Các điểm hữu tỷ trên các đường cong ELLIPTIC trên trường hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LA HỒNG NGỌC CÁC ĐIỂM HỮU TỶ TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 604610 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Tiến sĩ Phan Dân Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành Luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy - TS Phan Dân - người nhiệt tình bước hướng dẫn thực việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn phương pháp thực hiện, truyền đạt nhiều kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn đến việc chỉnh sửa hoàn chỉnh nội dung luận Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy tổ Bộ mơn Hình Học, khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp tơi hồn thành tất học phần Khóa học giúp tơi nâng cao trình độ kiến thức chun mơn phương pháp học tập hữu ích, giúp tơi hồn thành học trình, đặc biệt luận văn tốt nghiệp Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phịng Khoa học Cơng Nghệ Sau Đại học, phịng Tổ chức Hành chính, phịng Kế hoạch-Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; Cảm ơn Sở Giáo Dục-Đào Tạo Tiền Giang, Ban Giám Hiệu trường THPT Bình Đơng thị xã Gị Cơng tỉnh Tiền Giang tồn thể q đồng nghiệp, bạn khóa học, gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn tốt nghiệp Chân thành cảm ơn! Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2010 Tác giả La Hồng Ngọc DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU An Không gian afin n-chiều D Biệt thức đa thức bậc deg Bậc đường cong phẳng E(k) Tập điểm hữu tỷ đường cong elliptic E trường k E(Fp) Tập hợp điểm hữu tỷ E trường Fq #E(Fp) Cấp E(Fp) | Ek  Cr | Số điểm chung đường cong elliptic họ đường tròn q Trường hữu hạn q phần tử Ga Nhóm cộng tính Nhóm nhân Gm (a) Gm Nhóm xoắn G(k) Nhóm điểm hữu tỷ gcd( ) Ước số chung lớn (X) Ideal triệt tiêu X k[x1, …, xn] Vành đa thức k với n biến k[ X ] Trường hàm hữu tỷ X Np(f(x)) Số nghiệm phương trình đồng dư f ( x )  0(mod p) N(p) Số cặp thặng dư bậc modulo p liên tiếp Fp N(p) * Số cặp số nguyên liên tiếp Fp (X) Vành hàm quy X Pn Khơng gian xạ ảnh n-chiều (trên trường k đóng đại số) Qp Tập hợp thặng dư bậc modulo p T(A) Nhóm xoắn A  X(k) Tổng trực tiếp Tập tất điểm k-hữu tỷ X MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong lý thuyết đường cong Elliptic, vấn đề số điểm hữu tỷ đường cong cách xác định điểm vấn đề quan trọng Đối với cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic Q tính chất điểm xoắn chúng (được mô tả qua Định lý Mordell-Weil, Mazur Nagell-Lutz) kết đẹp chủ yếu mang ý nghĩa mặt lý thuyết, thực tế việc xác định đối tượng mô tả không đơn giản (đối với trường hợp tổng quát), chí trường hợp xét đường cong trường hữu hạn tập điểm hữu tỷ có lực lượng hữu hạn có cấu trúc nhóm việc tính tốn không dễ dàng Một mặt khác, thời gian gần lý thuyết đường cong Elliptic không lĩnh vực nghiên cứu riêng nhà Hình học hay nhà nghiên cứu thuộc lĩnh vực Hình học Đại số Một ứng dụng quan tâm phát triển mạnh “sử dụng kết nghiên cứu đường cong elliptic trường hữu hạn vào lĩnh vực bảo mật, mã hố thơng tin” Vì vậy, có vấn đề đặt tự nhiên thử tìm hướng tiếp cận đến số thuật tốn tính tốn để xác định điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu hạn Chúng lựa chọn đề tài thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tiếp cận giới thiệu số kiến thức chuyên môn “Lý thuyết đường cong Elliptic trường hữu hạn” với việc xét tính chất số họ đường cong cụ thể để thực việc mơ tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ chúng xây dựng thuật tốn tính tốn tương ứng Trong phạm vi đề tài, xét đường cong Elliptic trường hữu hạn mơ tả dạng Weierstrass Vì vậy, luận văn có tên gọi là: “Các điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu hạn” Lịch sử vấn đề Cơ sở lý thuyết công cụ nghiên cứu phương pháp giải vấn đề Luận văn dựa số kết sau đây: a) Định lý Hasse mô tả cận lực lượng nhóm E(Fq) đường cong elliptic trường hữu hạn Fq b) Các kết phương pháp mơ tả luật nhóm nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic trường hữu hạn c) Các kết mô tả nhóm abel hữu hạn sinh Luận văn tập trung giải số vấn đề về: xác định nhóm điểm hữu tỷ số họ đường cong trường Fq cho dạng Weierstrass: y = x + Ax + B Trong trường hợp đường cong xét trường Zp vấn đề xét thuật tốn xác định nhóm điểm hữu tỷ tập điểm đường cong Một số kết nghiên cứu thuộc hướng tiếp tục phát triển thời gian gần nhiều tác giả, đề tài thường trực Hội nghị Khoa học “Lý thuyết trường hữu hạn ứng dụng” – vấn đề trọng Lý thuyết mã hóa thơng tin Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ số họ đường cong elliptic dạng Weirstrass trường hữu hạn - Xét số họ đường cong có phương trình dạng: y2 =x +kx , y =x + b với k , b  Fq , Fq có q phần tử có đặc số p, nhằm mục đích mơ tả nhóm điểm hữu tỷ chúng Đề tài giới hạn phạm vi xét đường cong Elliptic E không kỳ dị trường hữu hạn F với ý tưởng mơ tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỷ E(F) mơ tả thuật tốn tính tốn nêu (với F mơ tả trên) Mục đích nghiên cứu - Mơ tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỷ E(F) đường cong Elliptic không kỳ dị E F - Mô tả điểm hữu tỷ số lớp đường cong Elliptic: y  x3  kx , y  x3  b trường Fq Trình bày phương pháp chứng minh số Định lý mô tả cách xác định đối tượng liệt kê họ đường cong xét Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng kết tổng quát biết tính chất đường cong Elliptic trường hữu hạn để mơ tả xác định nhóm điểm hữu tỷ họ đường cong xét - Sử dụng phương pháp, công cụ Đại số Lý thuyết số để giải toán xác định nghiệm phương trình đồng dư trường hữu hạn, với kết Định lý Hasse khoảng giới nội lực lượng nhóm E(F) để xây dựng thuật tốn tính tốn Đây số hướng nghiên cứu phương pháp dùng phổ biến việc nghiên cứu đường cong elliptic trường hữu hạn Các phương pháp nghiên cứu kỹ thuật thuật toán dùng Luận văn dựa công cụ nghiên cứu sử dụng [6], [24], [30] Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm: phần mở đầu, chương: nội dung, phần kết luận Cụ thể sau: Phần mở đầu: Nêu xuất sứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương 1: Một số kiến thức Chương trình bày số khái niệm kết nghiên cứu công bố nhiều tài liệu chuyên ngành Toán: - Các định lý nhóm abel hữu hạn sinh - Một số kết quen biết lĩnh vực Lý thuyết số Trường hữu hạn - Các đa tạp xạ ảnh, afin - Các khái niệm, kết nghiên cứu công bố đường cong elliptic Các đường cong trường hữu hạn Các định lý mô tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu hạn Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trường hữu hạn - Tổng quan đường cong dạng Weierstrass trường hữu hạn - Các điểm hữu tỷ đường cong Elliptic trường hữu hạn - Mô tả chung luật nhóm - Nhóm điểm hữu tỷ họ đường cong y  x3  kx , y  x3  b , với k , b  Fq Phần kết luận: Mô tả tóm tắt nêu kết luận vấn đề, nội dung thực Luận văn CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN §1 CÁC BƯỚC MỞ ĐẦU Trong