Một số phương pháp ước lượng điểm trong thống kê

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN  NGUYỄN THỊ VÂN ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM TRONG THỐNG KÊ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH TỐN ỨNG DỤNG Đà Nẵng - Năm 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN  NGUYỄN THỊ VÂN ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM TRONG THỐNG KÊ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Lớp : 15CTUDE KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn : TS LÊ VĂN DŨNG Đà Nẵng - Năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Nếu khơng nêu trên, tơi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm đề tài Người cam đoan Nguyễn Thị Vân Anh LỜI CẢM ƠN Qua bốn năm học tập rèn luyện trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, dìu dắt thầy cô, tiếp xúc nhiều kiến thức bổ ích Khóa luận tốt nghiệp xem thành quan trọng trình học tập rèn luyện Lời xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Văn Dũng, thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành khóa luận Vì điều kiện thời gian khả có hạn nên luận tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp Thầy (cơ) để luận hồn thiện Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian học tập khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp 15CTUDE anh chị khóa nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập trường Đà Nẵng, ngày tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Vân Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1.1 Khái niệm xác suất 1.1.2 Các phép toán xác suất 1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN 10 1.2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 10 1.2.2 Phân phối xác suất 11 1.2.3 Các đặc trưng 16 1.3 THỐNG KÊ MÔ TẢ 19 1.3.1 Các số đặc trưng mẫu số liệu 19 1.3.2 Phân tích biểu đồ 22 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 30 2.1 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG HỢP LÍ CỰC ĐẠI 30 2.2 PHƯƠNG PHÁP MÔ-MEN 34 2.3 PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU 36 2.3.1 Trường hợp k = 36 2.3.2 Trường hợp tổng quát 41 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Xác suất thống kê đóng vai trị quan trọng hầu hết lĩnh vực giới đại, từ khoa học, công nghệ, đến kinh tế, trị, đến sức khỏe, mơi trường, v.v Ngày nay, máy tính giúp cho việc tính tốn vấn đề xác suất thống kê ngày trở nên dễ dàng, có số liệu đắn mơ hình hợp lý Thế nhưng, thân máy tính khơng biết mơ hình hợp lý Đấy vấn đề người sử dụng: cần phải hiểu chất khái niệm mô hình xác suất thống kê, dùng chúng Mục đích khóa luận nhằm phân tích rõ chất khái niệm phương pháp xác suất thống kê, qua áp dụng chúng, sâu tìm hiểu số phương pháp ước lượng điểm thống kê Mục tiêu nghiên cứu Hiểu rõ chất phương pháp thống kê ước lượng điểm Đưa phương pháp ước lượng điểm vào thực tế ứng dụng Đối tượng nghiên cứu Một số phương pháp ước lượng điểm thống kê bao gồm: o Phương pháp ước lượng hợp lí cực đại o Phương pháp momen o Phương pháp bình phương tối thiểu Phương pháp nghiên cứu Tham khảo trích dẫn tài liệu có sẵn cách có chọn lọc để đưa nhìn cụ thể cho phương pháp Sử dụng định nghĩa ví dụ để làm rõ vấn đề Bố cục đề tài Bao gồm phần: Phần trình bày kiến thức sở lý thuyết xác suất thống kê, giới thiệu biến ngẫu nhiên sơ lược thống kê mô tả Ở mục biến ngẫu nhiên, làm rõ hàm phân phối xác suất đặc trưng bao gồm kỳ vọng, trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn, momen Về phần