Một số lớp ánh xạ lồi và lõm trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ĐINH CƠNG MINH MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI VÀ LÕM TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 201110 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ĐINH CÔNG MINH MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI VÀ LÕM TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 201110 LỜI CẢM ƠN Tôi gửi cảm ơn sâu sắc đến Thầy TS Trần Đình Thanh tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cám ơn q Thầy, Cơ khoa Tốn trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh trường ĐHKHTN TP Hồ Chí Minh trang bị cho tơi nhiều kiến thức q báu Tốn học sống Tôi xin cảm ơn bạn bè người thân động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011 Học viên Đinh Công Minh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài: Nội dung luận văn Phương pháp nghiên cứu Chương 1: CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1 Không gian banach có thứ tự 1.2 Nguyên lí Entropy Định lí điểm bất động ánh xạ tăng 1.2.1 Nguyên lí Entropy 1.2.2 Định lí điểm bất động ánh xạ tăng Chương 2: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LỒI, LÕM 12 2.1 Ánh xạ u0 − lõm u0 − lồi 12 2.1.2 Sự điểm bất động 13 2.1.3 Xây dựng dãy lập đơn điệu hội tụ điểm bất động 14 2.1.4 Tính chất vectơ riêng, giá trị riêng 17 2.2 Một số ánh xạ lồi, lõm 20 2.2.1 Ánh xạ tuyến tính 20 2.2.2 Ánh xạ u0 − đơn điệu 21 α − lồi, α − lõm 22 2.3 Ánh xạ uo − lõm tổ hợp 30 2.2.3 Ánh xạ 2.3.1 Ánh xạ đơn điệu tổ hợp 30 2.3.2 Ánh xạ uo − lõm tổ hợp 32 2.3.3 Một số ứng dụng 34 Chương 3: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LÕM ĐA TRỊ 37 3.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ uo − lõm đơn trị 37 3.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ lõm đa trị 39 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự đời từ năm 1940, phát triển hoàn thiện ngày Lý thuyết tìm ứng dụng rộng rãi việc nghiên cứu phương trình xuất phát từ khoa học Tự nhiên, Y học, Kinh tế học Trong lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự lớp phương trình với ánh xạ lồi lõm đóng vai trị quan trọng Đối với lớp phương trình với ánh xạ lồi lõm ta chứng minh nghiệm, xây dựng hai dãy lặp Picard dãy tăng giảm hội tụ nghiệm; chứng minh tập giá trị riêng khoảng,… Vì quan trọng nên lớp phương trình với ánh xạ lồi nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu Một số lớp ánh xạ lõm lồi