chương này, ta xem lại số định nghĩa kết Đại số giao hoán Lý thuyết phạm trù, ta suy số thuật toán cho việc nghiên cứu vành đa thức 1.1 ĐẠI SỐ Cho A vành Một A-đại số vành B với phép đồng cấu iB : A  B Phép đồng cấu A-đại số từ B  C phép đồng cấu vành  : B  C cho  (iB (a ))  iC (a ), a  A Một A-đại số B sinh phần tử x1, x2, , xn nêú phần tử B biểu diễn đa thức xi với tọa độ iB(A) Nghĩa là, phép đồng cấu A-đại số A[X1, X2, … , Xn]  B biến Xi thành xi song ánh  A[ X , X , , X n ]  B    song ánh X i  xi   Khi ta viết: B = (iBA)[x1, … , xn] Một A-đại số B gọi hữu hạn sinh (hoặc loại hữu hạn A) sinh tập hữu hạn phần tử Một phép đồng cấu vành A  B hữu hạn, B A-đại số hữu hạn, B hữu hạn sinh A-module Cho k trường, cho A k-đại số Khi l  A, ánh xạ k  A đơn ánh, ta đồng k với ảnh Ta xem k vành A Khi l = vành A, A vành 0, A = {0} Cho A[X] vành đa thức ký hiệu X với hệ số A Nếu A miền xác định nguyên, deg(fg) = deg(f) + deg(g), suy A[X] miền xác định nguyên; A[X]X = AX 1.2 IDEALS Cho A vành A vành A tập chứa l mà bị đóng phép cộng, phép nhân, cấu thành đại lượng âm Một ideal a A tập cho: (a) a nhóm A xem nhóm có phép cộng (b) a  a, rA  r a  a Ideal sinh tập S A tập giao tất ideal a chứa Athực chất ideal, bao gồm tất tổng hữu hạn dạng  ri si với ri  A, si  S Khi đó, S ={s1, s2, … }, ta viết là: (s1, s2, …) o Cho a b hai ideal A Tập {a + b | aa, bb} ideal, kí hiệu: a + b Ideal sinh bởi: {ab | aa, bb}, ký hiệu: ab Rõ ràng, ab bao gồm tất tổng hữu hạn  aibi với  a bi b, a = ( a1 , , am ) b = (b1,, …, bn), ab = ( a1b1 , , aib j , , ambn ) Chú ý rằng: ab  a  b o Cho a ideal A Tập hợp lớp a A hình thành vành A/a, a  a  a phép đồng cấu  : A  A/a Ánh xạ b   1 (b) tương ứng một-một ideal A/a ideal A chứa a o Một ideal p nguyên tố p  A ab  p  a  p b  p Do p số nguyên tố A/p khác có tính chất: ab = 0, b   a = 0, nghĩa là: A/p miền nguyên o Một ideal m tối đại m  A không tồn ideal n chứa cách nghiêm ngặt m A Do m tối đại A/m khác khơng có ideal khác thích hợp, trường Chú ý rằng: m tối đại  m nguyên tố Các ideal A x B tập tất dạng a x b với a b ideal A B Chú ý rằng, c ideal A x B (a, b)c, thì: (a, 0) = (1, 0)(a, b)  c (0, b) = (0, 1)(a, b)  c Vì thế, c = a x b với a = {a | (a, 0)  c}, b = {b | (0, b)  c} Định lý 1.2.1: ( Định lý số dư Trung hoa) Cho a1, a2, … , an ideal vành A Nếu số nguyên tố với aj (nghĩa là: + aj = A), với i  j, ánh xạ: A  A/ a1 x x A/an song ánh, với hạt nhân: Chứng minh: (1) ker  =  Đầu tiên giả sử n = Khi a1 + a2 = A, tồn  cho: a1 + a2 = Khi x = a1x2 + a2x1 ánh xạ vào (x1 mod a1, x2 mod a2), cho chứng tỏ (1) song ánh Với i, tồn phần tử  a1 bi  cho: + bi = 1, với i  Tích  i2 (a i  bi )  nằm a1 +  i ai, đó: a1 +  = A i2 Áp dụng định lý trường hợp n = để thu phần tử y1 A cho: y1  1mod a1 , y1  mod  a1 i2 y1  1mod a1 , y1  0mod aj , với j >1 Suy Tương tự, tồn phần tử y2, … , yn cho: yi  1mod , yi  0mod aj , j  i Phần tử x  x y i i ánh xạ vào (x1 mod a1, … , xn mod an), để chứng tỏ (1) song ánh Điều chứng minh rằng:  =  Ta ý rằng:    Đầu tiên giả sử rằng: n = 2, cho a1 + a2 = 1, trước Vì c  a1  a2, ta có: c = a1c + a2c  a1.a2 Ta chứng minh: a1  a2 = a1a2 Việc chứng minh dựa vào phương pháp quy nạp toán học Điều cho phép giả sử rằng: i 2 =  i a i Ta chứng minh trên: a1  i  nguyên tố nhau, đó: a1.