1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

50 BAI TOAN HINH 9 C LOI GIAI

51 22 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 51
Dung lượng 339,39 KB

Nội dung

Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa ñöôøng troøn caét nhau taïi D.Töø D keû ñöôøng thaúng song song vôùi AB,ñöôøng na[r]

(1)

MỘT TRĂM BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9.

(2)

Bài 51:Cho (O), từ điểm A nằm đường tròn (O), vẽ hai tt AB AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E

1 C/m ABOC nội tiếp Chứng tỏ AB2=AE.AD.

3 C/m goùc AOC ACB  và BDC cân.

4 CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB

1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m)

2/C/m: AB2=AE.AD Chứng minh ADB ∽ ABE , có E chung. Sđ ABE = 12 sđ cung BE (góc tt dây)

Sñ BDE=

2 sñ BE (góc nt chắn BE) 3/C/m AOC ACB 

* Do ABOC nt AOC ABC  (cùng chắn cung AC); AC = AB (t/c tt cắt

nhau)  ABC cân AABC ACB   AOC ACB 

* sđ ACB= 12 sđ BEC (góc tt dây); sđ BDC = 12 sđ BEC (góc nt)  BDC=ACB mà ABC=BDC (do CD//AB)  BDC BCD   BDC cân B.

4/ Ta có I chung; IBE ECB  (góc tt dây; góc nt chắn cung BE)

IBE∽ICB IEIB=IB

IC  IB2=IE.IC

Xét IAE ICA có I chung; sđ IAE = 12 sđ (DB BE   ) mà BDC cân B

 

DB BC sñ IAE=

   

sñ (BC-BE) = sñ CE= sñ ECA

 IAE∽ICA IAIC=IE

IA IA2=IE.IC Từ uvàvIA2=IB2 IA=IB

I

E

D

C B

O A

(3)

Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp (O) đường kính AA’

1 Tính bán kính (O)

2 Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ hình gì? Kẻ AKCC’ C/m AKHC hình thang cân

4 Quay ABC vịng quanh trục AH Tính diện tích xung quanh hình tạo

Hình bình hành Vì AA’=CC’(đường kính đường trịn)AC’A’C hình chữ nhật

3/ C/m: AKHC thang cân:

 ta có AKC=AHC=1vAKHC nội tiếp.HKC=HAC(cùng chắn cung HC) mà

OAC cân OOAC=OCAHKC=HCAHK//ACAKHC hình thang

 Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH) KAO+OAC=KCH+OCAHình

thang AKHC có hai góc đáy nhau.Vậy AKHC thang cân

4/ Khi Quay  ABC quanh trục AH hình sinh hình nón Trong BH bán kính đáy; AB đường sinh; AH đường cao hình nón

Sxq= 12 p.d= 12 2.BH.AB=15 V= 13 B.h= 13 BH2.AH=12

Bài 53:Cho(O) hai đường kính AB; CD vng góc với Gọi I trung điểm OA Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD) Đường thẳng vng góc với MQ M cắt (O) P

1 C/m: a/ PMIO thang vuông b/ P; Q; O thẳng hàng

2 Gọi S Giao điểm AP với CQ Tính Góc CSP

H K

C'

C A'

A

O

B

1/Tính OA:ta có BC=6; đường cao AH=4  AB=5; ABA’ vuông

BBH2=AH.A’H

A’H= BHAH2 = 94

AA’=AH+HA’= 254

AO= 258

2/ACA’C’ hình gì? Do O trung điểm AA’ CC’ACA’C’ laø

(4)

3 Gọi H giao điểm AP với MQ Cmr: a/ MH.MQ= MP2.

b/ MP tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp QHP

và CM=QD  CP=QD  sñ CSP= 12 sñ(AQ+CP)= sñ CSP= 12 sñ(AQ+QD) =

2 sđAD=45

o.Vậy CSP=45o.

3/ a/ Xét hai tam giác vng: MPQ MHP có : Vì  AOM cân O; I trung điểm AO; MIAOMAO tam giác cân M AMO tam giác  cung AM=60o MC = CP =30o  cung MP = 60o  cung AM=MP  góc MPH= MQP (góc nt chắn hai cung nhau.) MHP∽MQP đpcm

b/ C/m MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  QHP

Gọi J tâm đtròn ngoại tiếp QHP.Do cung AQ=MP=60o HQP cân H và QHP=120oJ nằm đường thẳng HO HPJ tam giác mà HPM=30oMPH+HPJ=MPJ=90o hay JPMP P nằm đường tròn ngoại tiếp HPQ đpcm

Baøi 54:

Cho (O;R) cát tuyến d không qua tâm O.Từ điểm M d (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai C.Gọi H chân đường vng góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vng góc với BC O cắt AM D

1 C/m A; O; H; M; B nằm đường tròn. 2 C/m AC//MO MD=OD.

3 Đường thẳng OM cắt (O) E F Chứng tỏ MA2=ME.MF 1/ a/ C/m MPOI thang vuông

Vì OIMI; COIO(gt) CO//MI mà MPCO MPMIMP//OIMPOI thang vuoâng

b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng: Do MPOI thang vuông IMP=1v hay QMP=1v QP đường kính (O) Q; O; P thẳng hàng

2/ Tính góc CSP: Ta có

sđ CSP= 12 sđ(AQ+CP) (góc có đỉnh nằm đường trịn) mà cung CP = CM

S

J H

M P

Q I

D C

O

A B

(5)

tích phần tạo hai tt với đường tròn trường hợp

C/mMD=OD Do OD//MB (cùng CB)DOM=OMB(so le) mà

OMB=OMD(cmt)DOM=DMODOM cân Dđpcm

3/C/m: MA2=ME.MF: Xét hai tam giác AEM MAF có góc M chung Sđ EAM= 12 sd cungAE(góc tt dây)

Sđ AFM= 12 sđcungAE(góc nt chắn cungAE) EAM=A FM MAE∽MFAđpcm

4/Vì AMB tam giác đềugóc OMA=30oOM=2OA=2OB=2R Gọi diện tích cần tính S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB

Ta coù AB=AM= √OM2

− OA2 =R √3 S AMBO= 12 BA.OM= 12 2R R √3 = R2 √3  Squaït= πR

2

.120

360 =

πR2

3 S= R

2

√3 - πR

2

3 =

(3√3 − π)R2

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 55:

Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường trịn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vuông góc với MN M cắt Ax By D C

1 C/m AMN=BMC. 2 C/mANM=BMC.

3 DN cắt AM E CN cắt MB F.C/m FEAx. 4 Chứng tỏ M trung điểm DC.

d

H C

E O F

B

A D

1/Chứng minh

OBM=OAM=OHM=1v 2/ C/m AC//OM: Do MA vaø

MB hai tt cắt BOM=OMB MA=MB MO đường trung trực ABMOAB

(6)

1/C/m AMN=BMA

Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) NMDCNMC=1v vậy: AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v AMN=BMA

2/C/m ANM=BCM:

Do cung AM=MB=90o.dây AM=MB MAN=MBA=45o.(AMB vuông cân M)MAN=MBC=45o.

Theo c/mt CMB=AMN ANM=BCM(gcg) 3/C/m EFAx

Do ADMN ntAMN=AND(cùng chắn cung AN) Do MNBC ntBMC=CNB(cùng chắn cung CB) Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1)

Ta lại có AND+DNA=1vCNB+DNA=1v ENC=1v mà EMF=1v EMFN nội tiếp EMN= EFN(cùng chắn cung NE) EFN=FNB

 EF//AB mà ABAx  EFAx 4/C/m M trung điểm DC:

Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN).

NMC vng cân M MN=NC Và NDC vuông cân NNDM=45o.

MND vuông cân M MD=MN MC= DM đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 56:

Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C kẻ CDAB; CEMA; CFMB Gọi I K giao điểm AC với DE BC với DF

1 C/m AECD nt. 2 C/m:CD2=CE.CF

3 Cmr: Tia đối tia CD phân giác góc FCE.

Hình 55 554

(7)

1/C/m: AECD nt: (dùng phương pháp tổng hai góc đối) 2/C/m: CD2=CE.CF.

