Phần nguyên và các dạng toán về phần nguyên

Khóa luận tốt nghiệp ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN - - NGUYỄN THỊ MAI ANH PHẦN NGUYÊN VÀ CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHẦN NGUYÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Chương Định nghĩa, tính chất, định lí phần nguyên, điểm nguyên Khảo sát hàm số có chứa phần nguyên I Định nghĩa tính chất định lý Định nghĩa Nguyễn Thị Mai Anh Trang Khóa luận tốt nghiệp Tính chất Mệnh đề Định lí Legendre Định lí Hermite II Điểm nguyên phần nguyên Định lí 10 Định lí 11 Định lí 12 Định lí 13 III Khảo sát hàm số có chứa phần ngun Tính tuần hồn 14 Đồ thị hàm số chứa phần nguyên 17 2.1 Đồ thị hàm số 𝑦 = [𝑓(𝑥)] 17 2.2 Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓([𝑥]) 18 2.3 Đồ thị hàm số 𝑦 = {𝑓(𝑥)} 20 2.4 Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓({𝑥}) 21 Chương Các dạng toán phần nguyên Tìm phần nguyên 23 Chứng minh đẳng thức 27 Chứng minh bất đẳng thức 29 Tính tổng 32 Giải phương trình 40 Nguyễn Thị Mai Anh Trang Khóa luận tốt nghiệp 5.1 Phương pháp giới hạn miền giá trị biến 40 5.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 42 5.3 Phương pháp đồ thị 47 Các dạng toán khác 51 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu bảo, hướng dẫn tận tình giáo Nguyễn Thị Sinh, đến khóa luận tốt nghiệp em hồn thành Em xin chân thành cảm ơn giáo Nguyễn Thị Sinh giúp đỡ em nhiều thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Mai Anh Trang Khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn quý thầy khoa Tốn, thư viện trường giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Phần nguyên dạng toán phần nguyên GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH : Nguyễn Thị Mai Anh Lớp Nguyễn Thị Mai Anh : 08ST Trang Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phần nguyên phần kiến thức quan trọng số học Nó hấp dẫn em có lẽ định nghĩa đơn giản, sâu vào tìm hiểu phần tốn khó, hay, phong phú, dạng tốn phần ngun đa dạng, địi hỏi người đọc phải tư duy, tìm tịi sáng tạo cao Với mong muốn tìm hiểu thêm tính độc đáo phần nguyên, nhằm