2.41 ( m ) 4π Trang 54 (55)