Xét hai tam giác CDF CDE có:

-Do AECD ntCED=CAD(cùng chắn cung CD) -Do BFCD ntCDF=CBF(cùng chắn cung CF) Mà sđ CAD= 12 sđ cung BC(góc nt chắn cung BC)

Và sđ CBF= 12 sđ cung BC(góc tt dây)FDC=DEC

Do AECD nt BFCD nt DCE+DAE=DCF+DBF=2v.Mà MBD=DAM(t/c hai tt cắt nhau)DCF=DCE.Từ uvà vCDF∽CEDđpcm

3/Gọi tia đối tia CD Cx,Ta có góc xCF=180o-FCD

xCE=180o-ECD.Mà theo cmt có: FCD= ECD xCF= xCE.đpcm. 4/C/m: IK//AB

Ta có CBF=FDC=DAC(cmt)

Do ADCE ntCDE=CAE(cùng chắn cung CE)

ABC+CAE(góc nt góc tt… chắn cung)CBA=CDI.trong CBA có BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2vDKCI nội tiếp KDC=KIC (cùng chắn cung CK)KIC=BACKI//AB

Baøi 57:

Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax Ax lấy điểm P cho P>R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn

1 C/m BM/ / OP

2 Đường vng góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN hình bình hành

3 AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng hàng

x K

I D

F

E

M O

B A

C

(8)

1/ C/m:BM//OP:

Ta có MBAM (góc nt chắn nửa đtròn) OPAM (t/c hai tt cắt nhau)  MB//OP

2/ C/m: OBNP hình bình hành:

Xét hai  APO OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) NB//AP  POA=NBO (đồng vị)APO=ONB PO=BN Mà OP//NB (Cmt)  OBNP hình bình hành

3/ C/m:I; J; K thẳng hàng:

Ta có: PMOJ PN//OB(do OBNP hbhành) mà ONABONOJI trực tâm OPJIJOP

-Vì PNOA hình chữ nhật P; N; O; A; M nằm đường tròn tâm K, mà MN//OP MNOP thang cânNPO= MOP, ta lại có NOM = MPN (cùng chắn cung NM) IPO=IOP· · IPO cân I Và KP=KOIKPO Vậy K; I; J thẳng hàng

Bài 58:Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vng góc với AB O cắt nửa đường trịn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I

1 C/m ABI vuoâng caân

2 Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m

AC.AI=AD.AJ

3 C/m JDCI nội tiếp.

Q J

K

N

I P

O

A B

M

(9)

AK qua trung điểm DH

ABC vng cân C Mà BtAB có góc CAB=45 o  ABI vuông cân B. 2/C/m: AC.AI=AD.AJ

Xét hai ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA= 12 sđ cung AC =45o. Mà  ABI vuông cân BAIB=45 o.CDA=AIB ADC∽AIJđpcm 3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v CDJ+CIJ=2vCDJI nội tiếp 4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND

-Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) KDB=KBD.Mà KBD+DJK= 1v KDB+KDJ=1vKJD=JDKKDJ cân K KJ=KD KB=KJ

-Do DH JBAB(gt)DH//JB p dụng hệ Ta lét tam giác AKJ AKB ta có:

DN JK = AN AK ; NH KB = AN AK  DN JK = NH

KB maø JK=KBDN=NH

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 59:

Cho (O) hai đường kính AB; CD vng góc với Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M

1 Chứng minh: NMBO nội tiếp.

2 CD đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM MD phân

giác góc góc ngồi góc AMB

3 C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM

4 Nếu ON=NM Chứng minh MOB tam giác đều. Hình 58 554 N H J K I C O A B D

1/C/m ABI vuông cân(Có nhiều cách-sau C/m cách):

-Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)ABC vng C.Vì OCAB trung điểm OAOC=COB=1v

 cung AC=CB=90o.

CAB=45 o (góc nt bằng

(10)

sđ DMB= 12 sđcung DB=45o.AMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o EMC=CMA=45o.Vậy CM MD phân giác góc góc ngồi góc AMB

3/C/m: AM.DN=AC.DM

Xét hai tam giác ACM NMD có CMA=NMD=45 o.(cmt) Và CAM=NDM(cùng chắn cung CM)AMC∽DMNđpcm 4/Khi ON=NM ta c/m MOB tam giác

Do MN=ONNMO vcân NNMO=NOM.Ta lại có: NMO+OMB=1v NOM+MOB=1vOMB=MOB.Mà OMB=OBM OMB=MOB=OBMMOB tam giác

ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 60:

Cho (O) đường kính AB, d tiếp tuyến đường tròn C Gọi D; E theo thứ tự hình chiếu A B lên đường thẳng d

1 C/m: CD=CE. 2 Cmr: AD+BE=AB.

3 Vẽ đường cao CH ABC.Chứng minh AH=AD BH=BE. 4 Chứng tỏ:CH2=AD.BE.

5 Chứng minh:DH//CB.

E

M

D C

O

A B

N

1/C/m NMBO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối)

2/C/m CM MD phân giác góc góc ngồi góc AMB:

-Do ABCD trung điểm O AB CD.Cung

AD=DB=CB=AC=90 o.

sđ AMD= 12

sñcungAD=45o.

(11)

của hình thang ta có:OC= BE+AD2 BE+AD=2.OC=AB 3/C/m BH=BE.Ta có:

sđ BCE= 12 sdcung CB(góc tt dây)

sđ CAB= 12 sđ cung CB(góc nt)ECB=CAB;ACB cng CHCB=HCA HCB=BCE HCB=ECB(hai tam giác vng có cạnh huyền góc nhọn nhau) HB=BE

-C/m tương tự có AH=AD 4/C/m: CH2=AD.BE.

ACB có C=1v CH đường cao CH2=AH.HB Mà AH=AD;BH=BE  CH2=AD.BE.

5/C/m DH//CB

Do ADCH noäi tiếp  CDH=CAH (cùng chắn cung CH) mà CAH=ECB (cmt)  CDH=ECB DH//CB

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 61:

Cho ABC có: A=1v.D điểm nằm cạnh AB.Đường trịn đường kính BD cắt BC E.các đường thẳng CD;AE cắt đường tròn điểm thứ hai F G

1 C/m CAFB nội tiếp C/m AB.ED=AC.EB Chứng tỏ AC//FG

4 Chứng minh AC;DE;BF đồng quy

Do ADd;OCd;BEd AD//OC//BE.Mà OH=OBOC đường trung bình hình thang ABED CD=CE 2/C/m AD+BE=AB Theo tính chất đường trung bình

Hình 60 554 d

H

E D

O

A B

(12)

1/C/m CAFB nội tiếp(Sử dụng Hai điểm A; Fcùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC)

2/C/m ABC EBD đồng dạng 3/C/m AC//FG:

Do ADEC nội tiếp ACD=AED(cùng chắn cung AD) Mà DFG=DEG(cùng chắn cung GD)ACF=CFGAC//FG 4/C/m AC; ED; FB đồng quy:

AC FB kéo dài cắt K.Ta phải c/m K; D; E thẳng hàng

BACK CFKB; ABCF=DD trực tâm KBCKDCB Mà DECB(góc nt chắn nửa đường trịn)Qua điểm D có hai đường thẳng vng góc với BCBa điểm K;D;E thẳng hàng.đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

(13)

Cho (O;R) đường thẳng d cố định không cắt (O).M điểm di động d.Từ M kẻ tiếp tuyến MP MQ với đường tròn Hạ OHd H dây cung PQ cắt OH I;cắt OM K

1 C/m: MHIK nội tiếp.

2 2/C/m OJ.OH=OK.OM=R2.

3 CMr M di động d vị trí I ln cố định.

1/C/m MHIK nội tiếp (Sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m: OJ.OH=OK.OM=R2.

-Xét hai tam giác OIM OHK có O chung

Do HIKM nội tiếpIHK=IMK(cùng chắn cung IK) OHK∽OMI  OH

OM= OK

OI OH.OI=OK.OM 

OPM vuông P có đường cao PK.áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có:OP2

=OK.OM.Từ uvà vđpcm

4/Theo cm câu2 ta có OI= OHR2 mà R bán kính nên khơng đổi.d cố định nên OH khơng đổi OI không đổi.Mà O cố định I cố định

ÐÏ(&(ÐÏ

d

K I

H M O

Q P

(14)

Baøi 63:

Cho  vuông ABC(A=1v) AB<AC.Kẻ đường cao AH.Trên tia đối tia HB lấy HD=HB từ C vẽ đường thẳng CEAD E

1 C/m AHEC nội tiếp.

2 Chứng tỏ CB phân giác góc ACE AHE cân.

3 C/m HE2=HD.HC.

4 Gọi I trung điểm AC.HI cắt AE J.Chứng minh: DC.HJ=2IJ.BH. 5 EC kéo dài cắt AH K.Cmr AB//DK tứ giác ABKD hình thoi.

-C/m HAE cân: Do HAD=ACH(cmt) AEH=ACH(cùng chắn cung AH) HAE=AEHAHE cân H

3/C/m: HE2=HD.HC.Xét HED HEC có H chung.Do AHEC nt DEH=ACH(

chắn cung AH) mà ACH=HCE(cmt) DEH=HCE HED∽HCEđpcm 4/C/m DC.HJ=2IJ.BH:

Do HI trung tuyến tam giác vuông AHCHI=ICIHC cân I IHC=ICH.Mà ICH=HCE(cmt)IHC=HCEHI//EC.Mà I trung điểm ACJI đường trung bình AECJI= 12 EC

Xét hai HJD EDC có: -Do HJ//Ecvà ECAEHJJD HJD=DEC=1v HDJ=EDC(đđ)JDH~EDC JHEC=HD

DC

JH.DC=EC.HD mà HD=HB EC=2JIđpcm

5/Do AEKC CHAK AE CH cắt DD trực tâm ACKKDAC mà ABAC(gt)KD//AB

-Do CHAK CH phân giác CAK(cmt)ACK cân C AH=KH;Ta lại có BH=HD(gt),mà H giao điểm đường chéo tứ giác ABKD ABKD hình bình hành.Nhưng DBAK ABKD hình thoi

1/C/m AHEC nt (sử dụng hai điểm E H…)

2/C/m CB phân giác ACE

Do AHDB BH=HD ABD tam giác cân A BAH=HAD mà BAH=HCA (cùng phụ với góc B)

(15)

Cho tam giác ABC vng cân A.Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC D,kẻ CE Bx E.Hai đường thẳng AB CE cắt F

1 C/m FDBC,tính góc BFD C/m ADEF nội tieáp

3 Chứng tỏ EA phân giác góc DEF

4 Nếu Bx quay xung quanh điểm B E di động đường nào?

1/ C/m: FDBC: Do BEC=1v;BAC=1v(góc nt chắn nửa đtrịn).Hay BEFC; CAFB.Ta lại có BE cắt CA DD trực tâm FBCFDBC

Tính góc BFD:Vì FDBC BEFC nên BFD=ECB(Góc có cạnh tương ứng vng góc).Mà ECB=ACB(cùng chắn cung AB) mà ACB=45oBFD=45o 2/C/m:ADEF nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối

3/C/m EA phân giác góc DEF

Ta có AEB=ACB(cùng chắn cung AB).Mà ACB=45o(ABC vuông cân A) AEB=45o.Mà DEF=90oFEA=AED=45oEA phân giác…

4/Neâùu Bx quay xung quanh B : -Ta có BEC=1v;BC cố định

-Khi Bx quay xung quanh B Thì E di động đường trịn đường kính BC -Giới hạn:Khi Bx BC Thì EC;Khi BxAB EA Vậy E chạy cung phần tư AC đường trịn đường kính BC

ÐÏ(&(ÐÏ

D E

A

O C

B

(16)

Bài 65:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C cho AC<CB Gọi Ax; By hai tiếp tuyến nửa đường tròn Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CP với AM; E giao điểm CQ với BM

1/cm: ACMP nội tiếp 2/Chứng tỏ AB//DE

3/C/m: M; P; Q thẳng hàng

Q M

P

D E

A C O B 1/Chứng minh:ACMP nội tiếp(dùng tổng hai góc đối) 2/C/m AB//DE:

Do ACMP nội tiếp PAM=CPM(cùng chắn cung PM)

Chứng minh tương tự,tứ giác MDEC nội tiếpMCD=DEM(cùng chắn cung MD).Ta lại có:

Sđ PAM= 12 sđ cung AM(góc tt dây) Sđ ABM= 12 sđ cung AM(góc nội tiếp)

ABM=MEDDE//AB 3/C/m M;P;Q thẳng hàng:

Do MPC+MCP=1v(tổng hai góc nhọn tam giác vuông PMC) PCM+MCQ=1v MPC=MCQ

Ta lại có PCQ vng CMPC+PQC=1vMCQ+CQP=1v hay CMQ=1vPMC+CMQ=2vP;M;Q thẳng hàng

(17)

Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB điểm M nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đưởng tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax.Tia BM cắt tia Ax I Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F; Tia BE cắt Ax H; cắt AM K

1 C/m: IA2=IM.IB C/m: BAF caân

3 C/m AKFH hình thoi

4 Xác định vị trí M để AKFI nội tiếp

I

F M H

E K

A B

1/C/m: IA2=IM.IB: (chứng minh hai tam giác IAB IAM đồng dạng) 2/C/m BAF cân:

Ta có sđ EAB= 12 sđ cung BE(góc nt chắn cung BE) Sđ AFB = 12 sđ (AB -EM)(góc có đỉnh ngồi đtrịn)

Do AF phân giác góc IAM nên IAM=FAMcung AE=EM  sđ AFB= 12 sđ(AB-AE)= 12 sđ cung BEFAB=AFBđpcm 3/C/m: AKFH hình thoi:

Do cung AE=EM(cmt)MBE=EBABE phân giác cân ABF  BHFA AE=FAE trung điểm HK đường trung trực FA AK=KF AH=HF

Do AMBF BHFAK trực tâm FABFKAB mà AHAB AH//FK Hình bình hành AKFH hình thoi

5/ Do FK//AIAKFI hình thang.Để hình thang AKFI nội tiếp AKFI phải thang cângóc I=IAMAMI tam giác vng cân AMB vng cân MM điểm cung AB

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 67:

(18)

Cho (O; R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khác A; O; B) Đường thẳng CM cắt (O) N Đường vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh:

1 COMNP nội tiếp

2 CMPO hình bình hành

3 CM.CN không phụ thuộc vào vị trí M

4 Khi M di động AB P chạy đoạn thẳng cố định

C

K

A O M B N

D P y

Do OPNM nội tiếpOPM=ONM(cùng chắn cung OM) OCN cân O ONM=OCMOCM=OPM

Gọi giao điểm MP với (O) K.Ta có PMN=KMC(đ đ) OCM=CMK CMK=OPMCM//OPv.Từ  v CMPO hình bình hành

3/Xét hai tam giác OCM NCD có:CND=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)

NCD tam giác vuông.Hai tam giác vuông COM CND có góc C chung

OCM~NCDCM.CN=OC.CD

Từ  ta có CD=2R;OC=R.Vậy trở thành:CM.CN=2R2 khơng đổi.vậy tích CM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí vị trí M

4/Do COPM hình bình hànhMP//=OC=RKhi M di động AB P di động đường thẳng xy thoả mãn xy//AB cách AB khoảng R khơng đổi

ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 68:

1/c/m:OMNP nội tiếp: (Sử dụng hai điểm M;N làm với hai đầu đoạn OP góc vng

2/C/m:CMPO hình bình hành:

Ta có:

CDAB;MPABCO //MP.

(19)

chứa điểm A vẽ hai nửa đường trịn đường kính BH nửa đường trịn đường kính HC Hai nửa đường trịn cắt AB AC E F Giao điểm FE AH O Chứng minh:

1 AFHE hình chữ nhật BEFC nội tiếp

3 AE AB=AF AC

4 FE tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Chứng tỏ:BH HC=4 OE.OF

A

E O

F

B I H K C

1/ C/m: AFHE hình chữ nhật BEH=HCF(góc nt chắn nửa đtrịn); EAF=1v(gt) đpcm

2/ C/m: BEFC nội tiếp: Do AFHE hình chữ nhật.OAE cân O AEO=OAE Mà OAE=FCH(cùng phụ với góc B)AEF=ACB mà AEF+BEF=2vBEF+BCE=2vđpcm

3/ C/m: AE.AB=AF.AC: Xét hai tam giác vuông AEF ACB có AEF=ACB(cmt) AEF~ACBđpcm

4/ Gọi I K tâm đường tròn đường kính BH CH.Ta phải c/m FEIE FEKF

-Ta có O giao điểm hai đường chéo AC DB hcnhật AFHEEO=HO; IH=IK bán kính); AO chung IHO=IEO IHO=IEO mà IHO=1v (gt) IEO=1v IEOE diểm E nằm đường tròn đpcm Chứng minh tương tự ta có FE tt đường trịn đường kính HC

5/ Chứng tỏ:BH.HC=4.OE.OF

Do ABC vng A có AH đường cao Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABC có:AH2=BH.HC Mà AH=EF AH=2.OE=2.OF(t/c đường chéo hình chữ nhật) BH.HC = AH2=(2.OE)2=4.OE.OF

(20)

Baøi 69:

Cho ABC có A=1v AHBC.Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC;d tiếp tuyến đường tròn điểm A.Các tiếp tuyến B C cắt d theo thứ tự D E

1 Tính góc DOE

2 Chứng tỏ DE=BD+CE

3 Chứng minh:DB.CE=R2.(R bán kính đường trịn tâm O) C/m:BC tiếp tuyến đtrịn đường kính DE

E

I A

D

B

1/Tính góc DOE: ta có D1=D2 (t/c tiếp tuyến cắt nhau);OD chungHai tam giác vuông DOB DOAO1=O2.Tương tự O3=O4.O1+O4=O2+O3

Ta lại có O1+O2+O3+O4=2v O1+O4=O2+O3=1v hay DOC=90o 2/Do DA=DB;AE=CE(tính chất hai tt cắt nhau) DE=DA+AE DE=DB+CE

