Các điểm hữu tỷ trên các đường cong ELLIPTIC trên trường hữu tỷ

BỘ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRẦN THẾ PHỤC CÁC ĐIỂM HỮU TỶ TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU TỶ Chun ngành : Hình học Tơpơ Mã số : 60.46.10 Người hướng dẫn khoa học : TS PHAN DÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CÁM ƠN Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn khoa học TS Phan Dân Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Thầy giúp đỡ tạo điều kiện cho tiếp xúc với nguồn tài liệu quý, tài liệu nước , giảng giải bảo tận tình cho tơi suốt trình làm luận văn Hơn thầy dành nhiều công sức , thời gian để đọc chỉnh sửa luận văn Tôi xin chân thành cám ơn Q Thầy Cơ khoa Tốn – Tin trường Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh , đặc biệt Quý Thầy tổ Hình học cung cấp kiến thức chuyên môn cần thiết cho để làm tảng cho việc hoàn thành luận văn Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phịng Khoa học Cơng nghệ Sau đại học, phịng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu Trường PTTH Phú Nhuận toàn thể đồng nghiệp, bạn học viên gia đình động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cám ơn Tp.Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2010 Tác giả Trần Thế Phục LỜI GIỚI THIỆU - MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Một vấn đề thời Toán học suốt ba kỷ qua việc nghiên cứu tìm lời giải cho Bài tốn Fermat (cịn gọi Định lý lớn Fermat hay Định lý Fermat-Wiles) Đây toán thuộc lĩnh vực Lý thuyết số thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Điều thú vị trình tìm kiếm lời giải cho giả thuyết Fermat, người ta phải sử dụng tới nhiều kiến thức kỹ thuật phương pháp nghiên cứu nhiều ngành khác Lý thuyết số, Đại số giao hoán, Giải tích, Hình học, Lý thuyết Galois, …, đặc biệt số có đóng góp quan trọng ngành Hình học Đại số Lý thuyết đa tạp, đường cong đại số điểm hữu tỷ chúng, hàm elliptic, dạng modular, … khái niệm quan trọng kết nghiên cứu liên quan tiệm cận lời giải định lý Fermat Chúng lựa chọn đề tài thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tìm hiểu giới thiệu số kiến thức chuyên môn “Lý thuyết đường cong Elliptic” với việc xét tính chất số họ đường cong trường số hữu tỷ mơ tả phân bố nhóm điểm hữu tỷ chúng Trong phạm vi đề tài , xét đường cong Elliptic trường số hữu tỷ mơ tả dạng Weierstrass Vì vậy, Luận văn đặt tên : “Các điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu tỷ” 1.2 Lịch sử vấn đề Cơ sở lý thuyết công cụ nghiên cứu phương pháp giải vấn đề Luận văn dựa số kết sau đây: a) Một kết thú vị tính chất tách trực tiếp nhóm aben hữu hạn sinh (các Z-mođun hữu hạn sinh ) thành phần xoắn khơng có xoắn, cuối tách trực tiếp thành tổng hạng tử tách mà chúng nhóm cyclic b) Định lý Nagell-Lutz mô tả điểm hữu tỷ, Định lý Mordell-Weil khẳng định tập điểm hữu tỷ đường cong elliptic nhóm abel hữu hạn sinh Định lý Mazur mơ tả tập điểm có cấp hữu hạn tập điểm hữu tỷ c) Các kết phương pháp mơ tả luật nhóm nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic Luận văn tập trung giải số vấn đề về: xác định nhóm điểm hữu tỷ số họ đường cong Q cho dạng Weierstrass: y = x + Ax + B , với A, B  Z Một số kết nghiên cứu thuộc hướng tiếp tục phát triển thời gian gần nhiều tác giả 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ số họ đường cong elliptic dạng Weierstrass trường số hữu tỷ - Xét số họ đường cong với mục đích mơ tả nhóm điểm hữu tỷ dựa theo luật nhóm xác định chúng - Phân loại nhóm xoắn điểm hữu tỷ số họ đường cong ( điểm cấp 2, cấp ) - Đề tài giới hạn phạm vi xét đường cong Elliptic E không kỳ dị Q với ý tưởng mô tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỷ E(Q) 1.4 Mục đích nghiên cứu - Mơ tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỷ E(Q) đường cong Elliptic không kỳ dị E Q - Mô tả điểm xoắn số lớp đường cong Elliptic - Mơ tả thuật tốn xác định điểm xoắn hữu tỷ đường cong elliptic 1.5 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp, công cụ Đại số Lý thuyết số để giải tốn mơ tả cấu trúc nhóm abel hữu hạn sinh Kết hợp kết với Định lý Nagell-Lutz (mô tả điểm hữu tỷ) Định lý Mazur (mơ tả điểm có cấp hữu hạn) để xác định điểm xoắn số họ đường cong xét Cuối cùng, tập điểm hữu tỷ trường hợp cụ thể xác định nhờ Định lý Mordell -Weil Đây số hướng nghiên cứu phương pháp dùng phổ biến việc xét đường cong elliptic Các hướng nghiên cứu sử dụng phát triển nhiều tác giả nhiều năm gần Các phương pháp nghiên cứu kỹ thuật thuật toán dùng Luận văn dựa công cụ nghiên cứu sử dụng [Ful 74] ,[ Har 77] , [Was 03] - NỘI DUNG Luận văn bao gồm chương Chương 1: Kiến thức Chương trình bày số khái niệm kết nghiên cứu công bố nhiều tài liệu chuyên ngành Toán: - Các định lý tách trực tiếp nhóm aben hữu hạn sinh - Một số kết quen biết lĩnh vực Lý thuyết số - Các đa tạp xạ ảnh, afin - Một số kiến thức kỹ thuật, thuật toán liên quan thuộc Hình học Đại số, trích dẫn từ [ Fri 01] , [ Mil 06] , [Sil 86] , [Sil 92] ,[Was 30] - Các khái niệm, kết nghiên cứu đường cong elliptic Các đường cong trường số hữu tỷ Các định lý mô tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ đường cong elliptic Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass Q - Tổng quan đường cong dạng Weirstrass Q - Các điểm hữu tỷ đường cong Elliptic Q Nhóm Mordell – Weil - Mối liên hệ đường cong elliptic với phép nhân tử hóa - Điểm xoắn hữu tỷ đường cong elliptic - Mơ tả thuật tốn xác định điểm xoắn hữu tỷ đường cong Elliptic BẢNG CÁC KÝ HIỆU T(A) Nhóm xoắn nhóm abel A AB Tổng trực tiếp A B K Bao đóng đại số K X(K) Tập hợp điểm K- hữu tỷ đường cong X X() Tập hợp điểm hữu tỷ đường cong X xác định  2 E(k) C() tors Mặt phẳng xạ ảnh  Đường cong E xác định trường k , với k  , , ,Fq  Tập hợp điểm hữu tỷ xoắn đường cong C xác định  h(P) Hàm chiều cao P n        Nhóm abel tự hạng n , không xoắn  n lân k  x , x n    n Vành đa thức trường k với n biến Không gian affine n chiều trường k k X Vành tọa độ X (X) Vành hàm quy X I k(X)  k Div X Căn ideal I Trường hàm hữu tỷ X Nhóm k – số chia tập hợp tổng tự nhiên   điểm X k Div0 X  k Nhóm k - số chia có bậc Pic(X) Nhóm Picard hay nhóm lớp số chia X Spec0F Vành số nguyên F  Điểm vô cực   fm   