Trờng thpt trần phú nga sơn Đề khảo sát chất lợng các môn thi đại học lần 2 Đề chính thức năm học 2010 -2011 (Đề gồm 1 trang) Môn : Toán ; khối A+B Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề I, Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) Câu I ( 2.0 điểm) Cho hàm số 3 2 3 2y x x= + (C) 1. Khảo sát và vễ đồ thị (C) hàm số đã cho. 2. Tìm m để phơng trình 3 2 2 3 2 logx x m + = có 8 nghiệm phân biệt. Câu II (2,0 điểm). 1.Giải phơng trình : 2( cos ) 1 cot 2 1 x sinx tanx x cotx = + 2.Giải hệ phơng trình : 3 2 2 3 2 2 (1 ) (2 ) 30 0 (1 ) 11 0 x y y x y y xy x y x y y y + + + + = + + + + = ( ; )x y R Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân 3 2 4 ( ) 1 tanx I dx cosx cos x = + Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a ; chiều cao SO = 6 2 a .Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lợt tại B, C, D.Chứng minh rằng AC vuông góc với BD và tính thể tích khối chóp S.ABCD. Câu V (1,0 điểm).Cho a,b,c là các số dơng thoả mãn abc =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2 2 2 2 bc ca ab M a b a c b c b a c a c b = + + + + + II.Phần riêng(3.0 điểm) Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chơng trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm). 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đờng thẳng (d 1 ) : 3 4 5 0x y+ + = và (d 2 ) : 4 3 5 0x y = . Viết phơng trình đờng tròn có tâm nằm trên đờng thẳng ( ): 6 10 0x y = và tiếp xúc với hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ). 2. Trong không gian toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng: (d 1 ) : 2 4 1 1 2 x y z + = = và (d 2 ): 8 6 10 2 1 1 x y z+ = = . Lập phơng trình đờng thẳng (d) cắt (d 1 ) , (d 2 ) và (d) song song với trục Ox Câu VIIa(1,0 điểm). Cho hai số phức 1 z và 2 z thoả mãn 1 2 1z z= = ; 1 2 3z z+ = . Tính 1 2 z z . B. Theo chơng trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm). 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3), đờng cao BH nằm trên đờng thẳng y x= , phân giác trong góc C nằm trên đờng thẳng : 3 2 0x y+ + = . Viết phơng trình cạnh BC. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm M(1;2;-1) và N(7;-2;3) đờng thẳng (d) có phơng trình : 1 2 2 3 2 2 x y z+ = = . Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IM + IN nhỏ nhất. Câu VIIb (1,0 điểm). Giải phơng trình : 5 4 log (3 3 1) log (3 1) x x + + = + . Hết Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên: Số báo danh Trờng thpt trần phú nga sơn đáp án Đề khảo sát chất lợng các môn thi đại học lần 2 năm học 2010 -2011 Môn : Toán ; khối A+B Câu Đáp án Điểm C.1 Câu I (2,0 điểm). 