3 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S={-1; 2 } PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể[r]
(1)“SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Chủ đề 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ! Phương trình ẩn: Phương trình ẩn: là phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x) Trong đó, vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức cùng biến x VD : 2x + = x là phương trình ẩn x 2t –5 = 3(4 –t) –7 là phương trình ẩn t x2 + = x + 1; 2x5 = x3 + x; x = x – 2; x +1 = 0; x2 - x =100 2.Phương trình tương đương Hai phương trình gọi là tương đương với chúng có cùng tập tập nghiệm Kí hiệu :Hai phuơng trình tương đương với nhau, ta dùng ký hiệu ⇔ VD1 : * x –1= x = * x=2 ⇔ x-2=0 VD2: Phương trình x + = có nghiệm là x = -1 S1 = {-1} Phương trình 4x = -4 có nghiệm là x = -1 S2 = {-1} ⇒ S1 = S2 Hãy so sánh tập nghiệm phương trình này? Kết luận hai phương trình này tương đương với 3.Phương trình bậc ẩn Phương trình dạng ax +b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ¿ 0, gọi là phương trình bậc ẩn VD: 5x + = 0: là phương trình bậc ẩn, đó a = 5; b = -2x + = 0: là phương trình bậc ẩn, đó a = -2; b= -7x – = 0: là phương trình bậc ẩn, đó a = -7; b = -3 4.Quy tắc biến đổi phương trình Quy tắc chuyển vế : Trong phương trình ta có thể chuyển hạng tử từ vế này sang vế và đổi dấu hạng tử đó : Khi chuyển số hạng từ vế này sang vế đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó : dấu (+) đổi thành dấu (-) và dấu (-) đổi thành dấu (+) VD: a)Cho phương trình: x – = 0, chuyển hạng tử -2 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành +2 ta x =2 b) Cho phương trình: 2 ta x = - c) x – = ⇔ + x = 0, chuyển hạng tử 3 d) + x = ⇔ x = - x=4 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành - e) 0,5 – x = ⇔ x = 0,5 A Dấu ngoặc nhọn: B :có nghĩa là « VÀ », tức là : A và B đồng thời xảy ; có A, { có B xảy thì thu Kết là Sai ! [A B Dấu ngoặc vuông : : có nghĩa là « HOẶC », tức là : là A là B xảy thì có thể thu kết đúng ! Không thiết A và B phải cùng xảy đồng thời c) Dấu :***Dấu tương đương ⇔ : để phương trình tương đương với nhau, tức là chúng có cùng tập nghiệm ***Dấu suy ⇒ : để phương trình không tương đương với nhau, tức là chúng không có cùng tập nghiệm GV: AYLIGIO.BACHTUYET (2) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” VD1: (3 x−1)( x +2) (2 x +1 ) 11.3 − = 6 (1) ⇔ 2.(3x – 1)(x + 2) – 3.(2x2 + 1) = 11.3 (2) *Do phương trình (1) có mẫu chung là : là số tự nhiên không chứa biến x, nên nó không có điều kiện xác định để loại nghiệm, tức là giá trị x có khả làm nghiệm nó * Xét phương trình (2) Do nó không có mẫu nên giá trị x có khả là nghiệm nó Vậy hai phương trình (1) và (2) tương đương với VD2 : 2( x +2 )(x −2) x(2 x+ = x ( x−2) 2(x −2) (1) ⇒ 2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3) (2) x≠0 x≠0 ⇔{ {x −2≠0 x ≠2 * Dễ thấy phương trình (1) có ĐKXĐ là , tức là ngoại trừ hai giá trị x = và x=2 là không thể làm nghiệm (1), ngoài tất các giá trị khác có khả là nghiệm (1) *Còn phương trình (2), nó không có mẫu nên giá trị x có khả nang là nghiệm nó Vậy hai phương trình (1) và (2) không có cùng tập nghiệm