Biệt thức f m m - đa thức chia Biệt thức đường cong elliptic BẢNG CHÚ GIẢI THUẬT NGỮ KHOA HỌC Thuật ngữ Trang Nhóm abel Nhóm xoắn Khơng gian affine n 10 Đa tạp đại số affine 10 Đa tạp bất khả quy 10 Vành Noether 11 Không gian xạ ảnh n-chiều n (hoặc n(k) ) k 13 Đa tạp đại số xạ ảnh 13 Vành tọa độ ( affine ) 15 Hàm số quy 15 Ánh xạ quy 16 Đa tạp tựa xạ ảnh 18 Đa tạp không khả quy 18 Hàm hữu tỷ quy 18 Ánh xạ đẳng cấu 18 Ánh xạ hữu tỷ 19 Đa tạp hữu tỷ 19 Điểm kỳ dị 24 Đường cong elliptic 40 Luật nhóm 42 Đường cong phẳng 19 Điểm K - hữu tỷ 19 Ideal 13 Hàm chiều cao 31 Định lý Nagell – Lutz điểm hữu tỷ đường cong 39 Định lý Mazur tập hợp điểm hữu tỷ  ( cấp hữu hạn ) 39 Định lý Mordell – Weil E    40 Nhóm Mordell –Weil 43 Dạng Weierstrass đường cong elliptic 41 Đường cong xạ ảnh 53 Dạng đường cong elliptic 54 Điểm P  C  điểm xoắn có cấp n 58 Định lý Nagell – Lutz điểm xoắn 59 Đa thức chia 59 Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH Định nghĩa : Một nhóm abel A gọi hữu hạn sinh tồn hữu hạn phần tử a ,a , ,a n  A cho với x  A , tồn số nguyên k1, k2, … , kn thỏa x =  n k a i=1 i i Định nghĩa 2: Cho A nhóm abel Nhóm xoắn A, ký hiệu T(A), tập: T(A) = {a  A | n  N cho na = 0} Định nghĩa 3: Một nhóm abel A gọi khơng có xoắn T(A) = {0} Bổ đề 4: Cho A nhóm abel Khi A/T(A) khơng có xoắn Định nghĩa 5: n        gọi nhóm abel tự  n lân hạng n Định lý : Nếu A nhóm abel khơng có xoắn hữu hạn sinh mà có tập hợp nhỏ phần tử sinh gồm n phần tử, A đẳng cấu với nhóm abel tự hạng n Chứng minh:Áp dụng phương pháp quy nạp số phần tử sinh nhỏ A Nếu A cyclic (nghĩa sinh phần tử khác 0), A   Giả sử kết với tất nhóm abel khơng có hữu hạn sinh với tập hợp phần tử sinh nhỏ có số phần tử n phần tử Giả sử A khơng có xoắn giả sử { a ,a , ,a n } tập nhỏ phần tử sinh A Nếu T(A/< a >)={0} A/< a > khơng có xoắn sinh n -1 phần tử nên < a >   Nếu T(A/< a >) 1 khơng nhóm tầm thường có nhóm B  A cho T(A/< a >)  B/< a > 1 Như với phần tử  b  B có số nguyên  i   cho ib< a > Nhưng ta lại có ib = ja với số nguyên j  Khi , ta định nghĩa ánh xạ : Bổ đề 79 : Cho u  p h   p  x  , lấy k thỏa pk h '(u) giả sử pn k h(u) với n > k Đặt   p k h(u) v  u   p k h '(u) v  u modpn ; p2n h(v) ; p k h '(v) Bổ đề dẫn đến phương pháp hiệu để tìm điểm tạo từ nghiệm đa thức mà đảm bảo q trình khơng tốn q nhiều thời gian ( softly – linear time ) - Như trình bày phần giới thiệu , thuật tóan thực hiên sau : Cho đường cong elliptic E  , ta xem đường cong  l tìm điểm m – xoắn  l - hữu tỷ sau dó ta kiểm tra xem chúng có thuộc E    Số nguyên tố l chọn cho thu gọn E  l tốt Những số nguyên m chọn dựa định lý Mazur : ,3 , 4, ,7 , 8, Giả sử ta muốn tính nghiệm đa thức m - chia Nếu l > số nguyên tố l m bổ đề cho ta nghiệm fm phân biệt đồng dư l Với bổ đề Hensel , ta lấy nghiệm Fl fm  l với k = Trong trường hợp p số nguyên tố tốt cho thu gọn pi m ta lấy nghiệm Fp f pi dùng bổ đề Hensel với k = i [Sat 00] Bổ đề 80: Cho E đường cong ordinary  p cho dạng Weierstrass y2 =   x3 + ax +b có thu gọn tốt p với p > ab  Giả sử E  urp  pi   O Nếu     P  E urp  pi  điểm khơng tầm thường v p  pi  x  P    