Luen tap ve ham so lien tuc

Víi mçi hµm sè, h·y x¸c định các khoảng trên đó hµm sè liªn tôc... Vậy phơng trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng..[r]

TT GDTX- HN Thanh S¬n HÖ thèng kiÕn thøc vÒ hµm sè liªn tôc 1) Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm Hàm số f(x) xác định trên khoảng K f(x) liªn tôc t¹i x0  K  lim f ( x) f ( x ) x x 2) Hµm sè liªn tôc trªn mét kho¶ng *) §Þnh nghÜa: - Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) đợc gọi là liên tục trên khoảng đó, nó liên tục điểm khoảng *) §Þnh lý 1: C¸c hµm sè ®a thøc, hµm sè h÷u tØ, hµm sè lîng gi¸c liªn tôc trªn tËp x¸c định chúng *) §Þnh lý 2: Tæng, hiÖu, tÝch, th¬ng ( víi mÉu kh¸c 0) cña nh÷ng hµm sè liªn tôc t¹i mét điểm là liên tục điểm đó 3) Chøng minh ph¬ng tr×nh f(x) = cã nghiÖm *) §Þnh lý: f(x) liªn tôc trªn [a ;b]   c  (a; f(c) = f(a).f(b) < b): Ph¬ng tr×nh f(x) = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (a; b) Bµi tËp hµm sè liªn tôc f(x) liªn tôc f(x) liªn tôc t¹i mét ®iÓm trªn mét kho¶ng f(x) = cã nghiÖm TiÕt 92 : LuyÖn tËp vÒ hµm sè liªn tôc Vấn đề 1: Xét tính liên tục hàm số điểm x0 *)Ph¬ng ph¸p:  Xác định TXĐ D, kiểm tra x0 thuộc D f ( x)  Tính f(x0) và xlim x f ( x) Rồi đến kết luận So sánh f(x0) và xlim x Bài (SGK-140) Dùng định nghĩa xét tính liên tục hàm số f ( x )  x  x  t¹i x0 3 Bµi gi¶i Tập xác định hàm số là R, x0 3  R f (3) 3  2.3  32   lim f ( x)  f (3)  lim( x  x  1) 33  2.3  32  x  x 3 VËy hµm sè f ( x)  x  x  liªn tôc t¹i x0 3 TiÕt 92 : LuyÖn tËp vÒ hµm sè liªn tôc *)Ph¬ng ph¸p:  Xác định TXĐ D, kiểm tra x0 thuộc D f ( x)  Tính f(x0) và xlim x So sánh f(x0) và *)Bµi (141): lim f ( x ) Rồi đến kết luận x  x0 Cho hµm sè: g(x) = x3  nÕu x  x nÕu x = a, XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè g(x) t¹i ®iÓm x0 = b, Trong biểu thức trên cần thay số số nào để hàm số liên tục x0 = Bµi gi¶i: TX§: R x0 2  R x Tính lim g ( x) = lim  x x x  2 lim x  2x  4  = x g (2) = 12 =5 Kết luận:Hàm số đã cho không liên tục điểm x0= b, hµm sè liªn tôc t¹i => lim g ( x)  g (2) x x0 2  lim g ( x)  g (2) x => g(2) = 12 => Thay sè b»ng sè 12 th× g(x) liªn tôc t¹i x 2 TiÕt 92 : LuyÖn tËp vÒ hµm sè liªn tôc Vấn đề 2: Xét tính liên tục hàm số trên khoảng *)Ph¬ng ph¸p: áp dụng định lý 1, 2: các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ, hàm số lợng giác, liên tục trên tập xác định chúng Bµi (SGK-141) Cho hµm sè x 1 f ( x)  x x x 1 x 1  a, Hµm sè f(x)  x  x  ( x  2)( x  3) có tập xác định là: x  ( ;  3)  ( 3; 2)  (2; ) => hµm sè f(x) liªn tôc trªn c¸c kho¶ng Víi mçi hµm sè, h·y x¸c định các khoảng trên đó hµm sè liªn tôc ( ;  3)  ( 3; 2)  (2; ) TiÕt 92 : LuyÖn tËp vÒ hµm sè liªn tôc Vấn đề Chøng minh ph¬ng tr×nh f(x) = cã nghiÖm *)Phơng pháp Sử dụng định lý f(x) liªn tôc trªn [a ;b]   c  (a; b): f(c) = f(a).f(b) < Ph¬ng tr×nh f(x) = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (a; b) VÝ dô ¸p dông Cho ph¬ng tr×nh: x3 - x + = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  ( 1; ) Bµi gi¶i: f(x)= x3 - x + Hµm sè f(x) liªn tôc trªn R  hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [1 ;2] f(1) = -1  f(1).f(2) = - < f(2) =   x0  ( 1; 2) : f(x0) = KÕt luËn: ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  ( 1; ) TiÕt 92 : LuyÖn tËp vÒ hµm sè liªn tôc Vấn đề Chøng minh ph¬ng tr×nh f(x) = cã nghiÖm *)Phơng pháp Sử dụng định lý f(x) liªn tôc trªn [a ;b]   c  (a; b): f(c) = f(a).f(b) < Ph¬ng tr×nh f(x) = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (a; b) Bµi 6b, (SGK-141)Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cosx=x cã nghiÖm Giải: Ta có: cosx = x <=> cosx – x = Đặt f(x) = cosx – x Khi đó    Hàm số f(x) xác định trên R nên nó liên tục đoạn   ;   2     f ( ) cos     2 2    => f ( ) f ( )      2 f ( ) cos( )     2    x0  ( ; ) : 2 2 f ( x) 0 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm    ( ; ) 2 TiÕt 92 : LuyÖn tËp vÒ hµm sè liªn tôc Bµi 6a (SGK-141) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh x  x  0 Cã Ýt nhÊt hai nghiÖm Gi¶i: §Æt f(x) = x  x  0 Hàm số f(x) xác định trên R nên nó liên tục đoạn   2;0 và 0;1 XÐt ®o¹n:   2;0 f(-2) = -9 <    f (  2) f (0)   x0    2;0  : f ( x0 ) 0 f(0) = <    Ph¬ng tr×nh f(x) = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (-2; 0) 0;1 XÐt ®o¹n: f(0) = <    x  0;1 : f ( x )    f (0) f (1)    0 f(1) = -3 <  Ph¬ng tr×nh f(x) = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (0; 1)   Vậy phơng trình đã cho có ít hai nghiệm thuộc khoảng   2;1 BµI tËp §3 hµm sè liªn tôc XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i mét ®iÓm XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè trªn mét kho¶ng Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm trªn kho¶ng Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi sè: 3, 5, 6(SGK-Trang 141) Bµi sè: 6, 7, (SBT -Trang 118) TiÕt 92 : LuyÖn tËp vÒ hµm sè liªn tôc Bµi to¸n: Cho các hàm số f(x) cha xác định x = x  2x x  2x a ) f (x)  b) f (x)  x x2 Có thể gán cho f(0) giá trị bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành liên tục x=0? Bµi gi¶i: x  2x x( x  2) a) Ta cã: lim f (x)  lim lim (x  2)  -2  lim  x x x x x x VËy: cã thÓ g¸n f(0 ) = - th× hµm sè f(x) liªn tôc t¹i x = x2 x( x  2) x  2x   lim f (x)  lim  lim b) Ta cã: lim 2 x  x x x x x x Vậy không thể gán cho f(0) giá trị nào để f(x) liên tục x = TiÕt 92 : LuyÖn tËp vÒ hµm sè liªn tôc ax2 nÕu x  ( a lµ h»ng sè ) Bµi sè ( tr137 ): Cho f(x) = nÕu x > Tìm a để hàm số f(x) là liên tục với x; Khi đó hãy vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Bµi gi¶i: Khi x < 2: f(x) = ax2 nªn hµm sè liªn tôc Khi x > 2: f(x) = nªn hµm sè liªn tôc   Lim f x  lim ax 4a f   Khi x = 2: x x   Lim f  x  lim 3 x  2 x  2 §Ó f(x) liªn tôc t¹i x = cÇn cã = 4a  a  VËy a  th× f(x) liªn tôc víi mäi x x nÕu x  Khi đó f( x) = nÕu x > TiÕt 92 : LuyÖn tËp vÒ hµm sè liªn tôc x nÕu x  Vẽ đồ thị hàm số f( x) = nÕu x > y 3/4 -2 -1 O x