Khảo sát tôpô trên không gian các hàm chỉnh hình

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ LÝ THỊ LOAN THẢO KHẢO SÁT TÔ PÔ TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành Phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Trước tiên , xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh Thầy tận tình hướng dẫn , giúp đỡ , trang bị nhiều tài liệu truyền cho kiến thức quý báu suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn giảng dạy nhiệt tình quý báu thầy – cô khoa Toán suốt trình học tập Xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ – Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn Trong trình học tập thực luận văn , Ban Giám Hiệu trường THPT chuyên Lương Thế Vinh giúp đỡ , tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành tốt khoá học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu nhà trường Cuối , xin cảm ơn gia đình , bạn bè, đồng nghiệp ủng hộ, động viên , khích lệ thời gian qua Tp Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2008 Tác giả Lý Thị Loan Thảo MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cấu trúc không gian vectơ tôpô H(U) , U tập mở CM nghiên cứu nhiều tác Grothendieck , G Kothe Martineau Tôpô mở compact lần khảo sát không gian hàm chỉnh hình Alexander Nachbin Tuy nhiên , tôpô thông dụng khảo sát không gian hàm chỉnh hình Năm 1969 , Nachbin giới thiệu tôpô τ ω không gian hàm chỉnh hình thời gian Coeuré đưa vào không gian hàm chỉnh hình tôpô τ δ dựa định nghóa mở rộng Nachbin Việc nghiên cứu tính chất tôpô τ ω , τ δ không gian hàm chỉnh hình quan tâm đặc biệt nhiều nhà toán học thời gian gần Luận văn đặc biệt quan tâm đến hai tôpô : τ ω , τ δ không gian H(U) với U tập mở cân không gian Banach với sở không điều kiện đa đóa mở không gian DN hạch đầy đủ có sở Vì vậy, đề tài nghiên cứu “ khảo sát tôpô τ ω , τ δ không gian hàm chỉnh hình ” ” Mục đích nghiên cứu : Trong luận văn , trình bày số tính chất tôpô τ ω , τ δ không gian hàm chỉnh hình khảo sát điều kiện để τω = τδ Đối tượng nội dung nhiên cứu Không gian hàm chỉnh hình Cụ thể không gian Banach với sở không điều kiện không gian DN hạch đầy đủ có sở Ý nghóa khoa học thực tiễn : Khảo sát tôpô τ ω , τ δ số không gian hàm chỉnh hình cụ thể tìm điều kiện để τ ω = τ δ Cấu trúc luận văn : Nội dung luận văn gồm phần mở đầu , bốn chương nội dung phần kết luận Cụ thể : Phần mở đầu : Nêu lý chọn đề tài Phần nội dung : Chương : Trong chương trình bày kiến thức không gian tôpô , không gian lồi địa phương tôpô lồi địa phương không gian hàm chỉnh hình để chuẩn bị cho chương sau Chương : Tôpô không gian đa thức Trong chương định nghóa tôpô không gian ánh xạ tuyến tính tôpô không gian đa thức Chương : Hàm chỉnh hình không gian Banach với sở