Một số biện pháp nâng cao kỹ năng giải các bài toán tương giao trong hình học không gian ở THPT

Khóa luận tốt nghiệp Trang ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN - - NGUYỄN TRẦN NGỌC TRÚC MỘT SỐ BIỆN PHÁP NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Ở THPT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hữu Chiến người trực tiếp hướng dẫn em trình nghiên cứu đề tài Em xin chân thành cảm ơn thư viện trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi cho em trình tìm kiếm tài liệu Em mong muốn tiếp tục nhận giúp đỡ thầy Nguyễn Hữu Chiến thầy cô khoa trình học tập nghiên cứu sau Đà Nẵng, tháng năm 2012 Sinh viên thực TÀI LIỆU THAM KHẢO GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang [1] Đoàn Quỳnh - Văn Như Cương - Phạm Khắc Ban - Lê Huy Hùng - Tạ Mân: Sách giáo khoa Hình học Nâng Cao 11,12, Nhà xuất Giáo dục, năm 2003 [2] Trần Quang Nghĩa - Nguyễn Anh Trường: Phương pháp giải tốn hình học khơng gian11, Nhà xuất Đà Nẵng, năm 1997 [3] Tuyển tập nhiều tác giả: Hình học khơng gian, NXB Sở Văn hóa Thông tin TP HCM, năm 1991 [4] Trần Văn Hạo: Học tốt hình học 11,Nhà xuất ĐH Quốc gia TP HCM, năm 2007 [5] Nguyễn Bá Kim: Phương pháp dạy học toán, Nhà xuất Giáo dục, năm 2000 Trang web: [1] http://www.mathvn.com/2010/12/bai-toan-xac-dinh-thiet-dien-hinh-chop.html [2]http://tailieu.vn/xem-tai-lieu/phuong-phap-giang-day-hinh-hoc-lop-11-phanthiet-dien.211099.html [3] http://www.mathvn.com/2011/05/kinh-nghiem-giai-toan-hinh-hoc-khong.html MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài 1.2.1 Đối tượng nghiên cứu đề tài 1.2.2 Phạm vi nghiên cứu 1.3 Mục đích đề tài 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Cấu trúc luận văn 1.6 Đối tượng sử dụng đề tài Chương 10 GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO TRONG HHKG .10 1.1 Cơ sở lý luận 10 1.2 Một số định lý tính chất liên quan 10 1.2.1 Đường thẳng mặt phẳng 10 1.2.2 Quan hệ song song 10 1.2.3 Quan hệ vng góc 12 Chương 14 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO TRONG HHKG ĐƯỢC XÂY DỰNG THÀNH CÁC TUYẾN BÀI TẬP CÙNG VỚI CÁC BIỆN PHÁP ĐƯỢC ĐỀ XUẤT ĐỂ NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI CHO TỪNG TUYẾN CÁC BÀI TẬP 14 2.1 Giao điểm hai đường thẳng 14 2.2 Biện pháp nâng cao kỹ giải toán giao tuyến hai mặt phẳng 14 2.2.1 Cách xác định giao tuyến hai mặt phẳng 14 2.2.2 Một số toán áp dụng 15 2.3 Biện pháp nâng cao kỹ giải toán giao điểm đường thẳng mặt phẳng 17 2.3.1 Cách xác định giao điểm đường thẳng mặt phẳng 17 2.3.2 Một số toán áp dụng 17 2.4 Biện pháp nâng cao kỹ giải toán xác định thiết diện mặt phẳng cắt hình chóp, hình lăng trụ 19 2.4.1 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ với mặt phẳng (P) qua điểm không thẳng hàng 19 2.4.2 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P): (P) chứa đường thẳng a song song với đường thẳng b cho trước (a b chéo nhau) 34 2.4.3 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua điểm song song với cặp đường thẳng chéo cho trước 36 2.4.4 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua điểm song song với mặt phẳng cho trước 38 2.4.5 Cách xác định thiết diện hình đa diện cắt mặt phẳng (P) qua đường thẳng d song song với mặt phẳng () cho trước (trong d // ()) 40 2.4.6 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước 41 2.4.7 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác 47 2.4.8 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua điểm, vng góc với mặt phẳng () song song (hoặc chứa) đường thẳng d 49 GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 2.4.9 Cách xác định thiết diện nghiêng 51 2.5 Biện pháp nâng cao kỹ giải toán xác định thiết diện mặt phẳng cắt số hình trịn xoay 53 2.5.1 Cách xác định thiết diện mặt phẳng cắt hình trụ 53 2.5.2 Cách xác định thiết diện mặt phẳng cắt hình nón 54 2.5.3 Cách xác định thiết diện mặt phẳng cắt hình cầu 56 KẾT LUẬN .54 GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài “Hình học khơng gian” mơn học có tính tư trừu tượng cao Chuyển từ hình học phẳng sang học hình học khơng gian (HHKG) học sinh gặp nhiều khó khăn ngắt quãng HHKG hình học phẳng Trong trường trung học phổ thông, việc dạy HHKG hướng tới đích là: bên cạnh yêu cầu người học nắm nội dung HHKG chương trình quy định, yêu cầu quan trọng khác phải rèn luyện kỹ hình học như: kỹ xác định hình, kỹ giải tốn tương giao, tốn tìm tập hợp điểm, tốn có yếu tố lượng… Trong giải tốn tương giao nội dung có vị trí quan trọng xuyên suốt chương trình HHKG trường trung học phổ thơng Thơng qua q trình học giải giải toán tương giao mà phát triển lực tư kỹ giải toán HHKG cho học sinh: tư thuật tốn, trí tưởng tượng khơng gian, kỹ vẽ hình, kỹ xác định phần giao hình,… Tuy nhiên thực tế để đạt u cầu đó, học sinh ln phấn đấu vượt qua nhiều khó khăn, trở ngại phải khắc phục nhiều sai lầm việc học giải tốn HHKG có tốn tương giao Nhất giai đoạn đầu học HHKG suốt q trình học HHKG, học sinh ln cần có trợ giúp mặt phương pháp giúp học sinh vượt qua khó khăn, trở ngại tránh số sai lầm dễ mắc phải Xuất phát từ lý trên, nên chọn đề tài: “Một số biện pháp nâng cao kỹ giải tốn tương giao hình học khơng gian THPT” để làm khóa luận tốt nghiệp 1.2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài 1.2.1 Đối tượng nghiên cứu đề tài Trên sở nghiên cứu nội dung phương pháp dạy học HHKG THPT (theo chương trình nâng cao) Đề tài hướng sâu vào nghiên cứu nội dung phương pháp HHKG có liên quan tới “tương giao” GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang hình hình học khơng gian đưa “Một số biện pháp nâng cao kỹ giải toán tương giao hình học khơng gian THPT” 1.2.2 Phạm vi nghiên cứu Do có số hạn chế vấn đề thời gian theo nội dung giảng dạy HHKG trường THPT nên đề tài chủ yếu nghiên cứu sâu số tốn tìm thiết diện hình chóp hình lăng trụ 1.3 Mục đích đề tài Nghiên cứu đề xuất số biện pháp nâng cao kỹ giải toán tương giao 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu tốn liên quan, tạp chí, sách báo, internet, chun đề liên quan đến đề tài Nhằm thu thập thông tin, phân tích hệ thống kiến thức để phục vụ cho đề tài 1.5 Cấu trúc luận văn Gồm hai chương Chương 1: Cơ sở lý thuyết toán tương giao hình học khơng gian 1.1 Cơ sở lý luận 1.2 Một số định lý tính chất liên quan 1.2.1 Đường thẳng mặt phẳng 1.2.2 Quan hệ song song 1.2.3 Quan hệ vng góc Chương 2: Một số toán tương giao HHKG xây dựng thành tuyến tập với biện pháp đề xuất để nâng cao kỹ giải cho tuyến tập 2.1 Giao điểm hai đường thẳng 2.2 Biện pháp nâng cao kỹ giải toán giao tuyến hai mặt phẳng 2.3 Biện pháp nâng cao kỹ giải toán giao điểm đường thẳng mặt phẳng GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 2.4 Biện pháp nâng cao kỹ giải toán xác định thiết diện mặt phẳng cắt hình chóp, hình lăng trụ 2.4.1 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ với mặt phẳng (P) qua điểm khơng thẳng hàng 2.4.1.1 Thiết diện hình chóp hay