Một số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích và tổng hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác

Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN ♣≈♣ Tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Ngơ Thị Bích Thủy tận tình hướng dẫn tơi suốt thời gian làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thầy giáo khoa Tốn Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng đóng góp ý kiến quý báu để luận văn tơi hồn thiện Tơi xin cảm ơn phòng Thư viện Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện để có tài liệu làm tốt luận văn Cuối tơi xin cảm ơn lời động viên, khích lệ tinh thần bạn để tơi hồn thành tốt luận văn Đà Nẵng, tháng 05 năm 2014 Sinh viên thực Huỳnh Thị Thoa SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC Lời cảm ơn Trang Phần 1: Mở đầu Lí chọn đề tài Phạm vi nghiên cứu Mục đích đề tài Phương pháp nghiên cứu Nội dung Phần 2: Nội dung Chương 1: Cơ sở lý luận 1.1 Thao tác tư phân tích tổng hợp 1.1.1 Thao tác phân tích 1.1.2 Thao tác tổng hợp 10 1.1.3 Mối liên hệ hai thao tác tư phân tích tổng hợp 11 1.1.4 Tác dụng thao tác phân tích tổng hợp dạy học Toán 12 1.1.5 Một vài biện pháp thực 13 1.2 Những kiến thức để giải phương trình lượng giác Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 Nâng cao (hiện hành) 17 1.2.1 Các công thức lượng giác 17 1.2.2 Phương trình lượng giác 22 SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang Khóa luận tốt nghiệp 1.2.3 Một số phương trình lượng giác đơn giản 26 Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích tổng hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác 2.1 Tập cho học sinh nhìn bao quát cách tổng hợp, xem tốn cho thuộc loại nào? Phân tích biết cần tìm 36 2.2 Tập cho học sinh thực phân tích tổng hợp xen kẽ Sau phân tích ý tổng hợp lại ta có thu điều bổ ích hay khơng? Cịn thiếu yếu tố 39 2.3 Tập cho học sinh tách tốn cho (thường khó hơn) thành nhiều tốn thành phần, có hướng giải đơn giản hơn, sau tổng hợp lại cho kết 43 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang Khóa luận tốt nghiệp PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tốn học có nguồn gốc thực tiễn, khoa học cấu trúc tổng quát, quan hệ trừu tượng hóa từ đối tượng thực tế nên có điều kiện sâu vào thực tế Do Tốn học đóng vai trị to lớn đời sống khoa học kĩ thuật Mơn Tốn góp phần giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư trừu tượng, tư xác, phương pháp khoa học suy luận học tập Đồng thời bồi dưỡng đức tính, phẩm chất người lao động cẩn thận, xác, tính kỉ luật, tính phê phán, bồi dưỡng óc thẩm mỹ Ở trường phổ thơng, với mơn khoa học khác, mơn Tốn góp phần đắc lực vào việc thực mục tiêu ngành là: “Nâng cao chất lượng giáo dục nhằm mục tiêu hình thành phát triển tồn nhân cách XHCN hệ trẻ, đào tạo đội ngũ lao động có văn hóa, có kỉ luật, giàu tính sáng tạo, đồng ngành nghề, phù hợp với yêu cầu phân công lao động xã hội” (Nghị Đại hội Đảng lần thứ VI) Để làm việc nhà trường phổ thơng phải đề mục đích cụ thể, cách phù hợp, thực đạt yêu cầu mục tiêu sau môn Tốn: - Phát triển tư ngơn ngữ học sinh thơng qua việc dạy học Tốn phổ thông, luyện tập cho học sinh diễn đạt lời nói lập luận - Truyền thụ cho học sinh tri thức, kỹ Toán học kỹ vận dụng Toán học vào đời sống - Làm cho học sinh nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kĩ toán học bản, đại, sát với thực tiễn Việt Nam có kĩ vận dụng tri thức vào tình SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang Khóa luận tốt nghiệp khác đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập môn khác - Phát triển học sinh lực phẩm chất trí tuệ, cần có u cầu cao số phẩm chất tính độc lập,tính tự giác, tính linh hoạt sáng tạo Có thể nói việc rèn luyện phát triển tư học sinh nhiệm vụ quan trọng nghiệp giáo dục Toán học mơn học có tính trừu tượng cao mang tính hệ thống logic, tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau tri thức sau dựa vào tri thức trước Nó địi hỏi người học phải có tư khoa học Mơn Tốn có tiềm dồi môi trường tốt để rèn luyện phát triển tư cho người học Qua trình nghiên cứu Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11-Nâng