3/Do DE vng O(cmt) OADE(t/c tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vng DOE có :OA2=AD.AE.Mà AD=DB;AE=CE;OA=R(gt) R2=AD.AE

4/Vì DB EC tiếp tuyến (O)DBBC DEBCBD//EC.Hay BDEC hình thang

Gọi I trung điểm DEI tâm đường tròn ngoại tiếp DOE.Mà O trung điểm BCOI đường trung bình hình thang BDECOI//BD

Ta lại có BDBCOIBC O nằm đường tròn tâm IBC tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp DOE

ÐÏ(&(ÐÏ

Hình 69 554

4

(21)

Cho ABC(A=1v); đường cao AH.Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH.Gọi HD đường kính đường trịn (A;AH).Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E

1 Chứng minh BEC cân

2 Gọi I hình chiếu A BE.C/m:AI=AH C/m:BE tiếp tuyến đường tròn

4 C/m:BE=BH+DE

5 Gọi đường trịn đường kính AH có Tâm K.Và AH=2R.Tính diện tích hình tạo đường tròn tâm A tâm K

D E I A

K

C H B

1/C/m:BEC cân:.Xét hai tam giác vng ACH AED có:AH=AD(bán kính);CAH=DAE(đ đ).Do DE tiếp tuyến (A)HDDE DHCB gt)DE//CHDEC=ECHACH=AEDCA=AEA trung điểm CE có BACEBA đường trung trực CEBCE cân B

2/C/m:AI=AH Xét hai tam giác vuông AHB AIB(vuông H I) có AB chung BA đường trung trực cân BCE(cmt) ABI=ABH

AHB=AIB AI=AH

3/C/m:BE tiếp tuyến (A;AH).Do AH=AII nằm đường tròn (A;AH) mà BIAI IBI tiếp tuyến (A;AH)

4/C/m:BE=BH+ED

Theo cmt có DE=CH BH=BI;IE=DE(t/c hai tt cắt nhau).Mà BE=BI+IE đpcm

5/Gọi S diện tích cần tìm.Ta có: S=S(A)-S(K)=AH2-AK2

ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 71:

(22)

Trên cạnh CD hình vng ABCD,lấy điểm M bất kỳ.Đường trịn đường kính AM cắt AB điểm thứ hai Q cắt đường trịn đường kính CD điểm thứ hai N.Tia DN cắt cạnh BC P

1 C/m:Q;N;C thẳng hàng CP.CB=CN.CQ

3 C/m AC MP cắt điểm nằm đường tròn đường kính AM

A Q B

O P N H

D I M C

-Do DNC=1v(góc nt chắn nửa đtrịn tâm I)QND+DNC=2vđpcm

2/C/m: CP.CB=CN.CQ.C/m hai tam giác vuông CPN CBQ đồng dạng (có góc C chung)

3/Gọi H giao điểm AC với MP.Ta phải chứng minh H nằm đường trịn tâm O,đường kính AM

-Do QBCM hcnhậtMQC=BQC

Xét hai tam giác vng BQC CDP có:QCB=PDC(cùng góc MQC); DC=BC(cạnh hình vng)BQC=CDPCDP=MQCPC=MC.Mà C=1vPMC vng cân CMPC=45o DBC=45o(tính chất hình vng) MP//DB.Do ACDBMPAC HAHM=1vH nằm đường trịn tâm O đường kính AM

ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 72:

1/C/m:Q;N;C thẳng hàng:

Gọi Tâm đường trịn đường kính AM O đường trịn đường kính DC I -Do AQMD nội tiếp nên ADM+AMQ=2v Mà ADM=1v

AQM=1v DAQ=1vAQMD hình chữ nhật

DQ đường kính (O)

QND=1v(góc nt chắn nửa đường tròn

(23)

giữa cung AB;AC.Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự H K C/m:AHK cân

2 Gọi I giao điểm BE với CD.C/m:AIDE C/m CEKI nội tiếp

4 C/m:IK//AB

5 ABC phải có thêm điều kiện để AI//EC

A

E D H K

I O

B C

2/c/m:AIDE

Do cung AE=ECABE=EBC(góc nt chắn cung nhau)BE phân giác góc ABC.Tương tự CD phân giác góc ACB.Mà BE cắt CD II giao điểm đường phân giác AHKAI phân giác tứ mà AHK cân AAIDE

3/C/m CEKI noäi tiếp:

Ta có DEB=ACD(góc nt chắn cung AD=DB) hay KEI=KCIđpcm 4/C/m IK//AB

Do KICE nội tiếpIKC=IEC(cùng chắn cung IC).Mà IEC=BEC=BAC(cùng chắn cung BC)BAC=IKCIK//AB

5/ABC phải có thêm điều kiện để AI//EC:

Nếu AI//EC ECDE (vì AIDE)DEC=1vDC đường kính (O) mà DC phân giác ACB(cmt)ABC cân C

ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 73:

1/C/m:AKH cân:

sđ AHK= 12 sđ(DB+AE)

sđ AKD= 12 sđ(AD+EC)

(Góc có đỉnh nằm đường trịn)

Mà Cung AD+DB; AE=EC(gt)

AHK=AKDñpcm

(24)

Cho ABC(AB=AC) nội tiếp (O),kẻ dây cung AA’ từ C kẻ đường vng góc CD với AA’,đường cắt BA’ E

1 C/m goùc DA’C=DA’E C/m A’DC=A’DE

3 Chứng tỏ AC=AE.Khi AA’ quay xung quanh A E chạy đường nào? C/m BAC=2.CEB

A

E O A’

D B C

sñCA’D=

2 sñ(A’C+AC)=

2 sñ AC.Do daây AB=ACCung AB=AC DA’C=DA’E

2/C/m A’DC=A’DE

Ta có CA’D=EA’D(cmt);A’D chung; A’DC=A’DE=1vđpcm 3/Khi AA’ quay xunh quanh A E chạy đường nào? Do A’DC=A’DEDC=DEAD đường trung trực CE

AE=AC=ABKhi AA’ quay xung quanh A E chạy đường trịn tâm A;bán kính AC

4/C/m BAC=2.CEB

Do A’CE cân A’A’CE=A’EC.Mà BA’C=A’EC+A’CE=2.A’EC(góc ngồi A’EC)

Ta lại có BAC=BA’C(cùng chắn cung BC)BAC=2.BEC

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 74:

1/C/m DA’C=DA’E Ta có DA’E=AA’B (đđ

Và sđAA’B=sđ 12 AB

CA’D=A’AC+A’CA (góc ngồi AA’C) Mà sđ A’AC= 12 sđA’C

SñA’CA= 12 sñAC

(25)

AB;M điểm cung AC.H giao điểm OM với AC> C/m:OM//BC

2 Từ C kẻ tia song song cung chiều với tia BM,tia cắt đường thẳng OM D.Cmr:MBCD hình bình hành

3 Tia AM cắt CD K.Đường thẳng KH cắt AB P.Cmr:KPAB C/m:AP.AB=AC.AH

5 Gọi I giao điểm KB với (O).Q giao điểm KP với AI C/m A;Q;I thẳng hàng

D

K C I M Q H

A P O B

1/C/m:OM//BC Cung AM=MC(gt)COM=MOA(góc tâm sđ cung bị chắn).Mà AOC cân OOM đường trung trực

AOCOMAC.MàBCAC(góc nt chắn nửa đường trịn)đpcm

2/C/m BMCD hình bình hành:Vì OM//BC hay MD//BC(cmt) CD//MB (gt) đpcm

3/C/ KPAB.Do MHAC(cmt) AMMB(góc nt chắn nửa đtrịn);

MB//CD(gt)AKCD hay MKC=1vMKCH nội tiếpMKH=MCH(cùng chắn cung MH).Mà MCA=MAC(hai góc nt chắn hai cung MC=AM)

HAK=HKAMKA cân HM trung điểm AK.Do AMB vuông M KAP+MBA=1v.mà MBA=MCA(cùng chắn cung AM)MBA=MKH hay KAP+AKP=1vKPAB

4/Hãy xét hai tam giác vuông APH ABC đồng dạng(Góc A chung) 5/Sử dụng Q trực tâm cuỉa AKB

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 75:

(26)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính EF.Từ O vẽ tia Ot EF, cắt nửa đường tròn (O) I Trên tia Ot lấy điểm A cho IA=IO.Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP AQ với nửa đường tròn;chúng cắt đường thẳng EF B C (P;Q tiếp điểm)

1.Cmr ABC tam giác tứ giác BPQC nội tiếp

2.Từ S điểm tuỳ ý cung PQ.vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến cắt AP H,cắt AC K.Tính sđ độ góc HOK

3.Gọi M; N giao điểm PQ với OH; OK Cm OMKQ nội tiếp 4.Chứng minh ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy điểm D, D nằm đường tròn ngoại tiếp HOK

