Phương trình hàm trong hình học

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN NGUYỄN THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG HÌNH HỌC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành: Cử nhân Tốn - Tin Giảng viên hướng dẫn: ThS PHAN QUANG NHƯ ANH Đà Nẵng - 2014 MỞ ĐẦU Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm số giải phương trình hàm tìm hàm số chưa biết Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng giải tích tốn học Ngồi kiến thức hàm số hay phương trình hàm liên quan đến phép biến đổi đối số nội dung phương trình hàm cịn giúp ta nghiên cứu đến vấn đề liên quan đến hình học phẳng phương trình hàm sinh phép biến đổi hình học bản, phương trình hàm liên quan đến tam giác đa giác Trong chương trình học chúng em, mơn phương trình hàm đưa vào trở thành học phần quan trọng học kì hai năm thứ hai Học phần em làm quen nắm tính chất đặc trưng hàm số phương trình hàm để vận dụng nghiên cứu ứng dụng phương trình hàm hình học Chính điều khóa luận với đề tài:"PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG HÌNH HỌC" nghiên cứu dạng tốn phương trình hàm hình học ứng dụng Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân Nội dung nghiên cứu em khơng phải kết tìm thấy với tinh thần tìm tịi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài đem lại nhiều kiến thức bổ ích cho thân nhiều thú vị cho độc giả Nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Tổng quan phương trình hàm Chương 2: Phương trình hàm hình học Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp Thạc sỹ Phan Quang Như Anh, Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới - người nhiệt tình hướng dẫn, quan tâm, giúp đỡ tơi thực khóa luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban lãnh đạo nhà trường tồn thể thầy giáo tận tình giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi phấn đấu suốt q trình học tập khoa Toán, trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng Đà Nẵng, ngày 28 tháng 04 năm 2014 Tác giả Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân Chương TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Trong chương có sử dụng tài liệu tham khảo tương ứng danh mục [1], [4] 1.1 Một số tính chất đặc trưng hàm số Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R tập giá trị R(f ) ⊂ R 1.1.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ - Hàm số f (x) gọi hàm số chẵn tập M, M ⊂ D(f ) (gọi tắt hàm chẵn M) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = f (x), ∀x ∈ M - Hàm số f (x) gọi hàm số lẻ tập M, M ⊂ D(f ) (gọi tắt hàm lẻ M) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M Bài toán 1.1 Cho x0 ∈ R Xác định tất hàm số f (x) cho: f (x0 − x) = f (x), ∀x ∈ R Giải: Đặt Khi đó: (1.1) x0 x0 − t (⇔ t = − x) 2 x0 x0 − x = + t x= Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân (1.1) có dạng: x0 x0 + t) = f ( − t), ∀t ∈ R (1.2) 2 x0 x0 x0 Đặt g(t) = f ( + t) g(−t) = f ( − t), f (t) = g(t − ) 2 Khi (1.2) có dạng g(−t) = g(t), ∀t ∈ R Vậy g(t) hàm chẵn R x0 Kết luận: f (x) = g(x − ), g(x) hàm chẵn tùy ý R f( Bài toán 1.2 Cho a, b ∈ R Xác định tất hàm số f (x) cho: f (a − x) + f (x) = b, ∀x ∈ R (1.3) a − x = t a Khi x= −t a2 a − x = + t Khi (1.3) có dạng Giải: Đặt a a f ( + t) + f ( − t) = b, ∀x ∈ R 2 (1.4) a b a b a b Đặt f ( + t) − = g(t) g(−t) = f ( − t) − , f (t) = g(t − ) + 2 2 2 Khi viết (1.4) dạng g(−t) + g(t) = 0, ∀t ∈ R hay g(−t) = −g(t), ∀t ∈ R b a Vậy g(t) hàm số lẻ R Kết luận: f (x) = g(x − ) + , với g(x) 2 hàm số lẻ tùy ý R 1.1.2 Hàm số đơn điệu Định nghĩa 1.1 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân • Hàm số f (x) gọi hàm số đồng biến tập N ⊂ D(f ) ∀x1 , x2 ∈ N mà x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) • Hàm số f (x) gọi hàm số nghịch biến tập N ⊂ D(f ) ∀x1 , x2 ∈ N mà x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) 1.1.3 Hàm số liên tục Định nghĩa 1.2 • Giả sử hàm số y = f (x) xác định lân cận điểm x0 Ta nói f (x) liên tục x0 lim f (x) = f (x0 ) Khi x0 gọi x→x0 điểm liên tục f (x) • Giả sử hàm số f (x) xác định [x0 , b), f (x) gọi liên tục bên phải x0 lim+ f (x) = f (x0 ) x→x0 • Giả sử hàm số f (x) xác định (a, x0 ], f (x) gọi liên tục bên trái x0 lim− f (x) = f (x0 ) x→x0 • Hàm số f (x) liên tục khoảng (a, b) f (x) liên tục điểm thuộc khoảng (a, b) • Hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] f (x) liên tục khoảng (a, b) đồng thời liên tục phải a, liên tục trái b 1.1.4 Hàm số khả vi Định nghĩa 1.3 Cho hàm số f (x), x0 ∈ D(f ) Ta nói f (x) có đạo hàm f (x0 +∆x)−f (x0 ) ∆x ∆x→0 x0 tồn giới hạn hữu hạn lim Giới hạn kí hiệu f (x0 ) gọi đạo hàm hàm f (x) x0 Khi đó, ta nói f (x) khả vi x0 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân Định lý 1.1 Cho hàm số f (x) xác định (a, b) Điều kiện cần đủ để f (x) khả vi (a, b) có đạo hàm (a, b) dy = f (x).∆x 1.1.5 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn cộng tính Định nghĩa 1.4 • Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn cộng tính chu kỳ a (a > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M • Cho f (x) hàm tuần hoàn M, T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) tuần hồn với chu kỳ T mà khơng hàm tuần hoàn với chu kỳ bé T Định nghĩa 1.5 • Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hồn cộng tính chu kỳ b (b > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M • Cho f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M mà không hàm phản tuần hoàn với chu kỳ bé b M b gọi chu kỳ sở hàm phản tuần hồn M Bài tốn 1.3 Chứng minh hàm phản tuần hoàn M hàm tuần hoàn M Giải: Theo giả thiết, ∃b > cho ∀x ∈ M x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân Suy ∀x ∈ M x ± 2b ∈ M f (x + 2b) = f (x + b + b) = −f (x + b) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M Vậy f (x) hàm tuần hồn với chu kỳ 2b M Bài tốn 1.4 Chứng minh f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M f (x) có dạng f (x) = g(x + b) − g(x) với g(x) hàm tuần hoàn chu kỳ 2b M Giải: Thật vậy, với f (x) thỏa mãn phương trình ta có: f (x + b) = g(x + 2b) − g(x + b) = g(x) − g(x + b) = −[g(x + b) − g(x)] = −f (x), ∀x ∈ M Hơn nữa, ∀x ∈ M x ± b ∈ M Do f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M Ngược lại, với f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M, chọn g(x) = − f (x) g(x) hàm tuần hồn chu kỳ 2b M (Bài toán 1.5) 1 g(x + b) − g(x) = − f (x + b) − (− f (x)) 2 1 = −(− f (x)) + f (x) 2 = f (x), ∀x ∈ M 1.2 Đặc trưng số hàm sơ cấp: 1.Hàm bậc nhất: f(x)=ax+b (với a, b = 0) Đặc trưng hàm: f( x+y f (x) + f (y) )= 2 ∀x, y ∈ R Hàm tuyến