Lập bảng biến thiên (có các nghiệm của phương trình trên và các điểm hàm số không xác định) B4.. Từ bảng biến thiên suy ra kết luận theo mục 3.[r]
(1)VẤN ĐỀ I TÍNH Đ Ơ N ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Nắm định nghĩa tính đơn điệu hàm số. 2 Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm khoảng I
a) Nếu f đồng biến khoảng I f(x) 0, x I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f(x) 0, x I 3 Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm khoảng I
a) Nếu f(x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f(x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f(x) = 0, x I f khơng đổi I
Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục đó. D ạng Quy t ắc tìm khoảng đơn điệu hàm số:
B1 Tìm tập xác định
B2 Tính f' x( ) giải phương trình f' x( )=0
B3 Lập bảng biến thiên (có nghiệm phương trình điểm hàm số không xác định) B4 Từ bảng biến thiên suy kết luận theo mục
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau:
a) y = x3 – 3x2 + 2; b) y = -x4 + 4x2 – 3; c) 1 2
x y
x
; d)
2
4
x x
y e) y (4- x)(x -1)2
; f) yx 2sinx 0x2; g) y = x – ex ; h) yx32x2 x2
i) y = x + 1x j) y = x - 1x; k) y = 2x - x2 ; m) y = x - x2
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến nghịch biến
trên tập xác định (hoặc khoảng xác định)
* Cho haøm số y = f (x, m) , m tham số, có tập xác định D
Hàm số f đồng biến D y' 0, x D;
Hàm số f nghịch biến D y' 0, x D (y' = xảy số hữu hạn điểm)
Từ suy điều kiện m.
Nếu y' tam thức bậc 2:
o Xét TH a = 0;
o TH a khác 0: * y' 0, x D
0 0
(2)* y' 0, x D 0 0 a
Bài Cho hàm số 2 2 2
m
y x m x m x
a Định m để hàm số luôn đồng biến; b Định m để hàm số luôn nghịch biến Bài a) Tìm m để hàm số
m x mx y
đồng biến khoảng xác định b) Tìm m để hàm số
m x m x y
đồng biến khoảng xác định c) Tìm m để hàm số ( 1) ( 1)
3
x m x m x
y đồng biến khoảng ( 1; )
B
ài Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó:
a 13 x x
y ; b
2 x x
y ; c y 3x sin(3x1)
B
ài Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó:
a) y = -5x + cot(x -1); b) y = cos x - x; c) y = sin x - cos x - 2 x; d)y = -x + x2 8
Dạng Dùng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau:
· Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc <, ) Xét hàm số y = f(x) tập xác định đề
định.
· Xét dấu f' (x) Suy hàm số đồng biến hay nghịch biến.
* Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến để đến kết luận:
- Nếu f(x) đồng biến (a; b) với x ( ba; ) ta có a < x < b nên f(a) < f(x) < f(b) - Nếu f(x) nghịch biến (a; b) với x ( ba; ) ta có f(a) > f(x) > f(b)
Bài Chứng minh rằng:
a sinxtanx2x với ) ; (
x ; b x x sinx
3
với x > ; c log23log34
d ;0)
2 ( ,
sinx x x ; e ;0)
2 ( ,
6
sinxx x3 x HD: c Xét hàm số logx(x1) với x >
================================================
VẤN ĐỀ II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị x0:
Nếu hàm số f(x) đạt cực trị x0 có đạo hàm xthì f'(x0) 0 2 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị x0:
(3)- Nếu f' x( )đổi dấu từ âm sang dương qua x hs 0 f(x)đạt cực tiểu x0
- Nếu f' x( )đổi dấu từ dương sang âm qua x hs 0 f(x)đạt cực đại x0
ĐL2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0 , f(x0 ) = có đạo hàm cấp
hai khác điểm x0
a) Nếu f(x0) < f đạt cực đại x0
b) Nếu f(x0 ) > f đạt cực tiểu x0 D ạng Tìm cực trị hàm số
- Theo định lý 1: Tính y', lập bảng biến thiên suy kết
- Theo định lý 2: Tính y' y'' Tính y'' nghiệm y' suy kết Bài Tìm cực trị hàm số sau:
a) y 3x2 2x3
; b) yx3 2x2 2x1; c) y x 4x 15x
3
1
; d)
3 2 x x
y ;
e) 4
x x
y ; f)
2 2 x x
y ; g) ( 2)3( 1)4
x x
y ; h)
2
4 x x
y
k) 2
x x
y ; m)
3
1
x x x
y
D ạng Tìm điều kiện để hàm số có cực trị, khơng có cực trị
1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 thì f' (x0) = x0 khơng có đạo hàm. 2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 thì f' (x) đổi dấu x qua x0 .