xây dựng vốn kiến thức làm sở cho việc giảng dạy sau Và để bạn đọc dùng làm tài liệu tham khảo nghiên cứu phần nguyên nên em chọn đề tài “Phần nguyên dạng tốn phần ngun” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích – u cầu Tìm hiểu thêm kiến thức để giúp cho việc giảng dạy sau thân Hệ thống hóa kiến thức phần nguyên Nêu dạng toán phần nguyên số toán minh họa Giả thuyết khoa học Nếu khai thác triệt để phần ngun thơng qua hệ thống ví dụ toán tạo cho bạn đọc biết cách nhận thức vấn đề, khắc sâu kiến thức phần nguyên sử dụng cơng cụ để giải toán phần nguyên thật hiệu Nguyễn Thị Mai Anh Trang Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày định nghĩa, tính chất, định lý phần nguyên, điểm nguyên Khảo sát hàm số có chứa phần ngun Chương 2: Trình bày số toán dạng toán phần nguyên Nguyễn Thị Mai Anh Trang Khóa luận tốt nghiệp Chương ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, CÁC ĐỊNH LÍ VỀ PHẦN NGUYÊN I Định nghĩa, tính chất định lí phần nguyên Định nghĩa  Phần nguyên số thực 𝑥, kí hiệu [𝑥] số nguyên lớn không vượt 𝑥, hay [𝑥] số nguyên thỏa: [𝑥] ≤ 𝑥 < [𝑥] +  Phần lẻ 𝑥, kí hiệu {𝑥} = 𝑥 − [𝑥], ≤ {𝑥} < Các tính chất a) Nếu 𝑛 ∈ 𝒁 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + [𝑥] = 𝑛 b) [{𝑥}] = {[𝑥]} = c) Nếu 𝑥 ≥ 𝑦 [𝑥] ≥ [𝑦] d) Nếu 𝑛 ∈ 𝒁 thì: [𝑛 + 𝑥] = 𝑛 + [𝑥] ; {𝑥 + 𝑛} = {𝑥} e) [𝑥] + [𝑦] ≤ [𝑥 + 𝑦] ≤ [𝑥] + [𝑦] + 0|𝑥 ∈ 𝒁 f) [𝑥] + [−𝑥] = { −1|𝑥 ∉ 𝒁 [𝑥] 𝑥 𝑛 𝑛 g) [ ] = [ ] 𝑛 ∈ 𝒁 Chứng minh a) Theo định nghĩa ta có điều phải chứng minh b) Đặt {𝑥} = 𝑥 − [𝑥] Theo định nghĩa phần lẻ Ta có ≤ {𝑥} < ⟹ [{𝑥}] = [𝑥] ∈ 𝑍 ⟹ [𝑥] = 𝑥 ⟹ 𝑥 − [𝑥] = = {𝑥} ⟹ {[𝑥]} = Nguyễn Thị Mai Anh Trang Khóa luận tốt nghiệp Vậy [{𝑥}] = {[𝑥]} = Ta có điều phải chứng minh c) Giả sử 𝑥 ≥ 𝑦 [𝑥] < [𝑦] ⟹ [𝑥] + ≤ [𝑦] ⟹ 𝑥 < [𝑥] + ≤ [𝑦] ≤ 𝑦 ⟹ 𝑥 < 𝑦 ⟹vơ lí Vậy [𝑥] ≥ [𝑦] Đó điều phải chứng minh d) Theo định nghĩa phần nguyên, ta có [𝑥] ≤ 𝑥 < [𝑥] +1 Với 𝑛 ∈ 𝒁 ta suy ra: 𝑛 + [𝑥] ≤ 𝑛 + 𝑥 < 𝑛 + [𝑥] + ⟹ [𝑛 + 𝑥] = 𝑛 + [𝑥] {𝑥 + 𝑛} = 𝑥 + 𝑛 − [𝑥 + 𝑛] = 𝑥 + 𝑛 − (𝑛 + [𝑥]) = 𝑥 − [𝑥] = {𝑥} Đó điều phải chứng minh e) Đặt 𝑥 = [𝑥] + {𝑥}; ≤ {𝑥} < 𝑦 = [𝑦] + {𝑦}; ≤ {𝑦} < Ta có [𝑥 + 