50 bài toán thực tế liên quan đạo hàm – tích phân có lời giải

TỐN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẠO HÀM - TÍCH PHÂN Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) Biết SC = , tìm thể tích lớn khối chóp S ABC 3 2 B C D 12 12 27 27 Người ta cắt tờ giấy hình vng cạnh để gấp thành hình chóp tứ giác cho bốn đỉnh hình vng dán lại thành đỉnh hình chóp (hình vẽ) A Câu Để thể tích khối chóp lớn cạnh đáy x hình chóp bằng: 2 2 B x = C x = 2 D x = 5 Tìm chiều dài L ngắn thang để tựa vào tường mặt đất, ngang qua cột đỡ A x = Câu có chiều cao A m Câu 3 m cách tường 0,5 m kể từ gốc cột đỡ B m C 3m D m Một kiến đậu đầu B cứng mảnh AB có chiều dài L dựng cạnh tường thẳng đứng (hình vẽ) Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động sang phải theo sàn ngang với vận tốc khơng đổi v kiến bắt đầu bò dọc theo với vận tốc khơng đổi u Trong q trình bò thanh, kiến đạt độ cao cực đại hmax sàn? Cho đầu A tỳ lên tường thẳng đứng 3L2 A v 2L2 B v L2 C 3v L2 D 2v Trang Câu Một hộp không nắp làm từ mảnh tông theo mẫu Hộp có đáy hình vng cạnh x ( cm ) , chiều cao h ( cm ) tích 500 ( cm3 ) Tìm x cho diện tích mảnh tơng nhỏ nhất? A 5cm Câu C 10 cm m D m Cho hai vị trí A , B cách 615 m , nằm phía bờ sơng hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118 m 487 m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B B m C Đoạn đường ngắn mà người A 596,5 m B 671, m C 779,8 m Câu D 20 cm Một nhà máy cần sản xuất bể nước tơn có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng không nắp, tích m3 Hãy tính độ dài chiều rộng đáy hình hộp cho tốn vật liệu A m Câu B 100 cm D 741, m Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là: x =   y = −t hai điểm A (1; − 2; − 1) , B ( 4; 4;5 ) Giả sử M ( a ; b ; c ) thuộc ∆ cho MA + MB z = 1+ t  nhỏ nhất, tích abc A B C D Trang Câu Một trang chữ sách giáo khoa cần diện tích 384 cm Lề 3cm , lề trái phải cm Kích thước tối ưu trang giấy là: A Dài 24 cm ; rộng 16 cm B Dài 24 cm ; rộng 17 cm C Dài 25cm ; rộng 15,36 cm D Dài 25, cm ; rộng 15cm Câu 10 Có sở in sách xác định rằng: Diện tích tồn trang sách S0 (cm ) Do yêu cầu kỹ thuật nên dòng đầu dòng cuối phải cách mép (trên dưới) trang sách a (cm) Lề bên trái bên phải phải cách mép trái mép phải trang sách b (cm) ( b < a ) Các kích thước trang sách diện tích phần in chữ có giá trị lớn Khi tính tỉ lệ chiều rộng chiều dài trang sách b−a 2b b b+a B C D a 2a − a a Câu 11 Một anh kỹ sư muốn tạo lu hình trụ có diện tích bề mặt (khơng tính hai mặt đáy) lớn Bề mặt lu quấn mảnh tơn hình chữ nhật có chu vi 120 cm Gọi chiều dài hình = a + 3b chữ nhật a , chiều rộng hình chữ nhật b Tính P A 990 B 1660 C 2530 D 1108 Câu 12 Bác nông dân có 200 m rào để ngăn đàn gà ni dạng hình chữ nhật Để diện tích ni gà lớn A chiều dài hình chữ nhật a (m) chiều rộng b (m) Khi a + ab + b có giá trị A 7525 m B 7600 m C 7500 m D 7900 m Câu 13 Cho nhơm hình vng cạnh cm Người ta muốn cắt hình thang hình vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ A cm E B x cm H cm F D G y cm C D cm cm Câu 14 Một ảnh hình chữ nhật cao 1, m đặt độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình vẽ) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn  nhọn Tính khoảng cách từ vị trí đến ảnh? Biết góc BOC A cm B 5cm C Trang A AO = 2, m B AO = m C AO = 2, m D AO = 3m Câu 15 Tìm diện tích lớn hình chữ nhật nội tiếp nửa đường trịn bán kính 10 cm , biết cạnh hình chữ nhật nằm dọc đường kính đường tròn A 80 cm B 100 cm C 160 cm D 200 cm Câu 16 Từ khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính 40 cm , cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụ tơ màu xám hình vẽ Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn A x = 34 − 17 ( cm ) B x = 34 − 19 ( cm ) C x = 34 − 15 ( cm ) D x = 34 − 13 ( cm ) Câu 17 Một ô tô chạy với vận tốc 15 ( m/s ) người lái hãm phanh Sau hãm phanh, ô tô chuyển −5t + 15 ( m/s ) t khoảng thời gian tính động chậm dần với vận tốc v ( t ) = giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Hỏi từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét ? A 22,5m B 45m C 15m D 90 m Câu 18 Một vật chuyển động với gia tốc a (= t ) 3t + t (m/s ) Vận tốc ban đầu vật (m/s) Hỏi vận tốc vật sau chuyển động với gia tốc 2s A m/s B 12 m/s C 16 m/s D 10 m/s Câu 19 Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp có R thay đổi Biết điện trở cuộn cảm Z= 80 ( Ω ) L , điện trở tụ điện là= Z C 200 ( Ω ) hiệu điện hai đầu mạch u = U cos 100π t (V ) Để công suất tiêu thụ mạch cực đại giá trị R Trang A 120 ( Ω ) B 50 ( Ω ) C 100 ( Ω ) D 200 ( Ω ) Câu 20 Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp có R thay đổi Biết điện trở cuộn cảm = Z L 100 ( Ω ) , điện trở tụ điện Z= 40 ( Ω ) hiệu điện hai đầu mạch C u = 120 cos100π t (V ) Điện trở R phải có giá trị để công suất tiêu thụ mạch đạt cực đại giá tri cực đại công suất bao nhiêu? 60 ( Ω ) , Pmax = 120 ( W ) A R = B R =120 ( Ω ) , Pmax =60 ( W ) 40 ( Ω ) , Pmax = 180 ( W ) C R = D R =120 ( Ω ) , Pmax =180 ( W ) Câu 21: Thể tích V 1kg nước nhiệt độ t ( t nằm 0° C đến 30° C ) cho công thức V= 999,87 − 0, 06426t + 0, 0085043t − 0, 0000679t ( cm3 ) Nhiệt độ t nước gần với giá trị khối lượng riêng nước lớn nhất? A 0° B −4° C 30° D 4° V (t ) = Câu 22: Thể tích nước bể bơi sau t phút bơm tính theo cơng thức  t4   30t −  100  4 ( ≤ t ≤ 90 ) Tốc độ bơm nước thời điểm t tính v ( t ) = V ′ ( t ) Trong khẳng định sau, khẳng định A Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút thứ 90 B Tốc độ bơm giảm C Tốc độ bơm tăng từ phút đến phút thứ 75 D Cả A, B, C sai Câu 23 Cơng ty XDPL muốn làm đường ống dẫn khí từ địa điểm A bờ biển đến điểm B đảo Khoảng cách ngắn từ điểm B đến bờ biển km Giá để xây lắp km đường ống bờ 50.000 USD , xây lắp nước 130.000 USD B′ điểm bờ biển cho BB′ vng góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B′ km đảo B biển 6km B' bờ biển 9km A Hỏi vị trí điểm M bờ biển cách A bao xa để chi phí xây lắp đường ống từ A qua M đến B tốn nhất? A km B km C km D 6.5 km Câu 24 Một điểm C đảo có khoảng cách ngắn đến bờ biển 60 km , B điểm bờ biển cho CB vng góc với bờ biển Khoảng cách từ A bờ biển đến B 100 km Để tham dự buổi họp nhóm Strong Team Tốn VD – VCD ngày 28/6/2019 , thầy Quý phải tính tốn vị trí diễn họp địa điểm G đoạn AB để tổng chi phí lại hai nhóm thầy Biết nhóm thầy Quý từ C theo đường biển chi phí 500 nghìn Trang km, nhóm Thêm từ vị trí A đất liền km chi phí 300 nghìn Hỏi thầy tìm vị trí điểm G cách B bao xa? A 40 km B 60 km C 55 km D 45 km Câu 25 Một xưởng in có máy in, máy in 4000 in khổ giấy A4 Chi phí để bảo trì, vận hành máy lần in 50000 đồng Chi phí in ấn n máy chạy 20 ( 3n + ) nghìn đồng Hỏi in 50000 in khổ giấy A4 phải sử dụng máy để thu nhiều lãi nhất? B máy A máy C máy D máy Câu 26 Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí nhiên liệu làm vỏ lon thấp nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ V diện tích tồn phần hình trụ nhỏ nhà thiết kế phải thiết kế hình trụ có bán kính bao nhiêu? A V 2π B V 2π C V π D V π Câu 27 Trong môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn cấy vào Bằng thực nghiệm xác định 100t số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian qui luật N= (con vi khuẩn), ( t ) 1000 + 100 + t t thời