2 Việc chi tiết hóa nếu có thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.. 3 Điểm bài thi là tổng điểm kh[r]
(1)SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN LỚP 12 BTTHPT (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang ) ĐỀ THI DỰ BỊ Câu Ý Nội dung I Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (H) Tập xác định: D Sự biến thiên lim y ; lim y Giới hạn: x Sự biến thiên x Điểm 2,00 0,25 y ' 3x 3; y ' 0 x 1 x y y’ 04 1 0,25 ; 1 1; 1;1 Hàm số đồng biến trên và ; hàm số nghịch biến trên Hàm số đạt cực đại x yCD 4, đạt cực tiểu x 1 yCT 0 1,00 y Đồ thị –1 0,50 x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) điểm ( x0 ; y0 ) ( H ) có dạng y y '( x0 ).( x x0 ) y0 (3x0 3)( x x0 ) x0 3x0 Vì tiếp tuyến qua iểm A(2;4) nên ta 1,00 x0 (3 x0 3)(2 x0 ) x03 x0 ( x0 1)( x0 2) 0 x0 2 Với x0 1, pttt là y 4 0,50 Với x0 2, pttt là y 9 x 14 II 2,00 tan x 1 tan x 4 Giải phương trình 0,50 2,00 (2) 1 t t tan x tan x x k x k 4 1 t Điều kiện: và Đặt 1 t t 1 t t 0 t 1 1 t Ta có: Suy t 1 t t 1 tan x 1 x k , k Khi Khi t tan x x a rc tan k , 3x y 4 (1) x y xy 3 (2) Giải hệ phương trình (2) xy 0 2( x y ) 3 xy x y Suy x ≥ , y ≥ x+ y ⇒ x + y ≤2 Từ (1) ⇒16=2 √ x+1+2 √ y+1 ≤( 4+3 x +1)+(4 +3 y +1) Từ (2) ⇒ 2(x + y )=3+ √ xy ≤3+ x y 2, dấu đẳng thức xảy và chỉa x y 1 x y 2 Suy x y 1, thỏa mãn hệ Vâyhệ có nghiệm là ( x; y ) (1;1) III x3 I dx x ( x 4)( x x 2) Tìm ặt t x x dt 4( x 1)dx Ta có I = Vậy I = ln | 0,50 0,50 0,50 2,00 0,50 0,50 0,50 0,50 2,00 0,50 dt 1 1 t = − dt= ln +C t (t+ 2) t t+2 t+ ( 0,50 ) | | x4 − x +C x −4 x+2 | Cho a, b, c là ba số thực Chứng minh * Ta luôn chứng minh được: 1,00 0,50 a b c 2 1 a 1 b 1 c x 1 x dấu đẳng thức xảy x = 2,00 0,50 Với số thực x ta có Áp dụng cho các số thực a, b, c ta có: a 1 a (1) b 1 b (2) c 1 c (3) IV Cộng vế với vế (1); (2); (3) ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy khi: a = b = c = 1 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng d1 và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng d2 và d3 * Gọi đường tròn (C) cần tìm có tâm I(x; – 2x) d1 , bán kính R (C) tiếp xúc với d2 và d3 và khi: d(I/d2 ) = d(I/d2 ) 1,00 0,50 2,00 0,50 (3) 0,50 x 4(3 x) x 3(3 x) 5 x 2 I (2; 1) R 17 x 11 x x 4 I (4; 9) 0,50 Vậy có hai đường tròn cần lập 49 ( x – 2) + ( y + 1) = 25 ( x – 4)2 + ( y + 9)2 = 25 2 0,50 n 3 x , x Tìm số hạng không chứa x khai triển Điều kiện: n ≥12 , n ∈ N 2,00 Ta có 10 11 8 9 10 11 Cn − 2+ 3C n −2 +3 C n− 2+ Cn − 2=C n+1 ⇔ Cn − 2+C n −2 +2 C n− 2+ 2C n −2 +C n −2 +Cn − 2=C n+1 ⇔ 11 9 10 11 C8n − 1+ 2C 9n −1 +C10 n− 1=C n+1 ⇔C n− 1+ Cn − 1+C n −1 +C n −1=C n+1 0,25 11 10 11 ⇔ C 9n +C10 n =C n+ ⇔ C n+1 =Cn +1 ⇔ n=20 Với n=20 ta có ( √ x+ √x 20 20 ) =∑ C k 20 (x) 0,25 0,50 20 −k k=0 k −k 20 k 20 k .2 x =∑ C ( x ) 40− k 0,50 k=0 Số hạng không hạng không chứa x ứng với số tự nhiên k : 40 −5 k=0 ⇔ k=8 V Vậy số hạng không chứa x là 28 C 820 Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2,00 D’ A’ B’ H A A ' C a AC C’ D C 0,50 B a a a , BC 2 2 a a a a3 V 2 24 0,50 Hạ AH vuông góc A’B tam giác ABA’ Chính là d(A,BCD’) =h 0,50 (4) 1 a h 2 h a a 2 2 Ta có 0,50 Viết phương trình mặt phẳng (P) Gọi B(0; b;0), C (0;0; c) với b>0, c>0 Phương trình mp(P) có dạng x y z + + =1 b c (P) qua H (1;1;1) bc 2(b c) S ABC= 2,00 (1) ⃗ ⃗ 2 | [ AB ; AC ]|= √ b c + (b2 +c ) 2 b c 4(b c ) 384 (2) Từ (1) và (2) suy b=c=4 x y z 1 x y z 0 Vậy pt mp(P) là 4 0,50 0,50 0,50 0,50 Chú ý: 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu áp án đúng thì cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải thống thực tổ chấm 3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn (5)