i - Bổ đề đóng vai trị quan trọng thuật tóan Nếu số nguyên tố chọn , 5, ta tính điểm ,9 ,5, – xoắn - Bổ đề dùng cho đường cong elliptic ordinary trước áp dụng bổ đề , ta phải loại bỏ trường hợp supersingular Quá trình cách để kiểm tra tính supersingular [BSS 99]: Cho E đường cong elliptic  p mà có thu gọn tốt p E supersingular * p  # E  Fp   p  * p =2, # E  Fp   1,p  1,2p  Thuật tóan : Đầu vào : Cho đường cong elliptic E có dạng y2 = x3 + ax + b với a;b  Đầu : T;t i với T  E     t  i = ;2 điểm sinh E tors Chọn số nguyên tố l > l    Dùng f tính E  l  2 r  # E       Lấy R1 ….Rr tọa độ x điểm không tầm thường Nếu r = (a) Cho p = , , thực sau : (i) Nếu p   # E Fl quay trở lại bắt đầu trình lặp thực lại với số nguyên tố (ii) Dùng fp tính Q  E   l   p  \ O (iii) Nếu Q  E    quay trở lại bắt đầu trình lặp thực lại với số nguyên tố (iv) Nếu p = , trở lại Q,p (v) Nếu 32 # E Fl       + Dùng f9 tính S  E l 9  \ E  l 3 Nếu S  E    trở lại Q;3 trái lại quay S;9 + Trường hợp khác trở lại Q;3 (b) Trở lại O;1 Nếu r = (a) Với p = , thực sau : (i) Nếu p   # E Fl p  quay trở lại điểm bắt đầu trình lặp thực lại với số nguyên tố   (ii) Dùng fp tính Q  E  l  p  \ 0 (iii) Nếu Q  E    quay trở lại điểm bắt đầu trình lặp thực lại với số nguyên tố (iv) U  R1  Q (v) Nếu p = ,7 trở lại U,10 (vi) Nếu   # E Fl trở lại U,6     (vii) Dùng f4 tính V  E  l  4 \ E l   (viii) Nếu V  E    + Trở lại V  Q,12 + Hoặc trở lại U,6 (b) Nếu   # E Fl trở lại R1,2     (c) Dùng f4 tính W  E  l  4 \ E l  2 (d) Nếu W  E      + Nếu # E Fl trở lại W,     + Dùng f8 tính Z  E  l 8 \ E  l   + Nếu Z  E    * Trở lại Z,8 * Hoặc trở lại W, (e) Trở lại R1,2 Nếu r = (a) Thực sau : (i) Nếu   # E Fl vịng lặp   (ii) Dùng f3 tính Q  E  l 3 \ 0 (iii) Nếu Q  E    A U  R1  Q B Trở lại U,6 R ,2 (b) Thực sau : (i) Nếu   # E Fl trở lại R1,2 R ,2     (ii) Dùng f4 tính W  E l 4 \ E  l  2 (iii) Nếu W  E    * Nếu 16   # E Fl trở lại W, R ,2     * Dùng f8 tính Z  E  l 8 \ E  l  4 * Nếu Z  E    - Trở lại Z,8 R ,2 - hay trở lại W;4 R ;2 (c) Trở lại R1,2 R ,2 Bổ đề 81 : Thuật tóan thỏa yêu cầu Chứng minh : Nếu #E     2  định lý 78 , chúng trường hợp (ii) Mazur Ngược lai trường hợp (ii) xảy giả thiết # E       1,2 dẫn đến mâu thuẫn - Chọn số nguyên tố l > cho E có thu gọn tốt l ánh xạ thu gọn E   l   m  E  Fl   m phép nhúng với tất m thỏa (m ,l ) = [Sil 86] Hơn ánh xạ E     p   E   l   p phép nhúng - Do trước tiên tính điểm E   l   2 kiểm tra xem có 1, 2, điểm E     2 2.3.4 Sự phân tích thời gian hồn thành : - Cho M(N) tốn tử bít cần thiết để thực phép nhân hai số có kích cỡ N Chúng ta giả sử thuật tóan nhân số nguyên nhanh giống Schonhage – Strassen [GG 99] dùng trường hợp M(N) = O(NlogNloglogN) = O(N) - Một số ngun có kích cỡ N biểu diễn p –adically cách dùng đệ quy để tìm chuyển đổi số [GG 99] thời gian  M  Nlog p  log N  - Để tìm số nguyên tố l , ta tính f đa thức m- chia với m = 3, 4, 5, 7, 8, kích cỡ hệ số đa thức bị giới hạn O  log C   O  log   - Trong trường hợp độ lớn số nguyên tố O  log   thời gian để tính # E(F ) không đáng kể nghiệm Fl – hữu tỷ đa thức chia O  log   l - Khi ta tìm