hình lăng trụ cắt mặt phẳng qua ba điểm nằm ba cạnh không đồng phẳng hình 2.4.1.2 Thiết diện hình chóp hay hình lăng trụ cắt mặt phẳng qua hai điểm nằm hai cạnh điểm nằm mặt hình 2.4.1.3 Thiết diện hình chóp hay hình lăng trụ cắt mặt phẳng qua điểm nằm cạnh hai điểm lại nằm hai mặt khác 2.4.1.4 Thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng qua ba điểm nằm ba mặt khác hình 2.4.1.5 Thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng có điểm nằm khối hình 2.4.2 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P): (P) chứa đường thẳng a song song với đường thẳng b cho trước (a b chéo nhau) 2.4.3 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua điểm song song với cặp đường thẳng chéo cho trước 2.4.4 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua điểm song song với mặt phẳng cho trước 2.4.5 Cách xác định thiết diện hình đa diện cắt mặt phẳng (P) qua đường thẳng d song song với mặt phẳng () cho trước (trong d // ()) GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 2.4.6 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước 2.4.7 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác 2.4.8 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua điểm, vng góc với mặt phẳng () song song (hoặc chứa) đường thẳng d 2.4.9 Cách xác định thiết diện nghiêng: 2.5 Biện pháp nâng cao kỹ giải toán xác định thiết diện mặt phẳng cắt số hình trịn xoay 2.5.1 Cách xác định thiết diện mặt phẳng cắt hình trụ 2.5.2 Cách xác định thiết diện mặt phẳng cắt hình nón 2.5.3 Cách xác định thiết diện mặt phẳng cắt hình cầu 1.6 Đối tượng sử dụng đề tài Tác giả đề tài hy vọng, luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên sư phạm toán, học sinh trung học phổ thông người quan tâm tới phương pháp giải toán tương giao HHKG GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 10 Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO TRONG HHKG 1.1 Cơ sở lý luận Bài toán tương giao HHKG tốn xác định phần giao hai hình Trong nội dung quan trọng chủ đề tìm thiết diện hình (H) cắt mặt phẳng (P) Việc tìm thiết diện tạo mặt phẳng (P) với hình (H) trình ta tìm giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt hình (H) Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo cắt mặt hình (H) mặt phẳng (P) hình thành đa giác phẳng, ta gọi thiết diện tạo mặt phẳng (P) với hình (H) Như vậy, thực chất tốn tìm thiết diện tốn tìm tập giao điểm mặt phẳng (P) với hình (H) mà trước hết tìm đoạn giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt hình (H) 1.2 Một số định lý tính chất liên quan 1.2.1 Đường thẳng mặt phẳng Tính chất 1.1 [1] Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng cho Định lí 1.1 [1] Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng 1.2.2 Quan hệ song song Định lí 1.2 [1] Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song ( )  ( )  a  Tóm tắt: Nếu ( )  ( )  b a // b // c a, b, c đồng quy ( )  (  )  c  R c a b a c b R Q Q P Hình GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến P Hình SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 43 Ta có: x  SC  E, F  (P) Trong mp(SCD), nối FH cắt SD I Trong mp(SCB), nối EH cắt SB G Vậy thiết diện cần tìm tứ giác AIHG Bài tốn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA   ABCD Gọi   mặt phẳng qua A vng góc với SB Hãy xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng   Bài giải Hãy xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng   Trong mặt phẳng (SAB) dựng AM  SB S Ta có: AD  SA, AD  AB AD  (SAB) M suy AD  SB (1) N mặt khác AM  SB (2) từ (1) (2) suy (ADM)  SB Vậy (ADM)  () B A C D  AD     BC   SBC  ta có:   Mt      SBC   AD P BC M      SBC   Mt P BC , Mt P AD Mt cắt SC N     SAB   AM     SDC   DN Vậy thiết diện cần tìm tứ giác DAMN S Nhận xét: Học sinh thường gặp khó khăn + Trong hình vẽ: - Có đường nét khuất em khơng A B D C thể hình vẽ: cạnh AD GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 44 - Giao diện mặt bên (SAD) nhỏ, điều gây nhiều khó khăn việc giải tốn mà ta cần kẻ thêm đường thẳng nằm mặt phẳng - Đa giác đáy hình vng học sinh thể hồn hình vng bên hình học phẳng Và đề u cầu thêm SA vng góc với mặt phẳng đáy học sinh khó mà vẽ ý + Khơng biết bắt đầu lời giải từ đâu, khơng thấy hình biểu diễn mặt phẳng   Biện pháp khắc phục: Rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình khơng gian như: hình chóp (hình chóp tứ giác đều, hình chóp có đáy hình vng,…), hình lăng trụ, hình hộp Giúp học sinh nắm vững khái niệm hình khơng gian để có cách vẽ hình xác… Các quy tắc vẽ hình không gian: - Dùng nét ( _ ) để biểu diễn cho đường nhìn thấy - Dùng nét ( -) để biểu diễn đường khuất - Hai đường thẳng song song (cắt nhau) biểu diễn thành hai đường thẳng song song (cắt nhau) - Hình biểu diễn hình thang hình thang - Hình biểu diễn hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vng hình bình hành Chú ý: Vẽ hình khơng gian quy tắc chưa đủ mà cịn phải đảm bảo thật có lợi cho việc quan sát trực giác, điều giúp ta dễ tìm lời giải cho tốn Bài tốn Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a,  BAD = 600, cạnh bên 2a Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng () qua B’ vng góc với BD’ Bài giải Xác định thiết diện hình hộp căt mặt phẳng () qua B’ vng góc với BD’ GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 45 Trong mp(BDD’B’), qua B’ dựng đường thẳng vng góc với BD’ J, cắt DD’ K Gọi O, O’ tâm hai hình thoi ABCD B' C' A’B’C’D’ O' Ta có: B’K cắt OO’ I D' A' N I mp(BB’D’D), I () J M Trong mp(A’C’CA), qua I ta dựng đường thẳng B song song với A’C’, cắt AA’ CC’ M, N C K O A D MN  BD’ thật vậy: Ta có: MN  OO’ ( MN// A’C’ mà OO’A’C’) mà MN  B’D’ (vì A’B’C’D’ hình thoi, MN // A’C’)  MN  (BB’D’D) Suy ra: MN  BD’  MN  () Vậy thiết diện cần tìm tứ giác B’MKN Bài tốn Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác M trung điểm BC Xác định thiết diện hình lăng trụ cắt mặt phẳng () qua M vuông góc với AB’ Bài giải Xác định thiết diện hình lăng trụ cắt mặt phẳng () qua M vng góc với AB’ Gọi H trung điểm AB  CH  AB (1) BB’  (CAB) (vì ABC.A’B’C’là lăng trụ đứng) C' A'  CH  BB’ (2) B' Từ (1) (2) suy ra: CH  (ABB’A’)  CH  AB’ mà theo giả thiết: ()  AB’  CH // () D N A C M Từ đó, ()  (ABC) = MK (MK // CH, K trung điểm đoạn BH) GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến L B K H SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 46 Gọi D giao điểm KM AC Q C' A' Trong (ABB’A’), kẻ KL  AB’ + Nếu L thuộc đoạn AA’ DL cắt CC’ N H' B' L N Vậy thiết diện tìm tứ giác MNLK + Nếu L thuộc đoạn A’B’ ()  (ABC) = LQ với LQ // CH D C hay LQ // C’H’ H’ trung điểm A’B’ A M B (vì (ABC) // (A’B’C’)) H K Trong (C’A’AC): QD cắt CC’ N Vậy thiết diện cần tìm lục giác MNQLK Bài tốn Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC đều, SA  (ABC) Lấy điểm M cạnh SC Gọi () mặt phẳng qua M vng góc với AB Lời giải Ta có SA   ABC   SA  AB    AB S Suy SA // () Ta