(  ai) = a1 ( ai) =  i 2 1.3 Các vành Noether i2 Mệnh đề 1.3.1: Các điều kiện sau vành A tương đương: (a) Mọi ideal A hữu hạn sinh; (b) Mọi dãy tăng ideal a1  a2  trở thành số, nghĩa với số m, a m  am1  , (c) Mọi tập khác rỗng ideal A có phần tử lớn (nghĩa là: phần tử khơng tương thích chứa ideal tập) Chứng minh: (a)  (b): Nếu a1  a2  dãy tăng, a =  ideal  tồn tập hữu hạn {a1, , an } phần tử sinh Với m,   am ta suy ra: am = am + = … = a (b)  (c): Cho S tập khác rỗng ideal A Cho a1  S, a1 khơng lớn S, tồn ideal a2  S thích hợp chứa a1 Tương tự, a2 không lớn S, tồn ideal a3S thích hợp chứa a2, vân vân…Trong cách này, ta thu dãy tăng ideal a1  a2  a3  S xác định giới hạn ideal ideal lớn S (c)  (a): Cho a ideal, cho S tập ideal b  a hữu hạn sinh Khi S tập khác rỗng, chứa phần tử lớn c = ( a1 , a2 , , ar ) Nếu c  a, tồn phần tử a  a\c, ( a1 , a2 , , ar , a ) ideal hữu hạn sinh a thích hợp chứa c Điều mâu thuẫn với định nghĩa (c)  (điều phải chứng minh) Một vành A Noether thỏa mãn điều kiện mệnh đề Ta lưu ý vành Noether, ideal thích hợp chứa ideal lớn (áp dụng (c) tất ideal thích hợp A chứa ideal cho) Thực tế, điều với vành, việc chứng minh vành không Noether phải sử dụng tiên đề lựa chọn Một vành A xem địa phương có xác ideal m tối đại Bởi vành khơng đơn vị chứa ideal lớn nhất, vành địa phương AX = A \ m Mệnh đề 1.3.2: (Bổ đề Nakayama’s) Cho A vành noether địa phương với ideal tối đại m, cho M A-module hữu hạn sinh (a) Nếu M = mM, M = 2) Cho p = 19 Khi số điểm chung họ đường cong elliptic với họ đường tròn là: 19 – + 2N(19)* = 26 Sau thuật toán xác định số liệu bảng ví dụ 4.2.2 trên: Cho đường cong: Ek: y  x3  kx đường tròn Cr : x2  y  r Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp : p  1(mod 4) , k  Qp k + r2 = p Với p = 13, ta có : Vì k  Qp nên : k Khi : p 1  1(mod13)  k  131  1(mod13)  k  1(mod13)  k  Q p  1,3,4,9,10,12 Số đường giao hai họ đường cong elliptic đường tròn : p  13   6 2 Số trường hợp giao đường cong elliptic đường trịn có điểm : (p  1,  r  1) ( r,0) : N(p)  (p   (1) p 1 ) 131  N(13)= (13   (1) ) 2 Vì k +1Qp ta có điểm chung họ đường cong nên : k = 3, k = Khi đó, dựa vào phương trình đồng dư sau ta tìm nghiệm x hoành độ giao điểm đường cong k =  r = 13 - = 10 , ta có phương trình : x   x3  x2  3x  10  0(mod13)   x   x  12  k =  r = 13 - = , ta có phương trình : x   x  x  9x   0(mod13)   x  11  x  12  Số trường hợp giao đường cong elliptic đường trịn có điểm: ( r,0) : 13   N(13)    Vì k +  Qp ta có điểm chung họ đường cong nên : k = 1, 4, 10 k = 12 Khi đó, dựa vào phương trình đồng dư sau ta tìm nghiệm x hồnh độ giao điểm đường cong k =  r  13   12 , ta có phương trình: x  x  x  x  12  0(mod13)   x  k =  r  13   , ta có phương trình: x  x3  x  4x   0(mod13)    x  10 k = 10  r  13  10  , ta có phương trình: x  x  x  10x   0(mod13)   x  k = 12  r  13  12  , ta có phương trình: x  x3  x  12x   0(mod13)    x  12 Do đó, số điểm chung họ đường cong elliptic họ đường tròn : p – + 2N(p) = 13 – + 2*N(13) = 12 + 2*2 = 16 Khi đó, với k + r2 = p ta có bảng giao điểm sau : K Trường hợp 2: r2 Các giao điểm 12 (5, 0), (8, 0) 10 (6, 0), (7, 0), (12, 3), (12, 10) (3, 0), (10, 0) (2, 0), (11, 0), (12, 4), (12, 9) 10 (4, 0), (9, 0) 12 (1, 0), (12, 0) p  3(mod 4) , k  Fp* \ Q p k + r2 = p Với p = 19, ta có : Vì k  Fp* \ Q p nên : k Khi : p 1  1(mod19)  k 19 1  1(mod19)  k  1(mod19) Q p  1,4,5,6,7,9,11,16,17 *  k  Fp \ Q p = {2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 18} Số đường giao hai họ đường cong elliptic đường tròn : p  19    2 Số trường hợp giao đường cong elliptic đường trịn có điểm : (p  1,  r  1) ( r,0) : (p   (1) N(p)   N(19) = p1 ) 19 1 (19   (1) ) 4 Vì k +  Fp* \ Q p ta