cao, tơi nhận thấy Chương I: “Hàm số lượng giác phương trình lượng giác” chứa nhiều yếu tố để rèn luyện tư phân tích tổng hợp Với lí trên, tơi định lựa chọn đề tài: “Một số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích tổng hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác” phạm vi đại trà tác động đến lớp Phạm vi nghiên cứu Các phương trình lượng giác nằm chuẩn kiến thức chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác_Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 (Nâng cao) Mục đích đề tài Đề tài nêu lên số biện pháp rèn luyện thao tác tư cho học sinh mà cụ thể làm rõ hai thao tác tư phân tích tổng hợp, vận dụng vào việc tìm lời giải phương trình lượng giác chuẩn kiến thức Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 (Nâng cao) SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang Khóa luận tốt nghiệp Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Việc nghiên cứu đề tài cần nhiều tài liệu liên quan Do cần phải thu thập phân tích, tổng hợp nguồn tài liệu phù hợp với nội dung nghiên cứu, sau xử lí để tạo nên tính xác, khoa học đề tài - Phương pháp phi thực nghiệm: Là phương pháp thu thập thông tin dựa việc quan sát kiện tồn Đây phương pháp cần thiết lượng giác Nội dung đề tài Trong đề tài nghiên cứu nội dung sau: Phần 1: Mở đầu Lý chọn đề tài Phạm vi nghiên cứu Mục đích đề tài Phương pháp nghiên cứu Nội dung đề tài Phần 2: Nội dung Chương 1: Cơ sở lí luận 1.1 Thao tác tư phân tích tổng hợp 1.1.1 Thao tác phân tích 1.1.2 Thao tác tổng hợp 1.1.3 Mối liên hệ hai thao tác tư phân tích tổng hợp SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang Khóa luận tốt nghiệp 1.1.4 Tác dụng thao tác tư phân tích tổng hợp dạy học Toán 1.1.5 Một vài biện pháp thực 1.2 Những kiến thức để giải phương trình lượng giác Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 Nâng cao (hiện hành) 1.2.1 Các cơng thức lượng giác 1.2.2 Phương trình lượng giác 1.2.3 Một số phương trình lượng giác đơn giản Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích tổng hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác 2.1 Tập cho học sinh nhìn bao quát cách tổng hợp, xem toán cho thuộc loại nào? Phân tích biết cần tìm 2.2 Tập cho học sinh thực phân tích tổng hợp xen kẽ Sau phân tích ý tổng hợp lại ta có thu điều bổ ích hay khơng? Cịn thiếu yếu tố nữa? 2.3 Tập cho học sinh tách toán cho (thường khó hơn) thành nhiều tốn thành phần, có hướng giải đơn giản hơn, sau tổng hợp lại cho kết SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang Khóa luận tốt nghiệp PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Thao tác tư phân tích tổng hợp 1.1.1 Thao tác phân tích Phân tích q trình nhằm tách phận vật tượng thực với dấu hiệu thuộc tính chúng, mối liên hệ quan hệ chúng theo hướng định Q trình nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ, sâu sắc nhận thức cách trọn vẹn vật, tượng Phân tích ln ln việc làm có u cầu, diễn biến theo phương hướng định Ví dụ: - Khi học sinh cầm nắm đồ vật quan sát để nhận dạng hình học nó, phân tích hành động thực tiễn - Khi quan sát mơ hình hình học, học sinh tách phận hình để xem xét, phân tích cảm tính - Trong q trình phân tích cảm tính học sinh sử dụng biểu tượng tri thức hình học học từ trước để có tốn hình học mới, phân tích tiến tới hoạt động phân tích trí tuệ Như vậy, phân tích hành động thực tiễn, phân tích cảm tính phân tích trí tuệ thực hỗ trợ mối liên hệ tương hỗ với Nhìn chung học sinh trung học phân tích trí tuệ chủ yếu Q trình phát triển phân tích từ phiến diện đến tồn diện, thực thơng qua loạt hình thức ngày phức tạp SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang Khóa luận tốt nghiệp phân tích thử, sau phân tích cục phần, phân tích thức hợp cuối phân tích có hệ thống Ví dụ 1: Khi dạy “Điều kiện để hai mặt phẳng song song” ta có định lí: “ Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) song song với (Q)” Định lý tóm tắt sau: , ( ) , ắ a//(Q), b//(Q)  ( P) //(Q) Ví dụ 2: Khi dạy khái niệm “Hàm số f(x) liên tục điểm x0 ” là: Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng (a,b) x0  ( a , b ) , hàm số f(x) gọi liên tục