có SA   SAC  M N M      SAC  Do     SAC   MQ , MQ // SA cắt AC Q A Q Gọi I trung điểm AB ta có CI  AB C P I Suy CI // (), CI  (ABC) Do     ABC   QP , QP // CI cắt AB P B Ta có SA // (), SA  (SAB) P      SAB  suy PN      SAB  với PN // SA, PN cắt SB N MN      SBC  GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 47 Vậy thiết diện cần tìm tứ giác MNPQ Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm lời giải: () // CI mà CI(ABC)  (ABC) // () Suy () // BC Do ()  (ABC) = QP // BC Do không hiểu kỹ định lí, hệ dẫn đến kết luận sai Biện pháp khắc phục: Giúp HS nắm vững định lý SGK cách vận dụng vào giải tập Việc vận dụng định lý, hệ vào giải phải hiểu định lý, hệ thuộc quan hệ song song hay quan hệ vng góc, phát biểu xác hệ định lý 2.4.7 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác a Phương pháp: Bước 1: Chọn điểm A nằm đường thẳng a cho qua A dựng đường thẳng b vng góc với mp(P) cách dễ Bước 2: Khi đó, mp ( a ,b) mp(P) cần dựng Bước 3: Tìm giao tuyến (P) với hình chóp cách biết Bước 4: Dựng thiết diện kết luận b Bài toán áp dụng: Bài toán Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I, J trung điểm AB, CD Gọi (P) mặt phẳng qua IJ vng góc với mặt (SBC) Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) Bài giải Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) Ta có S IJ  AB    IJ   SAB   IJ  SB IJ  SA  Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với SB K Do  P    KIJ  K Ta có: (P)  (SAB) = KI GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến A N D J I B C SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 48 (P)  (ABCD) = IJ (P)  IJ // BC  (P)  (SBC) = KN //BC (P)  (SCD) = NI Vậy giao tuyến hình thang KNIJ Bài tốn Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy tam giác vng cân C, CA = CB = a, AA’ = a Xác định thiết diện hình lăng trụ cắt mặt phẳng () qua MN vng góc với (ABB’A’) Với M, N trung điểm CA, CC’ Bài giải Xác định thiết diện hình lăng trụ cắt mặt phẳng () qua MN vuông góc với (ABB’A’) Từ giả thiết suy ABB’A’ hình vng cạnh a O R A B M Gọi O trung điểm AB C D  CO  AB (vì ABC cân C) mà CO AA’  CO  (ABB’A’) A' Q N B' P Theo giả thiết, ()  (ABB’A’) CO// () C' E Do đó, (ABC) kẻ MR // CO (R trung điểm AO), MR cắt BC D Trong (CBB’C’), DN cắt B’C’ BB’ P, E Trong (ABB’A’), gọi Q giao điểm ER B’A’ Vậy thiết diện cần xác định ngũ giác MNPQR * Như vậy, số loại thiết diện vng góc chuyển thiết diện song song giải dễ dàng Khi kẻ vng góc từ điểm đến đường thẳng cần ý vị trí chân đường vng góc đường thẳng GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 49 2.4.8 Cách xác định thiết diện hình chóp, hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua điểm, vng góc với mặt phẳng () song song (hoặc chứa) đường thẳng d a Phương pháp: Bước 1: Tìm đường thẳng d’ vng góc với () Bước 2: i Nếu d, d’ nằm mặt phẳng thiết diện mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt Từ ta dựng giao tuyến thiết diện với mặt khối đa diện ii Nếu d hay d’ song song mà khơng nằm mặt phẳng thiết diện chuyển sang bước Bước 3: Giả sử d song song với mặt phẳng thiết diện, ta xét mp(d, M) (M điểm nằm mặt phẳng thiết diện) dựng mặt phẳng đường thẳng  qua M song song với d  nằm mặt phẳng thiết diện Nếu d’ song song với mặt phẳng thiết diện tương tự ta dựng đường thẳng ’ nằm mặt phẳng thiết diện Bước 4: Dựng giao tuyến mặt phẳng thiết diện với mặt khối đa diện b Bài toán áp dụng: Bài tốn Cho chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật, SA vng góc với (ABCD), SA = AD Gọi I trung điểm SD, M điểm cạnh BC a Chứng minh: AI vng góc với mp(SCD) b Gọi (α) mp qua M, vng góc với (SCD) song song AC Hãy tìm thiết diện hình chóp cắt (α) Bài giải a Chứng minh: AI vng góc với mp(SCD) Ta có: SA  (ABCD) nên SA  AD mà SA = AD (theo giả thiết)  SAD vuông cân A  AI  SD (vì I trung điểm SD) (1) GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 50 Mặt khác: CD  (SAD) (vì CD  AD CD  SA) mà AI  (SAD)  CD  AI (2) Từ (1) (2), suy AI  (SCD) b/ Hãy tìm thiết diện hình chóp cắt (α) Ta có: M  (), () // AC  ()  (ABCD) = MN Trong mp(ABCD), MN kéo dài cắt DA, DC E, F S Vì ()  (SCD) AI  (SCD) nên () // AI K P H E  (), () // AI  ()  (SAD) = EK I với EK // AI, K SD Gọi P giao điểm EK SA E D A Ta có: K  (SCD), KF cắt SC H N B M C Vậy thiết diện cần tìm ngũ giác MNPKH F Bài tốn Cho hình chóp S.ABCD cạnh đáy a, SO đường cao Mặt phẳng () qua điểm A, song song với CD vng góc với mp(SCD) Xác định thiết diện () hình chóp Bài giải S Xác định thiết diện () hình chóp Theo giả thiết () qua A song song CD nên ()  AB N M Gọi E, F trung điểm AB CD H Ta có: SO  CD (vì SO  (ABCD)) F SF  CD (vì SCD cân S)  CD  (SEF)  (SCD)  (SEF) C D O A E B Trong mặt phẳng (SEF), dựng EH  SF nên ()  (ABH) H  (), () // CD  ()  (SCD) = MN với MN qua H, MN // CD, M SC, N  SD Vậy thiết diện cần tìm hình thang ABMN GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 51 2.4.9 Cách xác định thiết diện nghiêng Mặt phẳng () qua đường thẳng d tạo với mặt phẳng () cho trước góc  (với 00 <  < 900) (Ta xét trường hợp d  () d // ()) a Phương pháp: + Chọn (P)  d, gọi I giao điểm đường thẳng d mp(P) Tìm giao tuyến d1 (P) () d1 , d2 )   + Trong (P) kẻ d2 qua I cho (· + Khi ()  (d, d2) Ta tìm thiết diện cắt (d, d2) Chú ý: Trong (P) có hai đường thẳng d2 d2’ qua I tạo với d1 góc  b Bài tốn áp dụng: Bài tốn Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy  ABC cân B Qua AC dựng mặt phẳng () tạo với đáy ABC góc 300 Xác định thiết diện tạo mặt phẳng () lăng trụ cho Bài giải Xác định thiết diện tạo mặt phẳng () lăng trụ cho Gọi G I trung điểm AC A’C’ AC  GB    AC  ( BGIB ') (*) AC  IG  A' B' I GB = (BGIB’)  (ABC) H C' Trong (BGIB’) kẻ GH · cho BGH  300 (H  BB’) Ta có: AC  GB, AC  GH (do (*)) Do đó: ( (· ACD),( ABC) ) = 300 A 30° B G C Vậy thiết diện cần tìm tam giác AHC Bài tốn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = AB SA vng góc với đáy M N trung điểm đoạn SA GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 52 SD Mặt phẳng () qua MN tạo với đáy ABCD góc 300 Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng () S Bài giải Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng () Ta có: MN // AD  MN // (ABCD) M (SAB)  MN (vì AD  (SAB)) N + (SAB)  (ABCD) = AB 30° A E B + Trong (SAB) qua M kẻ hai đường thẳng D d1 d2 hợp với đường thẳng AB góc 300 F C + d1 cắt đoạn thẳng AB E hợp với AB góc 300 Khi đó, ()  (MNE) Ta có: MN // AD  AD // () E  (), AD // ()  ()  (ABCD) = EF, EF // AD F  CD Vậy thiết diện tìm tứ giác MNEF.