đưa vào nghiên cứu thu định lý điểm bất động, xây dựng dãy lặp xấp xỉ nghiệm,… Việc hệ thống lại lớp ánh xạ lồi, lõm nghiên cứu, tính chất chúng, so sánh mối liên hệ chúng,… việc làm cần thiết có ý nghĩa Luận văn trình bày kết lý thuyết Sau thu thập tài liệu từ nhiều nguồn, phân loại, tổng hợp tài liệu để trình bày kết theo hệ thống hoàn chỉnh, chi tiết Nội dung luận văn Nội dung luận văn gồm có ba chương: Chương Nhắc lại khái niệm, kết sử dụng Trong gồm có khái niệm khơng gian Banach với thứ tự sinh nón; Nguyên lí Entropy; Định lí điểm bất động ánh xạ tăng.Các kết trích dẫn từ tài liệu tham khảo Chương Trình bày số kết số lớp ánh xạ lồi, lõm Tính chất véctơ riêng, giá trị riêng Ánh xạ lõm tổ hợp Chương Khảo sát tồn điểm bất động ánh xạ lõm đa trị Phương pháp nghiên cứu Sử dụng tính chất thứ tự sinh nón, ngun lí Entropy, định lí điểm bất động ánh xạ tăng Phương pháp lặp liên tiếp Chương 1: CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1 Khơng gian banach có thứ tự Định nghĩa 1.1.1 Tập K không gian Banach thực X gọi nón i) K tập đóng, khác rỗng K ≠ θ ii) K + K ⊂ K, λK ⊂ K ∀λ ≥ iii) K  ( − K ) = {θ } Định nghĩa 1.1.2 Trong khơng gian Banach thực X với nón K , ta xét quan hệ " ≤ " sau: ∀x, y ∈ X , x ≤ y ⇔ y − x ∈ K Khi quan hệ " ≤ " có tính chất: 1) Phản xạ: x − x = θ ∈ K ⇒ x ≤ X , ∀x ∈ X 2) Phản xứng: ∀x, y ∈ X , x ≤ y y ≤ x y − x ∈ K x − y ∈ K Do iii) ta có: y − x = θ nên x = y 3) Bắc cầu: ∀x, y, z ∈ X x ≤ y y ≤ z y − x ∈ K z − y ∈ K Do ii) ta có: z − x = ( y − x ) + ( z − y ) ∈ K Do x≤ z Vậy " ≤ " quan hệ thứ tự X Mỗi x ∈ K \ {θ } gọi dương Mệnh đề 1.1.1 Cho X không gian Banach thực sinh nón K Khi đó: 1) x + z ≤ y + z ∀x, y, z ∈ X , ∀λ ≥ 0; x ≤ y ⇒  λ x ≤ λ y 2) Nếu ( xn ≤ yn (n ∈ * ), lim = xn x, lim yn ≤ y ) x ≤ y 3) Nếu { xn } dãy tăng, hội tụ x xn ≤ x ∀n ∈ * Chứng minh 1) Ta có x ≤ y ⇒ y − x ∈ K ⇒ λ y − λ x= λ ( x − y ) ∈ K ⇒ λ x ≤ λ y Tương tự: x ≤ y ⇒ y − x ∈ K ⇒ y − x = ( y + z ) − ( x + z ) ∈ K ⇒ x + z ≤ y + z 2) Do xn ≤ yn ⇒ yn − xn ∈ K Do lim ( yn − xn ) =y − x K đóng nên y − x ∈ K Vì x ≤ y n→∞ 3) Giả sử dãy { xn } tăng Với n ta có: xn ≤ xn+ m Cho m → +∞ , ta có: xn ≤ x, ∀n Định nghĩa 1.1.3 Nón K X gọi nón miniheral mạnh tập M bị chặn i) X tồn sup M ii) Nón K khơng gian Banach X gọi nón chuẩn ∃N > cho ∀x, y ∈ X , x ≤ y x ≤ N y ( số N gọi số chuẩn cuả K ) iii) Nón K X gọi nón qui dãy tăng bị chặn X hội tụ iv) Nón K X gọi nón sinh ∀x ∈ X , ∃u , v ∈ K : x = u − v Mệnh đề 1.1.2 Cho K nón