Lưu ý khi chấm bài: Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ.. Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên..[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 12 PHỔ THÔNG Ngày thi: 31/03/2013 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (4 điểm) 2x (1) x +1 1) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt Ox, Oy A và B (A, B khác O) cho OB = 2OA 2) Tìm các điểm M, N trên hai nhánh đồ thị hàm số (1) cho độ dài MN nhỏ Câu (4 điểm) 1) Giải phương trình Cho điểm I(-1; 2) và hàm số y = π sin(4 x − ) + sin x + cos x − 2sin x + sin x + cos x − = 0, 2) Giải phương trình 2x + x +3 − + < x + 9.2 x +1 − 3, Câu (2 điểm) Tính tích phân (x ∈ ℝ ) (x ∈ ℝ ) π cos xdx π sin x sin( x + ) ∫ π Câu (2 điểm Tìm các giá trị thực tham số m để hệ phương trình 2 x y + x = my 2 xy + y = x có đúng ba nghiệm thực phân biệt Câu (6 điểm) 1) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AD = 2a, SA = a, SB = a Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SA, BD b Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y – z - = Lập phương trình đường thẳng d qua A, d nằm (P) cho góc d và Oz có số đo nhỏ Câu (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a − bc b − ca c − ab + + ≤ a + bc b + ca c + ab Hết Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh Số báo danh: Giám thị (Họ tên và ký) Giám thị (Họ tên và ký) (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI /3/2013 MÔN THI:TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG Bản hướng dẫn chấm có 04 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Phương pháp – Kết Câu 2x y = ⇒ y'= >0 I x +1 ( x + 1) Tiếp tuyến ĐT hàm số cắt các trục Ox,Oy A, B thoả mãn OB = 2OA suy hệ số góc tiếp tuyến là k = ± Do y’ >0 nên k = 2 Xét phương trình = suy x = -2 x = ( x + 1) Với x = thì phương trình tiếp tuyến là d1: y = 2x (không thoả mãn) Với x = -2 thì phương trình tiếp tuyến là d2: y = 2x +8 (thoả mãn) Không tính tổng quát, ta giả sử xM > -1, xN < -1 2 Khi đó M (−1 + a; − ), N (−1 − b; + ) , với a, b > a b 1 1 MN = (a + b) + + a b 64 ≥ ( a + b) + = ( a + b) + a+b ( a + b) ≥ ( a + b) II 64 (a + b) = 16 a = b > Đẳng thức xảy và 64 ⇔ a = b = 2 ( a + b) = ( a + b ) Từ đó tìm M( -1; 2- ) và N(- -1; + ) Phương trình đã cho tương đương với sin 4x - cos 4x +sin2x + cos 2x – 2sin 3x + sin x + cos x – = ⇔ (sin 4x + sin2x) - (cos 4x – cos 2x) – 2sin 3x + sin x + cos x – = ⇔ 2sin3xcosx + 2sin 3x sin x – 2sin 3x + sin x + cos x - = ⇔ 2sin3x(cosx + sin x – 1) + sin x + cos x - = ⇔ (2sin3x + 1)(cosx + sin x – 1) = π k 2π x = − 18 + x = 7π + k 2π sin x = − ⇔ ⇔ 18 sin x + cos x = x = k 2π π x = + k 2π KL 2.