* Hàm số bậc có cực trị y' = có nghiệm phân biệt
* Tính y cực trị bẳng cách thay x cực trị vào y vào phần dư phép chia y:y' * Chú ý sử dụng định lý Vi-et
Bài Chứng minh hàm số sau có cực đại cực tiểu với giá trị tham số m: a) y x3 3mx2 3(m2 1)x m3
; b) y2x3 3(2m1)x2 6m(m1)x1
Bài Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu: a) ( 2) 3
m x x mx
y ; b) 3( 1) ( 2) ( 1)
x m x m m x m m
y Bài Tìm m để hàm số:
a) 3 ( 1)
x mx m x
y đạt cực tiểu x =2;0
b) -mx4 2(m-2)x2 m-5
y đạt cực đại x =1/2;0
c)
4
(1 )
4
x mx
y m x m có cực trị; có cực trị. Bài Tìm m để hàm số sau khơng cĩ cực trị:
a) y x3 -3x2 3mx3m4; b) y mx3 3mx2 -(m-1)x-1
Bài Định a, b để hàm số yx ax2 b
4
2 đạt cực trị -2 x = 1 Bài Định a, b, c, d để hàm số:
a) y ax3 bx2 cxd đạt cực tiểu x = cực đại 4/27 x = 1/3; b) y ax4 bx2 đạt cực trị -9 x = 3
Bài Định m để hàm số ( 1)
1 2
x mx m m x
(4)Bài Biện luận theo m số cực trị hàm số: 2
x mx m
y
VẤN ĐỀ III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Nếu hàm số f đồng biến [a; b] min[a;b] f(x)f(a) vàmax[a;b] f(x)f(b)
Nếu hàm số f nghịch biến [a; b] max[a;b] f(x)f(a) min ( ) ( )
] ;
[ab f x f b
Tìm GTNN GTLN khoảng: Tính y', lập bảng biến thiên suy kết quả Tìm GTNN GTLN đoạn [a; b]:
- Giải y' = tìm nghiệm x1, x2,
- Tính giá trị f(x1), f(x2), tính f(a), f(b)
- So sánh giá trị vừa tính suy kết quả
Bài Tìm GTLN GTNN hàm số sau:
a) y 4x3 -3x4; b) y 2x3 3x2 -12x 1 [-1; 5]; c) yx4 2x2 5
[-3;2]; d) 3 x x
y [0; 2]; e) y 3x x3
[-2; 3]; f) yx4 8x2 2 [-4; 3]. Bài Tìm GTLN GTNN hàm số sau:
a) y x2 x -2
; b) 1 (x0) x
x
y ; c)
100 x
y [-6; 8];
d) sin sin sin
2
x x
x
y e) y = x2.ex [-3;2]; f) y x x2
[0;2/3]; g) y x2 4 x; h) y2sin2x cosx1; k) y x sin3x
3 sin
2
[0;] m) y 2cos2x4sinx [0; /2]; n)
x x x
y [-1; 3]
p) ycos2x2sinx 3; q) y 21 4x x2
; r) yx 4 x2
s) 2
1 x x y
; t) y(x1) 4 x2 ; u) y(3 x) x21 [0; 2] Bài 3 Tìm giá trị m để phương trình m x2 1 x 1 có nghiệm đoạn [-1; 2] Bài Tìm giá trị m để phương trình 3
x m
x có nghiệm phân biệt
VẤN ĐỀ IV ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Cho hàm số y = f(x)
1 Nếu limxa f(x)thì đường thẳng x = x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Nếu x +lim f(x) = y xlim f(x) = y 0thì đường thẳng y = y0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số
Bài tập Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) x x
y ; b)
2 x x
y ; c)
x x y
5
; d) y = 2 3
x + 1
e) Tìm m để tiệm cận ngang tiệm cận đứng đthị HS
1 2 x mx
(5) VẤN ĐỀ V KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ * Các bước khảo sát vẽ đồ thị hàm số:
Tìm tập xác định Sự biến thiên:
o Xét chiều biến thiên: Tính đạo hàm y';
Tìm điểm y' = khơng xác định
Xét dấu đạo hàm y' suy chiều biến thiên hàm số o Tìm cực trị hàm số
o Tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực tìm tiệm cận (nếu có) o Lập bảng biến thiên (ghi tất kết vừa tìm vào)
Vẽ đồ thị:
o Dựa vào bảng biến thiên để xác định dạng đồ thị
o Tính thêm tọa độ số điểm: đặc biệt giao điểm đồ thị với trục Ox, Oy o Nên lưu ý tính chẵn lẻ, tính đối xứng đồ thị
* Khảo sát hàm đa thức bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d ( a 0)
Gọi U điểm có hồnh độ x nghiệm phương trình y'' = đồ thị nhận U làm tâm đối xứng (và U điểm giới hạn phần lồi-lõm đồ thị)
a > 0 a < 0
Phương trình y' = có nghiệm phân biệt
(hàm số có cực đại cực tiểu)
Phương trình y' = có nghiệm kép vơ nghiệm
(hàm số khơng có cực trị)
Đồ thị cắt Ox điểm
* Khảo sát hàm đa thức bậc trùng phương : y = ax4 + bx2 + c ( a 0)
Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng
a > 0 a < 0
Phương trình y' = có nghiệm phân biệt
(hàm số có cực trị)
Phương trình y' = có nghiệm duy nhất
(6)* Khảo sát hàm biến
d cx
b ax y
(ad bc, ac 0)
Đồ thị hàm số nhận I (giao điểm đường tiệm cận) làm tâm đối xứng.
