b, Gọi giao điểm có tung độ dơng của C1 và C2 là A viết phơng trình đờng thẳng đi qua A cắt C1 và C2 theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuôn[r]
(1)§Ò thi chän häc sinh giái líp 11 cÊp trêng n¨m häc 2012 -2013 Së GD§t ho¸ Trêng THPT trÇn phó M«n : To¸n Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian phát đề -C©u ( 2,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: x x 2013 2013 C©u ( 3,0 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh (2sin x 1)(2co s x 2sin x m) 1 2cos x a, Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b, Tìm m để phơng trình có đúng nghiệm thuộc C©u (5,0 ®iÓm) a, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : ( Víi m lµ tham sè) 0; x y 3x y 1 2 3x y x y 3 n b, T×m hÖ sè cña x khai triÓn sau: 3 nx x biÕt n lµ sè nguyªn tho¶ m·n hÖ thøc 2Cn1 C n2 n 20 C©u (4,0 ®iÓm) Cho A, B, C lµ ba gãc cña tam gi¸c ABC sin A a, Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC vu«ng nÕu : M b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: cos B cosC sin B sin C sin A sin B sin C cos A cos B cos 2C 2 Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đờng tròn (C1) : x y 13 ,đờng tròn (C2) : ( x 6) y 25 a, Tìm giao điểm hai đờng tròn (C1) và (C2) b, Gọi giao điểm có tung độ dơng (C1) và (C2) là A viết phơng trình đờng thẳng qua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh SA = a và vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD) a, Chøng minh r»ng c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp lµ nh÷ng tam gi¸c vu«ng b, M là điểm di động trên đoạn BC và BM =x ,K là hình chiếu S trên DM Tính độ dài đoạn SK theo a vµ x TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña ®o¹n SK …………… HÕt………………… Hä vµ tªn thÝ sinh: SBD: Së GD§t ho¸ Trêng THPT trÇn phó đáp án thi chọn học sinh giỏi lớp 11 cấp trờng n¨m häc 2012 -2013 M«n : To¸n (2) C© u C© u1 §¸p ¸n §iÓ m 0,25 x x 2013 2013 §K x 2013 2 §Æt t x 2013 ( víi t t 0) t x 2013 t x 2013 Ta cã hÖ PT: 0,5 x t 2013 2 t x 2013 ( x t )( x t 1) 0 0,5 1 x 8053 + Với x +t =0 ta đợc t = -x x 2013 x Giải ta đợc lµ nghiÖm 8049 x + Với x – t +1 = ta đợc : x +1 = t x x 2013 Giải ta đợc 0,25 0,25 0,25 lµ nghiÖm 1 x C© u2 8053 8049 x 2 §¸p sè : , (2sin x 1)(2co s x 2sin x m) 1 2cos2 x a , Với m =1 ta đợc phơng trình : (2sin x 1)(2co s x 2sin x 1) 1 2cos2 x (2sin x 1).cos2 x 0 5 sin x x k 2 x k 2 6 + co s x 0 x k + b, Phơng trình đã cho tơng đơng với : (2sin x 1)(2co s x m 1) 0 5 sin x x x 0; 6 Víi C© u3 0,5 1,5 0,5 0,25 0,25 0,25 1 m cos x 0; v« Để phơng trình đã cho có đúng nghiệm thuộc th× ph¬ng tr×nh : 5 x ;x 6 Từ đó ta đợc m <-1v m >3 v m =0 nghiÖm hoÆc cã hai nghiÖm 0,25 2 2 x y 3x y 1 x x y y 1 x 3x 0 2 3x y x y 3 3( x 3x) 2( y y ) 3 y y 0 13 13 13 13 ;0 ; ; ; ;0 ; ; ; 2 2 Ta đợc nghiệm hệ là : 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 n C© u4 , T×m hÖ sè cña x khai triÓn sau: thøc 2Cn1 C n2 n 20 3 nx x biÕt n lµ sè nguyªn tho¶ m·n hÖ 2Cn1 C n2 n 20 Tõ hÖ thøc Ta đợc n= thoả mãn §k n 2, n Z n 3n 40 0 n 8 n 0,5 0,5 0,5 (3) Ta cã : 40 14 k k 8 3 k 8 k x x C8 x x x k 0 Khai triÓn chøa xm 0,5 0,5 40 14k 4 k 2 VËy hÖ sè cña x4 lµ C8 1792 C© u5 sin A a, Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC vu«ng nÕu : cos B cosC sin B sin C 0,5 0,5 0,5 A cos B cosC A A 2cos A 1 cos A 0 sin A 2sin cos 0,5 sin B sin C 2 cos A 2 Tõ ¢ lµ gãc sin vu«ng.VËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A 0,5 2 2 2 sin A sin B sin C sin A sin B sin C M 1 1 2 cos A cos B cos C cos A cos B cos 2C b, 3 M 1 cos A cos B cos 2C 2 cos A cos B cos C M Biến đổi cos 2C cos C.cos( A B) 1 0 M 1 cos ( A B ) 0 cos ( A B ) 1 M 1 M 1 1 M 3 M 1 M 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 cos ( A B ) 1 M 3 A B C 600 cos C cos ( A B) Vậy MaxM = tam giác ABC (C1) có tâm O(0;0),bán kính R1 13 R 5 (C2) có tâm I(6;0),bán kính Giao điểm (C1) và (C2) là A (2;3) và B(2;-3).Vì A có tung độ dương nên A(2;3) Vì A có tung độ dương nên A(2;3) Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0 Gọi d1 d (O, d ); d d ( I , d ) 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 (4) Yêu cầu bài toán trở thành: 0,25 R22 d 22 R12 d12 d 22 d12 12 b 0 (4a 3b) (2a 3b) 12 b 3ab 0 2 2 a b a b b 3a *b=0 ,chọ a=1,suy pt d là:x-2=0 *b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy pt d là:x-3y+7=0 0,25 S a, SA vu«ng gãc víi mp(ABCD) nªn SA vu«ng gãc víi AB vµ AD VËy c¸c tam gi¸c SAB vµ SAD vu«ng t¹i A L¹i cã SA vu«ng gãc víi (ABCD) vµ AB Vu«ng gãc víi BC nÕn SB vu«ng gãc víi BC Vëy tam gi¸c SBC vu«ng t¹i C T¬ng tù tam gi¸c SDC vu«ng t¹i D b, Ta cã BM =x nªn CM = a- x 0,25 0,25 0,25 0,25 A 0,25 D AKD DCM ˆ ˆ ˆ ˆ (v× cã AKD DCM 90 , DAK CDM ) AK AD AD AK DC DC DM DM 0,25 K 0,25 B a2 = 0,25 x 2ax 2a Tam gi¸c SAK vu«ng t¹i A nªn M SK SA2 AK a C 0,25 x 2ax 3a x 2ax 2a 0,25 a SK nhá nhÊt vµ chØ AK nhá nhÊt K O x 0 SK nhá nhÊt 0,25 0,25 -Hết Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà đúng cho điểm tối đa - Chỉ chấm bài hình học sinh vẽ hình đầy đủ và chính xác (5)