không điều kiện Trong chương kết định lý sau : ‘‘ Nếu U tập mở cân không gian Banach E với sở không điều kiện τ ω = τ δ H(U)’’ Chương : Hàm chỉnh hình không gian DN có sở Trong chương kết định lý sau : ‘‘ Nếu U đa đóa mở không gian DN hạch đầy đủ có sở E τ = τ δ H(U)’’ Phần kết luận : Đưa nhận xét khảo sát tôpô τ ω , τ δ không gian hàm chỉnh hình cụ thể Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số lý thuyết tôpô 1.1 Không gian vectơ tôpô 1.1 1.1.1 Định nghóa Cho E không gian vectơ trường K , τ tôpô E Khi đó,(E,τ ) gọi không gian vectơ tôpô : (i) (E,τ ) không gian tôpô tách (ii) Các ánh xạ sau liên tục : E → E ; K×E → E ( x , y ) ֏ x + y (α , x ) ֏ α x 1.1.2 1.1.2 1.2 Khoâng gian toâpoâ compac Một họ S tập không rỗng tập E gọi lọc E : (i) A , B ∈ S ⇒ A ∩ B ∈ S , (ii) A ∈ S , A ⊂ B ⇒ B ∈ S Cho khoâng gian toâpoâ E Ta nói lọc S E hội tụ tới x lân cận E bao hàm tập thuộc S Khi x gọi giới hạn S Ta nói lọc S mạnh lọc T T ⊂ S Một không gian tôpô E gọi compac lọc S E có lọc mạnh hội tụ 1.1.3 1.1.3 1.3 Định lý1 Một tập M không gian tôpô E compac có hai điều kiện : (i) Mọi phủ mở M chứa phủ hữu hạn (ii) Bất kỳ họ tập đóng E mà có giao không cắt M phải chứa họ hữu hạn có giao không cắt M 1.2 Không gian lồi địa phương 1.2.1 1.2.1 2.1 Tập lồi – hấp thụ - cân Cho E không gian vectơ trường K tập U chứa E • Tập U gọi lồi ( convex) : ∀ x , y ∈ U , ∀ λ ∈ [0;1] ta coù λ x + (1 − λ ) y ∈ U • Tập U gọi hấp thụ ( absobent) : ∀ x ∈ E , ∃ λ > cho ∀ λ ∈ K , λ ≥ λ ⇒ x ∈ λ U • Tập U gọi cân (balance) : ∀α ∈ K , α ≥1⇒ αU ⊂ U 1.2.2 1.2.2 2.2 Định nghóa Không gian vectơ tôpô gọi lồi địa phương có sở lân cận gốc O gồm tập lồi 1.2.3 1.2.3 2.3 Mệnh đề Trong không gian vectơ tôpô lồi địa phương có sở lân cận lồi , cân đối , hấp thụ đóng 1.3 1.3 Khô Không gian Frechet 1.3.1 1.3.1 3.1 Chuẩn –nửa chuẩn Cho E không gian vectơ trường R nh xạ p : E → R gọi nửa chuẩn : (i) p ( x + y ) ≤ p ( x ) + p ( y ), ∀x , y ∈ E (ii) p(α x) = α p ( x), ∀α ∈ R, ∀x ∈ E nh xạ p : E → R gọi chuẩn : (i) p ( x) = ⇔ x = 0, ∀x ∈ E (ii) p ( x + y ) ≤ p ( x ) + p ( y ), ∀x , y ∈ E (iii) p (α x ) = α p ( x ), ∀α ∈ R, ∀x ∈ E 1.3.2 1.3.2 3.2 Không gian đếm chuẩn Một không gian vectơ tôpô lồi địa phương mà tôpô xác định môït họ nửa chuẩn { p α }α ∈ A hữu hạn đếm thoả điều kiện tách sau gọi không gian đếm chuẩn ∀ x ≠ 0, ∃ α ∈ A : p α ( x ) > 1.3.3 1.3.3 Định lý Các mệnh đề sau tương đương : (i) E không gian đếm chuẩn (ii) E không gian lồi địa phương có sở lân cận đếm (iii) E không gian lồi địa phương mê–tríc hoá 10 1.3.4 1.3.4 3.4 Định nghóa Một không gian đếm chuẩn đầy đủ gọi không gian Frechet 1.3.5 1.3.5 3.5 Định lý Trong không gian Frechet, tập V lồi, cân đối, hấp thụ, đóng lân cận gốc 1.4 Không gian Banach Banach 1.4.1 1.4.1 4.1 