01 cac van de trong tam ve ham bac ba p1 BG(2016)

Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Các vấn đề trọng tâm hàm số bậc ba – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ [Video]: Cho hàm số: y = x3 − x + m + ( C ) đường thẳng d : y = mx + a) Tìm m để hàm số ( C ) có cực đại A , cực tiểu B cho OA = 5OB b) Tìm m để d cắt ( C ) điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn OA2 + OB + OC = 31 c) Tìm m cho tiếp tuyến ( C ) qua điểm ( 2; −1) vuông góc với đường thẳng x + y − = d) Biện luận số nghiệm PT : x3 − x + m + = theo tham số m Ví dụ [Video]: Cho hàm số: y = x3 + x + ( C ) a) Gọi A, B điểm cực trị ( C ) Tìm điểm C cho ∆ABC b) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt M , N , P xM = NP = 10 c) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm x0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x + y − = d) Tìm m để phương trình x3 + x − m − 3m = có nghiệm phân biệt Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 + 3mx + ( C ) đường thẳng d : y = ( mx + 1) a) Tìm m để hàm số ( C ) có điểm cực trị M N cho MN = b) Tìm m để d cắt ( C ) điểm phân biệt cho OB + OC = 14.OA A điểm có hoành độ không đổi c) Tìm m biết tiếp tuyến ( C ) điểm có hoành độ x = qua điểm E ( 2; −3) d) Biện luận số ngiệm phương trình sau: x3 + x + = log ( 2k + 1) theo giá trị tham số k Lời giải: x = a) Ta có: y ' = x + 6mx = ⇔   x = −2m Để hàm số có điểm cực trị ⇔ m ≠ Khi điểm cực trị M ( 0; ) ; N ( −2m; + 4m3 ) Lại có: MN = 4m + 16m6 = 20 ⇔ m = ⇔ m = ±1 ( t / m ) b) Phương trình hoành độ giao điểm d ( C ) là: x3 + 3mx + = ( mx + 1)  x = ⇒ A (1;3 + 3m ) ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) + 3mx ( x − 1) = ⇔   g ( x ) = x + ( 3m + 1) x + = ∆ = 9m + 6m − > Để d cắt ( C ) điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác ⇔   g (1) = 3m + ≠  x1 + x2 = −3m − Khi gọi B ( x1 ; −3mx1 + 1) ; C ( x2 ; −3mx2 + 1) ta có:   x1 x2 = m = 2 2 2 Theo giả thiết ta có: OB + OC = x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 9m + 6m − = 14 ⇔  (t / m ) m = −  Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 c) Ta có: x = ⇒ y = 3m + PT tiếp tuyến điểm có hoành độ x = là: y = ( + 6m )( x − 1) + 3m + ( d1 ) Do tiếp tuyến qua điểm E ( 2; −3) nên −3 = ( + 6m ) + 3m + ⇔ m = −1 d) Đồ thị hàm số y = x3 + 3x + (1) có dạng hình vẽ Số nghiệm PT cho phụ thuộc vào số giao điểm đồ thị y = x3 + 3x + (1) đường thẳng d1 : y = log ( 2k + 1) Dựa vào đồ thị ta có: 63  k > log ( 2k + 1) > +) Với  ⇔ PT cho có nghiệm k < log ( 2k + 1) <  63  k =  log ( 2k + 1) = +) Với  ⇔ PT cho có nghiệm log ( 2k + 1) = k =  63 PT cho có nghiệm phân biệt +) Với < log ( 2k + 1) < ⇔ < k < 2 Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số: y = x3 − 3x + m + ( C ) đường thẳng d : y = ( m − 1) x a) Tìm m để hàm số ( C ) có điểm cực trị M N cho OM ON = b) Tìm m để d cắt ( C ) điểm phân biệt có tung độ thoã mãn y12 + y22 + y32 = c) Tìm m biết tiếp tuyến giao điểm ( C ) với trục Oy qua điểm E ( 0; ) d) Biện luận số nghiệm PT : x3 − x + m + = theo tham số m Lời giải: x = a) Ta có: y ' = x − = ⇔   x = −1 Khi điểm cực trị M (1; m − 1) ; N ( −1; m + 3) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 