Nếu đổi vị trí chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì được một sô có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu là 45.. Gọi M là trung điểm AB.[r]
(1)KIỂM TRA HỌC SINH XẾP LOẠI HỌC LỰC GIỎI Năm học 2009-2010 Môn: Toán - Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (3,0 điểm) a, Tìm số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho Nếu đổi vị trí chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì sô có hai chữ số nhỏ số ban đầu là 45 b, Với n là số tự nhiên, chứng minh n5 và n có chữ số tận cùng Câu 2: (2,0 điểm) Cho a + b = x + y; a2 + b2 = x2 + y2 Chứng minh rằng: a2010 + b2010 = x2010 + y2010 Câu 3: (2,0 điểm) x x x 0 a, Giải phương trình: x xy y 3 z yz 0 b, Giải hệ phương trình: Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo Vẽ góc xOy = 450 cho Ox cắt BC G (G nằm B, C) Oy cắt DC H (H nằm D, C) Gọi M là trung điểm AB Chứng minh rằng: a, ΔHOD đồng dạng ΔOGB b, GM // AH Câu 5: (1,0 điểm) Cho ΔABC biết góc A lần góc B và lần góc C Chứng minh rằng: 1 AB BC AC Hết (2) HƯỚNG DẪN CHẤM Kiểm tra HS học lực giỏi - Năm học 2009-2010 Môn: Toán Lớp Câu Nội dung Điểm a) Gọi số cần tìm là ab 0,5 ta có ab ba 45 (10a b) (10b a) 45 a b 5 (*) mà ab3 a b3 a b 3;6;9;12;15;18 (**) Từ (*) và (**) suy a + b = 9; 15 0,5 a b 5 a 7 a b b 2 Với a b 5 a 10 vô lý a b 15 Với 0,5 Vậy số phải tìm là 72 0,5 b) Xét n5 – n = n(n4 – 1) = n(n2 + 1)(n – 1)(n + 1) = n(n2 – + 5)(n – 1)(n + 1) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n +2) – 5n(n – 1)(n + 1) Vì (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n +2) 10, 5n(n – 1)(n + 1) 10 Suy điều phải chứng minh 0,5 0,5 Từ a + b = x + y (*) a–x=y–b Mặt khác a2 + b2 = x2 + y2 a2 – x2 = y2 – b2 (a + x)(a – x) = (y + b)(y – b) (a + x)(a – x) = (y + b)(a – x) 0,5 a x 0(**) a x b y (***) a b x y b y a 2010 b2010 x 2010 y 2010 Với a x a b x y a y b x a 2010 b 2010 x 2010 y 2010 Với a x b y Từ (1) và (2) suy điều phải chứng minh 0,5 (1) (2) 0,5 0,5 a, x4 + x3 + 2x -4 =0 (x - 1)(x + 2)(x2 + 2) = => x=1 x = -2 2 ( x2 ) ( y 4) (1) y x xy y 3 ( z y ) (4 y ) (2) z yz b, y 0 y 0 y 2 y 0 (3) +) Với y 2 x 1, z +) Với y x 1, z 1 a, HOD + O1=1350 OGB + O1=1350 nên HOD = OGB ->ΔHOD đồng dạng ΔOGB (g.g) b, từ câu a, suy : M A B HD DO OB BG đặt BM = a O Thì AD = 2a , OB = OD = a G Ta có HD.BG = OB.OD = a a =2a.a =AD.BM HD BM = => => ΔAHD đồng AD BG dạng với ΔGMB(c.g.c) => AHD = GMB D H đó HAB = GMB => MG // AH Gọi D là giao điểm AB với đường trung trực đoạn BC Khi đó ta có: ΔBCD cân D, ΔACD cân C DB DC CA D A AB AB CA DB (1) Do CA là phân giác C AB AD AB AD BC DC BC DB (Vì DC B =DB) (2) Cộng theo vế (1) và (2) ta được: AB AB AB AD 1 1 AC BC DB DB AC BC AB C (4)