Các tính chất tôpô của hàm lồi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THU HÀ CÁC TÍNH CHẤT TƠPƠ CỦA HÀM LỒI Chun nghành: Sư Phạm Tốn KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Đà Nẵng, 5/2014 LỜI MỞ ĐẦU Cũng tính lồi tập hợp, tính lồi hàm số vừa tính chất đại số, vừa tính chất giải tích Tính chất đại số nằm chổ: hàm lồi bảo tồn thơng qua phép tốn đại số (như thấy chương đây) Trong luận văn chúng em tìm hiểu sâu thêm tính chất lồi hàm số mối quan hệ với khái niệm tơpơ (bản chất giải tích tính lồi) Cụ thể là, xem xét bao đóng hàm lồi, nón lùi tính khơng bị chặn, số tiêu chuẩn đóng tính liên tục hàm lồi Nội dung khóa luận chia làm hai chương Chương 1: Các kiến thức sở hàm lồi Chương cung cấp kiến thức sở liên quan đến hàm lồi số định lí, hệ tập lồi, sử dụng xuyên suốt khóa luận Định nghĩa hàm lồi tổng qt, định lí có liên quan đến hàm lồi phép toán hàm lồi giới thiệu cách rõ ràng chương Chương 2: Các tính chất tơpơ hàm lồi Chương trình bày cách chi tiết định lí quan trọng số vấn đề có liên quan đến thuộc tính tơpơ hàm lồi Chương chia làm bốn mục 2.1 Bao đóng hàm lồi 2.2 Nón lùi tính khơng bị chặn 2.3 Một số tiêu chuẩn đóng hàm 2.4 Tính liên tục hàm lồi MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời mở đầu Mục lục Chương Các kiến thức sở hàm lồi 1.1 Hàm lồi tổng quát 1.2 Các phép toán hàm lồi 1.3 Một số định lí hệ tập lồi 11 Chương Các tính chất tôpô hàm lồi 15 2.1 Bao đóng hàm lồi 15 2.2 Nón lùi tính khơng bị chặn 30 2.3 Một số tiêu chuẩn đóng hàm .35 2.4 Tính liên tục hàm lồi 40 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ CỦA HÀM LỒI 1.1 Hàm lồi tổng quát Cho S   n ( n  * ) cho f : S   :   ;  Định nghĩa 1.1.1 “Trên đồ thị” hàm f , kí hiệu epi f , định nghĩa tập epi f : (x,  ) x  S ,   , f ( x)    (  n1 ) Định nghĩa 1.1.2 Hàm f : S   gọi hàm lồi (trên S ) epi f tập lồi  n1 Ví dụ: Hàm f :    cho   x  1, f ( x)    x x  hàm lồi  Định nghĩa 1.1.3 Miền hữu hiệu hàm lồi f : S   , kí hiệu dom f , định nghĩa tập dom f :  x  S f ( x )     x   n     , ( x,  )  epi f  (  n ) SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà Từ suy ra, dom f ảnh epi f qua ánh xạ tuyến tính p :  n+1   n ( x;  )  x Do đó, dom f tập lồi Ghi chú:  epi f     x  S , f ( x )    dom f    epi f     x0  S , f ( x0 )    epi f đường thẳng đứng   x0  S , f ( x0 )   Để ý ta thường viết tắt   Ta chấp nhận số quy tắc sau: •               •               α( ) ( ) •     ,            •     ,  ()  ()       • 0  0   0()  ()0,  ()   • inf    , sup    Từ nay,  ,    ta ln thực phép tốn đại số     ngoại trừ trường hợp   ,      ,       khơng xác định Từ quy tắc ta dễ dàng chứng minh đẳng thức sau: (1) 1      1 , (1   )    1  (   ) (2)  (1   )  1   SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà (3) 1   21 , (1 )  1 ( 2 ) với 1 ,  ,     , riêng