[r]
(1)CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC (CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN) A- TÓM TẮT KIẾN THỨC & KỈ NĂNG Khái niệm về số phức: Dạng đại số của số phức là: z = a + b.i (a, b R và i2 = –1) Ta gọi a là phần thực, b là phần ảo và i là đơn vị ảo của số phức z z a b2 Mô đun của số phức z là Số phức liên hợp của z là z a b.i Tập hợp các số phức kí hiệu là C Chú ý: a c b d Hai số phức bằng nhau: a + b.i = c + d.i Nếu a = thì z = b.i là số thuần ảo (số ảo) Nếu b = thì z = a là số thực Số vừa là số thực, vừa là số ảo Tập số thực là tập của tập số phức: R C Từ i2 = –1 ta suy i3 = –i ; i4 = Tổng quát: in = i4.q + r = ir (0 r < , r N) Trong mp(Oxy) điểm M(a ; b) gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức z = a + b.i Phép toán trên tập số phức Với hai số phức z1 = a + b.i và z2 = c + d.i bất kì, ta có: z1 + z2 = (a + c) + (b + d).i z1 – z2 = (a – c) + (b – d).i z1.z2 = ac + ad.i + bc.i + bd.i2 = (ac – bd) + (ad + bc).i z1 (a b.i)(c d.i) ac bd bc ad i (z 0) 2 2 z c d c d c d Chú ý: Tính chất phép cộng và nhân trên tập C trên tập R (a + b.i)2 = a2 + 2ab.i + b2.i2 = (a2 – b2) + 2ab.i (a + b.i)3 = a3 + 3a2b.i + 3a b2.i2 + b3.i3 = (a3 – 3ab2) + (3a2b – b3).i Phương trình bậc hai với hệ số thực Trên tập số phức C, cho phương trình a.z2 + b.z + c = (a, b, c R và a 0) (*) Nếu = b2 – 4ac < thì pt(*) có hai nghiệm phức là: b i b i z1 z2 2a 2a & Chú ý: b c Hai nghiệm z1 và z2 là hai số phức liên hợp Dể thấy: z1 + z2 = a & z1.z2 = a Nếu hai số phức z1 = a + b.i và z2 = a – b.i có tổng S = z1 + z2 = 2a và tích P = z1.z2 = a2 + b2 thì z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình: z2 – Sz + P = Trên tập số phức C: phương trình bậc n thì có n nghiệm (2) B- BÀI TẬP ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP THPT Bài Thực hiện các phép tính sau trên tập số phức: 1) (2 – i) + (– + 2i).(5 – 4i) 11 2i (3 4i) 2) i 1 i 1 i 1 i i 2010 i 2011 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 i 1 i 1 i 3) i i Giải Câu i (1 i) 2i i 2 Ta có i Do đó tổng cần tính trở thành: i 2011 i3 i i i 1 i i + i2 + i3 + … + i2010 + i2011 = i i = i i = i Bài Cho hai số phức: z1 = – 3i ; z2 = + i Tìm phần thực, phần ảo và mô đun của số phức z, biết rằng: 1) z = z1.z2 z z 2) z = 2z2 – ( là số phức liên hợp của z1) 2z z1 3) z = i Giải 1) Ta có: z = (2 – 3i)(1 + i ) = + 2i – 3i – i2 = (2 + ) + (2 – 3)i Vậy số phức z có: phần thực là + , phần ảo là 2 – mô đun z (2 2)2 (2 3) 39 Bài Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của ba số phức: 4i 6i ; (1 i)(1 2i) ; i 3 i Chứng minh tam giác ABC vuông cân Giải 4i 6i 2i 2i Tính i , (1 i)(1 2i) 3 i , i Do đó: A( ; –2 ) , B( ; ) , C( ; ) Sử dụng tích vô hướng hoặc định lí Pitago suy tam giác ABC vuông tại B Bài Tìm hai số thực m và n biết rằng: 1) (2m – 3) + 5i = – (n – 4)i 2) (2m – 2012) + (m + 1).i = (n – 2) + (2n – 2012).i Giải 2m 2012 n m 2n 2012 2) Ta có: (2m – 2012) + (m + 1).i = (n – 2) + (2n – 2012).i 2m n 2010 m 2011 m 2n 2013 n 2012 (3) Bài Giải phương trình trên tập số phức: 1) z(1 + i) + (2 – 3i) = (3 – 2i) – (– + i).iz 2) z2 – 18z + 181 = 3) 2z3 – 3z2 + 2z – = 4) 4z4 – 15z2 – = Giải 1) Biến đổi về phương trình: –3iz = + i 3z = i + i2 , suy z Cách khác: Giả sử z = a + bi , đó: VT = (a – b + 2) + (a + b – 3)i và VP = (a – 4b + 3) + (4a + b – 2)i Từ định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta có hệ: a b a 4b 3b 1 1 a & b 3 a b 4a b 3a 1 z i 3 Vậy 2) Ta có = 182 – 4.181 = – 400 = (20i)2 Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: 18 20i z1 9 10i 18 20i z2 9 10i Bài Tim số biêt tổng bằng 2 và tích bằng 3? Giải Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: z2 – 2 z + = Giải phương trình ta được z1 i & z i Bài Trên tập số phức C, cho phương trình z4 – 2z3 + 3z2 – 2z + = (1) a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có hai nghiệm là z1 = i và z2 = – i b) Tìm các nghiệm còn lại của phương trình (1) Giải a) Đặt f(z) = z – 2z + 3z – 2z + Tính f(i) = và f(–i) = suy đpcm b) Ta có f(z) = (z – i).(z + i).g(z) = (z2 + 1).g(z) g(z) = z2 – 2z + Nghiệm còn lại của (1) là nghiệm của phương trình z2 – 2z + = (2) Giải phương trình (2) ta được hai nghiệm z3 = + i và z4 = – i (4)