tính: Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân f(x)=ax (với a = 0) Đặc trưng hàm: f(x+y)=f(x)+f(y) ∀x, y ∈ R Hàm mũ: f (x) = ax (với a > 0; x = 1) Đặc trưng hàm: f(x+y)=f(x).f(y) ∀x, y ∈ R Hàm logarit: f (x) = loga |x| (với a > 0; x = 1) Đặc trưng hàm: f (x.y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ R∗ Hàm lũy thừa : f (x) = xa (với a ∈ R; x ∈ R+ ) Đặc trưng hàm: f (x.y) = f (x).f (y) ∀x, y ∈ R+ Các hàm lượng giác : - Hàm sin: f (x) = sin x Đặc trưng hàm : f (3x) = 3f (x) − 4f (x) Khóa Luận Tốt Nghiệp ∀x ∈ R SVTH: Nguyễn Thị Vân - Hàm cos: f (x) = cos x Đặc trưng hàm: f (x) = 2f (x) − ∀x ∈ R f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y) ∀x, y ∈ R - Hàm tan: f (x) = tan x Đặc trưng hàm: f (x) + f (y) − f (x)f (y) f (x + y) = ∀x, y ∈ R; x + y = (2k + 1)π , k ∈ Z - Hàm cotan: f (x) = cotx Đặc trưng hàm: f (x + y) = f (x)f (y) − f (x) + f (y) ∀x, y ∈ R, x + y = kπ, k ∈ Z Hàm lượng giác ngược: - f(x)= arcsin x Đặc trưng hàm: √ f (x) + f (y) = f (x − y ) + y − x2 - f(x)= arccos x Đặc trưng hàm: f (x) + f (y) = f (xy − (1 − x2 )(1 − y ) ∀x, y ∈ [−1; 1] - f(x)=arctan x Đặc trưng hàm: Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân 28 f(a), f(b), f(c) độ dài cạnh tam giác ứng với ABC Lời giải: khơng có tính x chất: g(a), g(b), g(c) độ dài cạnh tam giác ứng với Gỉa sử a ≥ b ≥ c Khi đó, phép nghịch đảo g(x) = ABC Thật vậy, xét tam giác cân với a=b=2, c=1 ta có: 1 + = a b c Để f(a), f(b), f(c) độ dài cạnh tam giác, trước hết phải có: f (a) > 0, f (b) > 0, ∀ ABC f (c) > 0, Suy ra: αa + β > 0, αb + β > 0, αc + β > 0, Tương tự toán ta thu α ≥ 0, ∀ ABC β ≥ + Trường hợp α = β = 0: Khi đó,f (x) ≡ khơng thỏa mãn toán + Trường hợp α > 0, β = 0: Không thỏa mãn điều kiện f(a), f(b), f(c) độ dài cạnh tam giác (vì a=b=2,c=1) + Trường hợp α = 0, β > 0: Ta có f (a) = f (b) = f (c) = >0 β f(a), f(b), f(c) độ dài cạnh tam giác + Trường hợp α > 0, β > 0: Ta có f (a) ≥ f (b) ≥ f (c) Ta cần xác định số dương α, f (a) + f (b) > f (c), β cho ln có: ∀ ABC, a ≥ b ≥ c Hay: 1 + > , αa + β αb + β αc + β ∀ ABC, a ≥ b ≥ c (1) Phản ví dụ: Xét tam giác ABC cân đồng dạng với tam giác có cạnh 3,3,1; tức a=b=3d,c=d với d > tùy ý Khi đó, (1) có dạng: Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân 29 1 + > , 3dα + β 3dα + β dα + β ∀d > Hay: > , ∀d > 3dα + β dα + β 3dα + β dα + β ↔ > , ∀d > Hay: ∀d > β > 2dα, Điều không xảy d đủ lớn Vậy với α = 0, β>0: f (a) = f (b) = f (c) = > hàm β có tính chất f(a), f(b), f(c) độ dài cạnh αx + β tam giác ứng với ABC số f (x) = Bài toán 5: Xác định hàm số f(x) liên tục [0, π], f(0)=0 có đạo hàm (0, π) cho f(A), f(B), f(C) tạo thành độ đo góc tam giác ứng với ABC cho trước Lời giải: Ta cần xác định hàm khả vi f(x) cho:  f (x) > 0, ∀x ∈ (0, π) f (0) =  f (A) + f (B) + f (C) = π Theo giả thiết f(0)=0 nên f (π) = π C = π − (A + B) f (A) + f (B) + f (π − A − B) = π, Suy ra: ∀A, B, A + B ∈ [0, π] Hay: f (x) + f (y) + f (π − x − y) = π, Khóa Luận Tốt Nghiệp ∀x, y, x + y ∈ [0, π] (1) SVTH: Nguyễn Thị Vân 30 Lấy đạo hàm (0, π) theo biến x, ta thu được: f (x) − f (π − x − y) = 0, ∀x, y, x + y ∈ [0, π] (2) Từ (2) suy f’(x)=c; ∀x ∈ (0, π) Vậy f(x)=p(x)+q Do f(0)=0 nên q=0 Do f (π) = π nên p=1 ta thu f(x)=x Vậy hàm số f(x)=x liên tục [0, π], f(0)=0 có đạo hàm (0, π) để f(A), f(B), f(C) tạo thành độ đo