Đường cong ELLIPTIC dạng HESSE

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Tồn Vinh ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG HESSE Chun Ngành: Hình Học Và Tơpơ Mã Số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHAN DÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn khoa học TS Phan Dân Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Thầy trang bị cho tài liệu, tạo hội cho làm quen với đường cong elliptic số ứng dụng đường cong elliptic, biết tương đương tuyến tính đường cong elliptic dạng Hesse dạng Weierstrass, ứng dụng đường cong elliptic dạng Hesse Lý thuyết mã hố thơng tin Tơi xin chân thành cảm ơn q Thầy tổ Hình học khoa Tốn – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh giúp đỡ cho kiến thức chuyên môn phương pháp làm việc suốt trình học Cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phịng Khoa học Cơng nghệ Sau đại học, phịng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu Trường trung học sở trung học phổ thông Nguyễn Khuyến toàn thể đồng nghiệp, bạn học viên gia đình động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Tp.Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2010 Tác giả Trần Nguyễn Toàn Vinh BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÝ HIỆU I Căn iđêan I deg( f ) Bậc đa thức f EH (q ) Đường cong elliptic dạng Hesse trường F q EW (q ) Đường cong elliptic dạng Weierstrass trường F q E (k ) Đường cong elliptic trường k #E(K) Cấp E(K) G (k ) Nhóm điểm hữu tỉ A B Tổng trực tiếp nhóm A B k[X] Trường hàm hữu tỉ X q Trường đóng đại số F q (X) Iđêan triệt tiêu X (X) Vành hàm quy X X(k) Tập tất điểm k-hữu tỷ X X(  ) Tập hợp điểm hữu tỷ đường cong X n Không gian afin n-chiều n Không gian xạ ảnh n-chiều trường k đóng đại số Fq Trường hữu hạn gồm q phần tử g Cơ sở Grưbner g Gm Nhóm nhân Ga Nhóm cộng tính G (ma ) Nhóm xoắn G(k) Nhóm điểm hữu tỉ gdc(a, b, c) Ước chung lớn a, b, c k[x1, …, xn] Vành đa thức k với n biến T(A) Nhóm xoắn nhóm aben A I MỞ ĐẦU I.1 Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu đường cong elliptic, tích phân elliptic hàm elliptic chủ đề quan tâm nhiều lĩnh vực nghiên cứu nhà Toán học kỷ 19, kể đến nhà Tốn học có tên tuổi Abel, Gauss, Jacobi Legendre Nói riêng đường cong elliptic – thuộc đối tượng nghiên cứu Hình học Đại số đề tài mang tính thời Tuy nhiên với phát triển mạnh mẽ gần Lý thuyết mã hố thơng tin gắn liền với kết nghiên cứu đường cong đặt yêu cầu tự nhiên tìm kiếm dạng mơ tả khác đường cong elliptic để từ lựa chọn thuật tốn ngày tốt cho việc tính toán xác định đặc trưng chúng Phần lớn kết nghiên cứu thuộc lĩnh vực xuất phát từ hai dạng biễu diễn phổ biến dạng Weierstrass dạng Hesse đường cong elliptic Trong phạm vi đề tài, xét dạng Hesse đường cong elliptic đề cập tới số thông tin mối liên hệ tới dạng Weierstrass chúng để có cách nhìn tổng quát nghiên cứu đối tượng Vì vậy, đề tài có tên gọi “Đường cong elliptic dạng Hesse” I.2 Lịch sử vấn đề Hướng nghiên cứu mà đề tài tiếp cận dựa kết sau đây: a) Một kết thú vị nhóm aben hữu hạn sinh (các Zmođun hữu hạn sinh): “Mỗi nhóm aben hữu hạn sinh tổng trực tiếp nhóm cyclic”, mà thực chất hạng tử biểu diễn mơ tả tường minh thơng qua phần xoắn không xoắn b) Hai sử dụng Định lý Bézout số giao điểm đường cong xạ ảnh phức c) Ba Hệ Định lý Riemann-Roch khẳng định cấu trúc nhóm tập điểm đường cong elliptic Luận văn tập trung giải số vấn đề về: mơ tả luật nhóm đường cong dạng Hesse, j-bất biến, thuật toán xác định điểm n-xoắn, khảo sát tương đương tuyến tính đường cong elliptic dạng Hesse Weierstrass I.