100 câu trắc nghiệm thể tích khối đa diện và tròn xoay vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết

TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt ( SAB ) 30° Gọi M điểm di động góc SC với mặt phẳng cạnh CD H hình chiếu vng góc S lên đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích chóp S ABH lớn đáy ( ABCD ) a3 V= A a3 V= 12 B a3 V= 15 C a3 V= D Lời giải Chọn B Lấy điểm N ∈ BC cho BN = CM = x, < x ≤ a Gọi H = AN ∩ BM · · Xét ∆ABN ∆BCM ta có: BN = CM , ABN = BCM = 90° AB = BC · · ⇒ ∆ABN = ∆BCM (c.g.c) ⇒ BAN = CBM · · · · · Mà BAN + BNA = 90° nên CBM + BNA = 90° ⇒ BHN = 90° hay AH ⊥ BM  BM ⊥ AH ⇒ BM ⊥ ( SAH ) ⇒ SH ⊥ BM  BM ⊥ SA  Ta có: ⇒ Hình chiếu vng góc S lên BM H BH BN ⇒ BH = = a Do ∆BHN đồng dạng với ∆BCM nên BC BM ⇒ BH = ax x + a2 x x + a2 Tam giác ABH vuông H nên a2 x2 AH = AB − BH = a − = x + a2 S∆ABH = 2 a4 = x2 + a2 a2 x2 + a2 1 a2 ax a3 x AH BH = = 2 2 2 x +a x + a2 x +a 1 a3 x a a3 VS ABH = SA.S ∆ABH = a ≤ = 3 x + a2 12a 12 · · · Câu 2.Cho hình chóp tam giác S ABC có góc ASB = BSC = CSA = 60° độ dài cạnh SA = , SB = , SC = thể tích khối chóp S ABC A V= 2 B V= C V= 2 D V= Lời giải Chọn C Gọi B′ , C ′ điểm SB , SC cho SA = SB = SC = Suy S AB′C ′ tứ diện có VS , ABC Lại có VS AB′C ′ = VS AB′C′ = 12 SB SC = 2.3 ⇒ V S ABC = 6VS AB′C ′ = SB′ SC ′ Câu Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = , BC = Gọi I , J trung điểm hai cạnh BC AD Khi quay hình chữ nhật xung quanh IJ ta hình trụ trịn xoay thể tích khối trụ trịn xoay giới hạn hình trụ trịn xoay B V = 4π A V = π C V = 2π D V= π Lời giải Chọn A VT = sd h = Câu 4: π BC = π Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi E , F trung điểm cạnh SB, SC Biết mặt phẳng ( AEF ) vng góc với mặt phẳng ( SBC ) Tính thể tích khối chóp S ABC a3 A 24 a3 B a3 C 24 a3 D 12 Lời giải Chọn A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , S ABC hình chóp nên SO ⊥ ( ABC ) Gọi M , N trung điểm BC EF Ta có S , M , N thẳng hàng SM ⊥ BC M , SM ⊥ EF N Ta có ( AEF ) ∩ ( SBC ) = EF   SM ⊂ ( SBC )  ⇒ SM ⊥ ( AEF ) ⇒ MN ⊥ AN SM ⊥ EF   ⇒ ∆ANM vuông N Từ suy ∆ANM ∽ ∆SOM ⇒ AN AM NM = = SO SM OM ⇒ NM SM = AM OM Mà ta có N trung điểm SM (vì E , F trung điểm SB , SC ) ⇒ NM = SM ; ∆ABC cạnh a O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC OM = ⇒ AM = a ; a a a a ⇒ SM = a SM = = 2 Vậy Ta có SO = SM − OM = a a a 15 a2 − = S ABC = 12 ; 1 a 15 a a VS ABC = SO.S ABC = = 3 24 Câu 5.Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi E , F điểm SE SF = = k ( < k < 1) nằm cạnh SB , SC cho SB SC Biết mặt phẳng ( AEF ) vng góc với mặt phẳng ( SBC ) Tính thể tích khối chóp S ABC a3 + k A 24 − 3k a3 + k − 3k B a3 + k C 24 − 5k D a3 + k 12 − 3k Lời giải Chọn A Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy tam giác cạnh a Gọi E , F trung điểm cạnh SB, SC Biết mặt phẳng ( ADFE ) vng góc với mặt phẳng ( SBC ) Tính thể tích khối chóp S ABCD a3 A Lời giải a3 B a3 C 12 a3 D 18 Chọn A a2 ⇒ SM = 2 ⇒ SM = a Ta có ∆INM ∽ ∆SOM ⇒ MN SM = OM IM a2 a SO = SM − OM = a − = 2 2 1 a 2 a3 VS ABCD = SO.S ABCD = a = 3 Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy tam giác cạnh a Gọi E , F SE SF = = k ( < k < 1) điểm nằm cạnh SB , SC cho SB SC Biết mặt phẳng ( ADFE ) vng góc với mặt phẳng ( SBC ) Tính thể tích khối chóp S ABCD a3 k 1− k A a3 − k k B a3 k 1− k C 18 a3 − k k D 18 Câu 8:Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác SAB , SBC , SCD , SDA Biết thể tích khối chóp S MNPQ V , thể tích khối chóp S ABCD là: 27V A Lời giải Chọn A 9  ÷V B   9V C 81V D d ( S , ( MNPQ ) ) Ta có d ( S , ( ABCD ) ) = Mặt khác gọi S = S ABCD SM = SI S ∆DEJ 1 1 = = ⇒S = S ∆ DEJ 16 ta có S ∆BDA S ∆JAI 1 = ⇒S = ∆ JAI Tương tự ta có S ∆DAB   1  S HKIJ = 1 −  + ÷ S = S    16 Suy S MNPQ Mà S HKIJ 2 = ÷ = ⇒S = S ABCD MNPQ 3 9 1 27 VS ABCD = d ( S , ( ABCD ) ) S = d ( S , ( MNPQ ) ) S = V 3 2 Suy Câu 9:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy ( ABCD ) , góc hai mặt phẳng ( SBD ) ( ABCD ) 60° Gọi M , N trung điểm SB , SC Tính thể tích khối chóp S ADMN a3 a3 3a a3 V= V= × V= × V= × 16 24 16 A B C D Lời giải Chọn A · Gọi O tâm hình vng ABCD Khi ta có SOA góc hai mặt phẳng ( SBD ) ( ABCD ) SA tan 60° = ·SOA = 60° AO nên Khi ⇒ SA = AO.tan 60° = a a = 2 VS AMN SA SM SN VS AND SA SN SD = = = = V SA SB SC V SA SC SD S ABC S ACD Ta có 1 1 VS ADMN = VS ABCD  + ÷ = VS ABCD = a a = a 4 2 8 16 Do Câu 10:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy, SA = a Gọi B′ , D′ hình chiếu A lên SB , SD Mặt phẳng ( AB′D′ ) cắt SC C ′ thể tích khối chóp S AB′C ′D′ là: A V= 2a 3 Lời giải Chọn C B V= 2a 3 C V= a3 D V= 2a 3 a3 VS ABCD = a a = 3 Ta có: SC ⊥ ( AB′D′ ) Vì B′ , D′ hình chiếu A lên SB , SD nên ta có AC ′ ∩ ( AB′D′ ) = A Gọi C ′ hình chiếu A lên SC suy SC ⊥ AC ′ mà nên AC ′ ⊂ ( AB′D′ ) hay C ′ = SC ∩ ( AB′D′ ) Tam giác S AC vuông cân A nên C ′ trung điểm SC SB′ SA2 2a 2 = = = 3a Trong tam giác vng S AB′ ta có SB SB VSAB′C ′D′ VS ABCD Vậy = VSAB′C ′ + VSAC ′D′ VS ABCD VS AB′C′D′ =  SB′ SC ′ SD′ SC ′  SB′ SC ′ 1 =  + = = ÷=  SB SC SD SC  SB SC 3 a3 Câu 11:Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng thay đổi song song với đáy cắt cạnh bên SA , SB , SC , SD M , N , P , Q Gọi M ′ , N ′ , P′ , Q′ hình chiếu vng góc M , N , P , Q lên mặt SM ABCD ) ( phẳng Tính tỉ số SA để thể tích khối đa diện MNPQ.M ′N ′P′Q′ đạt giá trị lớn 1 A B C D Lời giải Chọn A SM =k k ∈ [ 0;1] Đặt SA với MN SM = =k ⇒ MN = k AB SA Xét tam giác SAB có MN //AB nên AB MQ SM = =k ⇒ MQ = k AD Xét tam giác SAD có MQ //AD nên AD SA Kẻ đường cao SH hình chóp Xét tam giác SAH có: MM ′ AM SA − SM SM = = = 1− = − k ⇒ MM ′ = ( − k ) SH MM ′//SH nên SH SA SA SA Ta có VMNPQ.M ′N ′P′Q′ = MN MQ.MM ′ = AB AD.SH k ( − k ) VS ABCD = SH AB AD ⇒ V MNPQ M ′N ′P ′Q ′ = 3.VS ABCD k ( − k ) Mà thể tích khối chóp khơng đổi nên VMNPQ.M ′N ′P′Q′ đạt giá trị lớn k ( − k ) lớn ( − k ) k k  − 2k + k + k  k ( k − 1) = ≤  ÷ ⇒ k ( k − 1) ≤ 2  27 Ta có 2 2(1− k ) = k ⇔ k = Đẳng thức xảy khi: SM = Vậy SA Câu 12:Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác Đường cao SH với chân đường cao nằm ∆ABC SH = BC ; ( SBC ) tạo với ( ABC ) góc 60 Biết có điểm O d ( 0, AB ) = d ( 0, AC ) = d ( O, ( SBC ) ) = thuộc SH cho Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp cho 256π 125π 500π 343π A 81 B 162 C 81 D 48 Lời giải Chọn D Gọi E , F chân đường cao hạ từ O xuống AB; AC OE ⊥ AB   AB ⊥ ( SEO ) ⇒ AB ⊥ HE SH ⊥ AB  · Tương tự HF ⊥ AC ; ∆HOE = ∆HOF ⇒ HE = HF ⇒ AH tia phân giác góc BAC AH ∩ BC = D trung điểm BC Kẻ OK ⊥ SD ⇒ OK = d ( O, ( SBC ) ) = HD = a.cot 600 = , Đặt AB = BC = CA = 2a ⇒ SH = a a , AD = a = 3HD nên ∆ABC nên S ABC chóp tam giác OK =2 sin 300 Xét tam giác SOK có OH ⊥ ( DEF ) Do ∆DEF nên EO = FO = DO = = OK ⇒ K ≡ D SO = a2 ⇒ DH = HS HO ⇒ = a ( − a) ⇒ a = ⇒ ∆DSO vuông D 3 21 ⇒ AB = ⇒ AH = ; SH = ⇒ SA2 = SH + AH = SA2 343 = ⇒ Vmc = π SH 48 2 Câu 13:Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB + CD = 18 cạnh khác Biết thể tích tứ ⇒ Rmc = Vmax = x y ; x, y ∈ N ∗ ; ( x, y ) = Khi x, y diện ABCD đạt giá trị lớn có dạng thỏa mãn bất đẳng thức A x + y − xy > 4550 B xy + x + y > 2550 Lời giải Chọn A ACC ′ ) ∩ ( AB′C ′ ) = AC ′ Ta có ( Gọi G trung điểm A′C ′ , H hình chiếu G lên AC ′ Ta có GH ⊂ ( ACC ′A′) , GH ⊥ AC ′ Ta có B′G ⊥ ( ACC ′A′ ) ⇒ B′G ⊥ AC ′ suy BH ⊥ AC ′ Vậy góc ( AB′C ′) ( ACC ′A′) · góc GHB′ = 60° a a VB′ ACC ′A′ = S ACC ′A′ B′G B′G = GH = B′G.cot 60° = , Ta có , a ⇔ = GH AA′ a = GC ′ AC ′ ⇒ VB′ ACC ′A′ x x + 2a ⇔ x x + 2a = 3 ⇔ x=a a a3 = = a.a 3 Câu 87: Một hộp bóng bàn hình trụ có bán kính R , chứa bóng cho bóng tiếp xúc với thành hộp theo đường tròn tiếp xúc với Quả tiếp xúc với hai nắp hộp Tính phần thể tích khối trụ mà thể tích bóng bàn khơng chiếm chổ 10π R × A 3π R3 × B 10π R × D C Lời giải Chọn D +) Chiểu cao hộp bóng bàn h = 10 R Suy thể tích hộp bóng bàn V( H ) = π R h = 10π R 20 V( B ) = π R = π R 3 +) thể tích bóng bàn Suy thể tích cần tính V = V( H ) − V( B ) = 10π R − 20 10 π R = π R3 3 Câu 88: Cho hình đa diện SABCD hình vẽ: Biết SA = 4, SB = 2, SC = 3, SD = ∠ ASB = ∠ BSC = ∠ CSD = ∠ DSA = 60 thể tích khối đa diện SABCD A 3 × B C D Lời giải Chọn A Trên SA, SB, SC lấy điểm A ', B ', C ' cho SA ' = SB ' = SC ' = SD = Khi S A ' B ' C ' D ' chóp tứ giác có tất cạnh , tích V0 = 1  VS ABC = 4.3.2  V0 ÷ = 12V0 = 2 2  1  VS ACD = 4.3  V0 ÷ = 6V0 = 2  Vậy VSABCD = VS ABC + VS ACD = Câu 89: Cho hình chóp S ABC có AB = 3a , AC = 3a , BC = 