1, 1, TXĐ : R y 2, Sự biến thiên a, Giới hạn của hàm số tại vô cực lim x y + = + ; lim x y = - b, Bảng biến thiên y=3x 2 -6x, y = 0 khi x= 0;x= 2. x - 0 2 + y + 0 - 0 + x 2 + y - -2 3, Vẽ đồ thị Điểm uốn (1;0) Giao với Ox: (1;0); (1 3;0);(1 3;0) + Giao với Oy: (0;2) 2, y Số nghiệm của phuơng trình là số giao điểm của hai đồ thi hàm số y= 2 log m và y= 3 2 3 2x x + . Vẽ đồ thị y= 3 2 3 2x x + nh sau : Từ đồ thị câu 1 ta bỏ phần bên trái Oy lấy đối xứng phần còn lại qua Oy , tiếp tục bỏ phần đồ thị bên dới Ox lấy đối x xứng phần bị bỏ qua Ox ta đợc đồ thi nh hình vẽ. Phơng trình đã cho có 8 nghiệm phân biệt khi: 0 < 2 log m < 2 1 4m p p Vậy 1 4 4 1 m m < < < < 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 3+ O 2 1 3 2 -2 O 2 -2 CII C©u II (2,0 ®iÓm). 1. 2( cos ) 1 cot 2 1 x sinx tanx x cotx − = + − . (1) §k cot 1 cos .sin 2 .( 2 ). 0 x x x tanx cot x sinx ≠ + ≠ (1) ⇔ 1 2(cos sin ) 2 1 sin 2 sin x x sinx cos x cosx cosx x x − = + − 2 ( ) .sin 2 2 4 2 2sin . 2 sin 2 2 ( ) 4 x k loai cosx x sinx x cosx x cosx cosx x k Nhan π π π π = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − + VËy x = 2 4 k π π − + (k )Z∈ 2. 3 2 2 3 2 2 (1 ) (2 ) 30 0 (1 ) 11 0 x y y x y y xy x y x y y y + + + + − = + + + + − = ( )( ) 30 ( ) 11 xy x y xy x y xy x y xy x y + + + = ⇔ + + + + = Khi ®ã ta ®îc 5 1 x y xy + = = hoÆc 2 3 xy x y = + = -Víi 2 3 xy x y = + = ta ®îc nghiÖm lµ : (1;2) ; (2;1) -Víi 1 5 xy x y = + = ta ®îc ngiÖm lµ 5 21 5 21 ( ; ) 2 2 − + , 5 21 5 21 ( ; ) 2 2 + − §¸p sè : HÖ cã 4 nghiÖm nh trªn. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 CIII C©u IiI (1,0 ®iÓm). 3 2 4 ( ) 1 tanx I dx cosx cos x π π = + ∫ = 3 2 2 4 ( ) 1 1 tanx dx cos x cos x π π + ∫ = 3 2 2 4 ( ) 2 tan tanx I dx cos x x π π = + ∫ . §Æt t = 2 2 tan x+ th× dt = 2 2 tan cos 2 tan xdx x x+ . §æi cËn : Víi x = 4 π th× t = 3 , x = 3 π th× t = 5 . Ta ®îc 5 3 5 3I dt= = − ∫ 0,25 0,25 0,25 0,25 C.IV Câu IV (1,0 điểm). Dựng AC vuông góc với SC . Gọi O là tâm đa giác đáy .G là giao điểm của AC và SO . Qua G dựng đờng thẳng song song với BD cắt SB,SD tại B và D Vì SC AC và SC BD nên SC BD. Lại có BD//BD mà BD AC nên BD AC Tam giác SAC đều nên AC = SO = 6 2 a , G là trọng tâm tam giác SAC nên BD = 2 2 3 a 2 ' ' ' 1 3 '. ' ' 2 3 AB C D a S AC B D = = Vậy 3 ' ' ' ' ' ' 1 6 . ' 3 18 SAB C D AB C D a V S SC= = (đvtt) 0,25 0,25 0,25 0,25 CV. Câu V (1,0 điểm). 2 2 2 2 2 2 bc ca ab M a b a c b c b a c a c b = + + + + + Đặt x =bc, y =ca, z =ab ( x > 0, y > 0, z > 0) thì xyz = 1 và 2 2 2 x y z M y z z x x y = + + + + + áp dụng BĐT cosi ta có 2 4 x y z x y z + + + ; 2 4 y z x y z x + + + ; 2 4 z x y z x y + + + Vậy M 3 3 3 2 2 2 xyz x y z+ + = . Vậy GTNN của M là 3 2 khi x = y =z =1 tức là a =b =c =1 . 0,25 0,25 0,5 C.VI a Câu VIa (2,0 điểm). 