A

K H S I

D

P M N Q

B E O F C

1/Cm ABC tam giác đều:Vì AB AC hai tt cắt Các APO; AQO tam giác vuông P Q.Vì IA=IO(gt)PI trung tuyến tam gíac vng AOPPI=IO.Mà IO=PO(bán kính)PO=IO=PIPIO tam giác

đềuPOI=60o.OAB=30o.Tương tự OAC=30oBAC=60o.Mà ABC cân A(Vì đường caoAO phân giác) có góc 60o ABC tam giác đều. 2/Ta có Góc HOP=SOH;Góc SOK=KOC (tính chất hai tt cắt nhau)

Góc HOK=SOH+SOK=HOP+KOQ.Ta lại có:

POQ=POH+SOH+SOK+KOQ=180o-60o=120oHOK=60o. 3/

Baøi 76:

(27)

cạnh bên AD;BC kéo dài cắt F C/m:ABCD thang cân Chứng tỏ FD.FA=FB.FC C/m:Góc AED=AOD C/m AOCF nội tiếp

F

A B E

D C O

FCA đồng dạng Góc F chung FDB=FCA(cmt) 3/C/m AED=AOD:

C/m F;O;E thẳng hàng: Vì DOC cân OO nằm đường trung trực Dc.Do ACD=BDC(cmt)EDC cân EE nằm tren đường trung trực DC.Vì ABCD thang cân FDC cân FF nằm đường trung trực

DCF;E;O thẳng hàng C/m AED=AOD Ta có:Sđ AED=

2 sđ(AD+BC)=

2 2sđAD=sđAD cung AD=BC(cmt) Mà sđAOD=sđAD(góc tâm chắn cung AD)AOD=AED

4/Cm: AOCF nội tiếp:

Sñ AFC= 12 sñ(DmC-AB) Sñ AOC=SñAB+sñ BC

Sñ (AFC+AOC) = 12 sñ DmC- 12 sñAB+sñAB+sñBC.

Mà sđ DmC=360o-AD-AB-BC.Từvà sđ AFC+sđ AOC=180o.đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

1/ C/m ABCD hình thang cân:

Do ABCD hình thang AB//CDBAC=ACD (so le).Mà BAC=BDC(cùng chắn cung BC)BDC=ACD Ta lại có ADB=ACB(cùng chắn cung AB)ADC=BCD Vậy ABCD hình thang cân

2/c/m FD.FA=FB.FC C/m Hai tam giác FDB

Hình 76 554

(28)

Baøi 77:

Cho (O) đường thẳng xy khơng cắt đường trịn.Kẻ OAxy từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) B C.Tiếp tuyến B C (O) cắt xy D E.Đường thẳng BD cắt OA;CE F M;OE cắt AC N

1 C/m OBAD nội tiếp Cmr: AB.EN=AF.EC

3 So sánh góc AOD COM Chứng tỏ A trung điểm DE

x M E C

N

O B

A F

D 1/C/m OBAD nt:

-Do DB ttOBD=1v;OAxy(gt)OAD=1vđpcm 2/Xét hai tam giác:ABF ECN có:

-ABF=NBM(đ đ);Vì BM CM hai tt cắt nhauNBM=ECBFBA=ECN -Do OCE+OAE=2vOCEA nội tiếpCEO=CAO(cùng chắn cung OC) ABF~ECNđpcm

3/So sánh;AOD với COM:Ta có:

-DĐoABO ntDOA=DBA(cùng chắn cung ).DBA=CBM(đ đ)

CBM=MCB(t/c hai tt cắt nhau).Do BMCO ntBCM=BOMDOA=COM 4/Chứng tỏ A trung điểm DE:

Do OCE=OAE=1vOAEC ntACE=AOE(cùng chắn cung AE)

DOA=AOEOA phân giác góc DOE.Mà OADEOA đường trung trực DEđpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

(29)

Cho (O;R) A điểm ngồi đường trịn.Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn OB kéo dài cắt AC D cắt đường tròn E

1/ Chứng tỏ EC // với OA

2/ Chứng minh rằng: 2AB.R=AO.CB

3/ Gọi M điểm di động cung nhỏ BC, qua M dựng tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến cắt AB vàAC I,J Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi M di động cung nhỏ BC

4/ Xác định vị trí M cung nhỏ BC để điểm J,I,B,C nằm đường tròn

D E

C

O J

A M

I B

1/C/m EC//OA:Ta có BCE=1v(góc nt chắn nửa đt) hay CEBC.Mà OA phân giác cân ABCOABCOA//EC

2/xét hai tam giác vuông AOB ECB có:

-Do OCA+OBA=2vABOC ntOBC=OAC(cùng chắn cung OC) mà OAC=OAB (tính chất hai tt cắt nhau)EBC=BAOBAO~CBE .Ta lại có BE=2Rđpcm

3/Chứng minh chu vi AIJ không đổi M di động cung nhỏ BC Gọi P chu vi  AIJ Ta có P=JI+IA+JA=MJ+MI+IA+JA

Theo tính chất hai tt cắt ta có:MI=BI;MJ=JC;AB=AC P=(IA+IB)+ (JC+JA)=AB+AC=2AB khơng đổi

4/Giả sử BCJI nội tiếpBCJ+BIJ=2v.MậI+JBI=2vJIA=ACB.Theo chứng minh có ACB=CBACBA=JIA hay IJ//BC.Ta lại có BCOAJIOA

Mà OMJI OM OAM điểm cung BC

ÐÏ(&(ÐÏ

(30)

Baøi 79:

Cho(O),từ điểm P nằm ngồi đường trịn,kẻ hai tiếp tuyến PA PB với đường tròn.Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vng góc với OM,đường cắt PA,PB C D

1/Chứng minh A,C,M,O nằm đường tròn 2/Chứng minh:COD=AOB

3/Chứng minh:Tam giác COD cân

4/Vẽ đường kính BK đường trịn,hạ AH BK.Gọi I giao điểm AH với PK.Chứng minh AI=IH

C

K A

I Q H

M

O P

D B

1/C/m ACMO nt: Ta có OAC=1v(tc tiếp tuyến).Và OMC=1v(vì OMCD-gt) 2/C/m COD=AOB.Ta có:

Do OMAC ntOCM=OAM(cùng chắn cung OM)

Chứng minh tương tự ta có OMDB ntODM=MBO(cùng chắn cung OM)

Hai tam giác OCD OAB có hai cặp góc tương ứng Cặp góc cịn lại nhauCOD=AOB

3/C/m COD caân:

Theo chứng minh câu ta lại có góc OAB=OBA(vì OAB cân O) OCD=ODCOCD cân O

4/Kéo dài KA cắt PB Q

Vì AHBK; QBBKAH//QB Hay HI//PB AI//PQ p dụng hệ định lý Talét tam giác KBP KQP có:

  

ÐÏ(&(ÐÏ

(31)

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt H

1/Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp 2/Chứng minh :AD.AB=AE.AC

3/Chứng tỏ AK phân giác góc DKE

4/Gọi I; J trung điểm BC DE Chứng minh: OA//JI

A x

J E D O H

B K I C 1/C/m:BDEC nội tiếp:

Ta có: BDC=BEC=1v(do CD;BE đường cao)Hai điểm D E làm với hai đầu đoạn BC…đpcm

2/c/m AD.AB=AE.AC

Xét hai tam giác ADE ABC có Góc BAC chung

Do BDEC nt EDB+ECB=2v.Mà ADE+EDB=2vADE=ACB ADE~ACBđpcm

3/Do HKBD ntHKD=HBD(cùng chắn cung DH) Do BDEC ntHBD=DCE (cùng chaén cung DE)

Dễ dàng c/m KHEC ntECH=EKH(cùng chắn cungHE) 4/C/m JI//AO Từ A dựng tiếp tuyến Ax

Ta có sđ xAC= 12 sđ cung AC (góc tt dây) Mà sđABC= 12 sđ cung AC (góc nt cung bị chắn) Ta lại có góc AED=ABC(cùng bù với góc DEC)

Vậy Ax//DE.Mà AOAx(t/c tiếp tuyến)AODE.Ta lại có BDEC nt đường trịn tâm I DE dây cung có J trung điểm JIDE(đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm)Vậy IJ//AO

ÐÏ(&(ÐÏ

Hình 80 554

HKD=EKH

(32)

Baøi 81:

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(Enằm cung nhỏ BC) 1/Chứng minh BDCO nội tiếp

2/Chứng minh:DC2=DE.DF

3/Chứng minh DOCI nội tiếp đường tròn 4/Chứng tỏ I trung điểm EF

A

F O

I B C E D

Sñ DFC= 12 sđ cung EC (góc nt cung bị chắn)EDC=DFC DCE~DFC đpcm

3/Cm: DCOI nội tiếp:Ta có sđ DIC= 12 sđ(AF+EC) Vì FD//AD Cung AF=BE sđ DIC=

2 sñ(BE+EC)=

2 sđ cung BC Sđ BOC=sđ cung BC.Mà DOC= 12 BOCsđ DOC= 12 sđBCDOC=DIC Hai điểm O I làm với hai đầu đoạn thẳng DC góc đpcm