điểm x0 nếu: lim f ( x)  f ( x0 ) x x0 Khi dạy khái niệm cần cho học sinh phân tích để hiểu sâu sắc hàm số f(x) liên tục điểm x0 , tức là:  Hàm số phải xác định x0 tức f ( x0 )   lim f ( x)  a x  x0  lim f ( x )  b x  x0   Có đẳng thức a  b  f ( x) Nhờ mà học sinh thấy mối quan hệ giới hạn hàm số điểm x0 giá trị hàm số điểm x0 SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp - (G): Phương trình (1) vừa chứa hàm sin vừa chứa hàm tan Giải (1) cách nào? - (H): Thông thường ta đưa tan quan hệ sin, cos thông qua công thức sin x tan x  cos x sin x    2 sin  x   1   cos x 4     cos x  sin x  2 sin  x   cos x (*) 4  - (G): Phương trình chứa công thức học?   - (H): (*) chứa công thức sin x  cos x  sin  x   4      Khi đó: *  sin  x    2 sin  x   cos x 4 4      sin  x    2cos x  1  4  (Phương trình lượng giác đơn giản) Ví dụ 3: Giải phương trình:  sin x  cos x  sin x  cos x  (1) ( Đại học khối B – 2005 ) - (G): Vế trái phương trình (1) chứa công thức học? Dùng để biến đổi (1) không?   - (H): Công thức: sin u  cos u  sin  u   4  1       sin  x    sin  x    4 4   SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 42 Khóa luận tốt nghiệp      sin  x    sin  x    1 4 4    3x    x   2 sin    cos    1   2  3x    x   sin    cos     : Bế tắc 2   2 - (G): Nếu giữ lại số phương trình (1) khơng giải Như ta phải tìm cách làm số - (H): Dùng công thức nhân đôi: 1 cos2x  2cos2 x 1  sin x  cos x  sin 2x  2cos x0 - (G): Giải phương trình cách nào? - (H): Nếu tiếp tục áp dụng công thức nhân đơi: sin x  2sin x cos x thì: *  sin x  cos x  2sin x cos x  2cos x  (**) Đến có hướng giải quyết: Hướng 1: **   sin x  cos x    2sin x cos x  2cos x    sin x  cos x   2cos x sin x  cos x    sin x  cos x  2cos x  1  Hướng 2: **   sin x  2sin x cos x    cos x  2cos x    sin x 1  2cos x   cos x 1  2cos x    1  2cos x  (sin x  cos x)  Cả hướng đưa kết quả:  sin x  cos x  2cos x  1  (Phương trình lượng giác đơn giản) SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 43 Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 4: Giải phương trình: 1  sin x  cos2 x  sin  x   tan x    4  cos x (1) ( Đại học khối A - 2010 ) - (G): Gọi (H) nêu tập xác định phương trình cos x  - (H):  1  tan x  - (G): Khi phương trình cho tương đương với phương trình nào?   - (H): 1  1  sin x  cos x  sin  x    cos x 1  tan x  (*) 4  Nhận thấy phương trình (*) chứa hàm số lượng giác sin, cos, tan Thông thường ta đưa tan quan hệ với sin, cos cách sử dụng công thức:  tan x  cos x  sin x cos x  cos x  sin x  cos x Khi đó: *  1  sin x  cos x  sin  x    4 cos x     1  sin x  cos x  sin  x     cos x  sin x  (**) 4  - (G): Có thể biến đổi (**) dạng đơn giản khơng? - (H): Vì   sin  x    sin x  cos x 4  Suy ra: (**)  1  sin x  cos x  sin x  cos x   cos x  sin x  2   sin x  cos x   sin x  cos x  (Phương trình lượng giác đơn giản) SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 44 Khóa luận tốt nghiệp 2.3 Biện pháp 3: Tập cho học sinh tách tốn cho (thường khó hơn) thành nhiều tốn thành phần có hướng giải đơn giản hơn, sau tổng hợp lại cho kết Ví dụ 1: Giải phương trình: sin3x  cos3x  sin x  cos x  cos2 x (1) ( Đại học khối D – 2012 ) - (G): Vế trái phương trình (1) chứa cơng thức học? Dùng để biến đổi (1) không?   - (H): Phân tích: sin x  cos x  sin  x   4    cos x  sin x   sin  x   4    1  sin  3x    sin  x    cos x 4 4        sin  x    sin  x    cos x (*) 4 4   - (G): Muốn giải phương trình (*), ta phải đưa hàm sin cos - (H): Áp dụng công thức cộng:       sin  x    sin  x    2cos x sin  x   4 4 4    *  2cos x sin  x      cos x 4      cos x  2sin  x    1  (Phương trình lượng giác đơn giản) 4    - (G): Ngồi cách giải trên, cịn có cách khác để giải phương trình (1) khơng? SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 45 Khóa luận tốt nghiệp - (H): Có thể nhóm sau: sin 3x  sin x  2cos x sin x cos3 x  cos x  2cos x cos x 1   sin 3x  sin x    cos3x  cos x   cos x  2cos2 x sin x  2cos2 x cos x  cos2 x    cos2 x 2sin x  2cos x   (Phương trình lượng giác đơn giản) Ví dụ 2: Giải phương trình:     cos x  sin x  cos  x   sin  x     1 4  4  4 6 - (G): Thông thường, gặp biểu thức: sin x  cos x , sin x  cos x, sin8 x  cos8 x ta nên đưa dùng đẳng thức đáng nhớ để khai triển 2 4 2 2 Ví dụ: sin x  cos x  sin x  cos x   2sin x cos x   sin 2x 6 Tương tự: sin x  cos x   sin 2x sin8 x  cos8 x   sin 2 x  sin x Với toán ta áp dụng công thức để giải quyết? 