y' > 0, x D (ad - bc > 0) (hàm số đồng biến khoảng xác định)
y' < 0, x D (ad - bc < 0) (hàm số nghịch biến khoảng xác định)
HD: a) Trước tiên ta vẽ đồ thị hàm số 3 x x
y Từ đồ thị ta giữ lại phần đồ thị ứng với x > (phần 1), phần đồ thị ứng với x < lấy đối xứng với phần qua trục tung
b) Gồm phần phía Ox đồ thị hàm số yx3 3x2 2 phần đối xứng phần trục Ox qua trục Ox
I
(7)(8) VẤN ĐỀ VI
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG I PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
(9)Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
3
11
x x
y điểm có hồnh độ bẳng Tính diện tích tam giác tạo tiếp tuyến chắn hai trục tọa độ
Bài Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số
1
x m x
y điểm có hồnh độ chắn trục tọa độ tam giác có diện tích ½
Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc k: a) ( ): 2 5; 12
x x k
y
C ; b) ;
2 : )
(
k
x x y C
Bài Viết phương trình tiêp tuyến đồ thị hàm số 3
2
x x x
y biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y3 x
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2010 x y
Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 3
1 3
x x x
y qua điểm M(1; 2)
Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
2
x x
y qua điểm M(0; -1)
* Chú ý: Điều kiện để đường tiếp xúc nhau:
DẠNG II SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Bài 8.
(10) DẠNG III BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Bài Cho hàm số
1
x x y
Chú ý: Số giao điểm đồ thị hàm số bậc với trục hoành:
1 giao điểm: f(x) khơng có cực trị có cực trị dấu (yCĐ.yCT > 0)
2 giao điểm: f (x)có cực trị yCĐ.yCT = (tiếp xúc với trục hoành điểm cực trị)
3 giao điểm: f (x) có cực trị trái dấu (yCĐ.yCT < 0) Bài 2.
Bài 3. Bài 10.
Bài 11.
Bài 12.
Bài 13.
(11)o Số nghiệm phương trình f(x) = số giao điểm ĐTHS f(x) với trục hồnh
Đáp số:
VĐ I BT2/ a)Khơng có m thỏa; b)2m3
BT3/ a)m<-2 m>2; b)m<0; c)m2
VĐ II BT1/ a)CT(0;0),CĐ(1;1); b)khơng có cực trị; c)CT(3;-18),CĐ(5;-50/3); d)CT(1;5/2),CĐ(0;3); e)CT(0;-5); f)CT(0; 3/2),CĐ(1;2); g)CT(5/7;y);CĐ(-1;0); h)CT( 2;-2),CĐ( ;2); k)CĐ(0;3)
m)khơng có cực trị
BT3/ a)-3<m<1,m-2; b)m<1/2 m>1;
BT4/ a)m=1; b)m=8/3; c)m3/4;m<-3/4 BT5/ a)m1; b)0m1/4
BT6/ a=1, b= -3/2
BT7/ a)a= -8,b=4,c=d=0; b)a=1,b= -6 BT8/ khơng có m thỏa.
VĐ III BT1/ a) max(x=1;y=1), không min;b)max(5;266),min(1;-6); c)max(-3;68),min(1;4), d)max(0;1/3),min(2;-5); e)max(-2và1;2),min(3;-18); f)max(0;2),min(-4;-382) BT2/ a)min(-2và1;0); b)min(1;2); c)min(8;6),max(0;10);
d)min( /2k2 ;0),max(k ;1); e)min(0;0),max(2;4e2)
f)min(0;0),max(1/2;1/2); g)min(-2&4; ),max(1;2 3); h)min(t=1;0),max(t=1/4;21/8)
k)min(t=0;0),max(t 2/2;2 2/3) m) n)
p) q) r)
s) t) u)
BT3/ BT4/
VĐ VI BT1/ a) b)
c) d)
e) f)
BT2/ BT3/
BT4/ a) b)
BT5/ a) b)
BT6/ BT7/
BT8/ a) b) c)
BT9/ a) b)
BT10/ a) b) c)
BT11/ a) b) c) d)
BT12/ a) b) c)
BT14/ b) Bài 15.
Bài 16.
(12)BT15/ a) b) c) d) e) f)
BT16/ a) b) c) d)