nghiệm gần ta dùng phép nâng Hensel để tính xác  l - hữu tỷ 2.3.5 Biệt thức đa thức DIV : - Khi tính tốn biệt thức đa thức m - chia , ta tìm cơng thức biểu thị qua   f m  , hệ số m ,và biệt thức đường cong elliptic E - Dùng Magma chạy PentiumIV 1.80Ghz ; 128MB Ram ; Windows XP , ta tính biệt thức theo bảng sau : m d  fm  Thời gian 33  24.42 5 12 511 22 0.047s 16 24612 40 0.234s 24 723 92 7.407s 30 24826 145 1ph 0.437s 40 939 260 15ph 56.953s 10 48 241044 376 1h 34ph 37.984s 11 60 1159 590 13h 15ph 27.812s 12 70 241266 805 50h 36ph 25.907s - Dựa vào , ta có giả thuyết sau : d(d1)  m1   d  m = 2k +1 , k    1 m  fm    d(d1)  d  2 m m = 2k , k     Dựa bổ đề 76 , ta thấy , giả thuyết xảy (m , p ) = E đường cong elliptic có thu gọn tốt  p Dưa , ta thu vài kết [BH 05] Bổ đề 82 : Giả thuyết m = p số nguyên tố lẻ E đường cong elliptic thu gọn tốt  p     Chứng minh: Cho L   p E  p  m  mở rộng hữu hạn  p cho   E có thu gọn tốt nghĩa vp   '   vp  u   vp    /12 lc f p  p Trường hợp : Gỉa sử E Fp đường cong elliptic siêu kỳ dị Khi   E Fp  E1  L   p   E  L   p  - Cho ti tọa độ địa phương điểm mà tọa độ x x, tọa độ y i     dương Xét hệ số ti ta biết x,  ti2  a, ti2  t y,   t 3  a, t i  ti2 i i i i Do vp  x,  x,   vp  t i2  t j   vp  t i  t j   vp  t i  t j   2vp ti  2vp  t j  j          i   - Với i , ta có vp(ti) > tham số địa phương phần tử nhóm đường cong elliptic tức phần tử ideal tối đại vành số nguyên L Ta biết ti   t j ;1  i  j  m2  e e với i [BG 03] , ta có ti  t j  ti  t j + hệ số bậc cao vp t i   p2  2d   hạng tử Do vp  ti  t j   vp  ti  t j  gía trị hệ số bậc cao     thực tất giá trị lại Tương tự vp( ti  tj) = vp( ti – tj)  2  e   e Do vp  x ,  x ,   i j 2d d   - Ta có    vp  f p   2d  2 vp  p     2d   e  d  d  1 vp      vp  x,  x,  j 1i jd  i d  d  1 d  d  1 e vp     2d(d  1)  (d  1)e  vp    2d d d 1      d     vp    - Do vp  f p Trường hợp : Cho E Fp đường cong elliptic ordinary Do   E Fp  p    p   dãy khớp ngắn  E1  L   p  E  L   p  E Fp  p  đẳng cấu với dãy ngắn   p   p   p   p  - Đặt Q  E1  L   p P  E  L   p  \ E1  L   p  p  X     X  x  iQ   p 1 1i   p 1 1i ;0 jp 1  X  x  iP  jQ   - Cho ti tham số địa phương điểm iQ , ta có vp  t i   [BG 03] Do : e p 1   y  jQ   y  iP    x  iP  jQ     x  iP   x  jQ    x  jQ   x  iP      2  t j  y  iP    x  iP   t 2  a , t  t j j j t j  x  iP          t 3  a , t  j j   t 2  a , t  j  j        1  y  iP  t  a , t  t j j j 2   tj   x  iP  t  a , t  t j j j     x  iP   t 2  a , t  t j j j     2 , 2 2  t j  2x  iP   2y  iP  t j  3x  iP  t j  4x  iP  y  iP  t j   x  iP   t j  a t j  t j   2 ,  x  iP   2y  iP  t j  3x  iP  t j  a t j  t j    - Ta xét :  2v p x ,i  x ,j 1i  jd 1)  1i  j p 1  2v p  x  iQ   x  jQ     2  e  p  1 p  3 p 1 23 e  p  1 p 2) 2v p  x  iQ   x  jP  kQ     2    p p 1 22 1i;j ;0k  p1  3) 1i  p 1 ;0 j1  j2  p 1 4) 2vp  x  iP  j1Q   x  iP  j2 Q     2v p  x  i1P  jQ   x  i P  jQ     2v p  x  i1P  j1Q   x  i P  j2 Q     2vp  x  i1P  j1Q   x  i P  j2 Q    p 1 1i1 i  ;0 j1  j2 p 1 5) p 1 1i1 i  ;0 j1  j2 p 1 6) p 1 1i1 i  ;0 j2  j1 p 1 Ta có : e p(p  1) p 1 22  *  2vp x ,i  x ,j 1i