Các tính chất tôpô của tập lồi

Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN     Đề tài: CÁC TÍNH CHẤT TƠPƠ CỦA TẬP LỒI              Sinh viên thực : Hà Thị Mỹ Lai Lớp : 10ST Giáo viên hướng dẫn : TS Nguyễn Duy Thái Sơn Đà Nẵng, tháng 5/2014 Sinh viên thực hiện: Hà Thị Mỹ Lai – Lớp: 10ST Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Mục lục   Lời cảm ơn  Lời mở đầu  . 1  Chương Kiến thức sở.   2  1.1 Tập affine  . 2  1.2 Tập lồi   8  1.3 Nón lồi   10  1.4 Đại số các tập lồi   12  Chương Các tính chất tơpơ tập lồi.   16  2.1 Phần trong tương đối của tập lồi   16  2.2 Nón lùi và tính khơng bị chặn  . 30  2.3 Một vài điều kiện đóng của tập lồi   39  Kết luận   44  Tài liệu tham khảo   45  Sinh viên thực hiện: Hà Thị Mỹ Lai – Lớp: 10ST Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Lời cảm ơn Em xin dành trang đầu tiên này để bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến q thầy  cơ trong khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, những người đã  hết lịng dạy dỗ, truyền đạt những tri thức khoa học và kinh nghiệm q báu để em  có được ngày hơm nay.  Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy TS. Nguyễn Duy Thái Sơn, người đã  gợi ý và hướng dẫn em thực hiện đề tài “Các tính chất tơpơ của tập lồi”. Thầy đã  nhiệt tình và hết lịng giúp đỡ trong suốt thời gian qua để em có thể hồn thành khóa  luận này.  Cuối cùng, cho phép em được cảm ơn thầy chủ tịch hội đồng, các thầy cơ phản  biện và các ủy viên hội đồng đã dành thời gian q báu để đọc, nhận xét, đánh giá  và tham gia hội đồng chấm khóa luận này.                      Sinh viên thực hiện: Hà Thị Mỹ Lai – Lớp: 10ST Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Lời mở đầu Tính chất lồi của các tập hợp vừa là một tính chất đại số vừa là một tính chất  giải tích. Trong chương 1 của khóa luận này, ta sẽ nêu ra một số tính chất đại số của  tính lồi. Các tính chất  này  nói rằng: các tập lồi được bảo tồn thơng qua  một  loạt  các phép tốn đại số. Trong chương 2, thay cho các tính chất đại số, tính lồi được  xem xét trong mối quan hệ với các khái niệm tơpơ (như phần trong, bao đóng, …).  Khóa luận bao gồm các nội dung chính sau  Chương 1: Kiến thức cơ sở. Mục đích chính của Chương là nêu lại các định  nghĩa, định lý, hệ quả có liên quan đến tập affine, tập lồi, nón lồi và đại số của tập  lồi.  Chương 2: Các tính chất tơpơ của tập lồi. Trong chương này, ta trình bày các  định nghĩa, định lý, hệ quả có liên quan đến phần trong tương đối, nón lùi và tính  khơng bị chặn, một vài điều kiện đóng của tập lồi.  Kết luận về đề tài.  Tài liệu tham khảo.      Sinh viên thực hiện: Hà Thị Mỹ Lai – Lớp: 10ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Chương Kiến thức sở Trong suốt chương này, với n là số nguyên dương đã cho,   n  là không gian  vectơ thực gồm các bộ  x  1 ,  ,,  n   với n thành phần 1 , 2 ,,  n        Tích trong trên   n được định nghĩa bởi:  n  x, x*  11 *    n n *   ii *,   i 1 với mọi  x  1 , ,   n    n ,  x*  1*, ,   n *   n   Kí hiệu A được dùng để chỉ một  m  n  ma trận và cũng được dùng để chỉ một  ánh xạ tuyến tính:  A : n  m   x  Ax,    A   aij 1i  m  1 j  n với      x  1 ,  ,,  n  Vậy các vectơ x của   n  luôn được hiểu ngầm là vectơ cột.  1.1 Tập affine Định nghĩa 1.1.1 Cho  x,  y   n ,  x  y.  Tập  hợp  những  điểm  có  dạng  z  1    x   y  x    y  x  , với    ,   được gọi là đường thẳng nối các điểm x, y trong không gian   n   Định nghĩa 1.1.2. Tập  M   n  được gọi là một tập affine nếu và chỉ nếu  x  M , y  M ,   :  1    x  + y  M   Ý nghĩa 1.1.2.1 M là một tập  affine nếu và chỉ nếu nó chứa tồn  bộ đường  thẳng nối hai điểm  x, y  x  y   nếu như nó chứa x và y.  