Định nghóa Cặp (E , p ) , E làmột không gian tuyến tính p chuẩn E, gọi không gian tuyến tính định chuẩn Khi hàm số thực ρ xác định E × E công thức ρ ( x, y) = p( x − y) mêtric xn = x0 có nghóa Nếu {xn} dãy phần tử E x0 ∈ E lim n→∞ p ( xn − x0 ) = lim n →∞ Không gian tuyến tính định chuẩn (E, p ) đầy đủ mêtric xác định gọi không gian Banach 1.4.2 1.4.2 4.2 Định lý Hahn – Banach Cho E không gian lồi địa phương , p nửa chuẩn liên tục E F không gian E Khi đó: (i) Với y ∈ F ' , tồn Y ∈ E ' cho YE = y (ii) Với z ∈ E ,tồn y ∈ E ' cho y(z) = p(z), y(x) ≤ p(x), ∀x ∈ E (iii) Với x ∈ E, x ≠ OE , tồn y ∈ E ' cho y(x) ≠ 11 1.5.Tô 1.5.Tôpô lồi địa phương 1.5.1 Tôpô hội tụ Cho E không gian vectơ tôpô , gọi E* không gian phiếm hàm tuyến tính E E’ không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục E Ta gọi E’ không gian đối ngẫu (tôpô) E Cho M họ (bất kỳ) họ tập bị chặn E Với M ta có họ sơ chuẩn {p M ( f ), f ∈ E ' : M ∈ M } , họ xác định tôpô lồi địa phương E’ , nhận làm sở lân cận tập có dạng {f : f ( x) < ε , ∀x ∈U in=1M i } với n số tự nhiên , ε số nguyên dương Mi tập họ M Ta gọi tôpô Mtôpô E’ hay tôpô hội tụ tập thuộc họ M 1.5.2 1.5.2 Giới hạn xạ ảnh Giả sử cho trước : (i) Một không gian tuyến tính E (ii) Một họ không gian lồi địa phương Ei , i ∈ I (iii) Với i ∈ I , cho ánh xa ïtuyến tính fi : E → Ei Khi tôpô lồi địa phương yếu E cho tất ánh xạ fi liên tục gọi tôpô lồi địa phương khởi đầu họ tôpô Ei không gian E với tôpô gọi giới hạn xạ ảnh không gian lồi địa phương Ei ánh xạ fi 1.5.3 1.5.3 Giới hạn quy nạp Giả sử cho trước : (i) Một không gian tuyến tính E (ii) Một họ không gian lồi địa phương Ei , i ∈ I 43 Λ n Như , với bất kyø f = ∑ n=0 d f (0) ∈ H (U ) , ta coù : n! ∞ Λ n T ( f ) ≤ ∑ ∞n = T ( d f (0) n! Λ n d ) ≤ ∑ ∞n = c nV ( ≤ ∑ ∞n = c nV Λ n d n r ) U γ K i + γα i B i =1 n! λ f (0) S , , S m 1 1,1, , , nV f (0) n! λV ≤ c nV f W ∑ ∞n = λ n = c nV λ −1 f K Do T tựa tập compac λ L U nên T τ ω liên tục Như định lý chứng minh 44 Chương HÀM CHỈNH HÌNH TRÊN KHÔNG GIAN DN CÓ CƠ SỞ Trong chương τ = τ δ H(U) U đa đóa mở không gian DN hạch có sở cách sử dụng kết chương trước cải tiến vềø kỹ thuật dùng để chứng minh τ ω = τ δ H(E) E không gian Banach với sở không điều kiện Chúng ta nhắc lại vài kiến thức không gian DN Cho s , không gian dãy giảm nhanh , không gian Frechet ∞ hạch có sở gồm tất dãy ( zn ) n =1 số phức cho ( ∞ ) ∑ pm ( zn )n=1 = ∞ n=1 zn nm hữu hạn với số nguyên dương m Tôpô s sinh chuẩn ( pm )∞m=1 s phần tử sinh họ không gian lồi địa phương hạch , nghóa không gian lồi địa phương E không gian lồi địa phương hạch đẳng cấu với không gian s Λ với tập số Λ Đặc biệt , không gian Frechet hạch đẳng cấu với không gian mở s N Không gian DN 1.1 Định nghóa: nghóa Cho E không gian lồi