góc tam giác ứng với ABC cho trước Bài toán 6: Xác định hàm số f(x) liên tục [0, π] f(0)=0, f (x) > ∀x ∈ (0, π) f(A), f(B), f(C) tạo thành độ đo góc tam giác ứng với ABC cho trước Lời giải: Ta cần xác định hàm f(x) liên tục [0, π] cho:  f (x) > 0; ∀x ∈ (0, π) f (0) = (1)  f (x) + f (y) + f (π − x − y) = π; ∀x, y, x + y ∈ (0, π) Do f(0)=0 nên với y=0, ta thu được: f (x) + f (0) + f (π − x) = π, ∀x ∈ [0, π] Đặt f(x)= x+g(x) g(0)=0 g(x) hàm liên tục [0, π] Ta có: (1) ↔ x + g(x) + (π − x) + g(π − x) = π ↔ g(x) + g(π − x) = 0, ∀x ∈ [0, π] Hay: Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân 31 g(π − x) = −g(x), ∀x ∈ [0, π] (2) Thế f(x)=x+g(x) vào (1) sử dụng (2), ta thu được: x+g(x)+y+g(y)+π−(x+y)+g(π−(x+y)) = π, ∀x, y ∈ [0, π], x+y ≤ π Hay: g(x) + g(y) − g(x + y) = 0, ∀x, y ∈ [0, π], x + y ≤ π Hay: g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ [0, π], x + y ≤ π (3) Do f(x) liên tục [0, π] nên (3) phương trình hàm Cauchy g(x)= αx f (x) = (1+α)x Để f (x) > với x ∈ (0, π), ta cần có 1+α > để: f(A)+f(B)+f(C)= π Ta cần có: + α = 1.Suy α = f (x) ≡ x Bài toán 7: Xác định hàm số f(x) liên tục [0, π] cho f(A), f(B), f(C) tạo thành độ đo góc tam giác ứng với ABC cho trước Lời giải: Ta thấy có hai hàm số hiển nhiên thỏa điều kiện f(x)=x π f (x) = Ta xác định hàm số f(x) liên tục [0, π] và: f (x) > ∀x ∈ (0, π) (1)f (x) + f (y) + f (π − x − y) = π, ∀x, y ∈ (0, π), x + y < π Cho y → 0, ta có: Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân 32 f (x) + f (0) + f (π − x) = π, ∀x ∈ (0, π) f (π − x) = π − f (0) − f (x), ∀x ∈ [0, π] Hay: Thế vào (1), ta có: x + g(x) + y + g(y) + π − (x + y) + g(π − (x + y)) = π, ∀x, y ∈ [0, π], x + y ≤ π Hay: f (x) + f (y) + [π − f (0) − f (x + y)] = π, ∀x, y ∈ [0, π], x + y/leqπ Hay: f (x + y) + f (0) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ [0, π], x + y ≤ π (2) Đặt f(x)=f(0)+g(x) Khi g(x) liên tục [0, π] (2) có dạng: g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ [0, π], x + y ≤ π (3) Do g(x) liên tục [0, π] nên (3) phương trình hàm Cauchy g(x) = αx f (x) = αx + β Ta cần xác định α, β để f (x) > với x ∈ (0, π) để: f (A) + f (B) + f (C) = π Hay: αx + β > 0, α(A + B + C) + 3β = π ∀x ∈ (0, π) Hay: αx + β > 0, απ + 3β = π Khóa Luận Tốt Nghiệp ∀x ∈ (0, π) SVTH: Nguyễn Thị Vân 33 Hay: f (x) = αx + (1 − α)π > 0, ∀x ∈ (0, π) (4) Cho x → x → π , từ (4) ta thu được: − ≤ α ≤ Kiểm tra trường hợp: + − ≤ α ≤ : (4) thỏa mãn π + α = − : KhiØ, f (x) = − x + thỏa mãn điều kiện toán 2 + α = :f(x)=x hiển nhiên thỏa mãn điều kiện toán đưa Vậy, hàm cần tìm có dạng: f (x) = αx + (1 − α)π , ≤ α ≤ Bài toán 8: Xác định hàm số f(x) liên tục [0,1] cho f(a), f(b), f(c) tạo thành độ đo cạnh tam giác nội tiếp đường trịn đường kính ứng với ABC nội tiếp đường trịn đường kính cho trước Lời giải: Ta có nhận xét sau: Xét đường trịn (O) có đường kính 2R=1 Ký hiệu M( ) tập hợp tất tam giác nội tiếp đường trịn (O) Khi điều kiện cần đủ để ba số dương α, β, γ ba góc tam giác thuộc M ( ) sin(α), sin(β), sin(γ) tạo thành độ đo cạnh tam giác thuộc M ( ) Thật vậy, α, β, γ ba góc tam giác 2Rsinα, 2Rsinβ, 2Rsinγ hay sinα, sinβ, sinγ độ dài cạnh tương ứng tam giác nội tiếp đường trịn O đường kính Ngược lại, sinα, sinβ, sinγ độ dài cạnh tương ứng tam Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân 34 giác nội tiếp đường tròn O đường kính góc α, β, γ dương nên α, β, γ ba góc tam giác Vậy, theo kết toán hàm cần tìm có dạng: (1 − α)π f (x) = sin(αx + ), − ≤ α ≤ 2.3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC [1] 2.3.1 Một số hệ thức đặc trưng cho hình chữ nhật hình bình hành: Diện tích Scn hình chữ nhật có chiều dài a chiều rộng b (a≥b đơn vị đo) tính cơng thức: Scn = ab (1) Diện tích Sbh hình bình hành có chiều dài a chiều rộng b (a ≥ b đơn vị đo lường) góc xen γ tính công thức: S = absinγ (2) Scn hàm số dương f(x,y)theo hai biến số dương (x,y)nhận giá trị dương: f (x, y) > 0; x, y > Đặc trưng hàm hình chữ nhật hình bình hành là: f (x1 + x2 , y) = f (x1 , y) + f (x2 , y); ∀x1 , x2 , y > (3) f (x, y1 + y2 ) = f (x, y1 ) + f (x, y2 ); ∀x, y1 , y2 > (4) Hàm số liên tục f(x,y) theo biến dương x, y thỏa mãn đồng thời điều kiện (3) (4) gọi "Hàm diện tích hình bình hành" Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân 35 2.3.2 Các dạng toán hàm số sơ cấp liên quan đến tứ giác: Bài toán 1: Xác định hàm số f(x,y) liên tục theo biến dương x, y thỏa mãn đồng thời điều kiện S = absinγ f (x1 + x2 , y) = f (x1 , y) + f (x2 , y); ∀x1 , x2 , y > Lời giải: Nếu cố định biến y viết f (x, y) = gy (x2 ) Sbh = absinγ cho ta: gy (x1 + x2 ) = gy (x1 ) + gy (x2 ), ∀x1 , x2 > (1) Phương trình (1) phương trình hàm Cauchy (theo tham số y) nên (1) có nghiệm : gy (x) = a(y)x, ∀x1 , x2 > (2) Thay (2) vào hàm f (x1 + x2 , y) = f (x1 , y) + f (x2 , y); ∀x1 , x2 , y > 0, ta được: h(y1 + y2 ) = h(y1 ) + h(y2 ), ∀y1 , y2 > (3) Phương trình (3) phương trình hàm Cauchy có nghiệm h(y)=αy Suy ra: f (x, y) = αxy, α ∈ R, ∀x, y > Vậy hàm diện tích hình bình hành ln có dạng : f (x, y) = αxy, α ∈ R, ∀x, y > Bài toán 2: Xác định hàm số f(x,y) liên tục theo biến dương x,y thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: f (x1 + x2 , y) = f (x1 , y) + f (x2 , y), ∀x1 , x2 , y > f (x, y1 + y2 ) = f (x, y1 ) + f (x, y2 ), ∀x, y1 , y2 > Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân 36 Lời giải: Theo tốn hàm diện tích hình bình hành ln ln có dạng: f (x, y) = αxy, α ∈ R, ∀x, y > Từ điều kiện tốn, ta có: f (1, 1) = α = Vậy ta nhận công thức f(x,y)=xy 2.4 MỘT SỐ ÁP DỤNG[3] *Nhận xét: Nếu ta quy ước hình chữ nhật đơn vị (hình vng đơn vị) có diện tích hàm diện tích hình bình hành hàm diện tích hình chữ nhật ta có cơng thức tính hình chữ nhật quen biết Nghiệm phương trình vơ định x2 + y = z tập số thực dương mô tả dạng tham số:   x = y=  z = u, u cos(v) u sin(v) π u ∈ R+ , v ∈ (0, ) Ta có kết luận sau: π Bài tốn 1:Chứng minh với (u, v) với u ∈ R+ , v ∈ (0, ) tồn tam giác mà số đo cạnh số:   P1 (u, v) = u cos v π P2 (u, v) = u sin v; u ∈ R+ , v ∈ (0, )   P3 (u, v) = uv tam giác vng Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân 37   P1 (u, v) = u cos v π P2 (u, v) = u sin v; u ∈ R+ , v ∈ (0, )   P3 (u, v) = uv Thật vậy, ta thấy:  P1 (u, v) >    P2 (u, v) > P3 (u, v) >    [P1 (u, v)]2 + [P2 (u, v)]2 = [P3 (u, v)]2 ; P3 (u, v) > 0; π u ∈ R+ , v ∈ (0, ) Từ suy P1 (u, v), P2 (u, v) > 0, P3 (u, v) > độ dài cạnh tam giác vuông có cạnh huyền P3 (u, v) > Bài toán 2: Chứng minh với x > tồn tam giác với số đo cạnh số: P1 (x) = x4 + x3 + 2x2 + x + P2 (x) = 2x3 + x2 + 2x + P3 (x) = x4 − tam giác ứng với x > cho trước có góc