Tiểu luận môn MẬT MÃ VÀ AN TOÀN DỮ LIỆU HỆ MÃ HÓA TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC. 1 Đường cong Elliptic trên trường số thực 2 Đường cong Elliptic trên trường Zp. 3 Đường cong Elliptic trên trường GF(2m) 4 Đường cong Elliptic trong mã hóa ECC 4.1 Trao đổi khóa EC DiffieHellman 4.2 Mã hóa và giải mã EC 14 4.3 Độ an toàn của ECC so với RSA
ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI BÁO CÁO MÔN HỌC MẬT MÃ VÀ AN TOÀN DỮ LIỆU HỆ MÃ HÓA TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC Lớp môn học: Giảng viên: Mật mã và an toàn dữ liệu PGS.TS Trịnh Nhật Tiến Học viên thực hiện : Bùi Thị Phương HÀ NỘI – 2014 1 HỆ MÃ HÓA TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC Họ tên : Bùi Thị Phương Ngày sinh : 15/03/1989 Mã học viên : 12025278 Email : phuongbt.mi12@vnu.edu.vn Điện thoại : 0973413012 1 Đường cong Elliptic trên trường số thực Đường cong Elliptic là đường cong có dạng: y 2 = x 3 + ax + b Trước khi khảo sát đồ thị của đường cong Elliptic, chúng ta xem lại đường bậc 3 sau: y = f(x) = x 3 + ax + b Nếu a>0 , f(x) đơn điệu tăng. Nếu a<0, f(x) có 4 trường hợp sau: Đặt 2 Từ đó chúng ta có các trường hợp sau đây của đường cong Elliptic (không sử dụng trường hợp λ=0 vì lúc này đường cong bị gãy): Hình dưới minh họa hai đường cong Elliptic y 2 = x 3 –x và y 2 = x 3 + x + 1 3 Trong đường cong Elliptic, chúng ta định nghĩa thêm một điểm O (điểm vô cực). Gọi E(a, b) là tập các điểm thuộc đường cong y 2 = x 3 + ax + b cùng với điểm O. Ta định nghĩa phép cộng trên tập các điểm thuộc E(a, b) như sau: 1. Điểm O là phần tử đơn vị của phép cộng. Như vậy với P E(a,b), P 0 thì P + 0 = 0+P=P . Trong phần tiếp theo ta giả định P 0 và Q 0. 2. Phần tử nghịch đảo của điểm P trong phép cộng, ký hiệu – P, là điểm đối xứng với P qua trục hoành, như vậy. 3. Với 2 điểm P, Q bất kỳ, kẻ một đường thẳng đi qua P và Q thì sẽ cắt đường cong Elliptic tại một điểm thứ 3 là điểm S. Phép cộng P và Q sẽ là Trong trường hợp P và Q đối xứng qua trục hoành, hay nói cách khác Q = thì đường thẳng nối P, Q sẽ cắt đường cong Elliptic tại vô cực, hay P + ( )=0. Điều này phù hợp với định nghĩa 2. 4. Để tính P + P , ta vẽ đường thẳng tiếp tuyến với đường cong Elliptic tại P , đường thẳng này cắt đường cong tại điểm S, lúc đó R= P + P= . 4 Có thể thấy, tập E(a, b) cùng với phép cộng định nghĩa như trên tạo thành một nhóm Abel Tính giá trị của phép cộng: Gọi tọa độ của điểm P là (x p, y p ) , của điểm Q là (x Q, y Q ) . Ta tính tọa độ của điểm R = P + Q = -S như sau: Đặt hệ số góc đường thẳng là : Ta tính được: 5 Tương tự, thực hiện tính tọa độ của điểm R= P + P = -S, khi y p 0 ta có: 6 2 Đường cong Elliptic trên trường Zp. Đường cong Elliptic trên trường Zp là đường cong có các hệ số thuộc trường Zp, đường cong này có dạng: y 2 mod p = (x 3 + ax + b) mod p Ví dụ trong trường Z 23 , chọn a =1,b=1,x=9,y=7 ta có: 7 2 mod 23=(9 3 + 9 +1)mod 23 49 mod 23= 739 mod 23 =3 Khác với đường cong Elliptic trong trường số thực, chúng ta không thể biểu diễn