có điểm chung họ đường cong nên : k = 2, 12, 13 k = 14 Khi đó, dựa vào phương trình đồng dư sau ta tìm nghiệm x hồnh độ giao điểm đường cong k =  r = 19 - = 17 , ta có phương trình : x   x  x  2x  17  0(mod19)   x  13  x  18  k = 12  r = 19 - 12 = , ta có phương trình : x   x  x  12x   0(mod19)   x  11  x  18  k = 13  r = 19 - 13 = , ta có phương trình : x   x3  x2  13x   0(mod19)   x  14  x  18  k = 14  r = 19 - 14 = , ta có phương trình : x   x3  x  14x   0(mod19)   x  10  x  18  Số trường hợp giao đường cong elliptic đường trịn có điểm : ( r,0) : 19   N(19)    Vì k +  Fp* \ Q p ta có điểm chung họ đường cong nên : k = 3, 8, 10, 15 k = 18 Khi đó, dựa vào phương trình đồng dư sau ta tìm nghiệm x hồnh độ giao điểm đường cong k =  r  19   16 , ta có phương trình: x  x3  x2  3x  16  0(mod19)    x  15 k =  r  19   11, ta có phương trình: x  x3  x  8x  11  0(mod19)    x  12 k = 10  r  19  10  , ta có phương trình: x  x3  x2  10x   0(mod19)    x  16 k = 15  r  19  15  , ta có phương trình: x  x3  x2  15x   0(mod19)    x  17 k = 18  r  19  18  , ta có phương trình: Do đó, số điểm chung họ đường cong elliptic họ đường tròn : p – + 2N(p)* = 19 – + 2*N(19)* = 18 + 2*4 = 26 Khi đó, với k + r2 = p ta có bảng giao điểm sau : k r2 17 (3, 0), (13, 0), (18, 14), (18, 15) 16 (4, 0), (15, 0) 11 (7, 0), (12, 0) Các giao điểm 10 (3, 0), (16, 0) 12 (8, 0), (11, 0), (18, 5), (18, 14) 13 (5, 0), (14, 0), (18, 9), (18, 10) 14 (9, 0), (10, 0), (18, 2), (18, 17) 15 (2, 0), (17, 0) 18 (1, 0), (18, 0) Với k r bất kỳ, ( Dp )  phương trình (10) đồng dư bậc khơng có nghiệm có nghiệm Nếu phương trình (10) đồng dư bậc khơng có nghiệm họ đường cong elliptic họ đường trịn có điểm chung Cho phương trình đồng dư bậc ba (10) có nghiệm Trong trường hợp này, với nghiệm x, r2 – x2 bình phương Fp, đường cong elliptic đường trịn có điểm chung Nếu với nghiệm r2 – x2 bình phương Fp, chúng có điểm chung với nghiệm r2 – x2 bình phương Fp chúng có điểm chung r  x2 Hơn nữa, ( )  nghĩa r2 – x2 = có điểm chung Fp thấy trước Vì trường hợp tổng qt, chúng có 0, 2, 4, điểm chung Ví dụ 4.3.4: 1) Cho E1 : y2 = x3 + x C4 : x2 + y2 = F13 Khi phương trình đồng dư bậc có dạng: x3 + x2 + x – ≡ (mod 13) khơng có nghiệm Do đó, E1 C4 khơng có điểm chung 2) Cho E6 : y2 = x3 + 6x C9 : x2 + y2 = F19 Khi phương trình đồng dư bậc có dạng: x3 + x2 + 6x – ≡ (mod 19) có nghiệm là: x1 = 4, x2 = x3 = Từ thấy có nghiệm làm r2 – x2 bình phương F19 Sự thực, với x1 = ta có 16  y   mod 19  y2 ≡ 12(mod 19), 12  Q19 Vì khơng có giá trị y thỏa mãn phương trình ta khơng có điểm Với x2 = ta có + y2 ≡ 9(mod 19) suy y2 = 3(mod 19),  Q19 Vì khơng có giá trị y thỏa mãn phương trình ta khơng có điểm chung Và với x3 = 9, từ phương trình đường trịn ta có: + y2 ≡ 9(mod 19) suy có điểm (9, 2), (9, 17) y2 ≡ 4(mod 19) Do ta Vì đường cong elliptic E6 đường trịn C9 có điểm chung 3) Cho E1 : y2 = x3 + x C1 : x2 + y2 = F11 Khi phương trình đồng dư bậc có dạng: x3 + x2 + x – ≡ 0(mod 11) có nghiệm x1 = x2,3 = Dễ dàng nhận thấy nghiệm làm cho r2 – x2 trở thành bình phương F11 Thực tế, với x1 = từ phương trình đường trịn ta có + y2 ≡ 1(mod 11) y2 ≡ 9(mod 11) Vì ta có điểm (5, 5), (5, 12) với x2,3 = ta có + y2 ≡ 1(mod 11) y2 ≡ 3(mod 11) Vì ta có điểm (8, 5), (8, 6) Do đó, đường cong elliptic E1 đường trịn C1 có điểm chung 4) Cho E14 : y2 = x3 + 14x C16 : x2 + y2 = 16 F17 Khi phương trình đồng dư bậc có dạng: x3 + x2 + 14x – 16 ≡ 0(mod 17) có nghiệm x1 = 1, x2 = x3 = 10 Dễ dàng nhận thấy nghiệm