gian (đơn vị giây) Hãy xác định thời điểm sau thực cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên lớn bao nhiêu? A C −10 B D 10 Câu 28 Khi nuôi cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy rằng: đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng Q (= n ) 480 − 20n (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? C 10 B 14 A 12 D 18 Câu 29 Đốt cháy hidrocacbon dãy đồng đẳng tỉ lệ mol H 2O : mol CO2 giảm dần số cacbon tăng dần ? A Ankan B Anken C Ankin D Ankylbenzen Câu 30 Cho phương trình phản ứng tạo thành Nitơ (IV) Oxit từ Nitơ ddiooxxit Oxy o dk ,t , xt → NO + O2 ← NO2 Biết phản ứng thuận nghịch Giả sử x, y nồng độ phần trăm khí NO O2 tham gia phản ứng Biết tốc độ phản ứng hóa học phản ứng xác định v = kx y , với k số tốc độ phản ứng Để tốc độ phản ứng xảy nhanh tỉ số A B x ? y C D Câu 31 Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức = G ( x ) 0, 035 x (15 − x ) , x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x tính miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều A x = B x = C x = 15 D x = 10 Trang Câu 32 Các chuyên gia Y-tế ước tính số người nhiễm virus Zika kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t f ( t ) = 45t − t , ( t = 0,1, 2, , 25 ) Nếu coi f ( t ) hàm xác định đoạn [0; 25] f ' ( t ) xem tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t Tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ mấy? B 10 A 20 C 15 D Câu 33 Trong nội dung thi điền kinh, bơi lội đua xe đạp phối hợp diễn hồ bơi có chiều rộng 70 m chiều dài 250 m Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc hai) phải thực lộ trình xuất phát từ A đến C đua xe đạp tới D hình vẽ Hỏi sau chạy bao xa (quãng đường x ) vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi đích nhanh ? Biết vận tốc vận động viên chạy bờ, bơi đua xe m/s; 1,5 m/s 10 m/s A 139,52 m B 129,52 m C 109,52 m D 119,52 m Câu 34 Trong nội dung thi điền kinh, bơi lội đua xe đạp phối hợp diễn hồ bơi có chiều rộng 50 m chiều dài 250 m Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc hai) phải thực lộ trình xuất phát từ A đến C đua xe đạp tới D hình vẽ Hỏi sau chạy bao xa (quãng đường x ) vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi đích nhanh ? Biết vận tốc vận động viên chạy bờ, bơi đua xe m/s; 1,5 m/s 10 m/s A 109,8 m B 105,8 m C 106,8 m D 107,8 m Câu 35 Cho viên gạch men có dạng hình vng OABC hình vẽ Sau tọa độ hóa, ta có O ( 0;0 ) , A ( 0;1) , B (1;1) , C (1;0 ) hai đường cong đồ thị hàm số y = x y = x Tính diện tích phần khơng tô đậm viên gạch men y A B x O C 1 B C D Câu 36 Người ta làm lu đựng nước cách cắt bỏ chỏm khối cầu có bán kính dm A mặt phẳng vng góc với đường kính cách tâm khối cầu dm Tính thể tích lu Trang dm dm dm 100 π ( dm3 ) Câu 37 Một trống trường có bán kính đáy 30 cm , thiết diện vng góc với trục cách A 41π ( dm3 ) B 132π ( dm3 ) C 43π ( dm3 ) D hai đáy có diện tích 1600π ( cm ) , chiều dài trống m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh trống đường Parabol Hỏi thể tích trống bao nhiêu? A 425, dm3 B 425, mm3 C 425, cm3 D 425, m3 Câu 38 Bổ dọc dưa hấu ta thiết diện hình elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm Biết 1000 cm3 dưa hấu làm cốc sinh tố giá 20000 đồng Hỏi từ dưa hấu thu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết bề dày vỏ dưa không đáng kể A 180000 đồng B 183000 đồng C 185000 đồng D 190000 đồng Câu 39 Một bình hoa dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm − sin x + trục Ox (tham khảo hình vẽ bên dưới) Biết đáy bình hoa hình trịn có số y = bán kính dm , miệng bình hoa đường trịn bán kính 1.5 dm Bỏ qua độ dày bình hoa, Thể tích bình hoa gần với giá trị giá trị sau đây? A 100 dm3 B 104 dm3 C 102 dm3 D 103 dm3 Câu 40 Hình elip ứng dụng nhiều thực tiễn, đặc biệt kiến trúc xây dựng đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất Xét Lavabo (bồn rửa) làm sứ đặc hình dạng nửa khối elip trịn xoay có thơng số kĩ thuật mặt Lavabo là: dài × rộng: 660 × 380 mm (tham khảo hình vẽ bên dưới), Lavabo có độ dày 20 mm Thể tích chứa nước Lavabo gần với giá trị giá trị sau: Trang A 18, 66 dm3 B 18, 76 dm3 C 18,86 dm3 D 18,96 dm3 Câu 41 Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v= (t ) 160 − 10t (m/s) Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t = ( s ) đến thời điểm mà vật dừng lại A 1028 m B 1280 m C 1308 m D 1380 m Câu 42 Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian tính cơng thức v (t= ) 3t + 2(m/s) Biết thời điểm t = ( s ) vật quãng đường 10 ( m ) Hỏi thời điểm t = 30 ( s ) vật quãng đường bao nhiêu? A 1140 m B 300 m C 240 m D 1410 m Câu 43 Một vật chuyển động với vận tốc v = 25 ( m/s ) thay đổi vận tốc với gia tốc tính ( ) theo thời gian t a ( t= ) 2t − m/s2 Tính quãng đường vật kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé 107 m A B 144 m D 57 m C 28 m Câu 44 Một mô tô chạy với vận tốc v0 ( m/s ) gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh Từ ( ) thời điểm ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc a = −8t m/s t thời gian tính giây Biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô cịn di chuyển 12 ( m ) Tính v0 ? A 18 m/s B 86 m/s C 1269 m/s D 1296 m/s Câu 45 Đầu tháng năm 2019 , ông An đầu tư vào chăn nuôi tằm với số tiền vốn ban đầu 200 (triệu đồng) Biết q trình chăn ni gặp thuận lợi nên số tiền đầu tư ông liên tục tăng 12000 , với t thời gian đầu tư tính tháng theo tốc độ mô tả công thức f ′(t ) = ( t + 5) (thời điểm t = ứng với đầu tháng năm 2019 ) Hỏi số tiền mà ơng An thu tính đến đầu tháng năm 2023 gần với số sau đây? A 2737 (triệu đồng) B 2307 (triệu đồng) C 2370 (triệu đồng) D 2703 (triệu đồng) Câu 46 Giả sử sau t năm, vốn đầu tư doanh nghiệp phát sinh lợi nhuận với tốc độ P′ (= t ) 126 + t (triệu đồng/năm) Hỏi sau 10 năm doanh nghiệp thu lợi nhuận (đơn vị triệu đồng) A 5020 B 1235 C 3257 D 4780 Trang Câu 47: Một cổng hình parabol hình vẽ Chiều cao GH = m , chiều rộng AB = m , AC = BD = 0,9 m Chủ nhà làm hai cánh cổng đóng lại hình chữ nhật CDEF tơ đậm có giá 1200000 đồng/m2, cịn phần để trắng làm xiên hoa có giá 900000 đồng/m2 Hỏi tổng chi phí để làm hai phần nói gần với số tiền đây? A 11445000 (đồng) B 7368000 (đồng) C 4077000 (đồng) D 11370000 (đồng) Câu 48: Để tăng thêm thu nhập, ơng Bình chăn ni thêm bị Do diện tích đất nhà ơng hẹp nên ơng xây chuồng bị hình vẽ bên chia thành phần để nhốt bị Biết ABCD hình vng cạnh m I đỉnh Parabol có trục đối xứng trung trực BC parabol qua hai điểm A , D Tiền xây chuồng bò hết 350000 đồng/ m Biết I cách BC khoảng 5m , tính số tiền chi phí ơng Bình bỏ để xây dựng chuồng bị (làm trịn đến hàng nghìn)? C B D A I A 6.333.000 đồng B 7.533.000 đồng C 6.533.000 đồng D 7.333.000 đồng Câu 49 Người ta sản xuất loại đèn trang trí ngồi trời (Trụ sở, quảng trường, cơng viên, sân vườn…) gồm có hai phần: Phần bóng đèn có dạng mặt cầu bán kính R dm , làm thủy tinh suốt; Phần đế bóng đèn làm nhựa để cách điện, có dạng phần khối cầu bán kính r dm thỏa mãn đường kính dây cung hình trịn lớn bóng đèn Một cơng viên muốn tạo điểm nhấn ánh sáng, đặt loại bóng có kích thước R = dm , r = dm Tính thể tích V phần nhựa để làm đế bóng đèn theo đơn đặt hàng (Bỏ qua ống luồn dây điện bulông ốc phần đế) Trang 10 bơi đích nhanh ? Biết