ba đẳng thức đầu có điều kiện bổ sung nhị thức   () ()   không xuất hai vế Định nghĩa 1.1.4 Một hàm lồi f : S   gọi thường epi f   epi f không chứa đường thẳng đứng Nói cách khác: Một hàm lồi f : S   thường f nhận giá trị khác  điểm (thuộc S ) f không nhận giá trị  Ngược lại, hàm lồi f : S   không thường f nhận giá trị  điểm (thuộc S ) f nhận giá trị  điểm thuộc S Định lí 1.1.5 Cho   C  n tập lồi f : C  (; ] Khi đó, f lồi f   x  (1   ) y    f ( x)  (1   ) f ( y ) λ với x, y  C   Định lí 1.1.6 Cho f :  n   Khi f lồi f   x  (1   ) y     (1   ) với x, y   n ;  ,  ;    mà f ( x)   , f ( y )   SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà Định lí 1.1.7 Bất đẳng thức Jensen Cho f :  n  ( ;  ] m   Nếu f lồi  n  n f   i xi    i f ( xi )  i 1  i 1 với dãy  xi i 1   n ,  i i 1   0,   mà m m m  i 1 i   n  n Đảo lại, m  f   i xi    i f ( xi ) nghiệm với  i 1  i 1 m  xi i 1   n ,  i i 1  0,   thỏa  i  1, m m f hàm lồi i 1 Định lí 1.1.8 Cho f :  n   hàm lồi    Khi tập mức x   n f ( x )     x   n f ( x )    tập lồi Nhận xét: Bốn trường hợp đặc biệt định lí 1.1.8 (1)  x   n f ( x )    dom f (2)  x   n f ( x )     n (3)  x   n f ( x )     (4)  x   n f ( x )     x   n f ( x )   tập lồi n SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà Hệ 1.1.8.1 Cho ( fi )iI họ tùy ý hàm lồi fi :  n   ( i )iI   Khi C   x   n f i ( x )   i , i  I  tập lồi Định nghĩa 1.1.9 Một hàm f :  n   gọi dương f ( x )   f ( x ) với x   n   (0, ) Ví dụ: Hàm f ( x)  x1  x12  x32  x2 với x   x1 , x2 , x3   3 hàm dương Nhận xét: Nếu hàm f :  n   hàm dương epi f đóng phép nhân số vơ hướng dương Định lí 1.1.10 Một hàm dương f :  n  (  ,  ] lồi f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) với x, y   n Hệ 1.1.10.1 Cho f :  n   hàm lồi thường dương Khi  m  m f   i xi    i f ( xi )  i 1  i 1 với m  * ,  xi i 1   n  i i 1  (0, ) m SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà m Hệ 1.1.10.2: Cho f hàm lồi thường dương n Khi f ( x)  f ( x)  với x   n Định lí 1.1.11 Một hàm lồi thường dương f tuyến tính khơng gian L f ( x)   f ( x ) với x  L Điều cần f ( bi )   f (bi ) với véc tơ sở b1 , , bm L Định nghĩa 1.1.12 Một hàm f :  n   gọi đóng epi f tập đóng Định lí 1.1.13 Hàm f :  n   đóng tập mức x   n f ( x)    đóng với    1.2 Các phép tốn hàm lồi Định lí 1.2.1 Cho f :  n  ( ,  ] hàm lồi  :   (, ] hàm lồi (đơn điệu) khơng giảm Khi đó, h( x)    f ( x)  lồi n Ở ta quy ước  ()   Định lí 1.2.2 Nếu f1 f hàm lồi thường n f1  f hàm lồi SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà Nhận xét: Nếu f1 , f hàm lồi thường, f1  f hàm lồi khơng thường Giả thiết “khơng thường” nêu định lí đảm bảo xác định f1  f Định lí 1.2.3 Cho F tập lồi  n1 Giả sử f ( x)  inf  ( x,  )  F  Khi đó, f hàm lồi n Chú ý: Ta quy ước int    Định lí 1.2.4 Cho f1 , , f m hàm lồi thường  n Giả sử   f ( x)  inf f1 ( x1 )    f m ( xm ) xi   n , x1    xm  x Khi đó, f hàm lồi  n Định nghĩa 1.2.5 Cho f1 , f , , f m hàm lồi thường n Ta gọi chập infimum họ hàm ( f i )1i  m hàm f xác định m f ( x) : inf  f i ( xi ) xi   n ,  i 1 m x i 1 i   x, x  n  ký hiệu f  f1 f  f m Nhận xét: Định lí 1.2.4 nói rằng: hàm f1 , f , hàm lồi thường chập infimum f  f1  f  f m hàm lồi (và khơng thường) SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 10 Vậy (a), (b), (c) tương đương với Khẳng định cuối định lí suy cơng thức cuối định lí 2.2.1 Tập véc tơ y cho ( f  )(  y )  ( f  )( y ) gọi không gian thẳng hàm lồi thường f Nó khơng gian n , ảnh không gian thẳng tập lồi epi f phép chiếu ( y, )  y f  tuyến tính (theo định lí 1.1.11 ) Phương véc tơ không gian thẳng f gọi phương mà theo f affine 2.3 Một số tiêu chuẩn đóng hàm Định lí 2.3.1 Cho h hàm lồi thường đóng n A :  n   m phép biến đổi tuyến tính Giả sử Az  với z cho ( h  )( z )  ( h0  )(  z )  Khi đó, hàm Ah mà ( Ah)( y )  inf h( x ) Ax  y hàm lồi đóng thường ( Ah)0   A( h0  ) Hơn nữa, với y mà ( Ah)( y )   cận định nghĩa ( Ah)( y ) tìm với x Chứng minh Xét tập lồi đóng khơng rỗng epi h phép biến đổi tuyến tính B : ( x,  )  ( Ax,  ) Nón lùi epi h epi (0 h) không gian thẳng epi h gồm có véc tơ ( z,  ) cho ( h0  )( z )   ( h0  )(  z )    Do đó, epi h B thỏa mãn giả thiết định lí 1.3.11 ta kết luận B(epi h) tập lồi đóng khơng rỗng, có nón lùi B (epi ( h0  )) Hơn B(epi h)  epi ( Ah), SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 35 B (epi (h0  ))  epi ( A( h0  )) Phần cuối định lí chứng minh ta epi ( Ah) không chứa đường thẳng đứng Đường thẳng đứng có nón lùi B (epi ( h0  )) chứa véc tơ có dạng (0,  ) với   Khi đó, epi ( h  ) chứa véc tơ ( z,  ) với Az    Với giá trị z ta có (h0 )( z )  ( h0  )(  z )  ( h0  )( z )  Điều trái với giả thiết định lí Vậy epi ( Ah) khơng chứa đường thẳng đứng Hệ 2.3.1.1 Cho f1 , , f m hàm lồi thường đóng n Giả sử z1    zm  với véc tơ z1 , , zm cho ( f1 0 )( z1 )    ( f m 0 )( zm )  0, ( f1 0 )( z1 )    ( f m 0 )( zm )  Khi chập infimum f1  f m hàm lồi thường đóng n cận định nghĩa ( f1  f m )( x ) tìm với x Hơn ( f1 f m )0  f1 0  f m 0 Chứng minh Cho A phép biến đổi tuyến tính cộng từ m n vào n A :  x1 ,, xm   x1    xm , xi   n cho h hàm lồi thường đóng m n định nghĩa h( x1 ,, xm )  f1 ( x1 )    f m ( xm ), xi   n Áp dụng định lí 2.3.1 với A h trên, suy điều cần chứng minh SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 36 Hệ 2.3.1.2 Cho f1 f hàm lồi thường đóng n cho ( f1 0 )( z )  ( f 0 )( z )  0, z  Khi f1 f hàm lồi thường đóng cận cơng thức ( f1 f )( x)  inf y  f1 ( x  y )  f ( y ) tìm với x y Chứng minh Hệ trường hợp hệ 2.3.1.1 với m  Dưới ví dụ minh họa hệ 2.3.1.2 Cho f  f hàm lồi thường đóng f1 hàm tiêu C , với C tập lồi đóng khơng rỗng Khi  ( f1 f )( x)  inf  ( x  