địa phương mêtric hoá sinh họ nửa chuẩn ( pn )∞n=1 , pn ≤ pn+1 , ∀n E không gian DN ( không gian 45 chuẩn trôïi ) có chuẩn liên tục p E cho với số nguyên dương k , tồn số nguyên dương n pk ≤ rp + c r c> cho : pk + n , ∀r > 1.2 Tính chất (1) 1.2.1 Tính chất Một không gian lồi địa phương hạch mêtric hoá gọi không gian DN đẳng cấu với không gian s Giả sử E không gian Fréchet hạch có sở E đẳng cấu với Λ ( p ) , wm wm+1 = ∑ n,wm , n ≠0 ∞ ( p = ( wm )m =1 wm ,n wm+1,n ,wm = wm ,n ) ∞ m =1 ,∀m , wm +1,n ≥ wm ,n , ∀m , n vaø < ∞ , ∀m Tập hợp p biểu diễn ma trận hữu hạn với m hàng m trọng số n cột n toạ độ Với số nguyên dương m , giả sử : { ∞ ∞ Vm = ( zn )n=1 ∈ E;sup zn wm,n = ( zn ) n=1 n m } ≤1 Ta ký hiệu [p] tập hợp trọng số liên tục E Bây giả sử ( ni )i∞=1 dãy số nguyên dương tăng nghiêm { } ngặt với n1=1 Giả sử U (n1 ) = ( zn ) ∞n=1 ∈ E ;sup zn w1,n ≤ = V1 , ( zn ) ∞n=1 ∈ E ; zn wm,n ≤ 1, U ( n1 , , nk ) =   n nm ≤ n ≤ nm +1 , m = 1,2, , k − 1  z n wk ,n ≤ , n ≥ nk  vaø  46 ∞ { } ∞ nm ≤ n ≤ nm+1 , m = 1,2, U (ni )i =1 = ( zn ) n=1 ∈ E; zn wm,n ≤ 1, Dễ thấy U ( ni )i∞=1 tập compac E V lân cận U ( ni )i∞=1 tồn số nguyên dương k cho V ⊃ U (n1 , , nk ) Nếu K tập compac E K chứa đa đóa compac E, : K ⊂ Kɶ = {( zn ) ∞n=1 ∈ E ;sup znα n ≤ 1} Daõy α = ( αn ∞ ) n=1 nằm E Giả sử c = ( αn ∞ ) n=1 Ta chọn dãy tăng nghiêm ngặt số nguyên dương (ni )i∞=1 , n1=1, cho : (0,0, ,0, , αn αn i , ) ≤ c, ∀i i +1 Khi Kɶ ⊂ cU (ni )i∞=1 vàø tập hợp ∞ cU ( ni )i =1 với c biến thiên số thực dương (ni )i∞=1 biến thiên dãy tăng nghiêm ngặt số nguyên dương , n1= , hình thành nên hệ tập compac E Bây đặc trưng không gian DN hạch có sở 1.2.2 Tính chất Cho E không gian Fréchet hạch có sở Các khẳng định sau tương đương : a) E đẳng cấu với tập s b) E không gian DN c) E đẳng cấu với Λ ( p) : 47 ∞ ( p = ( wm )m =1 (w m+1,n d) ) ,wm = wm ,n ) ∞ m =1 ,∀m, wm +1,n ≥ wm ,n , ∀m , n vaø ≤ wm,n wm+ 2,n , ∀m, n E đẳng cấu với Λ( p) đó: ∞ ( p = ( wm )m =1 ,wm = wm ,n ) ∞ m =1 ,∀m , wm +1,n ≥ wm ,n , ∀m , n với số nguyên dương m , tồn số nguyên dương k c > cho (w ) m ,n < cw1,n wk ,n , ∀n E đẳng cấu với Λ( p) : e) ∞ ( p = ( wm )m =1 ,wm = wm ,n ) ∞ m =1 ,∀m , wm +1,n ≥ wm ,n , ∀m , n vaø i) wm ,n > 0, ∀m , ii) Neáu (w m ,n β m ,n = (β ) m ,n p ∞ ) n=1 wm+1,n , ∀m, n wm,n β m ,n ≥ 1, ∀m, n ∈ [ p ] với số nguyên dương m p 1.3 1.3 Ví dụ ∞ a) Cho α = (α n ) n =1 dãy tăng nghiêm ngặt số thực dương m cho ∑ ∞ n =1 q < ∞ với < q < Giả sử wm ,n αn ∞ p = ( wm )m=1 ∑ ( ,wm = wm,n ) ∞ m=1   =   , ∀m, n vaø E = Λ ( p)  αn  với số nguyên dương m Ta có wm,n ∞ = qα n hữu hạn với m , E không gian Fréchet ∑ n =1 n =1 wm+1,n ∞ hạch có sở Hơn , β m,n = wm+1,n = α n , ∀m, n wm,n q neân 48 ∞ (w m ,n (β ) m ,n ∞   m   p    m + p  =  α   α   =  α   ∈ p E n n n n =1 q q q       n =1   n =1 p ∞ ) khoâng gian DN hạch có sở Nếu cho α n = n, ∀n ta thu H(C) với tôpô mở compac cho α n = log(n + 1) , ∀n ta thu s Không gian Λ ( p) gọi không gian chuỗi luỹ thừa kiểu vô hạn ký hiệu Λ ∞ (α ) b) Cho α = (α n )∞n =1 dãy tăng nghiêm ngặt số thực dương ∑ ∞ n =1 α qα n hữu hạn với q, < q < Giả sử wp ,n = p n với n vaø p , < p < p0 vaø p = (( w ) ∞ ) p ,n n =1 0< p < p0 Do ∑ ∞n=1 w p ,n w p ',n αn = ∑ ∞n=1  p  p '  < ∞ với   moïi p, p’ , < p < p’< p0 Λ ( p) không gian Fréchet hạch có sở Ta ký hiệu Λ p (α ) gọi không gian chuỗi luỹ thừa kiểu hữu hạn Một không gian chuỗi luỹ thừa kiểu hữu hạn không gian DN Nếu cho α n = n, ∀n p0 = ta thu H(D) , D đóa đơn vị mở C , với tôpô mở compac c) Có thể xây dựng ví dụ khác không gian Fréchet hạch có sở cách chọn trọng số chẵn cấp tăng nhanh Ví dụ lấy wm ,n = 2n m với số nguyên dương m, n Giả sử ∞ p = ( wm )n =1 wm = ( wm,n )n =1 ,∀m Ta coù: ∞ 49 ∑ ∞n =1 wm ,n wm+1,n = ∑ ∞n =1 2 nm n m +1 = ∑ ∞n=1 ( n −1) nm < ∞ , ∀m , Λ ( p) không gian Fréchet hạch có sở p Tương tự , ta có m +1 m  wm+1,n  2n (2n ) p nm+ = ≤ wm ,n  với số   w  nm p (2 )  m ,n  nguyên dương m p n đủ lớn , Λ ( p) không gian DN Có thể Λ ( p) không đẳng cấu với chuỗi luỹ thừa Trong chứng minh , thường xuyên sử dụng đẳng thức liên quan đến cận đơn thức đa đóa { } V = ( zn ) ∞n=1 ; sup znα n ≤ vaø m ∈ N ( N ) zm V = α m α m = α1m α nm n m = (m1,m2 ,…,mn ,0,…) Định lý: Nếu U đa đóa mở không gian DN hạch đầy đủ có sở E τ = τ δ H(U) Chứng minh : Ta có τ = τ δ H(E)(1) U đa đóa mở không gian Frechet hạch có sở τ = τ ω H(U) nên ta có τ = τ ω H(E) , phiếm hàm tuyến tính H(E) lấy giá trị không gian Banach mà bị chặn tập τ bị chặn H(E) τ ω liên tục Cho T phiếm hàm tuyến tính Tức T bị chặn tập τ bị chặn H(E) Ta chứng minh T τ ω liên tục hay T tựa tập compac H(E) 50 Giả sử với vài số nguyên không âm k , tồn δ > ,(n1,…,nk) dãy tăng nghiêm ngặt số nguyên dương với n1 = c(k) > cho : T ( z ) ≤ c (k ) z m tồn δ U ( n1 , , n k ) moät T ( z m ) ≤ c( k + 1) z m với m N(N) Khi , δ ' > δ m số nguyên dương j c (k+1)>1 cho với m N(N) Ngược lại , chúng δ 'U ( n1 , , n k , j + n k ) ta chọn với sôù nguyên dương j số mj ∈ N(N) cho T(z mj ) ≤ j z mj δ ' U ( n1 , , n k , j + n k ) Trước tiên su p m j = ∞ Mặt khác , có j thể chọn dãy tăng nghiêm ngặt mj n = J    m jn  z  với jn ∞ ( j n )n =1 Vì sôù nguyên dương J cho U ( n , , n k , j + n k ) ⊃ V k + , ∀ j nên dãy ∞  z   bị chặn lân cận cố định E  δ 'U ( n1 , , nk , j + nk ) n =1 m jn tập τ bị chặn P ( J E ) H(E)   Điều mâu thuẫn với T  m  z jn   thể giả sử m jn → + ∞ j→ ∞   z  ≥ jn , ∀n Ta coù   δ 'U ( n1 , ,nk , j + nk )  mj n 51 Với j , lấy mj = ( rj , sj) rj j + nk -1 toạ độ sj toạ độ lại mj Chúng ta đồng rj sj với