chuẩn X Khi đó: 1) ∀u , v ∈ X ; u ≤ v u , v = { x ∈ X : u ≤ x ≤ v} tập đóng bị chặn 2) Nếu xn ≤ yn ≤ zn , (n = 1,2, ) lim = xn lim = zn x lim yn = x 3) Nếu dãy đơn điệu ( xn )n có dãy xnk n→∞ n→∞ ( ) hội tụ k n→∞ x ( xn )n hội tụ x Chứng minh 1) u , v tập đóng Giả sử xn ∈ u , v , ∀n lim xn = x n→∞ Ta có: u ≤ xn ≤ v, ∀n ⇒ u ≤ x ≤ v ⇒ x ∈ u , v u , v bị chặn: ∀x ∈ u , v u ≤ x ≤ v ⇒ x − u ∈ K , v − u ∈ K x − u ≤ v − u Do K nón chuẩn nên x − u ≤ N v − u ⇒ x − u ≤ N v − u Vì x ≤ N v − u + u = M 2) Giả sử xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ⇒ θ ≤ yn − xn ≤ zn − Do K nón chuẩn nên yn − xn ≤ N zn − xn (*) Mà lim = xn lim = zn x nên zn − xn → θ n→∞ n→∞ từ (*) cho n → ∞ yn − xn → θ Do y= ( yn − xn ) + xn → x (n → ∞) n 3) ( ) hội tụ Giả sử ( xn )n dãy tăng có dãy xnk k Ta có: xnk → x ⇒ ∀ε > 0, ∃ko : x − xnk < ε N x Ta lại có: xnk ≤ x, ∀k xn ≤ xnk nên xn ≤ x, ∀n Khi đó: ∀n ≥ nk0 xnk ≤ xn ≤ x ⇒ θ ≤ x − xn ≤ x − xnk 0 Do đó: x − xn ≤ N x − xnk < ε Vậy lim xn = x n→∞ Định lí 1.1.1 Trong khơng gian Banach X với nón chuẩn K tồn chuẩn với chuẩn ban đầu cho ∀x, y ∈ X , θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ y * * tương đương * Chứng minh Đặt A = [ B(0,1) + K ]  [ B(0,1) − K ] Ta chứng minh: B(0,1) ⊂ A ⊂ B(0, r ) , với r > đủ lớn + Do θ ∈ K  ( − K ) nên B(0,1) ⊂ A + Chứng minh A ⊂ B(0; r ), r > Thật vậy, trái lại ta xây dựng dãy ( xn )n ⊂ A yn , zn ∈ B(0,1); un , ∈ K cho xn = yn + un = zn − Vì un + = zn − nên un + ≤ mà K nón chuẩn nên un ≤ N un + ≤ N Do n ≤ xn ≤ yn + un ≤ + N , ∀n ( điều vơ lí ) với xn ≥ n * Xét phiếm hàm Minkovski tập A : x *   x = inf λ > : ∈ A x ∈ A λ   * ∀x ∈ X , x ≠ , gọi λ0 = x * x x ∈ B(0,1) ∈ A λ0 x x x ∈ A ∈ B(0, r ) x λ0 Theo ta có: x Do đó: x < x Suy * x < x :  λ  λ  Thật vậy, xét λ cho Do x ≥ nên x λ Do x ≤ y nên Mà y λ y λ ∈K ⇒ 0+ x λ ≤ y λ ⇒ y λ ∈A x λ − ∈ B(0,1) + K x λ ∈K y ∈ A nên theo định nghĩa A ta có = u − v với u ∈ B (0,1) − K λ x Do λ ∈A Vì x ≤ y * * Định lí 1.1.2 i) K nón qui dãy đơn điệu giảm bị chặn hội tụ ii) K nón qui K nón chuẩn 2.3 Ánh xạ uo − lõm tổ hợp 2.3.1 Ánh xạ đơn điệu tổ hợp Cho X không gian Banach thực với thứ tự sinh nón qui K họ ánh xạ Pi : X → X , i ∈ I , Qi =E − Pi (với E : X → X ánh xạ đồng nhất) thỏa mãn điều kiện x, y ∈ u; v ⇒ Pi ( x ) + Qi ( y ) ∈ u; v ∀i ∈ I Cho họ ánh xạ Ri : X → Gi , i ∈ I thỏa điều kiện x ≠ y ⇒ ∃i ∈ I : Ri ( x ) ≠ Ri ( y ) ánh xạ J : D ⊂ ∏ Gi → X thỏa mãn điều kiện i∈I xi ∈ u , v ,{ Ri ( xi ) : i ∈ I } ∈ D ⇒ J { Ri ( xi )} ∈ u , v , J { Ri Pi ( xi )} = x Định nghĩa 2.3.1.1 Ánh xạ T gọi đơn điệu tổ hợp ∀u , v ∈ X thỏa {R T ( Pu + Q v )} ∈ D i i (1) i x ' ≥ x, y ' ≤ y    J { RiT ( Px i '+ Qi y ' )} ≥ J { RiT ( Px i + Qi y )} (2) Nhận xét Giả sử tập số I phần tử { Pi : i ∈= I} Ri {P},= E , GX = X , J = E ( E ánh xạ đồng nhất) ( ) có dạng T ( Px '+ Qy ') ≥ T ( Px + Qy ) Nếu P = E ta có T ánh xạ tăng, P ( x ) = θ hay Q = E T ánh xạ giảm Định lí 2.3.1.1 Giả sử T : u o , v o → u o , v o ánh xạ đơn điệu tổ hợp Ta xây dựng dãy truy hồi {u },{v } sau n n u n+1= J ({R T ( Pu i i n }) + Qi v n ) , u n+1= J ({R T ( Pv i i n * Khi tồn giới hạn= lim u n u= ,lim v n v* n→∞ }) , n= + Qiu n ) n→∞ u o ≤ u1 ≤ ≤ u n ≤ ≤ u * ≤ v* ≤ ≤ v n ≤ ≤ v1 ≤ v o 0,1, , (3) ( )⊂ T u n , u n , (4) Ngoài ra, x o ∈ u o , v o , x n+1 = T ( xn ) (5) ta có u n ≤ x n ≤ v n (6) , n ≥ Chứng minh Đầu tiên ta kiểm tra u o ≤ u1 ≤ v1 ≤ v o Ta có ( o Pu + Qi v o ∈ u o , v o , T u o , v o i )⊂ u o , vo o ⇒ T ( Pu + Qi v o ) ∈ u o , v o i = ⇒ u1 J ({R T ( Pu i o i }) + Qi v o ) ∈ u o , v o Tương tự v1 ∈ u o , v o ( ) ta có u1 ≤ v1 ( ) Tiếp theo ta chứng minh T u1 , v1 ⊂ u1 , v1 Với x ∈ u1 , v1 ta có }) ({R T ( Pu + Q v )}) ≤ ≤ J ({ R T ( Px + Q x )} ) =T ( x ) ≤ J ({ R T ( Pv + Q u )} ) ≤ ≤ J ({ R T ( Pv + Q u )} ) = v = u1 J ({R T ( Pu i i o + Qi v o ) ≤ J i i i i i i i i i o i i o i Do K qui ta có lim u n ,lim v n tồn dùng qui nạp ta chứng minh ( ) Cuối ta chứng minh ( ) Hiển nhiên ( ) cho n = , giả sử ( ) cho n Ta có ({ ≤ J ({ R T ( Pv }) ({R T ( Px + Q u )} ) = v n + Qi v n ) ≤ J u n+1 = J RiT ( Pu i i i n n i i n }) + Qi x n ) = x n+1 ≤ n +1 i Vậy ( ) cho n + Định lí chứng minh Hệ Nếu T : u o , v o → u o , v o đơn điệu tổ hợp có điểm bất động x* u n ≤ x* ≤ v n Chứng minh Ta cần chọn x o = x* Định nghĩa 2.3.1.2 Ta nói họ { Pi } ,{ Ri } có tính chất liên tục 1) Từ= lim x n x= , lim y n y ta có n lim ( Px + Qi y n = ) Pxi + Qi y ∀i ∈ I i ( ) 2) Từ lim xin= xi ∀i ∈ I Ri ( xin ) ∈ D ∀n ≥ lim J ({R ( x )}) = J ({R ( x )}) i n i i i Định lí 2.3.1.2 Giả sử họ { Pi } ,{ Ri } có tính chất liên tục, T : u o , v o → u o , v o liên tục, đơn điệu tổ hợp có điểm bất động x* ∈ T : u o , v o Giả sử hệ phương trình ( ( ) )  = i + Qi v )} u J { RiT ( Pu  = v J { RiT ( Pv i + Qi u )} có nghiệm tập (7) {( u, v ) : u ≤ v} Khi dạy lập ( 5) hội tụ x* với cách chọn x o ∈ u o , v o Chứng minh Cho n → ∞ ( 3) sử dụng tính liên tục họ { Pi } ,{ Ri } ta có ( u * , v* ) nghiệm hệ ( ) Nhưng ( x* , x* ) nghiệm ( ) nghiệm nên * * u= v= x* Từ ( ) K nón chuẩn ta có lim x n = x* 2.3.2 Ánh xạ uo − lõm tổ hợp Định nghĩa 2.3.2.1 Cho uo ∈ K \ {θ } Ánh xạ T : K → K gọi uo − lõm tổ hợp đơn điệu tổ hợp i )∀x ∈ K \ {θ } ∃ c, d > : cuo ≤ T ( x ) ≤ duo ii ) ∀x ∈ K ( uo )= { x ∃α > 0, x ≥ α u } , ∀[ a, b] ⊂ ( 0,1) ∃ε = ε ( x, a, b ) > : o         J   RiT  Pi ( tx ) + Qi  x     ≥ (1 + ε ) tT ( x )  t       ∀t ∈ [ a, b ] ⇒   1      + ≤ J R T P x Q tx T ( x) ( )       i i i    ε + t t ) (        Bổ đề Giả sử T uo − lõm tổ hợp, x ∈ K ( uo ) , [ a, b ] ⊂ [ 0,1] ε > số tương ứng định nghĩa Khi với t , s ∈ [ a, b ] ta có       J   RiT  Pi ( tx ) + Qi  x     ≥ (1 + ε ) {t , s}T ( x )  s      Chứng minh Coi t < s ta có             J   RiT  Pi ( tx ) + Qi  x     ≥ J   RiT  Pi ( tx ) + Qi  x     ≥  s     t        ≥ (1 + ε ) tT ( x ) = (1 + ε ) {t , s}T ( x ) Định lí 2.3.2.1 Giả sử T ánh xạ uo − lõm tổ hợp K có điểm bất động x* ∈ K \ {θ } Khi x* điểm bất động T K \ {θ } dãy lập ( ) hội tụ tới x* với cách chọn x o ∈ K ( uo ) Chứng minh * Cố định t ∈ ( 0,1) xét dãy lập ( 3) với = u o tx= , vo ( Ta kiểm tra T u o , v o T= ( x) J )⊂ * x t u o , v o Với x ∈ u o , v o ta có  ({R T ( Px + Q x )}) ≥ J   R T  P (tx ) + Q  t x i i i  * i  i i  *    x* ) tx*     ≥ tT (=     *  1    T ( x ) ≤ J   RiT  Pi  x*  + Qi ( tx* )    ≤ T ( x* ) = x t t t       Áp dụng hệ định lí 2.3.1.1, ta có ( ) Gọi tn số lớn thỏa u n ≥ tn x* sn số bé thỏa ≤ * x ta có sn < t = to ≤ t1 ≤ ≤ tn ≤ ≤ < t = so ≤ s1 ≤ ≤ tn ≤ ≤ Suy tồn lim tn = t ' ≤ 1, lim sn = s ' ≤ Ta chứng minh t=' s=' Thật vậy, t ' ≠ s ' ≠= 1thì r : {t ', s '} < Xét số δ thỏa 0 ∀i ∈ Int  m+ ; fi khả vi 2) ∀i ∈ I , ∀x ∈ Int  m+ ta có    ∂fi  1 ∂fi  P t x + Q x ≥ ( )  i  Pi ( t2 x ) + Qi  i ∂x j   t1   ∂x j   t2  x   , ∀j ∈ Gi ,0 < t1 < t2  3) ∀i ∈ I , ∀x ∈ Int  m+ ta có    ∂fi  1 ∂fi  P t x + Q x > P t x + Q ( ) ( )     i i i i t12 ∂x j   t1   t2 ∂x j   t2  x  ∀j ∈ H i ,0 < t1 < t2 < Định lí 2.3.3.1 Nếu hàm fi thỏa mãn điều kiện nêu F ánh xạ uo − lõm tổ hợp Chứng minh Ta lấy uo = (1, 1) Sử dụng giả thuyết 2), 3) nêu ta có ∂f   1  1  fi  Pi ( tx ) + Qi  x   > t ∑ i  Pi ( tx ) + Qi  x   x j −  t   j∈Gi ∂x j   t   − Do ∂fi  1  + P tx Q ( ) ∑  x   x j i i t j∈Hi ∂x j   t  d 1     fi  Pi ( tx ) + Qi  x    <  dt  t   t   Vậy ∀x ∈ Int  m+ , ∀[ a, b ] ⊂ ( 0,1) tồn ε i > cho  1  fi  Pi ( tx ) + Qi  x   > fi ( x ) + ε i t   t  Đặt ε = i∈I εi fi ( x ) ε số cần tìm nói định nghĩa ánh xạ uo − lõm tổ hợp 2.3.3.2 Tốn tử tích phân Urysohn Xét ánh xạ A : Lp ( Ω ) → Lp ( Ω ) , Ax ( t ) =∫ K ( t , s, x ( s ) ) ds Ω Ω ⊂  m tập đo được, bị chặn, K ( t , s, u ) > ∀t , s ∈ Ω, ∀u > Hàm K ( t , s, u ) gọi đơn điệu suy rộng hầu hết ( s, t ) ∈ Ω × Ω hàm u  K ( t , s, u ) đơn điệu Với t ∈ Ω , đặt Gt= {s ∈ Ω u  K ( t , s, u ) tăng} ; Xét ánh xạ Pt : Lp  Lp sau: Pt ( x ) = 1Gt x Với t ∈ Ω kí hiệu Rt ánh xạ từ  p vào  , định Rt ( x ) = x ( t ) Kí hiệu J ánh xạ xác định Lp , coi tập  Ω (xét tập hợp hàm tử từ Ω vào  ) J ( x ) = x Định lí 2.3.3.2 1) Giả sử K ( t , s, u ) hàm đơn điệu suy rộng theo biến u thỏa mãn điều kiện Caratheodory, nghĩa ∀u ≥ hàm ( t , s )  K ( t , s, u ) đo với hầu hết (t, s ) ∈ Ω × Ω hàm ( t , s )  K ( t , s, u ) liên tục Khi ánh xạ Urysohn đơn điệu tổ hợp nón hàm khơng âm 2) Giả sử K ( t , s, u ) thỏa mãn điều kiện 1) i ) ∀t ∈ Ω với hầu hết s ∈ Gt u  K ( t , s, u ) hàm lõm ii ) ∀t ∈ Ω với hầu hết s ∈ Ω \ Gt ∂K   ∂K    t , s, u  >  t , s, u  với < t1 < t2 < t1 ∂u  t1  t2 ∂u  t2  Khi ánh xạ Urysohn uo − lõm tổ hợp với uo ( t ) ≡ Chương 3: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LÕM ĐA TRỊ Trong chương khảo sát tồn điểm bất động ánh xạ đa trị u0 − lõm Trước tiên ta nhắc lại vài kết có đơn trị Cho X không gian Banach với thứ tự sinh nón K Đặt P = [u , v ] = { x ∈ X : u ≤ x ≤ v} 3.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ uo − lõm đơn trị Định nghĩa 3.1.1 Cho u0 ≥ θ Ánh xạ A : P → P gọi u0 − lõm P nếu: i) A đơn điệu P ii) ∀x ∈ P, ∃α , β : α u0 ≤ Ax ≤ β u0 iii) ∀[ a, b ] ⊂ ( 0,1) , ∃η > cho ∀x ∈ P, ∀t ∈ ( a, b ) A ( tx ) ≥ (1 + η ) tAx Định lí 3.1.1 Giả sử i) K nón chuẩn ii) A : P → P ánh xạ u0 − lõm P iii) u ≤ Au; Av ≤ v Khi A có điểm bất động P Chứng minh Do K nón chuẩn nên P đóng bị chặn Do đó: Tồn số dương N cho ∀x, y ∈ K ; x ≤ y x ≤ N y Tồn số dương M cho ∀x ∈ P x ≤ M Ta xét hai dãy lập = sau: xn+1 Ax = Ayn với= x0 u= ; y0 v n ; yn +1 Do A đơn điệu x0 ≤ y0 nên x0 ≤ x1 ≤ ≤ xn ≤ ≤ yn ≤ ≤ y1 ≤ y0 Suy { xn }n dãy tăng, { yn }n dãy giảm xn ≤ yn , ∀n Ta chứng minh dãy { xn }n dãy { yn }n hội tụ Vì X khơng gian Banach nên ta cần chứng minh { xn }n , { yn }n dãy Cauchy Chọn λ ∈ ( 0;1) cho x0 ≥ λ y0 Chọn ε đủ nhỏ cho λ < − ε MN ε   Do ánh xạ A u0 lõm nên ∃δ > cho ∀x ∈ P, ∀t ∈ λ ;1 − MN   ta có Atx ≥ (1 + δ ) tAx ε N −1  − ε  MN Bằng cách giảm δ ta xem λ (1 + δ ) N0 < Ta có: x0 ≥ λ y0 Suy Ax0 ≥ (1 + δ ) λ Ay0 hay x1 ≥ (1 + δ ) λ y1 ε  N  Tiếp tục ta xN0 ≥ (1 + δ ) λ y N0 ≥ 1 −  yN  