nên nó không tương đương, đó ta phải dùng dấu ⇒ d)Quy tắc nhân với số : Trong phương trình ta có thể nhân hai vế với cùng số khác A.B = C.B (A,C # 0, B tùy ý) VD : Cho phương trình: x = 3, nhân hai vế phương trình với ta được: x = Trong phương trình ta có thể chia hai vế cho cùng số khác −2 VD: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế phương trình cho ta được: x = Các quy tắc biến đổi trên là quy tắc biến đổi từ phương trình thành phương trình tương đương với nó phương trình này đơn giản Cách giải phương trình bậc ẩn Tổng quát , phương trình ax +b = 0( với a 0) giải sau : ax + b = a x = - b x = -b/a Vậy phương trình bậc ẩn ax +b = luôn có nghiệm x = - b/a VD: Giải phương trình 3x – =0 3x = (Chuyển – từ vê trái sang vế phải và đổi dấu thành 9) x= ( chia hai vế cho 3) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG ax + b = Các bước giải phương trình gồm: B1: Quy đồng mẫu vế B2: Nhân vế với mẫu chung để khử mẫu B3: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang vế, số sang vế B4: Thu gọn và giải pt vừa nhận VD: Giải phương trình (3 x−1)( x +2) x +1 11 − = 2 Giải: Phương trình đã cho tương đương: GV: AYLIGIO.BACHTUYET (3) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” 2 (3 x−1)( x +2) (2 x +1 ) 11.3 − = 6 ⇔ 2.(3x – 1)(x + 2) – 3.(2x2 + 1) = 11.3 ⇔(6 x −2)( x+2)−(6 x +3 )=33 ⇔6 x +12 x−2 x −4−6 x −3=33 2 ⇔6 x +12 x−2 x −6 x =33+4+3 ⇔10 x=40 ⇔ x=10 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {4} Chú ý: *Khi giải phương trình ta thường tìm cách biến đổi phương trình đó dạng đơn giản ax +b = hay ax = - b * Quá trình giải có thể dẫn đến hệ số ẩn Khi đó phương trình có thể vô nghiệm vô số nghiệm VD1: x+1 = x –1 x – x = -1 –1 0.x = - Phương trình vô nghiệm VD2: x +1 = x+1 ⇔ x – x = 1- 0.x = Phương trình có vô số nghiệm Hay nghiệm đúng với x VD3: Giải phương trình: 0.x = x Giải: Xét trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x = 0, thì phương trình có dạng : 0.0 = luôn đúng Do đó, phương trình nhận giá trị x = làm nghiệm Trường hợp 2: Nếu x # 0, thì phương trình có dạng: 0.x = x phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S ={0} PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Trong tích, có thừa số thì tích Ngược lại, tích thì ít các thừa số tích a.b = <=> a = b = (a,b là hai số) Phương trình tích có dạng: A(x).B(x) = ⇔ A(x) = B(x) = VD: Giải phương trình (2x-3)(x+1) = Giải : (2x-3)(x+1) = x= x−3=0 x=3 ⇔[ ⇔[ ⇔[ x +1=0 x=−1 x=−1 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S={-1; } PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Khi biến đổi phương trình mà làm mẫu chứa ẩn phương trình thì phương trình nhận có thể không tương đương với phương trình đã cho Bởi giải phương trình chứa ẩn mẫu ta phải chú ý đến yếu tố đặc biệt quan trọng đó là điều kiện xác định phương trình Tìm điều kiện xác định phương trình là tìm tất các giái trị ẩn làm cho các mẫu thức phương trình khác VD1:Tìm điều kiện xác định phương trình sau : x +1 =1 a) x−2 b) =1+ x−1 x +2 Giải: GV: AYLIGIO.BACHTUYET (4) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” a) ĐKXĐ: x –2 # ⇔ x#2 x − 1≠ x + 2≠ ⇔ ¿ x ≠1 x ≠− ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ b)ĐKXĐ: ****Cách giải Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế pt khử mẫu Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: (Kết luận) Tìm các giá trị thoả mãn ĐKXĐ 2x x2 x = 2( x 2) VD: Giải pt chứa ẩn mẫu Giải: +Bước : Tìm ĐKXĐ phương trình ĐKXĐ: +Bước Quy đồng khử mẫu hai vế phương trình: 2( x +2 )(x −2) x(2 x+ = x ( x−2) 2(x −2) ⇒ 2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3) +Bước : Giải phương trình 2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3) x ≠2 x ≠0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ x=- 8 +Bước : x = -8/3 thoả mãn ĐKXĐ phương trình Vẫy S = {- } 1 x+ =1+ x−1 x−1 VD2: Giải phương trình: Giải: -ĐKXĐ: x−1≠0 ⇔ x≠1 Khi đó phương trình tương đương: x.( x−1 ) 1.( x−1 ) + = + x−1 x−1 x−1 x−1 ⇒ x ( x−1)+1=1 ( x−1)+1 ⇔ x −x+1=x−1+1 ⇔ x −x−x=−1+1−1 ⇔ x −2 x=−1 ⇔ x −2 x+1=0 ⇔(x−1)2 =0⇔ x−1=0 ⇔ x=1(Không thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm VD3: Giải phương trình: x x 2x x 3 x x 1 x 3 Giải:Phương trình đã cho tương đương: x x 2x + = ( 1) 2( x−3) 2( x +1) ( x +1)( x−3 ) -ĐKXĐ: −3≠0 ⇔ x ≠3 {xx+1≠0 {x≠−1 GV: AYLIGIO.BACHTUYET Khi đó: (5) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” x( x+1) x( x−3) 2.2x + = 2( x−3)( x+1) 2.( x+1)( x−3) 2.( x+1)( x−3) ⇒ x( x+1)+x( x−3)=2.2 x ⇔ x +x+x −3 x=4 x ⇔ x +x+x −3 x−4 x=0 ⇔2 x −6 x=0 (Thỏa mãn) ⇔2 x( x−3)=0⇔[ x=0 ⇔[ x=0 (Không thỏa mãn) x−3=0 x=3 (1)⇔ Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S={0} 1 x+ =x + x x VD4: (1) ¿ Giải: ĐKXĐ : x x x2 x x x + = + x2 x x x 2 ⇒ x x + x=x x +1 ⇔ x + x−x =1 ⇔ x=1 (Thỏa mãn) (1)⇔ Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {1} PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Nhắc lại giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối số a định nghĩa: a nÕu a 0 a a nÕu a 0 12 2 =-( 3)= VD1: = 12 ; ; VD2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức: x + x – x > 2x x > b) B = 4x + + a) A = Giải: a) Khi x > ta có x – > nên Vậy: A = x – + x – = 2x – b) Khi x > ta có – 2x < nên Vậy: B = 4x + + 2x = 6x + VD3: Rút gọn các biểu thức : x = x – 2x = - (-2x) = 2x 3x + 7x – x < x x < b) D = – 4x + a) C = Giải: a) Khi x < ⇒ - 3x > nên Vậy C = - 3x + 7x – =4 x−4 3x = - 3x x b) Khi x < ⇒ x – < nên = - (x – 6) = – x Vậy D = – 4x + – x = 11 – 5x Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối GV: AYLIGIO.BACHTUYET =0 (6) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” VD1: Giải phương trình: Giải: 3x = x + * Trường hợp 1: Nếu 3x > ⇔ Khi đó phương trình có dạng: x=x+ ⇔3 x−x=4 ⇔2 x=4 * Trường hợp 2: Nếu 3x < ⇔ Khi đó phương trình có dạng: x > nên 3x = 3x x=2 (thỏa mãn) ⇔ x < nên 3x = -3x ⇔ x =−1 (Thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {- 1; 2} VD2: Giải phương trình: Giải: x = – 2x *Trường hợp 1: Nếu x−3≥0⇔ x≥3 thì Khi đó phương trình đã cho có dạng: |x−3|=x−3 x−3=9−2 x ⇔ x +2 x=9+3 ⇔3 x=12 ⇔ x=4 *Trường hợp 2: Nếu x−3<0 ⇔ x <3 thì Khi đó phương trình đã cho có dạng: (Thỏa mãn) |x−3|=−(x−3)=−x+3 −x+ 3=9−2 x ⇔−x+2 x=9−3 ⇔ x=6 (Không thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {4} TOÁN HỌC VUI Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn (0,2,4,6,8) thì chia hết