Đặt t = x ta có bất phương trình Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn t +1 < t + 18t − , t ≥ 2 (t + 1) t +1 ⇔ 8t − + + 8t − < 2(8t − 2) + (t + 1) 2 t +1 t +1 ⇔ ⇔ ( 8t − − ) > ⇔ 8t − ≠ 2 8t − + 0,5 t ≠ + 44 ⇔ t ≠ − 44 0,5 Suy t ∈ [ ; − 44) ∪ (7 − 44; + 44) ∪ (7 + 44; +∞) Từ đó tìm x ∈ −2;log (7 − 44) ∪ log (7 − 44); log (7 + 44) ∪ log (7 + 44); +∞ ) ( π Câu III Ta có I = ∫ π ) ( 0,5 ) cot xdx sin x(1 + cot x) 0,5 Đặt t = + cot x ⇒ dt = − Đổi cận: x= x= π π dx sin x ⇒t =2 ⇒ t =1 0,5 Khi đó t2 I = ∫ (t − + )dt = − 2t + ln | t | t 2 1 1 = ln − 2 Câu Nhận xét (0; 0) luôn là nghiệm hệ với m IV Nếu x = ⇒ y = và ngược lại x2 x + =m y y Xét xy ≠ HPT tương đương với (*) y y + x x = x2 y2 Đặt u = , v = ⇒ x = u v , y = uv y x 9u u + = m u + = m (1) v u−2 Khi đó hệ phương trình (*) thành ⇔ (**) u − v + = v = (2) u u Dễ thấy yêu cầu bài toán tương đương với (1) có đúng nghiệm u ≠ và u ≠ 9u Đặt f (u ) = 2u + , u ∈ ℝ \ {0; 2} u−2 Lập bảng biến thiên f(u) suy m ∈ (−∞; 0) ∪ (0;1) ∪ (25; +∞) Câu 1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn V a) Kẻ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) Theo giả thiêt ∆ SAB vuông tai S Từ đó tính SH = a 2a 3 Suy VS ABCD = SH S ABCD = 3 +) Dựng hình bình hành ADBE ⇒ BD // (SAE) ⇒ d(SA;BD) = d(B; (SAE)) Kẻ HK ⊥ AE, HI ⊥ SK Chứng minh HI = d(H; (SAE)) a ∆ AHK vuông cân K ⇒ HK = a 21 Ta có ∆ SHK vuông H từ đó tính HI = 14 2a 21 d ( B;( SAE )) BA = = ⇒ d ( B;( SAE )) = Chứng minh d ( H ;( SAE )) HA 2) Gọi O = AC ∩ BD suy OA = OB = OC = OD Gọi M là trung điểm AB suy OM ⊥ (SAB) Suy hình chiếu OA, OS lên (SAB) là MA, MS Do MA = MS ⇒ OA = OS Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD AC Vậy R = =a 2 2) Gọi u = (a; b; c) ≠ là vectơ phương d u ⊥ n p = (1;1; −1) d ⊂ ( P) ⇔ ⇔ a+b−c = A ∈ ( P ) Khi đó u = (a; b; a + b) Gọi α là góc d và Oz |a+b| a + b + 2ab Ta có cosα = ⇔ cos 2α = =m 2a + 2b + 2ab 2a + 2b + 2ab Do 00 ≤ α ≤ 900 nên góc α nhỏ và cos2 α lớn ⇔ m lớn Xét b = 0, ta có m = (1) Xét b ≠ 0, chon b = Khi đó a + 2a + m= ⇔ (2m − 1)a + 2(m − 1)a + 2m − = (*) a + 2a + Nếu m = thì có giá trị a Nếu m ≠ , (*) có nghiệm và ∆ ’ ≥ 2 ⇔ -3m2 + 2m ≥ ⇔ ≤ m ≤ (2) đó a = 1, b = Từ (1) và (2) suy Max {m} = x −1 y z Từ đó tìm (d): = = 1 Câu Bất đẳng thức đã cho tương đương với 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (5) http://toanhocmuonmau.violet.vn V 2a 2b 2c + + −3≤ a + bc b + ca c + ab Ta có a + bc = a (a + b + c) + bc = (a + b)( a + c) (*) 0,5 Do đó 2a 2b 2c + + ≤ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a )(c + b) ⇔ 4[a (b + c ) + b(c + a) + c( a + b)] ≤ 9( a + b)(b + c)(c + a ) ⇔ 4[a (1 − a) + b(1 − b) + c(1 − c )] ≤ 9(1 − a )(1 − b)(1 − c ) (*) ⇔ ⇔ ≤ 4( a + b + c) + ab + bc + ca − 9abc a+b+c Do abc ≤ = nên 3 ab + bc + ca ≥ 3 a 2b 2c = a 2b 2c ≥ abc a 2b 2c = 9abc 0,5 0,5 Từ đó suy bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c Lưu ý chấm bài: Trên đây là sơ lược đáp án, bài làm học sinh phải trình bày tỉ mỉ Mọi cách giải khác, đúng, cho điểm tương đương trên 0,5 (6)