MN  Do xN0 ≤ y N0 nên θ ≤ y N0 − xN0 ≤ ε MN y N0 Khi ∀n ≥ N ta có θ ≤ xn+ p − xn ≤ yn − xn ≤ y N0 − xN0 ≤ Do xn+ p − xn ≤ N ε MN y N0 ≤ N ε MN M = ε Tương tự ta có θ ≤ yn − yn+ p ≤ yn − xn ≤ Suy yn − yn+ p ≤ N ε MN y N0 ≤ N ε MN ε MN y N0 M = ε ε MN y N0 Vậy { xn }n , { yn }n dãy Cauchy nên hội tụ * Giả sử = lim xn x= ; lim yn y* n→∞ n→∞ Do θ ≤ xn+ p − xn ≤ yn − xn ≤ ε MN y N0 nên yn − xn ≤ ε MN y N0 Cho n → ∞ ta có x* = y* Vậy lim = xn lim = yn x * n→∞ n→∞ Do xn ≤ x* ≤ yn nên xn+1 ≤ Ax* ≤ yn+1 Cho n → ∞ ta có x* = Ax* hay x* điểm bất động A P Vậy định lí chứng minh 3.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ lõm đa trị Định nghĩa 3.2.1 Với A, B ⊂ X ta định nghĩa A ≤ B ⇔ ∀a ∈ A; ∃b ∈ B : a ≤ b Ánh xạ F : X → X gọi tăng x ≤ y Fx ≤ Fy λA = {λ a a ∈ A} Định nghĩa 3.2.2 Cho u0 ≥ θ Ánh xạ A : P → P gọi u0 − lõm P i) A đơn điệu P ii) ∀x ∈ P, ∃α , β : {α u0 } ≤ Ax ≤ {β u0 } iii) ∀[ a; b ] ⊂ ( 0;1) , ∃δ > cho ∀x ∈ P, ∀t ∈ ( a, b ) Atx ≥ (1 + δ ) tAx Định lí 3.2.1 Giả sử i) K nón chuẩn ii) A : P → P ánh xạ u0 − lõm P iii) {u} ≤ Au; Av ≤ {v} iv) sup Ax tồn thuộc Ax ∀x ∈ P Khi A có điểm bất động P Chứng minh Xét ánh xạ đơn trị f : P → P định f ( x) = sup Ax Rõ ràng f định nghĩa tốt x* điểm bất động f điểm bất động A Ta kiểm tra f thỏa điều kiện định lí 3.1.1 Do A tăng nên ta có f tăng ∀x ∈ P, ∃α , β : {α u0 } ≤ Ax ≤ {β u0 } suy α u0 ≤ f ( x) ≤ β u0 ∀[ a; b ] ⊂ ( 0;1) , ∃δ > cho ∀x ∈ P, ∀t ∈ ( a, b ) Atx ≥ (1 + δ ) tAx Do f ( tx ) ≥ (1 + δ ) tfx Vậy theo định lí 3.1.1 f có điểm bất động x* điểm bất động A Trong định lí 3.2.1 ta giảm bớt giả thuyết sup Ax tồn thuộc Ax ∀x ∈ P X ta xét thứ tự mạnh theo định nghĩa sau Định nghĩa 3.2.3 Với A, B ⊂ X ta định nghĩa A  B ⇔ ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a ≤ b Ánh xạ F : X → X gọi tăng x ≤ y Fx  Fy Định nghĩa 3.2.4 Cho u0 ≥ θ Ánh xạ A : P → P gọi u0 − lõm P i) A đơn điệu P ii) ∀x ∈ P, ∃α , β : {α u0 }  Ax {β u0 } iii) ∀[ a; b ] ⊂ ( 0,1) , ∃δ > cho ∀x ∈ P, ∀t ∈ ( a, b ) Atx  (1 + δ ) tAx Định lí 3.2.2 Giả sử i) K nón chuẩn ii) A : P → P ánh xạ u0 − lõm P iii) {u}  Au; Av {v} Khi A có điểm bất động P Chứng minh Do K nón chuẩn nên P đóng bị chặn Do đó: Tồn số dương N cho ∀x, y ∈ K ; x ≤ y x ≤ N y Tồn số dương M cho ∀x ∈ P x ≤ M Ta xét hai dãy lập = sau: xn+1 Ax = Ayn với= x0 u= ; y0 v n ; yn +1 Do A đơn điệu x0 ≤ y0 nên x0 ≤ x1 ≤ ≤ xn ≤ ≤ yn ≤ ≤ y1 ≤ y0 Suy { xn }n dãy tăng, { yn }n dãy giảm xn ≤ yn , ∀n Ta chứng minh dãy { xn }n dãy { yn }n hội