vận tốc vận động viên chạy bờ, bơi đua xe m/s; 1,5 m/s 10 m/s A 109,8 m B 105,8 m C 106,8 m D 107,8 m Lời giải Chọn D x A ( 250 − x ) m B 50m D C 250m Gọi B vị trí VĐV kết thúc phần chạy điền kinh AB= x ( < x < 250 ) AB x thời gian từ A đến B = v1 Khi ta đó= t1 Đồng thời quãng đường bơi BC = 502 + ( 250 − x ) BC Suy ra= t2 = 1,5 1,5 t3 Thời gian đua xe đạp là= 502 + (250 − x) thời gian bơi từ B đến C CD 250 = = 25s 10 10 502 + ( 250 − x ) x Tổng thời gian VĐV T = t1 + t2 + t3 = + + 25 1,5 50 + ( 250 − x ) x Xét hàm f ( x) = + + 25 , ( < x < 250 ) 1,5 2 Bài tốn trở thành tìm f ( x) x∈(0,250) Ta có f '( x)= 2(250 − x) − 502 + ( 250 − x )2 f '( x) =0 ⇔ 502 + ( 250 − x ) − 10(250 − x) =0 ⇔ 502 + ( 250 − x )= 10(250 − x) ⇔ 91( 250 − x ) = 9.502 Trang 40 150   x =250 − 91 (=x0 ) ⇔ 150  =  x 250 + 91 (loai )  Dựa vào BBT = f ( x) f ( x0 ) ≈ 107,8 ( m ) x∈(0,250) Câu 35 Cho viên gạch men có dạng hình vng OABC hình vẽ Sau tọa độ hóa, ta có O ( 0;0 ) , A ( 0;1) , B (1;1) , C (1;0 ) hai đường cong đồ thị hàm số y = x y = x Tính diện tích phần khơng tơ đậm viên gạch men y A B x O A B C C D Lời giải Chọn D Diện tích hình vng có cạnh S= 1= Gọi S1 diện tích phần tơ đậm Ta có S1 = ∫ (    x4  1 x − x3 dx = ∫  x − x3 dx =  x −  = 0  4 0 ) Vậy diện tích phần không tô đậm viên gạch men S − S1 =1 − 1 = 2 Câu 36 Người ta làm lu đựng nước cách cắt bỏ chỏm khối cầu có bán kính dm mặt phẳng vng góc với đường kính cách tâm khối cầu dm Tính thể tích lu Trang 41 dm dm dm A 41π ( dm3 ) B 132π ( dm3 ) C 43π ( dm3 ) D 100 π ( dm3 ) Lời giải Chọn B y -5 -3 O x -5 Đặt hệ trục với tâm O tâm mặt cầu, đường thẳng đứng Ox , đường ngang Oy Ta có phương trình đường trịn lớn x + y = 25 Thể tích lu thể tích vật trịn xoay tạo thành quay hình giới hạn đường cong = y −3, x = quay quanh Ox 25 − x , trục Ox , đường thẳng x =  x3  V = π ∫ ( 25 − x )dx = π  25 x −  = 132π ( dm3 ) −   −3 Câu 37 Một trống trường có bán kính đáy 30 cm , thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có diện tích 1600π ( cm ) , chiều dài trống 1m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh trống đường Parabol Hỏi thể tích trống bao nhiêu? A 425, dm3 B 425, mm3 C 425, cm3 D 425, m3 Lời giải Chọn A Trang 42 Ta có chọn hệ trục Oxy hình vẽ Thiết diện vng góc với trục, cách hai đáy hình trịn có bán kính r có diện tích = r 1600π ⇒ r 40cm 1600π ( cm ) , nên π= Ta có: Parabol nhận Oy làm trục đối xứng nên phương trình Parabol có dạng:= y ax + b Parabol có đỉnh I ( 0; 40 ) qua A ( 50;30 )  b = 40 a = − Thay tọa độ I A vào phương trình Parabol:  ⇔ 250 30 50 a + b = b = 40 − x + 40 Nên Parabol có phương trình y = 250 50 406000   x + 40  dx = π cm ≈ 425, dm3 Thể tích trống V =π ∫  − 250  −50  Câu 38 Bổ dọc dưa hấu ta thiết diện hình elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm Biết 1000 cm3 dưa hấu làm cốc sinh tố giá 20000 đồng Hỏi từ dưa hấu thu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết bề dày vỏ dưa không đáng kể A 180000 đồng B 183000 đồng C 185000 đồng D 190000 đồng Lời giải Chọn B Trang 43 Đường elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm có phương trình  25  ⇔= y     2 x2 y2 + = 142  25       x2  25 x2 − ⇔ y = ± −   142  14  2 14  25  x2  x2   25  Do thể tích quả= dưa V π ∫  −  dx π   ∫ 1 −  dx 1=  14    −14  14  −14  14  25  = π    14  x3   25  56 8750π cm3 ⋅ x − = π  ⋅ =  3.14  −14    Do tiền bán nước thu 8750π 20000 ≈ 183259 đồng 3.1000 Câu 39 Một bình hoa dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − sin x + trục Ox (tham khảo hình vẽ bên dưới) Biết đáy bình hoa hình trịn có bán kính dm , miệng bình hoa đường trịn bán kính 