cho và số đó chia hết cho 2 Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ sỗ tận cùng là thì chia hết cho và số đó chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho thì chia hết cho và số đó chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho thì chia hết cho và số đó chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 4: số abcdefg⋮4⇔ fg⋮4 ⋮4 ⇒ 48036⋮4 VD: Số 48036 có 36 Dấu hiệu chia hết cho 11: số abcdefg⋮11⇔( g+e +c+a−b−d−f )⋮11 VD: Số 2680216 có: (6+2+8+2-6-0-1) = 11 ⋮11⇒ 2680216⋮11 Số có tận cùng 76, 01, 0625 thì nâng lên lũy thừa nào ( khác 0) tận cùng 76, 01, 0625 Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 5; nâng lên luỹ thừa bậc nào (khac 0) thì chữ số tận cùng không thay đổi Các số có chữ số tận cùng là 4; nâng lên luỹ thừa bậc lẻ nào thì chữ số tận cùng không thay đổi 10 Các số có chữ số tận cùng là 3; 7; nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n N) thì chữ số tận cùng là ¿ 11 Các số có chữ số tận cùng là 2; 4; nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n Ν ) thì chữ số tận cùng là GV: AYLIGIO.BACHTUYET (7) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” 12 Một số tự nhiên nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n N) thì chữ số tận cùng không thay đổi 13 Các số có chữ số tận cùng là nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n N) thì chữ số tận cùng là 7; Các số có chữ số tận cùng là nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n N) thì chữ số tận cùng là 14 Các số có chữ số tận cùng là nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n N) thì chữ số tận cùng là 8; Các số có chữ số tận cùng là nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n N) thì chữ số tận cùng là 15 Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n N) thì chữ số tận cùng là không đổi 16 Moät soá phöông phaùp: m + Tìm chữ số tận cùng x = a thì ta xét chữ số tận cùng a: - Nếu chữ số tận cùng a là các chữ số: 0; 1; 5; thì chữ số tận cùng x là 0; 1; 5; - Nếu chữ số tận cùng a là các chữ số: 3; 7; thì : Vì am = a4n + r = a4n ar nen: Nếu r là 0; 1; 2; thì chữ số tận cùng x là chữ số tận cùng a r Nếu r là 2; 4; thì chữ số tận cùng x là chữ số tận cùng 6.a r ***HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (áp dụng trực tiếp, bài toán không yêu cầu chứng minh) Bình phương tổng: ( A + B )2 =A +2 AB+ B = ( A−B )2 +4 AB 2 2 2 Bình phương hiệu: ( A−B ) =( B− A ) = A −2 AB+B = ( A +B ) −4 AB Hiệu hai bình phương: A −B 2= ( A−B ) ( A +B ) 3 2 3 Lập phương tổng: ( A + B ) =A + A B+3 AB +B = A +B +3 AB ( A+B ) 3 2 3 Lập phương hiệu: ( A−B ) = A −3 A B+3 AB −B = A −B −3 AB ( A−B ) Tổng hai lập phương: A + B3 =( A+ B ) ( A 2− AB+ B2 ) =( A + B )3 −3 AB ( A−B ) Hiệu hai lập phương: A −B3 =( A−B ) ( A2 + AB+ B2 )=( A−B )3 +3 AB ( A−B ) * Một số đẳng thức tổng quát an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1) a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1) a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k) n(n 1) n(n 1) (a + b)n = an + nan-1b + 1.2 an-2b2+…+ 1.2 a2bn-2 +nabn-1 + bn n(n 1) n(n 1) (a -b)n = an - nan-1b + 1.2 an-2b2- …- 1.2 a2bn-2 +nabn-1 - bn GV: AYLIGIO.BACHTUYET (8)