4/C/m I trung ñieåm EF

Do DCIO nội tiếpDIO=DCO (cùng chắn cung DO).Mà DCO=1v(tính chất tiếp tuyến)DIO=1v hay OIFE.Đường kính OI vng góc với dây cung FE nên phải qua trung điểm FEđpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m: BDCO nội tiếp Vì BD DC hai tiếp tuyến OBD=OCD=1v OBD+OCD=2v

BDCO nội tiếp 2/Cm: :DC2=DE.DF

Xét hai tam giác

DCE DCF có: D chung SđECD= 12 sđ cung EC (góc tiếp tuyến dây)

(33)

Cho đường tròn tâm O,đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC,lấy điểm M.AM cắt CD E

1/Chứng minh AM phân giác góc CMD

2/Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp đường tròn 3/Chứng tỏ AC2=AE.AM

4/Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I.Chứng minh NI//CD

C

M E N

A O I B F

D

1/C/m AM phân giác góc CMD: Ta có: Vì OACD COD cân O OA phân giác góc COD Hay COA=AODcung AC=AD góc CMA=AMD(hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)đpcm

2/cm EFBM nội tiếp: VìCDAB(gt)EFB=1v;và EMB=1v(góc nt chắn nửa đường trịn) EFB+ EMB=2vđpcm

3/Cm: AC2=AE.AM.

Xét hai tam giác:ACM ACE có A chung.Vì cung AD=AChai góc ACD=AMC(hai góc nt chắn hai cung nhau)

ACE~AMCđpcm 4/Cm NI//CD:

Vì cung AC=ADgóc AMD=CBA(hai góc nt chắn hai cung nhau) Hay NMI=NBI Hai điểm M B cung làm với hai đầu đoạn thẳng NI góc NIBM nội tiếp Góc NIB+NMB=2v mà NMB=1v(cmt) NIB=1v hay NIAB.Mà CDAB(gt)NI//CD

ÐÏ(&(ÐÏ

(34)

Baøi 83:

Cho ABC có A=1v;Kẻ AHBC.Qua H dựng đường thẳng thứ cắt cạnh AB E cắt đường thẳng AC G.Đường thẳng thứ hai vng góc với đường thẳng thứ cắt cạnh AC F,cắt đường thẳng AB D

1 C/m:AEHF nội tiếp Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC

3 Chứng minh EFDG FHC=AFE

4 Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn G

A E

F

B H C D

1/Cm AEHF nội tiếp: Ta có BAC=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) FHE=1v  BAC+ FHE=2vđpcm

2/Cm: HG.HA=HD.HC Xét hai  vng HAC HGD có:BAH=ACH (cùng phụ với góc ABC).Ta lại có GAD=GHD=1vGAHD nội tiếp DGH=DAH

( chắn cung DH DGH=HAC HCA~HGDñpcm

3/C/m:EFDG:Do GHDF DACG AD cắt GH E E trực tâm CDGEF đường cao thứ CDGFEDG

 C/m:FHC=AFE:

Do AEHF nội tiếp AFE=AHE(cùng chắn cung AE).Mà AHE+AHF=1v AHF+FHC=1vAFE=FHC

4/ Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn nhất:

Do AEHF nội tiếp đường trịn có tâm trung điểm EF Gọi I tâm đường tròn ngoại tiêùp tứ giác AEHFIA=IHĐể EF ngắn I;H;A thẳng hàng hay AEHF hình chữ nhật HE//AC HF//AB

ÐÏ(&(ÐÏ

(35)

Cho ABC (AB=AC) nội tiếp (O).M điểm cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC N,cắt (O) I

1 Chứng minh A;O;I thẳng hàng

2 Kẻ AK với đường thẳng MC AI cắt BC J.Chứng minh AKCJ nội tiếp C/m:KM.JA=KA.JB

A

K

O  M E

B J N C I

đpcm

2/C/m AKCJ nội tiếp: Theo cmt ta có AI đường kính qua trung điểm dây BC AIBC hay AJC=1v mà AKC=1v(gt)AJC+AKC=2v đpcm

3/Cm: KM.JA=KA.JB Xét hai tam giác vng JAB KAM có: Góc KMA=MAC+MCA(góc ngồi tam giác AMC)

Mà sđ MAC= 12 sđ cung MC sđMCA= 12 sđ cung AM sđKMA= 12 sđ(MC+AM)=

2 sđAC=sđ góc ABC Vậy góc ABC=KMA JBA~KMAđpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m A;O;I thẳng hàng:

Vì BMI=IMC(gt)  cung IB=IC Góc BAI=IAC(hai góc nt chắn hai cung nhau)AI phân gíc  cân ABC

AIBC.Mà BOC cân O có góc tâm chắn cung

OI phân giác góc BOC

(36)

Bài 85:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Gọi C điểm nửa đường tròn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F

1 Chứng minh BDCF nội tiếp

2 Chứng tỏ:CD2=CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O).

3 AC cắt DE I;CB cắt DF J.Chứng minh IJ//AB Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

F C

E

I J  O’

A D B

1/Cm:BDCF nội tiếp:

Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường trịn tâm O’)FCD=1v FBD=1v(tính chất tiếp tuyến)đpcm

2/C/m: CD2=CE.CF Ta coù

Do CDBF ntDFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung CD (O’) Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt)

CED+CFD=1v nên EDF=1v hay EDF tam giác vng có DC đường cao.Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có CD2=CE.CF.

Vì EDF vng D(cmt)FDED hay FDO’D điểm D nằm đường tròn tâm O’.đpcm

3/C/m IJ//AB

Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ICJD nt CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED) Vì BDCF nt (cmt)CFD=CBD (cùng chắn cung CD)CJI=CBD đpcm 4/ Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

Ta có CDEF C nằm đường trịn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến (O) CD phải bán kính DO

ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 86:

Hình 85 554

(37)

đường thẳng AB nằm đoạn thẳng AB Kẻ hai tiếp tuyến IC ID với (O) (O’) Đường thẳng OC O’D cắt K

1 Chứng minh ICKD nội tiếp Chứng tỏ:IC2=IA.IB.

3 Chứng minh IK nằm đường trung trực CD IK cắt (O) E F; Qua I dựng cát tuyến IMN

a/ Chứng minh:IE.IF=IM.IN

b/ E; F; M; N nằm đường tròn

I

C

E

M A D  O

O’ B N K

Sđ CBI= 12 sđ CE (góc nt cung bị chắn)ICE=IBCICE~IBCđpcm 3/Cm IK nằm đường trung trực CD

Theo chứng minh ta có: IC2

=IA.IB Chứng minh tương tự ta có:ID2=IA.IB 

-Hai tam giác vng ICK IDK có Cạnh huyền IK chung cạnh góc vng IC=ID ICK=IDKCK=DKK nằm đường trung trực CD.đpcm

4/ a/Bằng cách chứng minh tương tự câu ta có: IC2=IE.IF ID2=IM.IN Mà IC=ID (cmt)IE.IF=IM.IN.

b/ C/m Tứ giác AMNF nội tiếp: Theo chứng minh có E.Ì=IM.IN.p dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: IFIM=IN

IE Tức hai cặp cạnh tam giác IFN tương ứng tỉ lệ

với hai cặp cạnh tam giác IME.Hơn góc EIM chung

IEM~INFIEM=INF.Mà IEM+MEF=2vMEF+MNF=2vđpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m ICKD nt: Vì CI DI hai tt hai đtròn ICK=IDK=1v đpcm

2/C/m: IC2=IA.IB.