4 - (H): sin x  cos x   sin 2x     1     cos  x   sin  3x    sin  x    sin x     cos x  sin x  4  4 2  2   1 1  1 sin 2x  cos4x  sin2x   (*) 2 2 - (G): Có thể đưa (*) dạng đơn giản khơng? SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 46 Khóa luận tốt nghiệp - (H): Tiếp tục áp dụng công thức nhân đôi: cos4x 1 2sin2 2x * 1  1 sin 2x  1  2sin2 2x   sin2x   2 2 1  sin2 2x  sin2x 1  2 sin2 2x  sin2x   (Phương trình lượng giác đơn giản) sin x  cos x  cos 4 x 1 Ví dụ 3: Giải phương trình:     tan   x  tan   x  4  4  - (G): Gọi (H) nêu điều kiện phương trình?    cos   x         cos   x      - (H):   tan    x         tan    x       - (G): Để giải phương trình (1), ta nên phân tích yếu tố nào? 2 4 2 2 - (H): sin 2x  cos 2x  sin 2x  cos 2x   2sin 2x cos 2x   sin 4x      tan x  tan x tan   x  tan   x   1 4  4   tan x  tan x - (G): Thay vào phương trình (1), biến đổi để đưa dạng phương trình đơn giản? - (H): 1 1  sin 4x  cos 4x 2cos4 4x  sin2 4x   SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 47 Khóa luận tốt nghiệp  2cos4 4x  cos2 4x 1  (Phương trình lượng giác đơn giản) Ví dụ 4: Giải phương trình: sin8 x  cos8 x  17 cos x 1 16 - (G): Để giải phương trình ta phân tích số hạng nào? - (H): sin x  cos8 x   sin x  cos x   2sin x cos x 2    1  sin 2 x   sin x   1   sin 2 x  sin x  sin x   sin 2 x  sin x 1   sin 17 x  sin x  cos2 x (*) 16 2sin4 2x 16sin2 2x 17cos2 2x 16  - (G): Có thể đưa (*) phương trình đơn giản khơng? 2 - (H): Áp dụng công thức: cos 2x 1sin 2x *  2sin x  sin 2 x   (Phương trình lượng giác đơn giản) SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 48 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Được hướng dẫn nhiệt tình giáo Ngơ Thị Bích Thủy cố gắng, nỗ lực thân, nghiên cứu trình bày số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích tổng hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác chương trình Đại số Giải tích 11 – Nâng cao nhằm giúp học sinh rèn luyện phát triển thao tác tư việc học Tốn nói riêng lĩnh vực sống nói chung Vì thời gian khả có hạn, khóa luận khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong thầy bạn đọc thơng cảm đóng góp ý kiến Qua khóa luận này, thân tơi rút nhiều kinh nghiệm quý báu để làm hành trang bước vào nghề sư phạm SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 49 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên), “Đại số Giải tích 11 Nâng cao”, NXB Giáo dục [2] Th.S Lâm Thị Hồng Liên, Phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác [3] Lê Bích Ngọc (Chủ biên), Học ơn tập tốn Lượng giác 11 [4] Phan Huy Khải, “ Toán nâng cao Đại số 10, 11, 12”, NXB Hà Nội [5] Nguyễn Quang Uẩn (Chủ biên), “Giáo trình Tâm lí học đại cương”, NXB Đại học Sư Phạm [6] Phạm Văn Hàm, “Giáo dục học môn Toán” NXB Giáo dục 1981 [7] Trần Khánh Hưng, “ Phương pháp dạy học Toán”, NXB Giáo dục 1998 SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 50 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 51 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 52 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 53 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 54 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 55 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Huỳnh Thị Thoa Trang 56 ... 1.2.3 Một số phương trình lượng giác đơn giản 26 Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích tổng hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác 2.1 Tập cho học sinh. .. cứu trình bày số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích tổng hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác chương trình Đại số Giải tích 11 – Nâng cao nhằm giúp học sinh rèn luyện. .. Một số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích tổng hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác 2.1 Tập cho học sinh nhìn bao quát cách tổng hợp, xem tốn cho thuộc loại nào? Phân