1.5 dm Bỏ qua độ dày bình hoa, Thể tích bình hoa gần với giá trị giá trị sau đây? A 100 dm3 B 104 dm3 C 102 dm3 D 103 dm3 Lời giải Chọn D Giả sử thiết diện qua trục bình hoa miêu tả hình vẽ bên Chọn hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn gốc tọa độ O trùng với tâm đáy bình hoa, trục Ox trùng với trục bình hoa Bán kính hình trịn đáy bình hoa y A = nên − sin x A + = ⇒ sin x A = ⇒ x A = Bán kính đường trịn miệng bình hoa = yB 1,5 ( 2π < xB < 3π ) , tức là: Trang 44 π 17π  π sin ( xB − π ) + = 1,5 ⇒ sin ( xB − π ) =sin  −  ⇒ xB − π =− + 2π ⇒ xB = 6  6 Khi thể tích bình hoa giới hạn đường y = − sin x + 2; y = 0; x = 0; x = định theo công thức V = π 17π ∫ ( − sin x + ) = π 17π  ∫  − 4sin x + dx = π 17π 17π xác ∫ ( − 4sin x + sin x ) dx − cos x   dx = π  17π 9 ∫  − 4sin x − cos x   dx  17π sin x  51π 32 + 15 9 =π  x + cos x − = − π ≈ 103, 07 ( dm3 )  4  0 Câu 40 Hình elip ứng dụng nhiều thực tiễn, đặc biệt kiến trúc xây dựng đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất Xét Lavabo (bồn rửa) làm sứ đặc hình dạng nửa khối elip trịn xoay có thơng số kĩ thuật mặt Lavabo là: dài × rộng: 660 × 380 mm (tham khảo hình vẽ bên dưới), Lavabo có độ dày 20 mm Thể tích chứa nước Lavabo gần với giá trị giá trị sau: A 18, 66 dm3 B 18, 76 dm3 C 18,86 dm3 D 18,96 dm3 Lời giải Chọn B Giả sử mặt Lavabo biểu diễn hình vẽ bên Gọi hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Gọi ( E ) elip nhỏ bên Trang 45 Độ dài trục lớn ( E ) 2a = 660 − 40 = 620 mm = Độ dài trục bé ( E ) 2b = 380 − 40 = 340 mm = Vậy phương trình ( E ) là: x2  31     10  + y2  17     10  31 31 dm ⇒ a = dm 10 17 17 dm ⇒ b = dm 10 = ⇒ y= 289  100 x  1 −  100  961  Thể tích khối trịn xoay quay miền giới hạn ( E ) , trục Ox x = − gạch chéo hình) quanh trục Ox là: V= π 31 31 , x= (Phần 10 10 31 10 289  100 x  8959π ∫31 100 1 − 961  dx = 750 ( dm ) − 10 Vậy thể tích chứa nước Lavabo V ≈ 18, 76 dm3 (t ) 160 − 10t (m/s) Quãng đường mà vật Câu 41 Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v= chuyển động từ thời điểm t = ( s ) đến thời điểm mà vật dừng lại A 1028 m B 1280 m C 1308 m D 1380 m Lời giải Chọn A ⇔ t0 = Gọi t0 thời điểm vật dừng lại, v(t0 ) = ⇔ 160 − 10t0 = 16 16 Vậy quãng đường vật chuyển động đến lúc dừng lại S = ∫ (160 − 10t )dt = 1280 (m) Trang 46 Câu 42 Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian tính cơng thức v (t= ) 3t + 2(m/s) Biết thời điểm t = ( s ) vật quãng đường 10 ( m ) Hỏi thời điểm t = 30 ( s ) vật quãng đường bao nhiêu? A 1140 m B 300 m C 240 m D 1410 m Lời giải Chọn D Quãng đường vật theo thời gian S (t ) = (t ) Vì S (2) = 10 ⇒ C = Khi S= ∫ (3t + 2)dt = 32 t + 2t + C t + 2t Tại thời điểm t = 30 ( s ) S (30) = 1410 ( m ) Câu 43 Một vật chuyển động với vận tốc v = 25 ( m/s ) thay đổi vận tốc với gia tốc tính ( ) theo thời gian t a ( t= ) 2t − m/s Tính quãng đường vật kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé 107 m A B 144 m D 57 m C 28 m Lời giải Chọn D Vận tốc vật thay đổi v ( t ) = ∫ ( 2t − ) dt = t − 6t + C 25 Tại thời điểm t = (khi vật bắt đầu thay đổi vận tốc) có v0 = 25 ⇒ C = Suy v ( t ) = t − 6t + 25 Ta có v ( t ) =( t − 3) + 16 ≥ 16 , suy vận tốc vật đạt bé t = Quãng đường vật khoảng thời gian 3 1  S= ∫ v ( t ) dt= ∫ ( t − 6t + 25) dt =  t − 3t + 25t  = 57 ( m ) 3 0 0 Câu 44 Một mô tô chạy với vận tốc v0 ( m/s ) gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh Từ ( ) thời điểm ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc a = −8t m/s t thời gian tính giây Biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển 12 ( m ) Tính v0 ? Trang 47 A 18 m/s B 86 m/s C 1269 m/s