Xét hai tam giác ICE ICBcó góc I chung sđ ICE=

1

2 sđ cung CE (góc tt dây)

Hình 86 554

F

(38)

Bài 87:

ChoABC có góc nhọn.Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC.(O) cắt AB;AC D E.BE CD cắt H

1 Chứng minh:ADHE nội tiếp C/m:AE.AC=AB.AD

3 AH kéo dài cắt BC F.Cmr:H tâm đường tròn nội tiếp DFE Gọi I trung điểm AH.Cmr IE tiếp tuyến (O)

A I

E

D x H

B F O C

1/Cm:ADHE nội tiếp: Ta có BDC=BEC=1v(góc nt chắn nửa đường trịn) ADH+AEH=2vADHE nt

2/C/m:AE.AC=AB.AD Ta chứng minh AEB ADC đồng dạng 3/C/m H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF:

Ta phải c/m H giao điểm đường phân giác tam giác DEF

-Tứ giác BDHF ntHED=HBD(cùng chắn cung DH).Mà EBD=ECD (cùng chắn cung DE).Tứ gáic HECF ntECH=EFH(cùng chắn cung HE) EFH=HFDFH phân giác DEF

-Tứ gáic BDHF ntFDH=HBF(cùng chắn cung HF).Mà EBC=CDE(cùng chắn cung EC)EDC=CDFDH phân giác góc FDEH là…

4/ C/m IE tiếp tuyến (O):Ta có IA=IHIA=IE=IH= 12 AH (tính chất trung tuyến tam giác vng)IAE cân IIEA=IAE.Mà IAE=EBC (cùng phụ với góc ECB) AEI=xEC(đối đỉnh)Do OEC cân O OEC=OCE xEC+CEO =EBC +ECB=1v Hay xEO=1v Vậy OEIE điểm E nằm đường tròn (O)đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

(39)

Cho(O;R) (O’;r) cắt Avà B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB (C(O)) cát tuyến EBF bất kỳ(E(O))

1 Chứng minh AOC AO’D thẳng hàng

2 Gọi K giao điểm đường thẳng CE DF.Cmr:AEKF nt Cm:K thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD

4 Chứng tỏ FA.EC=FD.EA

A E

C

B D F K

1/C/m AOC AO’D thẳng hàng:

-Vì ABCD Góc ABC=1vAC đường kính (O)A;O;C thẳng hàng.Tương tự AO’D thẳng hàng

2/C/m AEKF nt: Ta có AEC=1v(góc nt chắn nửa đường trịn tâm O.Tương tự AFD=1v hay AFK=1v AEK+AFK=2vđpcm

3/Cm: K thuộc đường tròn ngoại tếp ACD

Ta có EAC=EBC(cùng chắn cung EC).Góc EBC=FBD(đối đỉnh).Góc FBD=FAD(cùng chắn cung FD).Mà EAC+ECA=90o ADF=ACE ACE+ACK=2vADF+ACK=2vK nằm đường tròn ngoại tiếp … 4/C/m FA.EC=FD.EA

Ta chứng minh hai tam giác vuông FAD EAC đồng dạng

EAC=EBC(cùng hcắn cung EC)EBC=FBD(đối đỉnh) FBD=FAD(cùng chắn cung FD)EAC=FADđpcm

ÐÏ(&(ÐÏ  O

 O’ Hình 88

(40)

Bài 89:

Cho ABC có A=1v.Qua A dựng đường trịn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B dựng (O’;r) tiếp xúc với BC C.Gọi M;N trung điểm AB;AC,OM ON kéo dài cắt K

1 Chứng minh:OAO’ thẳng hàng CM:AMKN nội tiếp

3 Cm AK tiếp tuyến hai đường tròn K nằm BC Chứng tỏ 4MI2=Rr.

O’ A

O

M I N B

K C 1/C/m AOO’ thẳng hàng:

-Vì M trung điểm dây ABOMAB nên OM phân giác góc AOB hay BOM=MOA Xét hai tam giác BKO AKO có OA=OB=R; OK chung BOK=AOK (cmt) KBO=KAO  góc OBK=OAK mà OBK=1v OAK=1v Chứng minh tương tự ta có O’AK=1v Nên OAK+O’AK=2v đpcm

2/Cm:AMKN nội tiếp:Ta có Vì AMK=1v(do OMA=1v) ANK=1v AMK+ANK=2v đpcm Cần lưu ý AMKN hình chữ nhật

3/C/m AK tiếp tuyến (O) O’)

-Theo chứng minh Góc OAK=1v hay OAAK điểm A nằm đường trịn (O)đpcm.Chứng minh tương tự ta có AK tt (O’)

-C/m K nằm BC:

Theo tính chất hai tt cắt ta có:BKO=OKA AKO’=O’KC

Nhưng AMKN hình chữ nhậtMKN=1v hay OKA+O’KA=1v tức có nghĩa góc BKO+O’KC=1v BKO+OKA+AKO’+O’KC=2vK;B;C thẳng hàng đpcm 4/ C/m: 4MI2=Rr Vì OKO’ vng K có đường cao KA.Aùp dụng hệ thue=ức lượng tam giác vng có AK2=OA.O’A.Vì MN=AK MI=IN hay MI=

1

2 AKđpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 90:

(41)

AC DB vng góc với Đường thẳng AB CD kéo dài cắt E; BC AD cắt F

1 Cm:BDEF nội tiếp

2 Chứng tỏ:DA.DF=DC.DE

3 Gọi I giao điểm DB với AC M giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp AEF Cmr: DIMF nội tiếp

4 Gọi H giao điểm AC với FE Cm: AI.AM=AC.AH

E B

A O I C H M

D

F

1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt (O) đường kính ACABC=ADC=1v (góc nt chắn nửa đường trịn) FBE=EDF=1vđpcm

2/ C/m DA.DF=DC.DE:

Xét hai tam giác vuông DAC DEF có: Do BFAE EDAF nên C trực tâm AEFGóc CAD=DEF(cùng phụ với góc DFE)đpcm

3/ Cm:DIMF nt: Vì ACBD(gt) DIM=1v I trung điểm DB(đường kính vng góc với dây DB)ADB cân A AEF cân A (Tự c/m yếu tố này)Đường trịn ngoại tiếp AEF có tâm nằm đường AM góc AFM=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)DIM+DFM=2vđpcm

4/

(42)

Baøi 91:

Cho (O) (O’) tiếp xúc A.Đường thẳng OO’ cắt (O) (O’) B C (khác A) Kẻ tiếp tuyến chung DE(D(O)); DB CE kéo dài cắt M

1 Cmr: ADEM nội tiếp

2 Cm: MA tiếp tuyến chung hai đường trịn ADEM hình gì?

4 Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC

B O A O’ C

E D

M

Tương tự ta có AMB=ACMHai tam giác ABM ACM có hai cặp góc tương ứng nhauCặp góc cịnlại nhau.Hay BAM=MAC.Ta lại có BAM+MAC=2vBAM=MAC=1v hay OAAM điểm A nằm đtrịn… 3/ADEM hình gì?

Vì BAM=1vABM+AMB=1v.Ta cịn có MA tt đtrònDAM=MBA (cùng nửa cung AD).Tương tự MAE=MCA.Mà theo cmt ta có ACM=AMB Nên DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vậy DAE=1v nên ADEM hình chữ nhật

4/Cm: MD.MB=ME.MC

Tam giác MAC vng A có đường cao AE.p dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có:MA2=ME.MC.Tương tự tam giác vng MAB có

MA2=MD.MBđpcm.

ÐÏ(&(ÐÏ

1/Cm:ADEM nt: Vì AEC=1v ADB=1v(góc nt chắn nửa đtròn)

ADM+AEM=2vđpcm 2/C/m MA tiếp tuyến hai đường trịn;

-Ta có sđADE= 12 sđ cungAD=sđ DBA.Và ADE=AME(vì chắn cung AE tứ giác ADME nt)ABM=AMC

(43)

Cho hình vng ABCD.Trên BC lấy điểm M Từ C hạ CK với đường thẳng AM

1 Cm: ABKC nội tiếp

2 Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB N.Từ B dựng đường vng góc với BD, đường cắt đường thẳng DK E Cmr: BD.KN=BE.KA

3 Cm: MN//DB

4 Cm: BMEN hình vuông

A B N

M E K

D C

1/Cm: ABKC nội tiếp: Ta có ABC=1v (t/c hình vuông); AKC=1v(gt)  đpcm

2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xét hai tam giác vuông BDE KAN có:

Vì ABCD hình vng nên nội tiếp đường trịn có tâm giao điểm hai đường chéo.Góc AKC=1vA;K;C nằm đtrịn đường kính AC.Vậy điểm A;B;C;D;K nằm đường trịn.Góc BDK=KDN (cùng chắn cung BK)BDE~KAN BDKA=BE

KN đpcm

3/ Cm:MN//DB.Vì AKCN CBAN ;AK cắt BC MM trực tâm tam giác ANCNMAC.Mà DBAC(tính chất hình vng)MN//DB 4/Cm:BNEM hình vng:

Vì MN//DBDBM=BMN(so le) mà DBM=45oBMN =45oBNM tam giác vuông cânBN=BM.Do BEDB(gt)và BDM=45oMBE=45oMBE tam giác vuông cân BM phân giác tam giác MBN;Ta dễ dàng c/m MN phân giác góc BMNBMEN hình thoi lại có gốc B vng nên BMEN hình vng

ÐÏ(&(ÐÏ Hình 92

(44)

Bài 93:

Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB O Gọi M điểm OB N điểm đối xứng với C qua M Kẻ NE; NF NP vng góc với AB; AD; AC; PN cắt AB Q