6a Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) · · · điểm H thỏa mãn AHB = BHC = CHA = 120° Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S AHB , S BHC , S CHA 288π a thể tích khối chóp S ABC A 3a B 3a C 3a D 12 3a Lời giải Chọn D 2 Vì BC = AB + AC nên tam giác ABC vuông A Gọi r1 , r2 , r3 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AHB , BHC , CHA R1 , R2 , R3 bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S AHB , S BHC , S CHA AB AB 3a = 2r1 ⇒ r1 = = =a · · 2sin120 ° sin AHB 2sin AHB Ta có Tương tự r2 = BC 6a AC 3a = = 2a r3 = = = 3a · · 2sin120° 2sin120 ° 2sin BHC 2sin CHA ; Gọi J trung điểm SH Đặt SH = x 2 2 2 2 2 2 2 Khi R1 = SJ + r1 = x + 3a ; R2 = SJ + r2 = x + 12a ; R3 = SJ + r3 = x + 9a Theo giả S = 4π ( R12 + R22 + R32 ) = 288π a thiết ⇔ x + 24a = 72a ⇔ x = 16a ⇔ x = 4a thể tích 2 khối chóp S ABC 1 1 V = S ABC SH = AB AC.SH = 3a.3 3a.8a = 12a 3 3 Câu 90: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu S lên mặt ( ABC ) · · · điểm H thỏa mãn AHB = 150° , BHC = 120° , CHA = 90° Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S AHB , S BHC , S CHA phẳng 31 πa thể tích khối chóp S ABC a3 A 12 a3 B a3 C Lời giải a3 D Chọn D Gọi r1 , r2 , r3 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AHB , BHC , CHA R1 , R2 , R3 bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S AHB , S BHC , S CHA AB AB a = 2r1 ⇒ r1 = = =a · 2sin ·AHB 2sin150° Ta có sin AHB Tương tự r2 = BC a a AC a a = = r3 = = = · · ; 2sin BHC 2sin120° 2sin CHA 2sin 90° Gọi J trung điểm SH Đặt SH = x Khi R = SJ + r = x + a ; Theo ⇔ x2 = giả 2 thiết R22 = SJ + r22 = x + a2 a2 R32 = SJ + r32 = x + ; S = 4π ( R12 + R22 + R32 ) = 31 19 31 π a ⇔ 3x2 + a = a 12 12 a2 a ⇔x= 3 1 a 2a a V = S ABC SH = = 3 thể tích khối chóp S ABC Câu 91: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng có độ dài cạnh 2a , ∆SAB tam ABCD ) giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( Gọi H , E trung điểm AB, BC G trọng tâm ∆SCD Biết khoảng cách từ điểm H đến 3a SED ) mặt phẳng ( Tính thể tích khối chóp G AHED theo a Lời giải Gọi F giao điểm HC ED , dựng HK ⊥ SF Vì ABCD hình vng ⇒ HC ⊥ ED SH ⊥ ( ABCD ) ∆SAB Mặt khác ta có SH ⊥ ED ( tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Vậy ( ABCD ) ) ED ⊥ ( SHC ) ⇒ ED ⊥ HK HK ⊥ ( SED ) mà HK ⊥ SF ⇒ HK khoảng cách từ H SED ) ⇒ HK = tới ( 3a Xét tam giác vuông HBC 2 2 Theo pitago ta có : HC = BC + BH ⇒ HC = BC + BH = a Xét ∆CFE ∆CBH µ Có : C chung · · CFE = CBH = 90° ⇒ ∆CFE : ∆CBH ⇒ CF CE CF a 2a 3a = ⇒ = ⇒ CF = ⇒ HF = CB CH 2a a 5 Gọi I trung điểm CD Trong mặt phẳng ( SHI ) dựng GP / / SH ⇒ GP ⊥ ( AHED ) ( SH ⊥ ( ABCD ) ) Xét tam giác vuông SHF theo hệ thức tam giác vng ta có : 1 = + ⇒ HS = a 2 HK HS HF IG GP a = = ⇒ GP = Vì G trọng tâm tam giác ∆SCD ⇒ IS SH Xét chóp G AHED có : ⇒ VG AHED S AHED = S ABCD − S HBE − S ECD = 4a − a2 5a a − a2 = GP = 2 , 1 a 5a 3a3 = GP.S AHED = = 3 18 Câu 92: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng có độ dài cạnh a , ∆SAB tam ABCD ) giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( Gọi H , E trung điểm AB, BC G trọng tâm ∆SCD Biết thể tích khối chóp 3a G AHED 144 Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SED ) theo a Lời giải Gọi F giao điểm HC ED , dựng HK ⊥ SF Vì ABCD hình vng ⇒ HC ⊥ ED SH ⊥ ( ABCD ) ∆SAB Mặt khác ta có SH ⊥ ED ( tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Vậy ( ABCD ) ) ED ⊥ ( SHC ) ⇒ ED ⊥ HK HK ⊥ ( SED ) mà HK ⊥ SF ⇒ HK khoảng cách từ H tới ( SED ) đặt HK = x Xét tam giác vng HBC Theo pitago ta có : HC = BC + BH ⇒ HC = BC + BH = a Xét ∆CFE ∆CBH µ · · Có : C chung , CFE = CBH = 90° a  ÷ CF CE CF a ⇒ = ⇒ =   ⇒ CF = CB CH a a 5 3a  ÷ ⇒ HF =   ⇒ ∆CFE : ∆CBH G AHED có : S AHED = S ABCD − S HBE − S ECD a a 5a =a − − = 8 Xét chóp 1 a 3a a ⇒ VG AHED = GP.S AHED = GP = ⇒ GP = 3 144 Gọi I trung điểm CD Trong mặt phẳng ( SHI ) dựng GP / / SH ⇒ GP ⊥ ( AHED ) Vì G trọng tâm tam giác ∆SCD ⇒ ( SH ⊥ ( ABCD ) ) IG GP a = = ⇒ SH = IS SH Xét tam giác vuông SHF theo hệ thức tam giác vuông ta có : 1 1 1 3a = + ⇒ = + ⇒ HK = 2 2 HK HS HF x  a   3a   ÷  ÷     Câu 93: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng có độ dài cạnh a , ∆SAB tam ABCD ) giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( Gọi H , E trung điểm AB, BC G trọng tâm ∆SCD Biết góc HC mặt phẳng ( SED ) 45° Tính thể tích khối chóp G AHED theo a Lời giải Gọi F giao điểm HC ED , dựng HK ⊥ SF Vì ABCD hình vng ⇒ HC ⊥ ED SH ⊥ ( ABCD ) ∆SAB Mặt khác ta có SH ⊥ ED ( tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Vậy ( ABCD ) ) ED ⊥ ( SHC ) ⇒ ED ⊥ HK HK ⊥ ( SED ) mà HK ⊥ SF · · SED ) ⇒ HFK ⇒ HFK = 45° ⇒ ∆SHF vuông cân H góc HC với ( Xét tam giác vng HBC Theo pitago ta có : HC = BC + BH ⇒ HC = BC + BH = a Xét ∆CFE ∆CBH µ · · Có : C chung ; CFE = CBH = 90° a  ÷ CF CE CF a ⇒ = ⇒ =   ⇒ CF = CB CH a a 5 3a  ÷ ⇒ HF = 2   ⇒ ∆CFE : ∆CBH ⇒ SH = HF = 3a ( ∆SHF vng cân H ) Vì G trọng tâm tam giác ∆SCD Xét chóp G AHED có : ⇒ IG GP a = = ⇒ GP = IS SH S AHED = S ABCD − S HBE − S ECD = a − a a 5a GP = a − = 8 ; 1 a 5a 5a ⇒ VG AHED = GP.S AHED = = 3 240 Câu 94: Cho Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi M , N hình chiếu vng góc điểm A cạnh SB, SD (tham khảo hình vẽ bên) Góc mặt phẳng ( AMN ) đường thẳng SB A 45 B 90 D 60 C 120 Lời giải Chọn D  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AM  BC ⊥ SA  Ta có Mặt khác theo giả thiết: AM ⊥ SB (1) (2) Từ (1),(2) ⇒ AM ⊥ SC Chứng minh tương tự: AN ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AMN ) ⇒ Góc đường thẳng SB mặt phẳng ( AMN ) α = 90 − (·SB, SC ) Xét tam giác SBC có SB = a , SC = 2a , BC = a ⇒ ∆SBC vuông B · tan BSC = BC = 0 · SB ⇒ BSC = 300 ⇒ α = 90 − (·SB, SC ) = 60 Câu 95: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vng góc với mặt đáy Biết thể tích khối chóp a S ABCD Tính góc ϕ đường thẳng SB mặt phẳng ( SCD ) A ϕ = 45 B ϕ = 60 C ϕ = 30 D ϕ = 90 Lời giải Chọn C Hai mặt phẳng mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD ) ( SAD ) cắt theo giao tuyến SA ⊥ ( ABCD ) nên SA = Do SA vng góc với 3VS ABCD =a S ABCD 2 Tam giác SAD vuông A nên SD = SA + AD = a CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ SD Ta có CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ Vậy diện tích tam giác SCD : mặt phẳng = ( SCD ) S SCD a2 = SD.CD = 2 Gọi I hình chiếu B lên · (·SB, ( SCD ) ) = (·SB, SI ) = BSI 3VB.SCD Mặt khác BI = S SCD 3VS ABCD a = S SCD 2 Tam giác SAB vuông A nên SB = SA + AB = a BI = · · Tam giác SIB vuông I nên sin BSI = SB ⇒ BSI = 30 ·SB, SCD = 30 ( )) ( Vậy Câu 96: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC (OBC ) 600 , OB = a , OC = a Gọi M trung điểm cạnh OB Góc đường thẳng OA với mặt phẳng ( ACM ) bằng: arcsin A arcsin B Lời giải Chọn D OBC ) Ta có Góc AC mp ( 60 arcsin C arcsin D Suy OA = OC.tan60 = a , AM = OA2 +OM = AC = OC +OA2 = 2a Suy d(O,(ACM )) = Suy sinj = suy SD ACM = 5a 3a CM = OC +OM = 2, a2 14 a3 VA.OCM = OA.OC.OM = 6 3VO ACM =a SDACM 14 Gọi j góc OA với ( ACM ) d(O,(ACM )) = OA Câu 97: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) Gọi H SHD ) trung điểm AB Tính cơsin góc SC ( 15 A a C B D Lời giải Chọn A CI ⊥ HD  ⇒ CI ⊥ ( SHD ) Gọi K trung điểm AD , I = CK ∩ HD Ta có:  CI ⊥ SH I ⇒ SI hình chiếu SC lên ( SHD ) tam giác SIC vuông I · ⇒ cos ( SC , ( SHD ) ) = cos ( SC , SI ) = cos CSI DK DC DI = a DK + DC = ; IC = DC − ID = a 2a ; SI = SC − CI = SI 15 = · cos ( SC , ( SHD ) ) = cos CSI SC = Vậy Câu 98: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a; BC = 2a SA vng góc với AB , SC vng góc với BC góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 60 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 2π a 3 A B 2π a 3 C 2π a D 8π a Lời giải Chọn A Cách Gọi D điểm đối xứng B qua trung điểm AC , suy ABCD hình chữ nhật  AB ⊥ SA ⇒ AB ⊥ SD ( 1)  AB ⊥ AD  Ta có  BC ⊥ SC ⇒ BC ⊥ SD ( )   BC ⊥ CD Từ (1) (2) suy SD ⊥ ( ABC ) · Suy góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy góc SCD DC SC = = 2a ·SCD = 600 cos 60 Từ Xét tam giác SCD vng D ta có Do tam giác SBC vuông cân C nên SB = 2a Gọi I trung điểm SB Suy IA = IB = IS (do ∆SAB vuông A ) IB = IC = IS (do ∆SBC vng C ) Suy tiếp hình chóp S ABC IA = IB = IC = IS = SB Hay I tâm mặt cầu ngoại 1 2π a 2 R = SB = a + 4a + 3a = 2a ⇒ V = π R = 2 3 Suy Chọn đáp án A Cách (Tọa độ hóa) Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi B(0; 0; 0) , A(a; 0; 0) , C (0; 2a;0) , S ( x; y; z ) , với