lớn Giải: Đặt x2 + x + = a > 0, 2x + = b > 0vx2 − = c > ta có: |b − c| = x2 − 2x + < a = x2 + x + < |b + c| = x2 + 2x Vậy a,b,c độ dài cạnh tam giác Do vậy: P1 (x) = a(x2 + 1), Khóa Luận Tốt Nghiệp P2 (x) = b(x2 + 1), P3 (x) = c(x2 + 1) SVTH: Nguyễn Thị Vân 38 độ dài cạnh tam giác Cạnh có độ dài lớn tam giác ứng với P1 (x) hay a.Gọi α góc lớn tam giác Khi đó: a2 = b2 + c2 − 2bc cos α Hay: cos α = − Hay: α= Khóa Luận Tốt Nghiệp 2π SVTH: Nguyễn Thị Vân 39 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu nghiên cứu tài liệu với hướng dẫn nhiệt tình giáo Phan Quang Như Anh em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Tồn khóa luận tập trung nghiên cứu "Phương trình hàm hình học" Cụ thể nêu làm rõ dạng tốn, ví dụ phương trình hàm liên quan đến hình học Do thời gian nghiên cứu khóa luận có hạn nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy cơ, hội đồng đánh giá tồn thể bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng để khóa luận phát triển tốt Em xin chân thành cảm ơn! Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân 40 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, "Phương trình bất phương trình hàm", NXB Giáo Dục, 2005 [2] Nguyễn Bảo Việt, luận văn Thạc sỹ"Phương trình hàm lớp hàm số tuần hoàn", năm 2011 [3] Nguyễn Văn Mậu, Bùi Công Huấn, Đặng Hùng Thắng, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận, "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi" [4] Trường THPT Phạm Thành Trung, tài liệu internet "Chun đề phương trình hàm" Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân 41 Mục lục MỞ ĐẦU 1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1 Một số tính chất đặc trưng hàm số 1.1.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1.1.2 Hàm số đơn điệu 1.1.3 Hàm số liên tục 1.1.4 Hàm số khả vi 1.1.5 Hàm số tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính 1.2 Đặc trưng số hàm sơ cấp: 1.3 Các phương trình hàm bản: 10 1.3.1 Phương trình hàm (Phương trình hàm Cauchy) 10 1.3.2 Phương trình hàm 13 1.3.3 Phương trình hàm 14 1.3.4 Phương trình hàm 15 PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG HÌNH HỌC 2.1 17 Phương trình hàm sinh phép biến đổi hình học bản: [1][2] 17 2.2 Phương trình hàm liên quan đến tam giác:[1][4] 25 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân 42 2.2.1 Một số hệ thức đơn giản mô tả ràng buộc yếu tố cạnh góc tam giác: 25 2.2.2 2.3 Hàm số chuyển đổi tam giác: 26 PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC [1] 34 2.3.1 Một số hệ thức đặc trưng cho hình chữ nhật hình bình hành: 34 2.3.2 Các dạng toán hàm số sơ cấp liên quan đến tứ giác: 35 2.4 MỘT SỐ ÁP DỤNG[3] 36 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Vân ... hàm số phương trình hàm để vận dụng nghiên cứu ứng dụng phương trình hàm hình học Chính điều khóa luận với đề tài:"PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG HÌNH HỌC" nghiên cứu dạng tốn phương trình hàm hình học. .. 14 1.3.4 Phương trình hàm 15 PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG HÌNH HỌC 2.1 17 Phương trình hàm sinh phép biến đổi hình học bản: [1][2] 17 2.2 Phương trình hàm liên... số hàm sơ cấp: 1.3 Các phương trình hàm bản: 10 1.3.1 Phương trình hàm (Phương trình hàm Cauchy) 10 1.3.2 Phương trình hàm 13 1.3.3 Phương trình hàm