phần tử N(N) , với j z , ta có : z mj r = z jz sj Xét hai trường hợp sau: (i) lim ( β k , n ) sj =1 , mj m →∞ (ii) z sj lim sup ( β k ,n ) sj m j m →∞ = ω > ( β k ,n ) j giá trị đơn thức s điểm ( βk ,n )n=1 ∞ Do βk ,n ≥ , ∀k , n nên xảy (i) (ii) Trước hết ta giả sử (i) thoả mãn Khi : T( z z m j m j ( δ ') ) j z ≥ m j z m m j U ( n1 , , n k , j + n k ) j U ( n1 , , n k ) U ( n , , n k ) j ( δ ') m j z = z sj j ( δ ') U ( n , , n k , j + n k ) m z z s j U ( n , , n k ) = j ( δ ') m j (w k +1,n ) s j ( w k ,n sj V k +1 = sj j Vk ) s j = j ( δ ') m (β ) s j j k ,n Do vaäy :  T( z j )  lim in f  zmj j→ ∞  U ( n1 , , n k )  m      mj j ≥ lim in f j→ ∞ lim j→ ∞ mj δ ' (β ) k ,n s j mj ≥ δ ' 52 T( z Vì m ) ≤ c (k ) m z δ m , ∀m ∈ N (N ) neân ta coù : U ( n1 , , n k )  T( z j )  lim s u p  zmj j→ ∞  U ( n1 , , n k )  m      mj ≤δ Điều mâu thuẫn δ ' > δ , (i) không xảy mj Bây ta giả sử có (ii) Ta lấy lim j→ ∞ m j (β ) sj k ,n = ω >1 dãy tăng nghiêm ngặt Đặt f ( z ) = ∑ z ∞ j =1 z m m j j U ( n , , n k , j + n k ) Vì đơn thức liên tục E không gian Fréchet nên ta có f hàm nguyên chuỗi hội tụ điểm E Cho α = (α n )∞n =1 phần tử E Với n , lấy αɶ n = α nun , (un )∞n =1 sở véctơ đơn vị E Chọn số nguyên dương l cho αɶ n ∈ Vk +l , ∀n ≥ l Với j , lấy m1j , m2j , , mlj l toạ độ m j ∈ N ( N ) lấy c i = αɶ i k +1 với i = 1,2,…, l Ta coù : α z m m j j U ( n , , n k , j + n k ) m1 m2 m lj ≤ c j c j c l F ( α , m j ) : 53 α F (α , m j ) = z sj với j cho j > l sj U ( n1 , , n k , j + n k ) (w Cho số nguyên dương p , (β ) k ,n p ∞ k ,n ) n =1 ∈ [ p ] α n wk ,n ( β k ,n ) ≤ , ∀n ≥ l1 ≥ l Do , nk + j > l1 , trường hợp đặc p biệt với j đủ lớn , ta có : F (α , m j ) ≤ (w k ,n (β ) s (β ) k +1,n sj p −1 = p −1 ) n =1 j = ) p k ,n (w ∞ k ,n (β ) sj k ,n Vì :  lim sup  m j j→ ∞   z  α mj U ( n1 , , n k , j + n k ) i  mj lim sup rj =  j →∞ m j  0 i Vì m j ≤ m j  lim s u p   zmj j→ ∞   , c i >1      mj  r  r r = c 11 c 22 c l l  lim s j→ ∞ ( β k ,n ) j   mj      p −1 với ≤ i ≤ l , ci ≤ với i ,j nên ta có ≤ ri ≤ , ∀i Do : α m j U ( n1 , , n k , j + n k )      mj ≤ w p −1 c 1r1 c 2r2 c lrl Khi ω lớn l p tuỳ ý , giới hạn f ∈ H ( E ) 54 Như , fɶ ( z ) = ∑ ∞ j =1 (δ ' ) m z j z   m hàm nguyên E Dãy  mj z j  (δ ' )  τ0 T( z z m bị m j chặn ) H(E) m m j j U ( n , , n k , j + n k ) z m j U ( n1 , , n k , j + n k ) Điều      ∞ tập j =1 mâu thuẫn với ≥ j , ∀ j nên ta có (ii) j δ ' U ( n1 , , n k , j + n k ) Vì T τ δ liên tục (nV1 )∞n =1 phủ mở đếm tăng E nên tồn taïi c(1) >0 T ( f ) ≤ c (1) f δ 1V số nguyên dương δ1 cho , ∀f ∈ H (E ) Trong trường hợp đặc biệt : T(z m ) ≤ c (1) z m δ 1V ≤ c (1) z m δ 1U ( n1 ) ,∀ m ∈ N (N ) , n1 = Cho (δ n ) ∞n = dãy số thực dương , δ n > 1, ∀n , cho ∞ ∏δ n =δ n =1 hữu hạn Chúng ta chọn quy