Sinh viên thực hiện: Hà Thị Mỹ Lai – Lớp: 10ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Ta  có  cảm  giác  tập  affine  là  các  “tập  thẳng”  (không  cong)  và  khơng  bị  giới  hạn.  Ví dụ 1.1.2.2  n ,   là các tập affine.              Tập chỉ gồm một điểm là một tập affine.                          Đường thẳng, mặt thẳng là các tập affine.              Nửa đường thẳng, nửa mặt thẳng không phải là các tập affine.    Dễ thấy, nếu M đóng đối với phép cộng (vectơ) và phép nhân bởi số vơ hướng  thì M là một tập affine.  Ta cũng biết rằng M  là một khơng gian con của   n  khi và chỉ khi M chứa 0,  M đóng đối với phép cộng và phép nhân bởi số vơ hướng.  Sự tương ứng giữa các tập affine và khơng gian con được mơ tả qua hai định  lý dưới đây:  Định lý 1.1.3 M là một khơng gian con của   n  nếu và chỉ nếu M là một tập  affine chứa gốc tọa độ Định nghĩa 1.1.4 Cho  M   n  và  a   n  Ảnh  tịnh  tiến  của  M  bởi  a  được  định nghĩa là tập  M  a   x  a x  M    Nhận xét 1.1.4.1. Nếu M là một tập affine thì ảnh tịnh tiến của nó cũng là một  tập affine Định nghĩa 1.1.5 Các tập affine M, L của    n  được gọi là song song với nhau  nếu và chỉ nếu   a   n : M  L  a   b  a   n , L  M  b        Nói cách khác: Hai tập affine M, L là ảnh tịnh tiến của nhau thì được gọi là  song song (với nhau).  Kí hiệu:  M  L   Định lý 1.1.6 Mỗi  tập  affine  M    của   n  thì  song  song  với  một  khơng  gian con duy nhất của   n  Khơng gian con duy nhất đó chính là:   Sinh viên thực hiện: Hà Thị Mỹ Lai – Lớp: 10ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn L  M  M   x  y x  M , y  M    Định nghĩa 1.1.7. Chiều của tập affine  M    là chiều của khơng gian con  L  song song với nó. Kí hiệu:  dim M  dim L   Quy ước:  dim   1   Các  tập  affine  chiều  0,  1,  2  trong   n  lần  lượt  là  tập  chỉ  gồm  một  điểm,  đường thẳng, mặt phẳng.  Với mọi tập con affine M của   n ,  ta đều có:  1  dim M  n   Định nghĩa 1.1.8.  Một  tập  con  affine  của   n  được  gọi  một  siêu  phẳng  (trong   n ) nếu và chỉ nếu  dim  M  n    Ví dụ 1.1.8.1. Siêu phẳng trong    là các đường thẳng.              Siêu phẳng trong    là các mặt phẳng.                            Siêu phẳng trong    là khơng gian ta đang sống.      Siêu phẳng và tập affine có thể biểu diễn được qua các hàm tuyến tính và  phương trình tuyến tính. Điều này dễ dàng suy ra từ lý thuyết trực giao của đại số  tuyến tính.  Cho  x  1 ,  ,,   n    n ,   y  1 ,   ,, n    n  Ta đã biết    n  x,  y   ii   i 1 Ta định nghĩa:  x  y   x,  y    Cho  M   n  và  x   n ,  ta định nghĩa:  x  M  y  M ,  x  y   Với  mọi  M   n ,  tập  hợp  M  :  x   n x  M   là  một  không  gian  con  của   n   Định nghĩa  1.1.9.  Nếu  L   n  thì  L  được  gọi  là  phần  bù  trực  giao  của  không gian L.  Người ta chứng minh được rằng:           dim L  dim L  n   Hơn nữa, nếu  L  b1 ,  b2 , ,  bm   thì    Sinh viên thực hiện: Hà Thị Mỹ Lai – Lớp: 10ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn L   x   n x  L   x   n x  y,  y  L     x   n x  b1 , x  b2 ,,  x  bm    Cuối cùng, nếu  L   n  thì  L  L     Vì vậy ta có thể nói L và  L  là các phần bù trực giao của nhau.  Định lý sau đây mơ tả siêu phẳng trong khơng gian   n   Định lý 1.1.10.  Với  mọi    , b   n \ 0 ,  tập  hợp  M   x   n  x,  b     là  một  siêu  phẳng.  Đảo  lại,  mọi  siêu  phẳng  đều  có  thể  biểu  diễn  dưới  dạng  trên,  trong  đó  cặp    ,  b   được  xác  định  duy  nhất  sai  khác  một bội số chung khác 0.  Vectơ b có trong định lý 1.1.10  được gọi là một pháp vectơ của siêu phẳng  M.  Định  lý  tiếp  theo  sẽ  mô  tả  các  tập  affine  trong  không  gian   n  là  các  tập  nghiệm của hệ phương trình tuyến tính với n biến.  Định lý 1.1.11. Cho  b   m  và B là một  m  n  ma trận   0