làm cho r2 – x2 trở thành bình phương F17 Thực tế, với x1 = từ phương trình đường trịn ta có + y2 ≡ 16(mod 17) suy y2 ≡ 15(mod 17) Vì ta có điểm (1, 7), (1, 10) với x2 = ta có : + y2 ≡ 16(mod 17) suy y   mod 17  Vì ta có điểm (5, 5), (5, 12) ; với x3 = 10 từ phương trình đường trịn ta có 15 + y2 ≡ 16(mod 17) suy y2 ≡ 1(mod 17) Vì ta có điểm (10, 1), (10, 16) Do đó, đường cong elliptic E14 đường trịn C16 có điểm chung Trong trường hợp thứ 2, với số k r ( Dp )  1 phương trình đồng dư bậc ba (10) có nghiệm x với nghiệm ta có r2 – x2 bình phương Fp, đường cong elliptic đường trịn có điểm chung Fp Do trường hợp này, chúng có điểm chung Chúng ta xét tình ví dụ sau Ví dụ 4.3.5: 1) Giả sử E1 : y2 = x3 + x C1 : x2 + y2 = cho F7 Khi phương trình đồng dư bậc có dạng: x3 + x2 + x – ≡ 0(mod 7) có nghiệm x = Ta dễ dàng thấy nghiệm làm cho r2 – x2 trở thành bình phương F7 Trên thực tế, với x = từ phương trình đường trịn ta có: + y2 ≡ 1(mod 7) suy y2 ≡ 4(mod 7) Vì ta có điểm (5, 2), (5, 5) Do đường cong elliptic E1 đường trịn C1 có điểm chung 2) Giả sử E3 : y2 = x3 + 3x C1 : x2 + y2 = cho F7 Khi phương trình đồng dư bậc có dạng: x3 + x2 + 3x – ≡ 0(mod 7) có nghiệm x = Ta dễ dàng thấy nghiệm không làm cho r2 – x2 trở thành bình phương F7 Trên thực tế, với x = từ phương trình đường trịn ta có: + y2 ≡ 1(mod7) suy y2 ≡ 6(mod 7),  Q7 Vì khơng có giá trị y thỏa mãn phương trình Do đường cong elliptic E3 đường trịn C1 khơng có điểm chung PHẦN KẾT LUẬN Luận văn bao gồm số nội dung sau: Phần sở: Trình bày lại số kiến thức Đại số giao hoán, Lý thuyết số, số kết nghiên cứu chất số học điểm hữu tỷ đường cong elliptic – nghĩa số kiến thức Hình học đại số có định lý quan trọng mơ tả cấu trúc đại số tập điểm hữu tỷ liên quan đến nội dung luận văn Phần nhắc lại khái niệm đa tạp afin đa tạp xạ ảnh, với kết nghiên cứu biết đường cong elliptic, có bàn luận điểm kỳ dị đa thức bậc i Trong phần có minh họa số đồ thị, tập hợp điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu hạn so sánh với trường hữu tỷ (dựa theo công thức luật nhóm phép cộng hai điểm đường cong elliptic – minh họa đồ thị) Phần cuối phần nội dung Luận văn Trong phần mô tả tường minh diễn đạt lại nội dung báo nói “Các điểm hữu tỷ đường cong elliptic trờn cỏc trng hu hn ca Betăul Gezer, Ahmet Tekcan, Osman Bizim Cụ thể nội dung sau: - Cách xác định điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu hạn - Số điểm hữu tỷ đường cong elliptic y2 = x3 + kx đường tròn x2 + y2 = r2 trường Fp - Điều đặc biệt thuật tốn tính tốn báo sử dụng để xác định số liệu bảng ví dụ 4.2.2 Vì hạn chế mặt thời gian điều kiện tiếp cận kết nghiên cứu chuyên ngành Hình học Đại số, tác giả thực phần số ý tưởng bước đầu tìm hiểu tham gia tập dượt nghiên cứu lĩnh vực Hy vọng tương lai có điều kiện tiếp tục quan tâm chi tiết để thu kết tốt TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G E Andrews Number Theory Dover Pub., 1971 [2] E R Caneld, P Erdăos, and C Pomerance, On a problem of Oppenheim concerning” factorisatio numerorum”, J Number Theory 17 (1983), no 1, 1–28 [3] L S Charlap and D.P.Robbins: An Elementary Introduction to Elliptic Curves, CDR Expository Report No 31, Institute for Defense Analysis, Princeton, December 1988 [4] L E Dickson Criteria for irreducibility of functions in a finite field Bull, Amer Math Soc 13 (1906), 1–8 [5] N D Elkies, Heegner point computations, Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), 122–133, Lecture Notes in Comput Sci 