nạp dãy số nguyên dương tăng nghiêm ngặt , (nk )∞k =1 T(z m ) ≤ c (k ) z , n1 = dãy số dương (c (k ))∞k =1 cho m δ δ k U ( n1 , , n k ) với m ∈ N ( N ) với k Đặt K = δ U (ni )i∞=1 Khi K đa đóa compac E Ta chứng minh T tựa K 55 Nếu V lân cận K ta chọn dãy số thực ε = (ε n )∞n=1 với ε n > ,∀n ∑ ∞ n =1 εn < ∞ vaø W laø lân cận cho ε ( K + W ) ⊂ V Vì K + W lân cận K nên tồn số dương k cho : δ1 δ kU ( n1 , , nk ) ⊂ δ U ( n1 , , nk ) ⊂ K + W Do với f ∈ H ( E ) , ta coù : m T ( f ) ≤ ∑ m∈ N ( N ) T ( z ) ≤ ∑ m∈ N ( N ) c ( k ) z m ≤ ∑ m∈ N ( N ) c ( k ) z m ≤ c ( k ) f V δ δ k U ( n1 , , n k ) K +W ∑ m∈ N ( N ) = ∑ m∈ N ( N ) εm c (k ) ε m z m ε ( K +W ) (*) Do V tuỳ ý nên từ (*) suy T tựa tập compac K E Do T τ ω liên tục định lý chứng minh 56 KẾT LUẬN Như vậy, việc nghiên cứu , khảo sát tôpô τ δ , τ ω không gian hàm chỉnh hình H(U) với U tập mở cân không gian Banach E với sở không điều kiện cho thấy điều kiện để τ ω = τ δ Điều thể qua định lý sau : ‘‘ Nếu U tập mở cân không gian Banach E với sở không điều kiện τ ω = τ δ H(U)’’ Hơn thay U đa đóa mở không gian DN hạch có sở cải tiến vềø kỹ thuật dùng để chứng minh τ ω = τ δ H(U) với U tập mở cân không gian Banach E với sở không điều kiện có kết sau : ‘‘ Nếu U đa đóa mở không gian DN hạch đầy đủ có sở E τ = τ δ H(U)’’ Khảo sát tôpô không gian cụ thể toán quan nhiều nhà toán học Tôi hy vọng thời gian tới nghiên cứu sâu lónh vực 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Hà Thanh , Tôpô Nachbin tính đầy đủ không gian mầm hàm chỉnh hình có giá trị Frechet , tạp chí thông tin khoa học , trường ĐHSP Tp.HCM , 17 (1997) , 18 -20 Nguyễn Xuân Liêm , Tôpô đại cương – Độ đo tích phân , NXB Giáo Dục , 1994 Hoàng Tụy , Hàm thực Giải tích hàm , NXB Đại học quốc gia Hà Nội , 2003 Đậu Thế Cấp ( 2003) , Giải Tích Hàm , Nhà xuất Giáo dục Hoàng Xuân Sính – Đoàn Quỳnh ,Tôpô ? Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Tieáng Anh Sean Dineen , Complex Amalysis in locally convex spaces North - Holland Dub.company.Amsterdan Nguyễn Hà Thanh , Regularity of spaces of germs of Frechetvalued bounded holomorphic functions , Acta Vietnamica 24(1999) , 117-128 ... Martineau Tôpô mở compact lần khảo sát không gian hàm chỉnh hình Alexander Nachbin Tuy nhiên , tôpô thông dụng khảo sát không gian hàm chỉnh hình Năm 1969 , Nachbin giới thiệu tôpô τ ω không gian hàm. .. cứu Không gian hàm chỉnh hình Cụ thể không gian Banach với sở không điều kiện không gian DN hạch đầy đủ có sở Ý nghóa khoa học thực tiễn : Khảo sát tôpô τ ω , τ δ số không gian hàm chỉnh hình. .. thức không gian tôpô , không gian lồi địa phương tôpô lồi địa phương không gian hàm chỉnh hình để chuẩn bị cho chương sau Chương : Tôpô không gian đa thức Trong chương định nghóa tôpô không gian