y C )  f ( y) y  n   inf  f ( y ) y  (C  x ) Điều kiện lùi hệ thỏa mãn f C khơng có phương lùi chung Trong trường này, cận hàm f lớn ảnh tịnh tiến C  x tìm với x hàm lồi nửa liên tục x Định lí 2.3.2 Cho f1 , , f m hàm lồi thường n Nếu f i đóng f1    f m khơng đồng  f1    f m hàm lồi thường đóng ( f1    f m )0  f1 0    f m 0 Nếu tất f i khơng đóng tồn điểm chung thuộc ri (dom f i ) SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 37 cl  f1    f m   cl f1 +  +cl f m Chứng minh Cho f  f1   f m x  ri (dom f )  ri  m i 1  dom f i Với y, theo định lí 2.1.9 ta có (cl f )( y )  lim f ((1   ) x   y )   i 1 lim f i ((1   ) x   y ) m  1 Nếu f i đóng  m  1 lim f i ((1   ) x   y )  f1 ( y )   f m ( y ) Vì cl f  f i 1  1 Nói cách khác, có điểm chung thuộc vào tập ri (dom f i ) theo định lí 1.3.4, ta có  m i 1 ri (dom f i )  ri (dom f ) Trong trường hợp x  ri (dom f i ) với i  1, , m giới hạn f i tổng (cl f i )( y ), cl f  cl f1   cl f m Từ cơng thức giới hạn định lí 2.2.1 suy ( f1    f m )0  f1 0    f m 0 Định lí 2.3.3 Cho f i hàm lồi thường n với i  I ( I tập số tùy ý) Giả sử f  sup  f i i  I  Nếu f hữu hạn f i đóng f là hàm thường đóng f 0  sup  fi 0 i  I  SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 38 Nếu tất f i khơng đóng, tồn điểm chung x thuộc vào ri (dom f i ) cho f ( x ) hữu hạn cl f  sup cl f i i  I  Chứng minh Vì epi f phần giao tập epi f i đóng f i đóng nên theo   hệ 1.3.9.1 suy f 0  sup fi 0 i  I Công thức cl f  sup cl f i i  I  suy từ định lí 1.3.4 bổ đề 2.1.7 : phần giao tập ri (epi fi ) chứa điểm ( x , f ( x )  1) Định lí 2.3.4 Cho A :  n   m phép biến đổi tuyến tính Giả sử g hàm lồi thường m cho gA khơng đồng  Nếu g đóng gA đóng ( gA)0   ( g  ) A Nếu g khơng đóng Ax  ri (dom g ) với x cl ( gA)  (cl g ) A Chứng minh Theo định lí 1.2.6, gA hàm lồi thường Trên đồ thị gA nghịch ảnh epi g phép biến đổi tuyến tính liên tục B : ( x,  )  ( Ax,  ) Vậy gA đóng g đóng Theo hệ 1.3.9.2 ta có ( gA)0   ( g  ) A Từ định lí 1.3.5 bổ đề 2.1.7 suy cl ( gA)  (cl g ) A SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 39 2.4 Tính liên tục hàm lồi Phép tốn lấy bao đóng hàm lồi khơng làm thay đổi nhiều hàm làm cho trở thành hàm nửa liên tục Chúng ta mơ tả số tình chung hàm lồi f tự động nửa liên tục cl f liên tục Trong chương này, tính liên tục đồng liên tục tìm hiểu Trong trường hợp, kết luận tính liên tục suy từ giả thiết sở tính lồi Định nghĩa 2.4.1 Một hàm f  n gọi liên tục tập S  n hạn chế f S hàm liên tục Nói cách khác, với x  S , f ( y ) hội tụ đến f ( x) y hội tụ đến x dọc theo S , không cần thiết y hội tụ đến x ngồi S Định lí định lí quan trọng tính liên tục hàm lồi Định lí 2.4.2 Một hàm lồi f  n liên tục tập lồi mở tương đối C miền hữu hạn Đặc biệt, f liên tục ri (dom f ) Chứng minh  f ( x) x  C , Đặt g ( x)   x  C  Thay g f cần, ta