877, Springer, Berlin, 1994 [6] Gezer B., Ozden H., Tekcan E and O Bizim The number of Rational Points on Elliptic Curves y = x3 +b over finite fields International Journal of Mathematics Sciences 1(3), (2007), 178-184 [7] Joe Harris Algebraic geometry, volume 133 of Graduate Tests in Mathematics SpringerVerlag, New York, 1995 A first course, Corrected reprint of the 1992 original [8] J E Hopcroft and J D Ullman, Formal languages and their relation to automata AddisonWesley PublishingCo., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont 1969 [9] D Husemoller: Elliptic Curves, Springer-Verlag, N Y., 1987 [10] N Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions Second edition Graduate Texts in Mathematics 58, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1984 [11] C.-E Lind, Untersuchungen ăuber die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins, Thesis, University of Uppsala, 1940 [12] R Martin and W McMillen, An elliptic curve over Q with rank at least 24, January 2000, electronic announcement on the NMBRTHRY list server (posted May 2, 2000) [13] L J Mordell, On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees, Proc Cambridge Phil Soc 21 (1922), 179–192 [14] L J Mordell, On the magnitude of the integer solutions of the equation ax2 + by2 + cz2 = J Number Theory (1969), 1–3 [15] V.Muller and J.Buchmann: Computing the number of points of ellippic curves over finite fields, Proceeding of ISSAC '91, S.M.Watteditor, ACMPress 1991, pp 179-182 [16] B Poonen, Computing rational points on curves, to appear in the Proceedings of the Millennial Con-ference on Number Theory, May 21–26, 2000, held at the University of Illinois at Urbana-Champaign [17] H Reichardt, Einigeim Kleinen ăuberall lăosbare, im Grossen unlăosbare diophantische Gleichungen, J Reine Angew Math 184 (1942), 1218 [18] R Schoof Counting Points on Elliptic Curves Over Finite Fields Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 7(1995), 219–254 [19] R Sedgewick: Algorithms, Addison-Wesley, N.Y., 1988 [20] E Selmer, The diophantine equation ax3 + by3 + cz3 = 0, Acta Math 85 (1951), 203–362 and 92 (1954), 191–197 [21] J.-P Serre, A course in arithmetic Translated from the French Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973 [22] J.-P Serre, Lectures on the Mordell-Weil theorem Translated from the French and edited by Martin Brown from notes by Michel Wald schmidt Aspects of Mathematics, E15 Friedr Vieweg & Sohn, Braunschweig,1989 [23] J H Silverman, The arithmetic of elliptic curves Graduate Texts in Mathematics 106, Spring-Verlag, New York-Berlin, 1986 [24] J H Silverman and J Tate, Rational points on elliptic curves Undergraduate Texts in Mathematics Springer-Verlag, New York, 1992 [25] T Skolem Zwei Săatze ăuber kubische Kongruenzen NorskeVid Selsk Forhdl 10(1937) 89–92 [26] T Skolem On a certain connection between the discriminant of a polynomial and the number of its irreducible factors mod p Norsk Math Tidsskr 34(1952) 81–85 [27] L Stickelberger ă Uber eine neue Eigenschaft der Diskriminanten alge-braischer Zahlkăorper Verhand I, Internat Math KongressZă urich, 1897, pp 182193 [28] Z H Sun Cubic and quartic congruences modulo a prime Journal of Number Theory 102 (2003), 41–89 [29] Z H Sun Cubic residues and binary quadratic forms Journal of Number Theory, to be printed [30] Tekcan A The Elliptic curves y = x - t x over Fp International Journal of Mathematics Sciences 1(3), (2007), 