(MNEF hình thang cân) + d2 cắt tia đối tia AB E’ hợp với AB góc 300 (cách xác định thiết diện tương tự) Bài toán Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Xác định thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng () qua AC tạo với (ABCD) góc 450 Bài giải Xác định thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng () qua AC tạo B' với (ABCD) góc 450 C' D' A' Theo giả thiết, AC  BD E ()  (ABCD) = AC Trong mặt phẳng (BB’D’D), qua O dựng đường thẳng hợp với OB góc 450 cắt GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến B C 45° O A D SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 53 BB’ E (có thể dựng đường thẳng qua O hợp với OD góc 450) Dễ dàng chứng minh EO  AC · Do góc () mp(ABCD) góc BOE Vậy thiết diện tìm tam giác cân AEC Nhận xét: Để xác định thiết diện xác cần hình thành cho học sinh phương pháp xác định góc hai mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, cách chứng minh hai mặt phẳng song song,… 2.5 Biện pháp nâng cao kỹ giải toán xác định thiết diện mặt phẳng cắt số hình trịn xoay 2.5.1 Cách xác định thiết diện mặt phẳng cắt hình trụ a Phương pháp: + Thiết diện mặt phẳng (P) song song với trục hình chữ nhật chứa đường sinh Bước 1: Dựng giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt đáy Bước 2: Xác định giao điểm giao tuyến vừa dựng với mặt đáy Từ hai giao điểm dựng hai đường sinh song song với trục Bước 3: Xác định giao điểm hai đường sinh với mặt đáy cịn lại hình trụ Dựng thiết diện kết luận + Thiết diện mặt phẳng vng góc với trục hình trịn hình tròn đáy + Thiết diện mặt phẳng qua trục hình chữ nhật có kích thước h (chiều cao hình trụ) 2R (đường kính đáy hình trụ) b Bài toán áp dụng: Bài toán Cho hình trụ có chiều cao h Một mặt phẳng (P) song song với trục hình trụ (P) cắt đường trịn đáy theo dây cung trương góc  ( 00    1800 ) Hãy xác định thiết diện hình trụ cắt (P) Bài giải Hãy xác định thiết diện hình trụ cắt (P) Ta có: (P) cắt đường tròn đáy theo dây cung GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 54 trương góc  nên ta dựng tam giác O’CD mặt A O · 'C   đáy cho DO Từ C D dựng hai đường thẳng song song OO’ B cắt mặt đáy cịn lại hình trụ B, A Vậy thiết diện hình trụ cắt mp(P) hình chữ nhật ABCD D O' C Bài tốn Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O), (O’) bán kính R, chiều cao hình trụ R Mặt phẳng (P) vng góc với OO’ cách O khoảng x (0< x< R ) Xác định thiết diện hình trụ cắt (P) Bài giải Xác định thiết diện hình trụ cắt (P) Ta có: Mặt phẳng (P) vng góc với OO’ cách O O khoảng x (0< x< R ) nên (P) hình trịn hình tròn đáy tâm O’’ nằm trục OO’’ cho 0< OO’’< R O" O' Vậy thiết diện (P) cần tìm hình trịn (O”) 2.5.2 Cách xác định thiết diện mặt phẳng cắt hình nón a Phương pháp: + Thiết diện mặt phẳng qua đỉnh hình nón tam giác cân chứa hai đường sinh, tam giác cân có: hai cạnh bên hai đường sinh, cạnh đáy đường kính đáy, góc đáy góc đường sinh đáy, góc đỉnh góc đỉnh hình nón + Thiết diện mặt phẳng vng góc với trục hình trịn b Bài tốn áp dụng: Bài tốn Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12cm Hãy xác định thiết diện (P) với khối nón Bài giải Hãy xác định thiết diện (P) với khối nón GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 55 S Theo đề mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón nên thiết diện tam giác cân đỉnh S chứa hai đường sinh SA, · SB cho OH = 12cm với OH  (P), H  (P) Dựng SOH ·  cho cosSOH OH 12   0,6 , dựng SI  OH, I thuộc mp đáy SO 20 H O A I B Qua I dựng d  SI cắt mp đáy A, B Vậy thiết diện (P) cần tìm tam giác cân SAB Bài tốn Cho hình nón trịn xoay bị cắt mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Xác định thiết diện mặt phẳng với hình nón Bài giải S Xác định thiết diện mặt phẳng (P) với hình nón Ta có: mặt phẳng (P) qua đỉnh S hình nón nên thiết diện tam giác cân SAB với SA, SB hai đường sinh