𝑦] = [[𝑥] + [𝑦] + {𝑥} + {𝑦}] = [𝑥] + [𝑦] + [{𝑥} + {𝑦}] Vì ≤ {𝑥} + {𝑦} < nên suy điều phải chứng minh f) Đặt 𝑥 = [𝑥] + {𝑥}; ≤ {𝑥} < Ta có [𝑥] + [−𝑥] = [𝑥] + [−[𝑥] − {𝑥}] = [−{𝑥}] Vì −1 < −{𝑥} ≤ 𝑥 nguyên nên suy điều phải chứng minh 𝑥 𝑥 𝑛 𝑛 g) Đặt 𝑚 = [ ], 𝑚 ≤ 𝑛 Như tất số 𝑞 𝑛 chia hết cho q dãy (1) số dãy (2), mà (2) có [ ] số 𝑞 Đó điều phải chứng minh Định lí Legendre Trong phân tích số 𝑛! thừa số nguyên tố: 𝑛! = 𝑝1 𝛼1 𝑝2 𝛼2 … 𝑝𝑛 𝛼𝑛 Nguyễn Thị Mai Anh Trang Khóa luận tốt nghiệp Thì thừa số 𝛼𝑖 thừa số 𝑝𝑖 là: 𝑛 𝛼𝑖 = [ ] + [ 𝑝𝑖 𝑛 𝑝𝑖 ]+⋯+[ 𝑛 𝑝𝑖 𝑘 ]+⋯ (1) Chứng minh Nhận xét: (1) tổng gồm hữu hạn số hạng khác Vì với k đủ lớn 𝑛 < 𝑝𝑖 𝑘 [ 𝑛 𝑝𝑖 𝑘 ]=[ 𝑛 𝑝𝑖 𝑘+1 ]=⋯=0 Giả sử p ước nguyên tố 𝑛!, theo mệnh đề ta có: 𝑛 𝑛 [ ] 𝑛 𝑛! = 1.2 … 𝑝(𝑝 + 1) … 2𝑝 … 3𝑝 … [ ] 𝑝 … 𝑛 = 𝑝 𝑝 [ ] ! 𝑞 = 𝑝𝑚 𝑚! q 𝑝 𝑝 𝑛 Với 𝑚 = [ ] (𝑝, 𝑞) = 𝑝 Tương tự, ta có 𝑚! = 𝑝 𝑛 𝑝 [ ] Suy 𝑛! = 𝑝 𝑝 𝑚 𝑛 𝑝 [ ] 𝑚 𝑝 [ ] 𝑚 𝑝 [ ] 𝑚 [ ] ! 𝑞 ′ với (𝑝, 𝑞 ′ ) = 𝑝 𝑚 [ ] ! qq′ 𝑝 𝑛 𝑚 Mà [ ] = [ ] = [ ] tiếp tục với [ ] ! ta thu số mũ 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 p xuất dạng phân tích 𝑛! thừa số nguyên tố là: 𝑛 𝑛 𝑛 𝛼𝑝 = [ ] + [ ] + ⋯ + [ 𝑘 ] + ⋯ 𝑝 𝑝 𝑝 Đó điều phải chứng minh Định lí Hermite Với n nguyên dương, x số thực bất kỳ, ta có 𝑛−1 [𝑛𝑥] = [𝑥] + [𝑥 + ] + ⋯ + [𝑥 + ] 𝑛 𝑛 Nguyễn Thị Mai Anh Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp  Nếu 𝑥 > [𝑥] > 𝑥 > √2 phương trình cho trở thành: [𝑥] = 𝑥(𝑥 − 𝑥) 𝑥 Mà [𝑥] 𝑥 ≤ 𝑥 > √2 nên 𝑥 − < ⟹ 𝑥 < √2 Khi √2 < 𝑥 < √3 ⟹ [𝑥] = Phương trình 𝑥(𝑥 − 𝑥) = có nghiệm 𝑥 = √1 + √2 Vậy tập nghiệm phương trình 𝑆 = {−1; 0; √1 + √2} 5.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Bài tốn 5.4 Giải phương trình a) [𝑥]2 − [𝑥] − = 0; b) [−𝑥 + 3𝑥] = [𝑥 + ] Giải a) Đặt 𝑡 = [𝑥], ta có 𝑡 − 𝑡 − = ⇔ 𝑡 = −1 𝑡 = 𝑡 = −1 ⇔ [𝑥] = −1 ⇔ −1 ≤ 𝑥 < 𝑡 = ⇔ [𝑥] = ⇔ ≤ 𝑥 < Vậy tập nghiệm 𝑆 = [−1; 0) ∪ [2; 3) 1 2 b) Vì 𝑥 + > nên [−𝑥 + 3𝑥] = [𝑥 + ] = 𝑛, với 𝑛 ∈ 𝑵 9 Ta có −𝑥 + 3𝑥 = − (𝑥 − ) + ≤ nên 𝑛 = 0,1,2 4 Với 𝑛 = 0, ta có Nguyễn Thị Mai Anh Trang 43 Khóa luận tốt nghiệp [−𝑥 + 3𝑥] = 0 ≤ −𝑥 + 3𝑥 < − √5 ⇔{ ⇔ ≤ 𝑥 < { 2 < 𝑥2 + < [𝑥 + ] = 2 Với 𝑛 = 1, ta có [−𝑥 + 3𝑥] = 1 ≤ −𝑥 + 3𝑥 < √2 ⇔{ ⇔ ≤ 𝑥 < { 2 1≤𝑥 +