165-171 [31] J P Tignol Galois Theory of Algebraic Equations World Scientific Publishing Co., Singapore, NewJersey, 2001, pp 38–107 [32] L C Washington Elliptic Curves, Number Theory and Cryptography Chapman & Hall/CRC, Boca London, New York, Washington DC, 2003 [33] A.Wiles Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem Ann of Math 141(3) (1995), 443–551 DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ TRONG BÀI LUẬN Hình 1.1: Tham số hóa hữu tỷ đường trịn Hình 1.2: Đồ thị y2 = x3 + x2 Hình 1.3: Đồ thị y2 = x3 Hình 1.4: Đồ thị y2 = x3 – x Hình 1.5 a) b) Hình 2.11: Hai loại đường cong elliptic khơng kỳ dị R2 Hình 2.4 :Đồ thị đường y2 =x3- 7x Hình 2.5 :Đồ thị đường y2 =x3- 3x + BẢNG TRA CỨU CÁC THUẬT NGỮ A Ánh xạ quy Ánh xạ hữu tỷ Ánh xạ hữu tỷ trội Ánh xạ ngược quy Ánh xạ song hữu tỷ 34, 38 36, 39 36, 37 39 22, 36 B Bao đóng xạ ảnh Bổ đề Gauss Bổ đề Nakayama’s 41 13 10 C Cái níu lại Cấp E(Fp) Cấu xạ Cubic lùi Cubic xoắn 35 69 39 36 25 Đ Đa tạp afin Đa tạp bất khả quy Đa tạp đại số afin Đa tạp đại số xạ ảnh Đa tạp hữu tỷ Đa tạp song hữu tỷ Đa tạp tựa xạ ảnh Đa tạp tuyến tính Đa tạp xạ ảnh Đa thức nguyên hàm Đa thức Điểm hữu hạn Điểm k-hữu tỷ Điểm kỳ dị Điểm lùi Điểm nút Định lý Bézout Định lý Hilbert Định lý Luzt, Nagell Định lý Mazur Định lý Mordell Định lý số dư Trung hoa 40 24 24 30 40 37, 40 38 24 41 14 44 68 19 44 48 48 42 26 50 50 46 Độ cao ht(p) Đường bậc phẳng Đường cong afin Đường cong elliptic Đường cong elliptic dạng Weierstrass Đường cong afin không kỳ dị Đường cong không kỳ dị Đường cong kỳ dị Đường cong phẳng Đường conic 11 22 44 60 59, 60 44 60 48 19 21 E Elliptic không kỳ dị 60 G Giống (loại) 45 H Hàm quy Hàm độ cao Hàm hữu tỷ Hàm 33, 38 51 36 41 I Ideal Ideal Ideal khơng tầm thường Ideal khơng thích hợp Ideal nguyên tố Ideal tối đại Ideal Ideal triệt tiêu 27 31 31 7 30 27 J j-bất biến 60 K Không gian afin n-chiều Không gian xạ ảnh 22 29, 30 L Loại (giống) 45 Lớp tương đương 29 Luật nhóm 64 Luật tiếp xúc Chord hợp thành 60, 62 M Định lý tương giao Krull Đơn hữu tỷ Đơn xạ Độ cao tắc – độ cao Néron Tate 11 37 17 51 Mặt phẳng afin Mặt phẳng xạ ảnh Miền nhân tử hóa Miền tầm thường hóa địa phương 28 28 13, 14 12, 13 N Nguyên hàm Nhóm abel 14 16 Nhóm abel hữu hạn sinh Nhóm abel khơng xoắn Nhóm xoắn nhóm abel A 16, 19 16 16 P Phép cộng điểm Phép đẳng cấu Phương pháp đường cong elliptic Phương trình đồng dư bậc Phương trình Phép nhúng Segre 63 34 53, 55 71 69 41 Q Quan hệ tương đương 29 S Sàng toàn phương 52 Sàng trường số 52 Siêu mặt 25 Song ánh 29 Số điểm chung họ đường cong elliptic họ đường tròn 79 Số chiều Krull A 11 Số nghiệm phương trình đồng dư70, 71 Sự trơn 44 T Tọa độ Tồn xạ Tơpơ Zariski Tổng trực tiếp ngồi Tổng trực tiếp Tương đương song hữu tỉ Trường hàm 39 18 34 18 17 36 35 V Vành afin Vành địa phương (noether) Vành hàm quy X Vành Noether Vành thương, vành tọa độ 33 33 33 ... đường cong trường hữu hạn Các định lý mơ tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu hạn Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trường hữu hạn - Tổng quan đường cong. .. lượng nhóm E(Fq) đường cong elliptic trường hữu hạn Fq b) Các kết phương pháp mô tả luật nhóm nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic trường hữu hạn c) Các kết mơ tả nhóm abel hữu hạn sinh Luận... Tổng quan đường cong dạng Weierstrass trường hữu hạn - Các điểm hữu tỷ đường cong Elliptic trường hữu hạn - Mơ tả chung luật nhóm - Nhóm điểm hữu tỷ họ đường cong y  x3  kx , y  x3  b , với