cần chứng minh định lí trường hợp C  dom f Khơng tính tổng qt ta giả sử C có số chiều n (do C mở mà mở tương đối) Nếu f khơng thường theo định lí 2.1.6, f đồng  C tính liên tục hiển nhiên Giả sử f thường, tức f hữu hạn C Theo định lí 2.1.8, (cl f )( x)  f ( x) với x  C Vì f nửa liên tục C Để chứng minh tính liên tục, ta cần chứng minh tập mức x f ( x )    đóng Theo định lí 2.1.2, f nửa liên tục nơi Vì C  dom f tập mở nên từ bổ đề 2.1.7 ta có SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 40 int (epi f )  ( x,  )   f ( x) Do đó, với   ,  x f ( x )    hình chiếu  n phần giao int (epi f ) nửa không gian ( x,  )      n1 Suy ra,  x f ( x )    mở Vậy  x f ( x )    đóng Hệ 2.4.2.1 Một hàm lồi hữu hạn  n liên tục Định nghĩa 2.4.3 Một tập S  n đơn hình địa phương với x  S , tồn tập hữu hạn đơn hình S1 , , S m chứa S cho với lân cận U x U  ( S1    S m )  U  S Định lí 2.4.4 Cho f hàm lồi  n S tập đơn hình địa phương dom f Khi f nửa liên tục S Vì vậy, f đóng f liên tục S Chứng minh Cho x  S S1 , , S m đơn hình S cho lân cận x có phần giao với S1    S m có với S Mỗi đơn hình Si chứa x lập thành hình tam giác số hữu hạn đơn hình khác, x đỉnh Cho T1 , , Tk đơn hình thỏa điều kiện Do với T j có x đỉnh lân cận x có phần giao với T1    Tk có với S Nếu f nửa liên tục x tập T j suy f nửa liên tục x T1    Tk Do đó, f nửa liên tục x S Vì vậy, acgumen SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 41 bị nhỏ lại, T đơn hình chứa dom f x đỉnh T Khi đó, f nửa liên tục x T Khơng tính tổng qt ta giả sử T có số chiều n Thật vậy, áp dụng phép biến đổi affine cần thiết, giả sử x  đỉnh T e1  (1,0, ,0), , en  (0, ,0,1) khác Do đó, với z  ( , ,  n ) T ta có f ( z )  (1       n ) f (0)   f (e1 )     n f (en ) tính lồi f (Điều f khơng thường, biểu thức    khơng xảy f khơng nhận giá trị  T ) Giới hạn riêng lớn vế trái bất đẳng thức z tiến đến T lớn giới hạn riêng lớn vế phải f (0) Do đó, f nửa liên tục T Định lí 2.4.5 Cho C tập lồi đơn hình địa phương Giả sử f hàm lồi hữu hạn ri C mà f bị chặn trên tập ri C Khi đó, f mở rộng thành hàm lồi hữu hạn tập C cách Chứng minh Tập f ( x)   với x  ri C Hàm cl f lồi, đóng, thường trùng với f ri C (theo định lí 2.1.8 ) Hơn nửa cl f hữu hạn biên tương đối C điều kiện giới hạn f Theo định lí 2.4.4, cl f liên tục C Do hạn chế cl C C mở rộng lồi hữu hạn liên tục f Có mở rộng C  cl (ri C ) Định nghĩa 2.4.6 Một hàm f nhận giá thực tập S   n gọi Lipschitzian S tồn số thực   cho f ( y )  f ( x)   y  x , y  S , x  S Điều f liên tục S SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 42 Định lí 2.4.7 Cho f hàm lồi thường S tập đóng bị chặn ri (dom f ) Khi đó, hàm f Lipschitzian S Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả sử dom f có số chiều n  n , S thuộc vào phần dom f Cho B cầu Euclidean đơn vị Với   0, S   B tập