D 1296 m/s Lời giải Chọn D a =−8t ( m / s ) ⇒ v =∫ −8tdt =−4t + C Tại thời điểm t = vận tốc vật v0 ( m/s ) nên ta có v0 = C −4t + v0 Vậy v = −4t0 + v0 ⇔ 4t0 = v0 Tại thời điểm t0 vận tốc vật nên ta có = Ta có: ∫ t0 12 ⇔ − ( −4t + v0 ) dt = 36 4t03 4t03 ⇔ t = + 4t0 =12 + v0t0 =12 ⇔ − 3  36  = ⇒ v0  =    1296 ( m/s ) Câu 45 Đầu tháng năm 2019 , ông An đầu tư vào chăn nuôi tằm với số tiền vốn ban đầu 200 (triệu đồng) Biết q trình chăn ni gặp thuận lợi nên số tiền đầu tư ông liên tục tăng 12000 , với t thời gian đầu tư tính tháng theo tốc độ mơ tả công thức f ′(t ) = ( t + 5) (thời điểm t = ứng với đầu tháng năm 2019 ) Hỏi số tiền mà ông An thu tính đến đầu tháng năm 2023 gần với số sau đây? A 2737 (triệu đồng) B 2307 (triệu đồng) C 2370 (triệu đồng) D 2703 (triệu đồng) Lời giải Chọn C Tốc độ thay đổi vốn đầu tư ông An vào tháng thứ t f ′(t ) = 12000 ( t + 5) nên nguyên hàm hàm f ′(t) hàm số f (t) mô tả số tiền ôn An có tính đến tháng thứ t f (t ) = Ta có 12000 f ′(t )dt ∫ = dt ∫= ( t + 5) −12000 +C t +5 Số tiền ông An thời điểm t = f (0)= −12000 + C= 200 ⇒ C= 2600 0+5 Vậy số tiền mà ông An thu tính đến đầu tháng năm 2023 (ứng với t = 48 tháng) Trang 48 f (48)= −12000 + 2600= 2373,585 (triệu đồng) 48 + Câu 46 Giả sử sau t năm, vốn đầu tư doanh nghiệp phát sinh lợi nhuận với tốc độ P′ (= t ) 126 + t (triệu đồng/năm) Hỏi sau 10 năm doanh nghiệp thu lợi nhuận (đơn vị triệu đồng) B 1235 A 5020 C 3257 D 4780 Lời giải Chọn D Sau 10 năm doanh nghiệp thu lợi nhuận T= 10 ∫ (126 + t )dt = 4780 (triệu đồng) Câu 49: Một cổng hình parabol hình vẽ Chiều cao GH = m , chiều rộng AB = m , AC = BD = 0,9 m Chủ nhà làm hai cánh cổng đóng lại hình chữ nhật CDEF tơ đậm có giá 1200000 đồng/m2, cịn phần để trắng làm xiên hoa có giá 900000 đồng/m2 Hỏi tổng chi phí để làm hai phần nói gần với số tiền đây? A 11445000 (đồng) B 7368000 (đồng) C 4077000 (đồng) D 11370000 (đồng) Lời giải Chọn A Gắn hệ trục tọa độ Oxy cho AB trùng Ox , A trùng O parabol có đỉnh G ( 2; ) qua gốc tọa độ Trang 49 Giả sử phương trình parabol có dạng y = ax + bx + c ( a ≠ ) c =  a = −1  −b   Vì parabol có đỉnh G ( 2; ) qua điểm O ( 0;0 ) nên ta có  =2 ⇔ b =  2a c =  a.22 + b.2 + c = = y f= ( x) − x + x Suy phương trình parabol 4  x3  32 Diện tích cổng S =∫ ( − x + x )dx = − + x  = (m )  0 Mặt khác chiều cao CF = DE = f ( 0,9 = − 2.0,9 = 2, ( m ) ) 2,79(m) ; CD = ( ) CD= CF 6,138 ≈ 6,14 m Diện tích hai cánh cổng S= CDEF 32 6793 S SCDEF = − 6,14 = ≈ 4,53(m ) Diện tích phần xiên hoa S xh =− 1500 Số tiền làm hai cánh cổng T1 6,14.1200000 = = 7368000 ( đ ) tiền làm phần xiên hoa T2 4,53.900000 = = 4077000 ( đ ) Vậy tổng chi phí 11445000 đồng Câu 50: Để tăng thêm thu nhập, ơng Bình chăn ni thêm bị Do diện tích đất nhà ơng hẹp nên ơng xây chuồng bị hình vẽ bên chia thành phần để nhốt bị Biết ABCD hình vng cạnh m I đỉnh Parabol có trục đối xứng trung trực BC parabol qua hai điểm A , D Tiền xây chuồng bò hết 350000 đồng/ m Biết I cách BC khoảng 5m , tính số tiền chi phí ơng Bình bỏ để xây dựng chuồng bị (làm trịn đến hàng nghìn)? Trang 50 C B D A I A 6.333.000 đồng B 7.533.000 đồng C 6.533.000 đồng D 7.333.000 đồng Lời giải Chọn C Xét hệ trục tọa độ hình vẽ sau y C -2 O D B x A -5 I Khi parabol có đỉnh I ( 0; −5) qua hai điểm A ( 2; −2 ) , D ( −2; −2 ) nên có phương trình = y x −5 56   Diện tích chuồng bị S =∫  − x + dx = ( m )  −2  Vậy tổng số tiền ông Bình xây chuồng bị 56 19600000 ⋅ 350000= ≈ 6533000 đồng 3 Câu 49 Người ta sản xuất loại đèn trang trí ngồi trời (Trụ sở, quảng trường, cơng viên, sân vườn…) gồm có hai phần: Phần bóng đèn có dạng mặt cầu bán kính R dm , làm thủy tinh