thống kê mô tả tập trung vào tìm hiểu đặc trưng mẫu số liệu giới thiệu số biểu đồ phân tích Phần giới thiệu phương pháp ước lượng điểm phương pháp ước lượng hợp lí cực đại, phương pháp momen phương pháp bình phương tối thiểu, phương pháp có đặc trưng riêng Bên cạnh sử dụng định nghĩa, cịn có ví dụ để hiểu rõ phương pháp Tổng quan tài liệu nghiên cứu Trong khóa luận này, tơi có sử dụng tài liệu chuyên ngành xác suất thống kê giáo sư, tiến sĩ công nhận xuất rộng rãi cho toàn sinh viên Việt Nam Tôi tham khảo tài liệu tiếng anh Probability and Statistics for Engineering and the Sciences để trau dồi thêm kiến thức xác suất thống kê CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1.1 Khái niệm xác suất a Phép thử kiện Phép thử thử nghiệm cho kết kiện (còn gọi biến cố - event) Ví dụ, tung xúc xắc mặt coi phép thử, kết thu là xuất mặt chấm, chấm, … chấm, kết gọi kiện thu từ phép thử tung xúc xắc Như ta phân kiện thành dạng sau:  Sự kiện chắc: kiện luôn xảy  Sự kiện bất khả: kiện không xảy  Sự kiện ngẫu nhiên: kiện xảy khơng Các kiện phép thử có quan hệ sau:  Sự kiện đối: kiện không xảy đồng thời Sự kiện đối A kí hiệu A Sự kiện cịn gọi kiện bù A kí hiệu AC  Sự kiện hợp: kiện xảy có kiện thành phần xảy Sự kiện hợp A B kí hiệu A∪B A+B kiện { Ai }, i  1, n  Trường hợp tổng quát, n n Ai i 1 hợp A i 1 i Sự kiện giao: Là kiện xảy tất kiện thành phần xảy Giao kiện A B kí hiệu A∩B AB Trường hợp tổng quát, giao kiện { Ai }, i  1, n n Ai i 1 n  A i 1 i Sự kiện xung khắc: Là kiện không đồng thời xảy Các kiện { Ai }, i  1, n xung khắc đôi  n Ai  ∅ i 1 Sự kiện độc lập: Các kiện gọi độc lập việc xảy kiện không ảnh hưởng tới việc xảy tập kiện cịn lại Như thấy kiện A, B độc lập A, B ; A, B; A, B độc lập  Không gian kiện: Là tập hợp tất kiện độc lập xảy Khơng gian kiện kí hiệu là: Ω Ở ta cần lưu ý rằng, phép toán quan hệ kiện giống phép toán đại số Boole, nên tính chất hệ đại số Boole áp dụng cho kiện    Giao hoán: o A∪B = B∪A o A∩B = B∩A Kết hợp: o A∪(B∪C) = (A∪B)∪C o A∩(B∩C) = (A∩B)∩C Phân phối:  o A∩(B∪C) = A∩B∪A∩C o A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) Phần bù: o A A o A B  A B o A B  A B b Định nghĩa xác suất Tần số kiện A tần số xuất n A sau n lần thực phép thử f n ( A)  nA n Định nghĩa xác suất theo định luật số lớn giới hạn tần số kiện số lần thử lên tới vô hạn P( A)  lim f n ( A) n Trên thực tế ta không đủ thời gian điều kiện để thực vô hạn số lần gieo phép thử n đủ lớn tần số f n  A  tiến tới giá trị gần không biến thiên nhiều nên người ta chọn giá trị xấp xỉ xác suất: |P(A) f n  A  | < ϵ với ϵ số dương bé Từ rút vài điều sau:  Xác suất kiện A ln nằm khoảng 0,1: P(A)  [0, 1], ∀A  Xác suất kiện bất khả 0: P(∅) = 32 n   xi n i 1 Vậy, ước lượng hợp lý cực đại λML  ML Ví dụ 2.2 Ước lượng tham số phân phối mũ phương pháp ước lượng hợp lí cực đại Giải Phân phối mũ với tham số λ có hàm mật độ xác suất: f(x) = λe−λx,x > Giả sử {x1, ,xn} mẫu từ phân phối Khi đó, hàm hợp lý L(λ) xác định: n L( )   f ( xi )   n e  n  xi i 1 i 1 Suy ra: n ln L ( )  n ln( )    xi i 1 Do đó: d ln L( ) n n    xi     d  i 1 n n x i i 1 Vậy, ước lượng hợp lý cực đại λML  ML  n n x i 1 i Ví dụ 2.3 Ước lượng tham số θ > phân phối đoạn [0,θ] phương pháp hợp lý cực đại Giải Phân phối đoạn [0,θ] có hàm mật độ: 1/  , x  [0,  ] f ( x)   x  [0, ] 0, Giả sử {x1, ,xn} mẫu từ phân phối Khi đó, hàm hợp lý L(θ) là: 33 L( )  1/  n Vì xi [0, ], i  1, n nên hàm hợp lý L(θ) đạt giá trị lớn θ = xmax với xmax = max{x1, ,xn} Vậy, ước lượng hợp lý