đóng bị chặn (ảnh tập compact S  B phép biến đổi liên tục ( x,  )  x   ) Khi đó, tổ tập ( S   B )  ( n \ int (dom f )),  >0, có phần giao rỗng số tập tổ rỗng Vì với   biết S   B  int (dom f ) Theo định lí 2.4.2, f liên tục S   B Vì S   B tập đóng bị chặn nên f bị chặn S   B Giả sử 1 ,  giới hạn giới hạn f Cho x, y hai điểm phân biệt S z  y  ( / y  x )( y  x) Khi z  S   B y  (1   ) x   z ,   y  x / (  y  x ) Từ tính lồi f ta có f ( y )  (1   ) f ( x)   f ( z )  f ( x)   ( f ( z )  f ( x)) f ( y )  f ( x)   (  1 )   y  x ,   (  1 ) /  Bất đẳng với x y S , nên f hàm Lipchitzian S SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 43 Định lí 2.4.8 Cho f hàm lồi hữu hạn  n Để f liên tục  n điều kiện cần đủ nón lùi f 0 f hữu hạn điểm Trong trường hợp này, hàm f Lipchitzian  n Chứng minh Giử sử f liên tục  n Chọn   0, tồn số   cho z   , suy f ( x  z )  f ( x)   , x Với   0, theo công thức định lí 2.2.1, ta có ( f 0 )( z )   z   Do f 0 hàm lồi thường dương nên f 0 hữu hạn điểm Đảo lại, giả sử f 0 hữu hạn điểm Khi đó, f 0 liên tục điểm theo hệ 2.4.2.1       sup ( f 0 )( z ) z    1  sup z ( f 0 )( z ) z  Theo hệ 2.2.1.1 ta có  y  x  ( f 0 )( y  x )  f ( y )  f ( x ), x, y Do đó, hàm f Lipchitzian đặc biệt f liên tục  n Hệ 2.4.8.1 Một hàm lồi hữu hạn f Lipchitzian  n lim inf f ( y ) /   ,   y Chứng minh Theo định lí 2.2.1, liminf f ( y ) /   ( f  )( y )   SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 44 Hệ 2.4.8.2 Cho g hàm lồi hữu hạn Lipchitzian  n Khi đó, hàm lồi hữu hạn f cho f  g hàm Lipchitzian  n Chứng minh Vì f  g nên ta có f 0  g 0 Định nghĩa 2.4.9 Cho f i i  I  họ hàm nhận giá trị thực tập S  n Ta gọi  f i i  I  Lipchitzian S tồn số thực   cho fi ( y )  f i ( x)   y  x , y  S , x  S , i  I Khi điều kiện thỏa mãn, họ f i i  I  đồng liên tục S , tức là, với   tồn số   cho fi ( y )  f i ( x)   , i  I , với y  S , x  S y  x   Họ f i i  I  gọi bị chặn theo điểm S tập số thực f i ( x), i  I bị chặn với x  S Nó gọi bị chặn S tồn số thực 1  cho 1  fi ( x)   , x  S , i  I Định lí 2.4.10 Cho C tập lồi mở tương đối f i i  I  họ tùy ý hàm lồi hữu hạn bị chặn theo điểm C Giả sử S tập tùy ý, đóng bị chặn C Khi  f i i  I  bị chặn S Lipchitzian S Kết luận giả thiết bị chặn theo điểm giảm nhẹ thành cặp giả thiết đây: (a) Tồn tập C  C cho conv (cl C )  C sup  f i ( x) i  I  hữu hạn với x  C ; SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 45 (b) Tồn điểm x  C cho inf  f i ( x) i  I  hữu hạn Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả sử C tập mở thực Cho (a) (b) ta chứng minh f i i  I  bị chặn tập đóng bị chặn C Tính liên tục Lipchitzian suy từ chứng minh định lí 2.4.7, số Lipchitz  xây dựng chứng minh phụ thuộc vào cận 1 cận  Cho f ( x)  sup  f i ( x) i  I  Hàm f cho hàm lồi, từ (a) cl dom f chứa cl C  nên conv cl C  C , dom f  int (cl (dom f ))  int C  C (Theo định lí 1.3.2, bao hàm thức thứ dom f lồi.) Do đó, theo định lí 2.4.2, f liên tục C Đặc biệt, f bị chặn trên tập đóng bị chặn C , tức  f i ( x) i  I  bị chặn từ phía trên tập đóng bị chặn C Để chứng minh  f ( x) i  I  i bị chặn từ bên tập đóng C , cần xây dựng hàm liên tục g nhận giá trị thực mà f i ( x)  g ( x), x  C, i  I Sử dụng (b), chọn điểm x  C cho   1  inf  f i  x  i  I  Chọn   đủ bé cho x   B  C , B cầu đơn vị Euclidean Giả sử  cận trên dương f x   B Cho x  C , x  x , ta có x  (1   ) z   x với z  x  ( / x  x )( x  x),    / (  x  x ) Do    z  x   với i  I , ta có SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 46 1  fi ( x )  (1   ) f i ( z )   f i ( x)  (1   )    f i ( x)     f i ( x) Do fi ( x)  ( 1   ) /   (  x  x )( 1   ) /  Đại lượng bên phải phụ thuộc liên tục vào x Bất đẳng thức với x  C với i  I Vậy định lí chứng minh SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 47 KẾT LUẬN Đề tài “Các tính chất tôpô hàm lồi” giải vấn đề sau: + Hệ thống lại kiến thức sở hàm lồi + Trình bày định lí quan trọng liên quan đến thuộc tính tơpơ hàm lồi Ngoài ra, chúng em cố gắng làm chi tiết hóa chứng minh, hệ mà sách “Convex Analysis” R.Tyrrell Rockafellar hướng dẫn ngắn gọn Bên cạnh đó, em cịn chứng minh hai hệ 2.1.6.2 2.1.6.3 mà sách không chứng minh Trên nội dung đề tài Em cố gắng hoàn thành luận văn cách tốt Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp hạn chế thân nên luận văn khó tránh thiếu sót Em mong nhận ý kiến nhận xét, đánh giá từ quý thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.Tyrrell Rockafellar (1970), Convex Analysis, New Jersey University, Princeton [2] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học - Kỹ thuật [3] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [4] Stephen Boyd - Lieven Vandenberghe (2004), Convex Optimization, Cambridge University [5] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Tôpô đại cương - Độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [6] Nguyễn Xuân Liêm (2010), Giải tích tập 1, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [7] Trần Ngọc Đức Toàn (2011), Một số tính chất hàm lồi ứng dụng, Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Huế SVTH: Nguyễn Thị Thu Hà 49 ... 14 Chương CÁC TÍNH CHẤT TƠPƠ CỦA HÀM LỒI 2.1 Bao đóng hàm lồi Tính liên tục hàm tuyến tính hệ thuộc tính đại số: tính tuyến tính Đối với hàm lồi, thứ khơng hồn tồn đơn giản nhiều tính chất hình... thêm tính chất lồi hàm số mối quan hệ với khái niệm tơpơ (bản chất giải tích tính lồi) Cụ thể là, xem xét bao đóng hàm lồi, nón lùi tính khơng bị chặn, số tiêu chuẩn đóng tính liên tục hàm lồi. .. 1.2 Các phép toán hàm lồi 1.3 Một số định lí hệ tập lồi 11 Chương Các tính chất tôpô hàm lồi 15 2.1 Bao đóng hàm lồi 15 2.2 Nón lùi tính khơng bị chặn