suốt; Phần đế bóng đèn làm nhựa để cách điện, có dạng phần khối cầu bán kính r dm thỏa mãn đường kính dây cung hình trịn lớn bóng đèn Một cơng viên muốn tạo điểm nhấn ánh sáng, đặt loại bóng có kích thước R = dm , r = dm Tính thể tích V phần nhựa để làm đế bóng đèn theo đơn đặt hàng (Bỏ qua ống luồn dây điện bulông ốc phần đế) Trang 51 A V = 36π dm B V = 68π dm3 C V = 14π dm3 D V = 40π dm3 Lời giải Chọn D Gọi I , R tâm bán kính hình cầu phần bóng đèn K , r tâm bán kính khối cầu để làm đế bóng đèn Ta có R = IA = dm ,= r KA = dm đường kính AB vng góc với đường thẳng nối hai tâm I K Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ: Gốc tọa độ O ≡ K , trục Oy ≡ AB Xét tam giác vuông OIA ta có: IK= IA2 − KA2= R − r 2= 25 − 9= ⇒ I ( −4;0 ) KD = R − IK = − = Phương trình đường trịn tâm K ( 0;0 ) bán kính r = ( C1 ) : x + y = 25 Phương trình đường trịn tâm I ( −4;0 ) bán kính R = ( C2 ) : ( x + ) + y = Gọi V1 phần thể tích quay hình phẳng giới hạn ( C1 ) , trục Ox , x = x = , ta có:  x3  V1 = π ∫ ( − x ) dx = π  x −  = 18π ( dm3 ) 0  Gọi V2 phần thể tích quay hình phẳng giới hạn ( C2 ) , trục Ox , x = x = , ta có: Trang 52 ( = V2 π ∫ 25 − ( x + ) V2 18π − Do V= V1 −= )  x + 4)  ( 14π = = dx π  25 x −  ( dm3 )   3  0 14π 40π = dm3 ) ( 3 Câu 50 Một bồn nước Inox SONHA® ngang có hai đầu bồn hình phẳng elip Thể tích tối đa đóng nắp bồn V1 = 3000 lít Bồn có chiều dài l = 2, m gấp lần chiều cao bồn Để nước bơm tự động vào bồn, người ta lắp phao điện cho mực nước bồn cao h = 0, 75 m so với điểm thấp đáy bồn phao đóng khơng cho nước chảy vào bồn Tính thể tích nước bồn phao đóng (bỏ qua độ dày bồn nước kết làm tròn đến phần trăm) A V = 2.41 m B V = 2.43 m C V = 2.40 m D V = 2.44 m Lời giải Chọn A Ta có 3000 lít = m Xét thiết diện ngang bồn nước hình elip ( E ) có độ dài trục lớn 2a , độ dài trục nhỏ 2b chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Độ dài BB′ = m chiều cao bồn nước, suy độ dài trục nhỏ ( E ) 2b =1 ⇒ b = (m) Ta có: V1 = π a.b.l ⇒ = a V1 3 = = (m) π b.l π 0,5.2 π Trang 53 Vậy phương trình Elip là:   x2 y x2 y = 1 − + =⇒ 9 4 π  π2   1 2 − x 2π ±  = (9 − x π ) ⇒ y =  36  Khi phao điện đóng, mực nước bồn MN ⇒ OK = OB − BK = 0,5 − 0, 25 = 0, 25 = Vì MN song song với trục Ox nên ta có phương trình MN y = Hoành độ điểm M , N thỏa mãn phương trình : 3 3 3 27 1 ⇒ x =± ⇒ xM =− ; xN = − x 2π ) ⇔ x 2= (  = 2π 2π 2π 4π   36 Phần diện tích S2 giới hạn ( E ) qua điểm B đường thẳng MN là: = S2 3 2π − Xét: I = 3 2π ∫ − 3 2π π 1 1 2  dx ∫  − x π −= 4 3 2π 3 2π ∫ − 3 2π 3 π 3 2π  3 I − x d x x = − −   −3 4π π  2π 3 3 x x sin t ⇒ d= cos tdt   − x dx Đặt = π π π  Đổi cận: Khi x = − Khi x = 3 π sin t =− ⇒ t =− ; 2π 3 sin t= 2π π ⇒ t= Khi đó: π π 3 3 I =∫ cos tdt = 2π π π π − = π  3 cos d sin t t x t + = + ( )   ∫π 2π   −π − 3 π 3  π 3 + − − −   = +  2π   2π   π 4π π 3 3 3 3 =− Vậy S = +  −  π 4π  4π 8π Thể tích phần khơng gian khơng chứa nước phao đóng là: V2 = S l = − 3 4π  3 Vậy thể tích nước cần tìm là: V =V1 − V2 =3 −  −  ≈ 2.41 ( m ) 4π   Trang 54 ... 1,5 50 + ( 250 − x ) x Xét hàm f ( x) = + + 25 , ( < x < 250 ) 1,5 2 Bài tốn trở thành tìm f ( x) x∈(0, 250) Ta có f '( x)= 2( 250 − x) − 502 + ( 250 − x )2 f '( x) =0 ⇔ 502 + ( 250 − x ) − 10( 250. .. Xét hàm f ( x) = + + 25 , ( < x < 250 ) 1,5 2 Bài tốn trở thành tìm f ( x) x∈(0, 250) Ta có f '( x)= 2( 250 − x) − 702 + ( 250 − x )2 f '( x) =0 ⇔ 702 + ( 250 − x ) − 10( 250 − x) =0 ⇔ 702 + ( 250. .. x) =0 ⇔ 502 + ( 250 − x )= 10( 250 − x) ⇔ 91( 250 − x ) = 9 .502 Trang 40 150   x = 250 − 91 (=x0 ) ⇔ 150  =  x 250 + 91 (loai )  Dựa vào BBT = f ( x) f ( x0 ) ≈ 107,8 ( m ) x∈(0, 250) Câu