cực đại θ θML = xmax Ví dụ 2.4 Ước lượng tham số phân phối chuẩn N(µ;σ2) phương pháp ước lượng hợp lí cực đại Giải Phân phối chuẩn N(µ,σ2) có hàm mật độ xác suất: f ( x)   ( x   )2  exp    2   2  Giả sử {x1, ,xn} mẫu từ phân phối Khi đó, hàm hợp lý L(µ,σ2) xác định: n L(  ,  )   i 1  n  ( xi   )     f ( xi )  n exp   i 1 2  ( 2 ) n       Suy ra: n n n ln L(  ,  )   ln( )  ln(2 )  2  (x  ) i 1 2 Do đó: n  ln L(  ,  )    (x  ) i 1 i , 2 n i ( xi   )   ln L(  ,  ) n    i 1  2 2 34 Giải hệ:   ln L(  ,  ) 0       ln L(  ,  )  0,   theo µ,σ2 ta được: n     xi  x ,  n i 1   n   ( x  x )2  i  n i 1 Vậy, ước lượng hợp lý cực đại (µ𝑀𝐿 ;𝜎𝑀𝐿 )của (µ;σ2) là:   ML    ML   x,  n ( xi  x )  n i 1 2.2 PHƯƠNG PHÁP MƠ-MEN Mơ-men bậc k biến ngẫu nhiên X, kí hiệu E(Xk), xác định sau: i) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm xác suất p(x) E( X k )   xi  X (  ) ii) xik p ( xi ) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) E( X k )     x k f ( x)dx 35 Định nghĩa 2.3 Cho X biến ngẫu nhiên {x1,x2, ,xn} mẫu ngẫu nhiên từ phân phối X Lúc mô-men mẫu bậc k X định nghĩa là: Mk  n k  xi , k  1, 2, n i 1 Giả sử phân phối biến ngẫu nhiên X phụ thuộc vào s tham số θ1, ,θs Khi đó, ước lượng tham số θ1, ,θs phương pháp mô-men nghiệm hệ phương trình sau: E ( X )  M1   E( X s )  M s  Ví dụ 2.5 Ước lượng tham số phân phối Poisson phương pháp mô men Giải Cho X có phân phối Poisson với tham số λ > Khi đó, ta có E(X) = λ Do đó, ước lượng λ phương pháp mô-men là: n ˆ   xi n i 1 Ví dụ 2.6 Ước lượng tham số phân phối chuẩn phương pháp mơmen Cho biết X ∼ N(µ;σ2) có E(X) = µ E(X2) = µ2 + σ2 Giải Xét hệ phương trình:    E ( X )  M1    E( X )  M         n    xi  n i 1  n   xi n i 1 n   xi n i 1 n 1 n    xi    xi  n i 1  n i 1  36 Do đó, ước lượng (µ,σ2) phương pháp mơ-men là:  ˆ   ˆ  x  n ( xi  x )  n i 1 2.3 PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU Trên hệ trục tọa độ Đề Các vng góc k + chiều cho n điểm ( x11 ; x12 ; x1k ; y1 ) ( x ; x ; x ; y )  21 22 2k    ( xn1 ; xn ; xnk ; yn ) Bây ta tìm đa thức bậc cho đa thức gần với điểm Giả sử đa thức cần tìm có dạng p( x1 , x2 , , xk )  0  1 x1   x2    k xk Phương pháp bình phương tối thiểu ước lượng số β0, β1, , βm phương pháp ước lượng cho n L   ( yi  p (x1 , x2 , , xk )) i 1 đạt giá trị bé 2.3.1 Trường hợp k = Định lý 2.1 Cho (x1;y1), (x2;y2), , (xn;yn) p(x) = β0 + β1x Khi phương pháp bình phương tối thiểu thu ước lượng β1 β0 37 n 1  n n i 1 n i 1 n xi yi   xi  yi i 1 n n xi2  ( xi ) i 1 0  i 1 1 n n y  xi  y  1 x  i n n i 1 i 1 Kí hiệu n S xy   ( xi  x )( yi  y ) i 1 ta 1  S xy S xx 0  y  1 x Ví dụ 2.7 Cho 25 điểm (xi;yi) có tọa độ sau i xi yi i xi yi 2.745 2.080 14 2.635 1.990 2.700 2.045 15 2.630 1.990 2.690 2.050 16 2.625 1.995 2.680 2.005 17 2.625 1.985 2.675 2.035 18 2.620 1.970 2.670 2.035 19 2.615 1.985 2.665 2.020 20 2.615 1.990 38 2.660 2.005 21 2.615 1.995 2.655 2.010 22 2.610 1.990 10 2.655 2.000 23 2.590 1.975 11 2.650 2.000 24 2.590 1.995 12 2.650 2.005 25 2.565 1.955 13 2.645 2.015 Hãy ước lượng đa thức y = β0 + β1x phương pháp bình phương tối thiểu n Giải: Ta có: 1  i 1 n n i 1 n i 1 n xi2  ( xi ) i 1 0  n 25 25 25 i 1 25 i 1 25 i 1 i 1 i 1 25. xi yi   xi  yi n xi yi   xi  yi = i 1 25. xi  ( xi )  0.6418 1 n n 25 0.6418 25 y  x  y  xi  0.3085  i n  i 25  i n i 1 25 i 1 i 1 i 1 Vậy y = 0.3085 + 0.6418x Ví dụ 2.8 Ước lượng tham số phân bố Weibull hai tham số Hàm phân phối xác suất số phân bố Weibull hai tham số: F(x) = P(X ≤ x) = {1 − 𝑒 𝑥 𝛾 𝛽 −( ) 𝑥≥0 𝑥