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu đường cong elliptic dạng Hesse trường hữu hạn trường số phức - Đề tài giới hạn phạm vi xét luật nhóm đường cong dạng Hesse, đặc trưng j-bất biến điểm n-xoắn họ đường cong - Xác lập tương đương tuyến tính hai cách biểu diễn Weierstrass Hesse - Một số ứng dụng tương đương tuyến tính I.4 Mục đích nghiên cứu - Mô tả chi tiết cách tiếp cận, phương pháp xây dựng thuật tốn xác định luật nhóm đường cong elliptic dạng Hesse - Nghiên cứu tính đối xứng đường cong dạng Hesse, xác định jbất biến đường cong dạng - Tính toán xác định điểm n-xoắn số lớp đường cong dạng Hesse - Mối liên hệ hai dạng Weierstrass Hesse Tương đương tuyến tính Hồn chỉnh việc chứng minh số Định lý mơ tả tính chất đường cong dạng Hesse thuộc chủ đề vừa nêu I.5 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp mô tả đường cong elliptic dạng Hesse, thực việc xây dựng luật nhóm đường cong xác định điểm xoắn số họ đường cong cụ thể Phần thứ hai sử dụng phương pháp tạo lập ánh xạ tuyến tính hai dạng Weierstrass Hesse đường cong elliptic (bảo toàn j-bất biến tập hợp điểm) Đây số hướng nghiên cứu kỹ thuật dùng phổ biến việc nghiên cứu đường cong elliptic Các hướng nghiên cứu sử dụng phát triển nhiều tác giả nửa kỷ qua giới Các phương pháp nghiên cứu dùng Luận văn dựa công cụ nghiên cứu sử dụng [Fri], [Ful1], [Sil3] II NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các nhóm aben hữu hạn sinh Định nghĩa 1.1.1: Một nhóm aben A hữu hạn sinh có phần tử hữu hạn a1 , a2 , , an  A cho với x  A , có số nguyên k1, k2, … , kn cho x   i 1 ki 31.58  s 27.02  s 61.58  s 56.53  s Afin LiDIA 73.36  s 48.48  s 105.31  s 82.90  s Xạ ảnh LiDIA 5.26  s 30.24  s 83.34  s 57.73  s Weierstrass 37.18  s 30.24  s 65.08  s 57.73  s Hesse 26.1  s 23.73  s 51.75  s 47.97  s Add Dbl Phép nhân điểm: Phép nhân điểm thực phép nhân đôi lặp lại phép cộng, phép nhân đôi cần thiết cho bit biểu diễn số điểm nhân Nếu sử dụng phép trừ phép cộng để nhân đơi cộng, phép nhân có tốc độ nhanh, cách sử dụng gọi biểu diễn SD2 (Signed Digit base 2) Trong biểu diễn SD2, số nhân biểu diễn bởi{-1, 0, 1} thay cho 1, cho số chữ số Điều dẫn đến số rút gọn phép cộng SD2 thuật toán sử dụng thiết lập điểm nhân Bảng Thời lượng phép nhân điểm đường cong elliptic trường hữu hạn với đặc tuyến p160 p240 73 160bit 240bit Phép nhân Đo Ước lượng Đo Ước lượng Affin LiDIA 16.35ms 16.14ms 34.81ms 34.32ms Jacobi LiDIA 14.58ms 13.69ms 32.14ms 31.44ms Jacobi 8.91ms 8.70ms 23.72ms 23.40ms 6.24ms 6.09ms 18.39ms 18.17ms Weierstrass Hesse Phép tốn quan trọng suốt mã hóa giải mã phép nhân điểm, [k ]P Trong phép tính này, k giá trị ngẫu nhiên có kích thước giống bậc đường cong Trong phép thử, chọn k giá trị ngẫu nhiên số điểm đường cong Các kết cho Bảng Trong thiết lập chúng ta, hai dạng chứng tỏ dạng Hesse nhanh 30% so với dạng Weierstrass ngắn 160bit nhanh 20% 240bit Chúng ta tin kết cách rõ ràng hệ thống mật mã sử dụng đường cong Hesse thực tốt hệ thống sử dụng đường cong Weierstrass Lí để giảm khác thời gian thực 240bit 160bit, thời gian thực phép nhân phần tử trường hữu hạn tăng nhanh nhiều so với phép toán khác Do khác số phép nhân trở thành quan trọng kết Chú ý tất ước lượng, tính tốn tất phép tốn trường sở, khơng phép nhân (phép bình phương) thường thấy thuyết trình Đối với 160bit, ước lượng dựa đếm phép nhân (và bình phương) (Bảng 2) thực tế dự đoán hiệu 74 suất nhỏ tăng thêm khoảng 15%, so với kết ước lượng khoảng 30% 2.2.5 Kết luận Các thí nghiệm chứng tỏ hệ thống mật mã sử dụng đường cong Hesse thực tốt hệ thống sử dụng đường cong Weierstrass Hơn nữa, hiệu suất tăng thêm lớn mà kỳ vọng từ việc đếm phép nhân trường thường thấy thuyết trình, cơng thức phép tốn điểm dạng Hesse đơn giản dạng Weierstrass Dựa điều này, kết luận hệ thống mật mã đường cong elliptic sử dụng dạng Hesse nên xem xét sử dụng nhiều hơn, đặc biệt thiết bị tính tốn ràng buộc thẻ thông minh Cuối tin với kết chứng tỏ dạng Hesse thiết lập mật mã đường cong elliptic hay chí có khả thay RSA để ứng dụng thực tiễn ... thương Đường cong afin Đường cong đại số phẳng Đường cong elliptic Đường cong elliptic dạng Hesse Đường cong elliptic dạng Weierstrass Đường cong không kỳ dị Đường cong môđula X1 (11) Đường cong. .. nhóm đường cong elliptic dạng Hesse - Tính đối xứng đường cong dạng Hesse, j-bất biến đường cong dạng - Tính tốn điểm n-xoắn số họ đường cong dạng Hesse - Tương đương tuyến tính đường cong elliptic. .. làm quen với đường cong elliptic số ứng dụng đường cong elliptic, biết tương đương tuyến tính đường cong elliptic dạng Hesse dạng Weierstrass, ứng dụng đường cong elliptic dạng Hesse Lý thuyết