x, y, z ≥ ( ABC ) ≡ (Oxy) : z = uur uuu r SA = ( a − x; − y; − z ) , AB = ( −a;0; ) Ta có uur uuu r uur uuu r SA ⊥ AB ⇔ SA AB = ⇔ −a ( a − x ) = ⇔ x = a uuu r uuur SC = ( − x; 2a − y; − z ) , BC = ( 0; 2a;0 ) Ta có uuu r uuur uuu r uuur SC ⊥ BC ⇔ SC.BC = ⇔ 2a ( 2a − y ) = ⇔ y = 2a Suy S (a; 2a; z ) Đường thẳng SC có véc-tơ phương uuu r CS = ( a;0; z ) r k = ( 0; 0;1) ( ABC ) Mặt phẳng có véc-tơ pháp tuyến Theo đề bài, góc SC mp ( ABC ) 60 nên uuu rr SC.k z sin 60 = uuu = ⇔ z = 3a ⇒ z = 3a ⇒ S a; 2a; 3a r r ⇔ 2 SC k a +z ( ) Gọi I trung điểm SB Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Ta có R= 1 SB = a + 4a + 3a = 2a 2 2π a V = π R3 = 3 Vậy thể tích khối cầu Câu 99: Cho x, y số thực dương thay đổi Xét hình chóp S ABC có SA = x, BC = y , cạnh lại Khi thể tích khối chóp S ABC đạt giá trị lớn tích x y A B C D Lời giải Chọn A  BI ⊥ SA ⇒ SA ⊥ ( BIC )  CI ⊥ SA I , H SA , BC  Gọi trung điểm Ta có VS IBC = VA.IBC 2 Lại có BI = SB − SI Và IH = IB − BH = = 1− x2 − x2 = − x2 − y 2 Diện tích tam giác IBC S∆IBC = y IH BC = − x2 − y2 x y xy = − x2 − y2 = − x2 − y2 V = V A IBC 24 Suy S IBC Khi thể tích khối chóp S ABC VS ABC = 2VS IBC = xy − x2 − y 12 x2 + y x2 + y2 xy ≤ ⇒V ≤ − x2 + y2 24 Ta có Đặt t = − x − y , t ∈ ( 0; ) Khi V ≤ f ( t ) = Ta có f ′( t ) = t ( − t2 ) 24 −3t + f ′( t ) = ⇔ t = 24 Bảng biến thiên: Do Vmax = Khi tích 2 t= ⇔ x= y= 3 27 đạt x y = Cách 2: Ta có VS ABC = 2VS IBC = xy xy − x2 − y ≤ − xy 12 12 Hướng 1: Khảo sát hàm số cách Hướng : Sử dụng MTCT thay phương án vào ta đáp án A Câu 100: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, · · AB = a , SBA = SCA = 90° , góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) 60° Thể tích khối chóp cho A a a3 B a3 C Lời giải Câu 49: Đáp án D a3 D Gọi H hình chiếu S lên ( ABC ) Theo ra, ta có HC ⊥ CA, HB ⊥ BA ⇒ ABHC hình vuông cạnh a Gọi O = HA ∩ BC , E hình chiếu O lên SA Ta dễ dàng chứng minh EC ⊥ SA, EB ⊥ SA Từ đó, ta được: góc ( SAC ) ( SAB ) góc EB EC 0 · · · Vì CAB = 90 nên BEC > 90 ⇒ BEC = 120 · · Ta dễ dàng OEB = OEC = 60 SH = x ⇒ SA = x + 2a ⇒ OE = Đặt tan 600 = AO.SH xa = SA x + 2a OC a xa ⇒ : = 3⇔ x=a OE 2 x + 2a 1 a3 VS ABC = VS HBAC = a.a = 2 Vậy ... phương có diện tích tồn phần thể tích B Hai khối hộp chữ nhật có diện tích tồn phần thể tích C thể tích hai khối chóp có diện tích đáy chi? ??u cao tương ứng nhau D thể tích khối lăng trụ diện tích. .. thiết diện Parabol với đa diện ( H) Khi khoảng cách từ O đến mặt thiết diện Suy thể tích đa diện ( K) h= VK = = 3 11 π π = Mặt khác thể tích nửa khối nón Do thể tích đa diện nhỏ tạo thiết diện. .. diện tích đáy nhân chi? ??u cao Câu 20:Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy chi? ??u cao Xét hình đa diện lồi H có đỉnh trung điểm tất cạnh hình chóp Tính thể tích H A B C D 12 Lời giải Chọn D Gọi