m = Lại có: OM ON = −1 + ( m − 1)( m + 3) = ⇔   m = −4 b) Phương trình hoành độ giao điểm d ( C ) là: x3 − 3x + m + = ( m − 1) x  x = ⇒ A (1; m − 1) ⇔ x3 − x + − m ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x + x − − m ) = ⇔   g ( x ) = x + x − − m = ∆ = + 4m > Để d cắt ( C ) điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác ⇔   g (1) = − m ≠  x1 + x2 = −1 Khi gọi B ( x1 ; ( m − 1) x1 ) ; C ( x2 ; ( m − 1) x2 ) ta có:   x1 x2 = −1 − m m = 2 2 Theo giả thiết ta có: ( m − 1) + ( m − 1) ( x12 + x22 ) = ⇔ ( m − 1) ( + 2m ) = ⇔  (t / m)  m = −1 c) Ta có: x = ⇒ y = m + PT tiếp tuyến điểm có hoành độ x = là: y = −3x + m + ( d1 ) Do tiếp tuyến qua điểm E ( 0; ) nên = m + ⇔ m = d) Ta có: PT ⇔ x − x + = − m Số nghiệm PT cho phụ thuộc vào số giao điểm đồ thị y = x3 − 3x + (1) đường thẳng d1 : − m Dựa vào đồ thị ta có: −m >  m < −1 +) Với  ⇔ PT cho có nghiệm  − m < −3 m > −m =  m = −1 +) Với  ⇔ PT cho có nghiệm  − m = −3  m = −3 +) Với −3 < − m < ⇔ > m > −1 PT cho có nghiệm phân biệt Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số: y = x3 − 3x + ( C ) đường thẳng d : y = k ( x − 1) a) Tìm điểm E thuộc trục tung biết E tạo với điểm cực trị tam giác có diện tích b) Tìm k để d cắt ( C ) điểm phân biệt A (1; ) ; B; C cho diện tích tam giác OBC c) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm x0 thoã mãn y '' ( x0 ) = 12 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 d) Tìm m để phương trình: x3 − x = m + 4m có nghiệm phân biệt Lời giải: x = a) Ta có: y ' = x − = ⇔   x = −1 Khi điểm cực trị M (1;0 ) ; N ( −1; ) ⇒ MN : x + y − = Gọi E ( 0; t ) ∈ Oy ta có: Lại có: S MNE = t −2 t = 1 MN d ( E ; MN ) = =1⇔  ⇒ E ( 0;1) ∨ E ( 0;3) 2 t = b) Phương trình hoành độ giao điểm d ( C ) là: x3 − 3x + = k ( x − 1)  x = ⇒ A (1; ) ⇔ ( x − 1) ( x + x − − k ) = ⇔   g ( x ) = x + x − − k = ∆ = + 4k > Để d cắt ( C ) điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác ⇔   g (1) = − k ≠  x1 + x2 = −1 Khi gọi B ( x1 ; k ( x1 − 1) ) ; C ( x2 ; k ( x2 − 1) ) ta có:  Trong đó: BC : y = k ( x − 1)  x1 x2 = −2 − k Khi đó: BC = (k + 1) ( x1 − x2 ) = Theo giả thiết: SOBC = (k + 1) ( + 4k ) 1 BC.d ( O; BC ) = 2 (k k ( 4k + ) ⇔ = 100 ⇔ k = ( t / m ) c) Ta có: y '' ( x0 ) = x0 = 12 ⇔ x0 = ⇒ y0 = + 1) ( + 4k ) k k +1 = 10 Do tiếp tuyến qua điểm điểm ( 2; ) : y = ( x − ) + hay y = −9 x − 14 d) Ta có: PT ⇔ x − x + = m + 4m + Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Số nghiệm PT cho phụ thuộc vào số giao điểm đồ thị y = x3 − 3x + ( C ) đường thẳng d1 : m + 4m + Dựa vào đồ thị ta có phương trình có nghiệm  m = −2 ±  m + 4m + = ⇔ ⇔ giá trị cần tìm m + m + = 2 m = − ±    Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = x − 6mx + đường thẳng d : y = − x + Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng ba điểm phân biệt A, B, C với A(0; 1) thỏa mãn a) OB.OC = −4 b) Độ dài BC ngắn ? Đ/s : a )m = 11 ; b) m = 3 Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = x − (2 m − 3) x + (2 − m ) x + m có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ âm Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm:  x = −1 x3 − (2m − 3) x + (2 − m) x + m = ⇔ ( x + 1)[x − 2(m − 1) x + m] = ⇔   x − 