hình nón Gọi I trung điểm AB SI  AB 60° O mà d(O, AB) = OI A I  góc tạo (P) với mặt phẳng đáy góc SI IO B ·  600  SIO Ta dựng AB cho d(O, AB) = OI = SO h (với SO = h)  tan 60 Vậy thiết diện cần tìm tam giác cân SAB Bài tốn Cho hình nón đỉnh S, đáy đường trịn tâm O bán kính R, góc đỉnh 2 Một mặt phẳng (P) vng góc SO I cắt hình nón Đặt SI = x (0< x< SO) Xác định thiết diện hình nón cắt (P) Bài giải Xác định thiết diện hình nón cắt (P) Ta có: mặt phẳng (P) vng góc SO I nên thiết diện hình trịn tâm I với I  SO, 0< SI < SO ·  Vì góc đỉnh hình chóp 2 nên ASI GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 56 với AI bán kính hình trịn thiết diện AI  SO S Do để xác định thiết diện đầu tiên: 2α + Dựng I cho SI = x 0< x< SO A + Dựng AI  SO I, A nằm mặt hình nón I + Dựng hình trịn (I) bán kính AI = SI tan   x tan  Vậy thiết diện cần tìm hình trịn (I) O 2.5.3 Cách xác định thiết diện mặt phẳng cắt hình cầu a Phương pháp: + Thiết diện mặt cầu mặt phẳng đường trịn có tâm hình chiếu tâm mặt cầu lên mặt phẳng b Bài toán áp dụng: Bài toán Một mặt cầu tâm O bán kính R Một mặt phẳng (P) qua điểm A mặt cầu hợp với OA góc  Xác định thiết diện (P) mặt cầu Bài giải Xác định thiết diện (P) mặt cầu Ta có: thiết diện mặt cầu mặt phẳng (P) đường trịn có tâm hình chiếu A tâm mặt cầu lên mặt phẳng (P) Theo giả thiết mặt phẳng (P) qua điểm A mặt cầu hợp với OA góc  O' O ·' AO   với O’ hình chiếu O lên (P) nên O · ·  + Dựng góc OAx cho OAx + Trên tia Ax dựng hình chiếu O’ tâm O + Dựng hình trịn tâm O’ bán kính O’A = OA.cos Vậy thiết diện cần tìm hình trịn (O’) GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc Khóa luận tốt nghiệp Trang 57 KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu đề tài thu số kết sau: Sưu tầm, tổng hợp nêu mối quan hệ song song, vng góc cách xác định giao tuyến hai mặt phẳng, giao điểm đường thẳng mặt phẳng Nêu số dạng tốn tương giao hình học khơng gian Với dạng tìm thiết diện đa diện có ví dụ minh họa, có lời giải cụ thể, rõ ràng Qua ta xác định số tuyến tập tìm thiết diện thường gặp chương trình học giúp học sinh nâng cao biện pháp giải tốn thiết diện Qua việc phân dạng tìm thiết diện, tơi cịn đưa số khó khăn, biện pháp khắc phục số kỹ cần rèn luyện cho học sinh việc giải toán tương giao Phải nói tốn tương giao thực hấp dẫn tính trừu tượng phong phú Tuy nhiên với học sinh THPT tuyến tập gây nhiều khó khăn Vì khóa luận nhằm giúp học sinh có biện pháp giải toán tương giao gây hứng thú, đam mê toán tương giao HHKG Do thời gian điều kiện nghiên cứu có hạn nên kết nghiên cứu không tránh khỏi nhiều sai sót hạn chế mong thầy bạn đọc thơng cảm đóng góp ý kiến để đề tài hồn thiện Khóa luận giúp tơi có thêm kiến thức bổ ích HHKG để làm hành trang đường sư phạm sau GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc ... tốt nghiệp Trang hình hình học không gian đưa ? ?Một số biện pháp nâng cao kỹ giải toán tương giao hình học khơng gian THPT? ?? 1.2.2 Phạm vi nghiên cứu Do có số hạn chế vấn đề thời gian theo nội dung... 2.2 Biện pháp nâng cao kỹ giải toán giao tuyến hai mặt phẳng 14 2.2.1 Cách xác định giao tuyến hai mặt phẳng 14 2.2.2 Một số toán áp dụng 15 2.3 Biện pháp nâng cao kỹ giải toán giao. .. 14 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO TRONG HHKG ĐƯỢC XÂY DỰNG THÀNH CÁC TUYẾN BÀI TẬP CÙNG VỚI CÁC BIỆN PHÁP ĐƯỢC ĐỀ XUẤT ĐỂ NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI CHO TỪNG TUYẾN CÁC BÀI TẬP 14 2.1 Giao điểm