1 Cm: QPCB nội tiếp Cm: AN//DB

3 Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng Cm: PEN tam giác cân

F N I

A Q E B P

M O

D C

1/C/m QPCB nội tiếp:Ta có:NPC=1v(gt) QBC=1v(tính chất hình chữ nhật).đpcm

2/Cm:AN//DB O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhậtO trung điểm AC.Vì C N đối xứng với qua MM trung điểm NC OM đường trung bình ANCOM//AN hay AN//DB

3/Cm:F;E;M thẳng hàng

Gọi I giao điểm EF AN.Dễ dàng chứng minh AFNE hình chữ nhậtAIE OAB tam gíc cânIAE=IEA ABO=BAO.Vì AN//DB IAE=ABO(so le)IEA=EACEF//AC hay IE//AC

Vì I trung điểm AN;M trung điểm NCIM đường trung bình ANCMI//AC .Từ và vTa có I;E;M thẳng hàng.Mà F;I;E thẳng hàng F;F;M thẳng hàng

4/C/mPEN cân:Dễ dàng c/m ANEP nội tiếpPNE=EAP(cùng chắn cung PE).Và PNE=EAN(cùng chắn cung EN).Theo chứng minh câu ta suy NAE=EAPENP=EPNPEN cân E

(45)

Từ đỉnh A hình vng ABCD,ta kẻ hai tia tạo với góc 45o Một tia cắt cạnh BC E cắt đường chéo DB P Tia cắt cạnh CD F cắt đường chéo DB Q

1 Cm:E; P; Q; F; C nằm đường tròn Cm:AB.PE=EB.PF

3 Cm:SAEF=2SAPQ

4 Gọi M trung điểm AE.Cmr: MC=MD A B

M

P E

Q

D F C

1/Cm:E;P;Q;C;F nằm đường trịn:

Ta có QAE=45o.(gt) QBC=45o(t/c hình vng)ABEQ nội tiếp ABE+AQE=2v mà ABE=1vAQE=1v.Ta có AQE vng Q có góc QAE=45oAQE vng cânAEQ=45o.Ta lại có EAF=45o(gt) và PDF=45o APFD nội tiếpAPF+ADF=2v mà ADF=1vAPF=1v

và ECF=1v  Từ uvwE;P;Q;F;C nằm đường trịn đường kính EF

2/Chứng minh: AB.PE=EB.PF.Xét hai tam giác vng ABE có: -Vì ABEQ ntBAE=BQE(Cùng chắn cung BE)

-Vì QPEF ntPQE=PEF(Cùng chắn cung PE) ñpcm

3/Cm: :SAEF=2SAPQ

Theo cm AQE vng cân QAE= √AQ2+QE2 = √2 AQ Vì QPEF nt PEF=AQP(cùng phụ với góc PQF);Góc QAP chung AQP~AEF SAEF

SAQP

=(AE AQ )

2

= (√2)2 =2ñpcm

4/Cm: MC=MD.Học sinh chứng minh hai MAD=MBC có BC=AD; MBE=MEB=DAE;AM=BM

Bài 95:

(46)

Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O.Kẻ AH BK vng góc với BD AC.Đường thẳng AH BK cắt I.Gọi E F trung điểm DH BC.Từ E dụng đường thẳng song song với AD.Đường cắt AH J

1 C/m:OHIK nội tiếp Chứng tỏ KHOI

3 Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD.Đường cắt AH J.Chứng tỏ:HJ.KC=HE.KB

4 Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn A B

J O

F H K E

D C

I

Ta có OKIH ntOKE=OIE(cùng chắn cung OH).Vì OIAB ADAB OI//ADOIH=HAD(so le).Mà HAD=HBA(cùng phụ với góc D).Do ABCD hình chữ nhật nên ABH+ACE OKH=OCEHK//AB.Mà OIAB OIKH

3/Cm: HJ.KC=HE.KB

Chứng minh hai tam giác vuông HJE KBC đồng dạng 4/Chứng minh ABFE nội tiếp:

VìAHBE;EJ//AD ADABEJABBJ đường cao thứ ba tam giác ABEBJAE Vì E trung điểm DH;EJ//ADEJ đường trung bình tam giác ADHEJ//= 12 AB;BF= 12 BC mà BC//=ADJE//=BFBJEF hình bình hànhJB//EF.Mà BJAEEFAE hay AEF=1v;Ta lại có ABF=1vABFE nt

ÐÏ(&(ÐÏ 1/Cm:OHIK nt (Hs tự chứng minh)

2/Cm HKOI Tam giác ABI có hai đường cao DH AK cắt O OI đường cao

thứ ba

(47)

Cho ABC, phân giác góc góc ngồi góc B C gặp theo thứ tự I J.Từ J kẻ JH; JP; JK vng góc với đường thẳng AB; BC; AC

1 Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng Chứng minh: BICJ nt

3 BI kéo dài cắt đường thẳng CJ E Cmr:AEAJ C/m: AI.AJ=AB.AC

1/Chứng minh A;I;J thẳng hàng: Vì

A E

I

B P C K H

(48)

Bài 97:

Từ đỉnh A hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax Ay cho: Ax cắt cạnh BC P,Ay cắt cạnh CD Q.Kẻ BKAx;BIAy DMAx,DNAy

1 Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2=AP.MD. Chứng minh MN=KI Chứng tỏ KIAN

x

B P C

K

y Q N M I

(49)

Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o.Phân giác góc A cắt cạnh CD đường thẳng BC I K.Hạ KH KM vng góc với CD AM

(50)

Baøi 99:

Cho(O) tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy điểm C gọi B trung điểm AC Vẽ cát tuyến BEF.Đường thẳng CE CF gặp lại đường tròn điểm thứ hai M N.Dựng hình bình hành AECD

1 Chứng tỏ D nằm đường thẳng EF Chứng minh AFCD nội tiếp

3 Chứng minh:CN.CF=4BE.BF Chứng minh MN//AC

1/Chứng minh D nằm đường thẳng EF:Do ADCE hình bình hành nên E;B;D thẳng hàng.Mà F;E;B thẳng hàngđpcm

2/Cm:AFCD noäi tiếp:

-Do ADCE hình bình hànhBC//AEgóc BCA=ACE(so le)

-sđCAE= 12 sđcung AE(góc tt dây) sđ AFE= 12 sđ cung AE CAE=AFE.BCN=BFAAFCD nội tiếp

2/Cm CN.CF=4BE.BF

-Xét hai tam gáic BAE BFA có góc ABF chung AFB=BAE(chứng minh trên)BAE~BFA ABBF =BE

AB AB2=BE.BF

Tương tự hai tam giác CAN CFA đồng dạngAC2=CN.CF.Nhưng ta lại có AB= 12 AC.Do đó trở thành: 14 AC2=BE.BF hay AC2=4BE.BF.

Từ  đpcm

4/cm MN//AC Do ADCE laø hbhBAC=ACE(so le).Vì ADCF nt

DAC=DFC(cùng chắn cung DC).Ta lại có EMN=EFN(cùng chắn cung EN)ACM=CMNMN//AC

ÐÏ(&(ÐÏ A D

M B

E C N

(51)

Trên (O) lấy điểm A;B;C.Gọi M;N;P theo thứ tự điểm cung AB;BC;AC AM cắt MP BP K I.MN cắt AB E

1 Chứng minh BNI cân PKEN nội tiếp

3 Chứng minh AN.BD=AB.BN

4 Chứng minh I trực tâm MPN IE//BC

Vì cung AM=MBANM=MPB hay KPE=KNEHai điểm P;N làm với hai đầu đoạn thẳng KE…đpcm

3/C/m AN.DB=AB.BN

Xét hai tam giác BND ANB có góc N chung;Góc NBD=NAB(cùng chắn cung NC=NB)đpcm

4/ Chứng minh I trực tâm MNP: Gọi giao điểm MP với AB;AC F D.Ta có:

sđ AFD= 12 sđ cung (AP+MB)(góc có đỉnh đường trịn.) sđ ADF= 12 sđ cung(PC+AM) (góc có đỉnh đường trịn.)

Mà Cung AP=PC;MB=AMAFD=ADFAFD cân A có AN phân giác góc BAC(Vì Cung BN=NC nên BAN=NAC)ANMP hay NA đường cao

NMP.Bằng cách làm tương tự ta chứng minh I trực tâm tam gáic MNP

C/m IE//BC.Ta có BNI cân N có NE phân giác NE đường trung trực BIEB=EIBEI cân E.Ta có EBI=EIB.Do EBI=ABP=PBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung PA=PC).Nên PBC=EIBEI//BC

ÐÏ(&(ÐÏ

A

P M F K

O E I

B C N

1/C/m BNI caân Ta có

sđBIN= 12 sđ(AP+BN) sđIBN= 12 sđ(CP+CN) Mà Cung AP=CP; BN=CN(gt)

BIN=IBNBNI cân N

2/Chứng tỏ PKEN nội tiếp:

Ngày đăng: 18/04/2021, 07:18

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w