2(m − 1) x + m = ∆ ' >  0 3− 1   < m < 3m − ≠ Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = x − 3mx + (m − 1) x + Tìm m để đường thẳng y = x + cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn điểm C(0; 1) nằm A B đồng thời AB = 30 Lời giải: Hoành độ giao điểm (d) đồ thị (Cm) hàm số: y = x − 3mx + (m − 1) x + nghiệm phương x = ⇒ y =1 trình x − 3mx + (m − 1) x + = x + ⇔ x(2 x − 3mx + m − 3) = ⇔   x − 3mx + m − = (*) Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) điểm A; C; B phân biệt C nằm A B PT (*) có nghiệm trái dấu, tức 2.(m − 3) < ⇔ m < 3m   x A + xB =  y = xA + Khi tọa độ A B thỏa mãn   A ( A B thuộc (d))  y B = xB +  x x = m −  A B Ta có AB = 30 ⇔ ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = 30 ⇔ ( xB − x A ) = ⇔ ( xB + x A ) − xB x A = ⇔ Đối chiếu với đk ta m = 0; m = m = 9m m−3 − = ⇔ m − 8m = ⇔  m =  giá trị cần tìm Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 − ( m + 3) x + ( 3m + 1) x − , có đồ thị ( C ) Tìm m để ( C ) giao Ox điểm phân biệt Lời giải : Phương trình hoành đọ giao điểm x = x3 − ( m + 3) x + ( 3m + 1) x − = ⇔ ( x − 3) ( x − mx + 1) = ⇔   g ( x ) = x − mx + = Để ( C ) giao Ox điểm phân biệt phương trình g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác m > 2, m < −2 m2 − > ∆ >  ⇔ ⇔ ⇔ 10 10 − 3m ≠  g ( 3) ≠ m ≠  10   10  Vậy m ∈ ( −∞; −2 ) ∪  2;  ∪  ; +∞   3   Ví dụ 10 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x − x − ( 2m − 1) x + 6m − , có đồ thị ( C ) đường thẳng d : y = x − Tìm m để ( C ) giao d điểm phân biệt, có hai điểm có hoành độ dương Lời giải : Phương trình hoành độ giao điểm x − x − ( 2m − 1) x + 6m − = x − ⇔ x − x − ( 4m − 1) x + 6m + =  x=  ⇔ ( x − ) x − x − 2m − = ⇔   g ( x ) = x − x − 2m − = Ta có x = > nên để ( C ) giao d điểm phân biệt, có hai điểm có hoành độ dương phương trình g ( x ) = có nghiệm trái dấu khác  P < m>− −2m − <     ⇔  3 ⇔ ⇔ g   ≠ − − 2m ≠ m ≠ −  2   1   Vậy m ∈  − ; −  ∪  − ; +∞   8   Ví dụ 11 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 − x − , có đồ thị ( C ) đường thẳng d : y = 2m − ( ) Tìm m để ( C ) giao d điểm phân biệt Lời giải : Phương trình hoành độ giao điểm : x − x − = 2m − ⇔ g ( x ) = x3 − x − 2m − =  x = ⇒ y = −2 m − Ta có g ' ( x ) = x − 6; g ' ( x ) = ⇔   x = −1 ⇒ y = − m Để ( C ) giao d điểm phân biệt hàm số y = g ( x ) phải có cực trị yCD yCT =  m = −3 ⇔ ( −2m − )( − 2m ) = ⇔  m = Vậy m = m = −3 Ví dụ 12 [Tham khảo]: Cho hàm số: y = ( x − 1) ( x + mx + 1) ( C ) a) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 b) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn x12 + x22 + x32 = 10 Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm ( C ) trục Ox là: ( x − 1) ( x + mx + 1) = x = ⇔ (1)  g ( x ) = x + mx + = Đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm ⇔ (1) có nghiệm x = TH1: PT : g ( x ) = vô nghiệm ⇔ ∆ g ( x ) = m − < ⇔ −2 < m < ∆ g ( x ) = m2 − = TH2: PT : g ( x ) = có nghiệm kép x = ⇔  ⇔ ⇔ m = −2 m + = g = ( )   Kết luận: Vậy −2 ≤ m < giá trị cần tìm b) ) Phương trình hoành độ giao điểm ( C ) trục Ox là: ( x − 1) ( x + mx + 1) =  x3 = ⇔ (1)  g ( x ) = x + mx + = Đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân ∆ m2 >  = m −4 > biệt nghiệm khác ⇔  ⇔ m + ≠  g (1) ≠  x1 + x2 = −m Khi cho x3 = x1 ; x2 nghiệm PT g ( x ) = Theo định lý Viet ta có:   x1 x2 = Theo đề ta có: x12 + x22 + x32 = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ m − = ⇔ m = 11 ⇔ m = ± 11 ( tm ) Vậy m = ± 11 giá trị cần tìm Ví dụ 13 [Tham khảo]: Cho hàm số: y = ( x − ) ( x + 2mx − m − 1) ( C ) a) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt b) Tìm m đề đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn : A = x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm ( C ) trục Ox là: ( x − ) ( x + 2mx − m − 1) =  x = ⇔ (1)  g ( x ) = x + 2mx − m − = Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ∆ ' = m + ( m + 1) = TH1: g ( x ) = có nghiệm nghiệm khác ⇔  ( )  g ( ) ≠ ∆  ' = m + ( m + 1) > TH2: g ( x ) = có nghiệm phân biệt nghiệm ⇔   g ( ) = + 4m − m − = −7 ⇔m= giá trị cần tìm b) Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ∆ ' = m + ( m + 1) > ⇔ (*) Khi gọi x3 = x1 ; x2 nghiệm PT g ( x ) =  g ( ) = + 3m ≠ Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95  x1 + x2 = − m  Theo Viet ta có :  −m −  x1 x2 = Theo ta có: A = x12 + x22 + + x1 x2 = ( x1 + x2 ) + = ⇔ m + = ⇔ m = ±2 ( tm ) Vậy m = ±2 giá trị cần tìm Ví dụ 14 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 − ( m − 1) x − ( 2m + 1) x + , có đồ thị ( C ) đường thẳng d : y = x + Tìm m để ( C ) giao d điểm phân biệt A ( 0;3) , B, C cho A trung điểm BC Lời giải: Hoành độ giao điểm d ( C ) nghiệm phương trình x3 − ( m − 1) x − ( 2m + 1) x + = x + ⇔ x − ( m − 1) x − 2mx = x = ⇔ x  x − ( m − 1) x − 2m  = ⇔  2  x − ( m − 1) x − 2m = (1) Với x = ⇒ y = ⇒ A ( 0;3) ứng với đề cho Khi d ( C ) cắt A ( 0;3) , B, C phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2  ∆ = ( m − 1) + 8m > 9 ( m − 1) + 8m > ⇔ ⇔ ( *) 2 − m − − m ≠ m ≠   ( ) Do B, C ∈ d nên ta gọi B ( x1 ; x1 + 3) , C ( x2 ; x2 + 3)  x1 + x2 = ( m2 − 1) Ta có x1 ; x2 nghiệm (1) Theo Vi-et  ( 2)  x1 x2 = 2m  x1 + x2  = x A = Khi A trung điểm BC ⇔  ⇔ x1 + x2 =  ( x1 + 3) + ( x2 + 3) = y = A  Kết hợp với (2) ta ( m − 1) = ⇔ m = ±1 Đối chiếu với (*) ta m = thỏa mãn Ví dụ 15 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 + x + ( m − ) x + 9m , có đồ thị ( C ) đường thẳng d : y = x + Tìm m để ( C ) giao d điểm phân biệt A, B, C , A điểm cố định độ dài BC = 10 Lời giải: Hoành độ giao điểm d ( C ) nghiệm phương trình x3 + x + ( m − ) x + 9m = x + ⇔ x3 + x − x − + 3m ( x + 3) =  x = −3 ⇔ ( x + 3) ( x − x − 1) + 3m ( x + 3) = ⇔ ( x + 3) ( x − x + 3m − 1) = ⇔   x − x + 3m − = Với x = −3 ⇒ y = Bài A điểm cố định ⇒ A ( −3; ) (1) Khi d ( C ) cắt A, B, C phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác −3 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95  ∆ ' = − ( 3m − 1) > m < ⇔ ⇔ ( *) 14 − − − + m − ≠ ( ) m ≠ − ( )  Do B, C ∈ d nên ta gọi B ( x1 ; x1 + 3) , C ( x2 ; x2 + 3) ⇒ BC = ( x2 − x1 ; x2 − x1 ) ⇒ BC = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 2  x1 + x2 = Ta có x1 ; x2 nghiệm (1) Theo Vi-et  ⇒ BC = 2.22 − ( 3m − 1) = 16 − 24m  x1 x2 = 3m − ( Bài BC = 10 ⇒ 16 − 24m = 10 Đ/s: m = −1 giá trị cần tìm ) = 40 ⇔ m = −1 Đã thỏa mãn (*) Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016