tụ Vì X khơng gian Banach nên ta cần chứng minh { xn }n , { yn }n dãy Cauchy Chọn λ ∈ ( 0;1) cho x0 ≥ λ y0 Chọn ε đủ nhỏ cho λ < − ε MN ε   Do ánh xạ A u0 − lõm nên ∃δ > cho ∀x ∈ P, ∀t ∈ λ ;1 − MN   ta có Atx  (1 + δ ) tAx ε N −1  − ε  MN Bằng cách giảm δ ta xem λ (1 + δ ) N0 < Ta có x0 ≥ λ y0 Suy Ax0  (1 + δ ) λ Ay0 Do x1 ≥ (1 + δ ) λ y1 ε  N  Tiếp tục ta xN0 ≥ (1 + δ ) λ y N0 ≥ 1 −  yN  MN  Do xN0 ≤ y N0 nên θ ≤ y N0 − xN0 ≤ ε MN y N0 Khi ∀n ≥ N ta có θ ≤ xn+ p − xn ≤ yn − xn ≤ y N0 − xN0 ≤ Do xn+ p − xn ≤ N ε MN y N0 ≤ N ε MN M = ε Tương tự ta có θ ≤ yn − yn+ p ≤ yn − xn ≤ Suy yn − yn+ p ≤ N ε MN y N0 ≤ N ε MN ε MN y N0 M = ε ε MN y N0 Vậy { xn }n , { yn }n dãy Cauchy nên hội tụ * Giả sử = lim xn x= ; lim yn y* n→∞ n→∞ Do θ ≤ xn+ p − xn ≤ yn − xn ≤ ε MN y N0 nên yn − xn ≤ Cho n → ∞ ta có x* = y* Vậy lim = xn lim = yn x * n→∞ n→∞ Do xn ≤ x* ≤ yn nên Axn  Ax*  Ayn Suy { xn+1}  Ax*  { yn+1} Do xn+1 ≤ x ≤ yn+1 ∀x ∈ Ax* Cho n → ∞ ta có x= x* , ∀x ∈ Ax* hay { x*} = Ax* Vậy định lí chứng minh ε MN y N0 KẾT LUẬN Trong luận văn này, hệ thống lại kết lí thuyết số lớp ánh xạ lồi, lõm nghiên cứu, ánh xạ lõm tổ hợp, khảo sát tồn điểm bất động ánh xạ lõm đa trị tăng Tuy nhiên chúng tơi chưa có điều kiện trình bày ứng dụng kết vào lớp phương trình cụ thể Một số hướng phát triển luận văn 1) Tìm ứng dụng kết lí thuyết vào lớp phương trình cụ thể 2) Nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ lồi đa trị 3) Làm giảm nhẹ điều kiện kết trình bày luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO K.Deimling Nonlinear Funtional Analysis Springer-Verlag, 1985 D.Guo, V.Lakshmikantham Nonlinear Problems in Abstract Cones Aeademic Press, 1988 MA.Krasnoselskii Positive Solutions of Operator Equation Noordhoff, Groningen, 1964 MA.Krasnoselskii, P.P.Zabreiko Geometrical Methods of Nonlinear Analysis Springer-Verlag, 1984 V.I.Opoitsev Geterogene and combine-concave operators, Sib.Math J.,16(1975), 781-792 ... 17 2.2 Một số ánh xạ lồi, lõm 20 2.2.1 Ánh xạ tuyến tính 20 2.2.2 Ánh xạ u0 − đơn điệu 21 α − lồi, α − lõm 22 2.3 Ánh xạ uo − lõm tổ hợp... 30 2.2.3 Ánh xạ 2.3.1 Ánh xạ đơn điệu tổ hợp 30 2.3.2 Ánh xạ uo − lõm tổ hợp 32 2.3.3 Một số ứng dụng 34 Chương 3: MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LÕM ĐA TRỊ ... bày số kết số lớp ánh xạ lồi, lõm Tính chất véctơ riêng, giá trị riêng Ánh xạ lõm tổ hợp Chương Khảo sát tồn điểm bất động ánh xạ lõm đa trị Phương pháp nghiên cứu Sử dụng tính chất thứ tự sinh