1. ( ( ) : 6 10 0x y = có phơng trình tham số 4 6 1 x t y t = + = + . Xét điểm E(4+6t;-1+t) ( ) . Ta có 1 ( , )d E d = 3(4 6 ) 4( 1 ) 5 22 13 5 5 t t t+ + + + + = 2 ( , )d E d = 4(4 6 ) 3( 1 ) 5 21 14 5 5 t t t+ + + = . Ta phải có 1 ( , )d E d = 2 ( , )d E d 1 22 13 21 14 27 43 t t t t = + = + = Với t =1 thì E(10;0) và R = 7 phơng trình đờng tròn là 2 2 ( 10) 49x y + = Với t = 27 43 thì E( 10 70 ; ) 43 43 và R = 7 43 phơng trình đờng tròn là: 2 2 2 10 70 49 43 43 43 x y + + = ữ ữ 0,25 0,25 0,25 0,25 D S A B C B C O D G 1. Phơng trình tham số của ( ) 1 d , ( ) 2 d tơng ứng là ( ) 1 d 2 2 4 x t y t z t = = + = ( ) 2 d 2 ' 8 ' 6 ' 10 x t y t z t = = + = + Lấy M(t; -t+2; 2t-4), N(2t-8; t+6; -t+10) Ta có (2 ' 8; ' 4; ' 2 14).MN t t t t t t= + + + uuuur Để MN nằm trên Ox hay MN // Ox cần và đủ là ' 4 0 ' 2 14 0 t t t t + + = + = Ta đợc 18 ' 22 t t = = . Vậy M(18; -16; 32) , MN uuuur =(-70;0;0) .Từ đó ta đợc phơng trình đờng thẳng (d) là 18 70 16 ( ) 32 x t y t R z = = = . Vì M không thuộc Ox nên (d) //Ox. 0,25 0,25 0,25 0,25 C, Vii a CVi b CâuVIIa (1,0 điểm). 1 2 1z z= = ; 1 2 3z z+ = . Tính 1 2 z z . Đặt 1 1 1 2 2 2 ;z a b i z a b i= + = + . Từ giả thiết ta có hệ phơng trình 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 3 a b a b a a b b + = + = + + + = . Suy ra 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 ( ) ( ) 1 1a b a b a a b b z z+ = + = = CâuVIb (2,0 điểm). 1. Đờng thẳng AC đi qua A và BH nên có phơng trình là x+ y -2 = 0, C là giao điểm của AC và phân giác trong của nó nên C(4;-2) Gọi A là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong góc C thì AC chứa cạnh BC Gọi E là giao điểm của AA và x+3y+2=0 thì E là trung điểm của AA. Đởng thẳng AA đi qua A và CE nên pt : 3x y + 6 = 0 suy ra E(-2;0) và A(-3;-3). Vậy đờng thẳng AC có phơng trình là : x 7y 18 = 0. Đáp số : BC có phơng trình là : x -7y -18 = 0 2.Đờng thẳng d có VTCP = (3; 2;2); (6; 4;4) 2u MN MN u= = = r uuuur uuuur r , M d nên MN//d , do đó trên mặt phẳng (d;MN) gọi M là điểm đối xứng với M qua d và ( ) là mp qua M và d suy ra ( ) có phơng trình 3x -2y +2z + 3 =0 . Gọi H =d ( ) ( 1; 2; 2) '( 3;2;5). ' / /H M I M N d HI MN I = là trung điểm của MN nên I(2;0;4) là điểm cần tìm. Câu VIIb (1,0 điểm). Đặt 5 4 log (3 3 1) log (3 1) x x t+ + = + = . Ta đợc : 3 1 4 1 2 3 2 5 3( ) ( ) 1 5 5 3 3 1 5 x t t t t t x t + = + = + = + + = Vế trái là một hàm số nghịch biến còn vế phải bằng 1 nên nghiệm t = 1 là duy nhất Với t =1 ta có x =1. Đáp số : x =1 . Hết 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Hết A B E A H C . xứng c a A qua đờng phân giác trong góc C thì AC ch a cạnh BC Gọi E là giao điểm c a AA và x+3y+2=0 thì E là trung điểm c a AA. Đởng thẳng AA đi qua A và CE nên pt : 3x y + 6 = 0 suy ra E(-2;0). 3 AB C D a S AC B D = = Vậy 3 ' ' ' ' ' ' 1 6 . ' 3 18 SAB C D AB C D a V S SC= = (đvtt) 0,25 0,25 0,25 0,25 CV. Câu V (1,0 điểm). 2 2 2 2 2 2 bc ca ab M a. SC AC và SC BD nên SC BD. Lại có BD//BD mà BD AC nên BD AC Tam giác SAC đều nên AC = SO = 6 2 a , G là trọng tâm tam giác SAC nên BD = 2 2 3 a 2 ' ' ' 1 3 '. ' ' 2