đường cong Elliptic Zp bằng đồ thị hàm số liên tục. Bảng bên dưới liệt kê các điểm (x, y) của đường cong trong trường Z 23 với a=1, b=1: 7 Cũng tương tự như khái niệm đối xứng qua trục hoành của đường cong Elliptic số thực, đường cong Elliptic Zp cũng đối xứng theo nghĩa đối xứng modulo. Giả sử điểm (x, y) thuộc đường cong Elliptic Zp trên thì điểm (x, p - y) cũng thuộc đường cong trên vì: (p-y) 2 = p 2 – 2py + y 2 y 2 mod p Ví dụ (1, 7) đối xứng với (1, 16) vì 7+16 = 0 mod 23. Hình vẽ bên dưới minh họa tính đối xứng này. Các điểm đối xứng với nhau qua đường y = 11.5 . Riêng điểm (4, 0) xem như là đối xứng với chính nó. 8 Cũng tương tự như nhóm Abel E(a,b) định nghĩa trên đường cong Elliptic số thực, chúng ta cũng định nghĩa một nhóm Abel E p (a,b) gồm các điểm của đường cong Elliptic Zp cùng với điểm vô cực O. 1) Điểm O là phần tử đơn vị của phép cộng. . 2) Phần tử nghịch đảo của điểm P trong phép cộng, ký hiệu – P, là điểm đối xứng với P, như vậy P + (– P) = O 3) Với 2 điểm P, Q bất kỳ, phép cộng R= P + Q được xác định bằng công thức: Trong đó: 9 Ví dụ: trong E 23 (1,1) , chọn P = (3,10), Q=(9,7), vậy: 10 [...]... REFERENCES AND NOTES 21 1 Kreuter, J.; Gelperina, S Use of Nanoparticles for Cerebral Cancer Tumori 2008, 94, 271–277 2 Yoon, K Y.; Hoon, B J.; Park, J H.; Hwang, J Susceptibility Constants of Escherichia coli and Bacillus subtilis to Silver and Copper Nanoparticles Sci Total Environ 2007, 373, 572–575 3 Tan, W B.; Jiang, S.; Zhang, Y Quantum-Dot Based Nanoparticles for Targeted Silencing of HER2/neu Gene... Assessments of Nanostructured Materials on Human Health J Nanosci Nanotechnol 2007, 7, 3048–3070 Nel, A.; Xia, T.; Madler, L.; Li, N Toxic Potential of Materials at the Nanolevel Science 2006, 311, 622–627 Raveendran, P.; Fu, J.; Wallen, S L Completely “Green” Synthesis and Stabilization of Metal Nanoparticles J Am Chem Soc 2003, 125, 13940–13941 Pernodet, N.; Fang, X.; Sun, Y.; Bakhtina, A.; Ramakrishnan, A.;... J.; Ulman, A.; Rafailovich, M Adverse Effects of Citrate/Gold Nanoparticles on Human Dermal Fibroblasts Small 2006, 2, 766–773 Hauck, T S.; Ghazani, A A.; Chan, W C Assessing the Effect of Surface Chemistry on Gold Nanorod Uptake, Toxicity, and Gene Expression in Mammalian Cells Small 2008, 4, 153–159 Khan, J A.; Pillai, B.; Das, T K.; Singh, Y.; Maiti, S Molecular Effects of Uptake of Gold Nanoparticles... Soc 2003, 125, 7959–7963 Derfus, A M.; Chan, W C W.; Bhatia, S N Intracellular Delivery of Quantum Dots for Live Cell Labeling and Organelle Tracking Adv Mater 2004, 16, 961–966 Yang, H.; Liu, C.; Yang, D.; Zhang, H.; Xi, Z Comparative Study of Cytotoxicity, Oxidative Stress and Genotoxicity Induced by Four Typical Nanomaterials: The Role of Particle Size, Shape and Composition J Appl Toxicol 2008, DOI... I A.; Brust, M Uptake and Intracellular Fate of Surface-Modified Gold Nanoparticles ACS Nano 2008, 2, 1639–1644 50 Zhao, Y.; Nalwa, H S NanotoxicologyOInteractions of Nanomaterials with Biological Systems; American Scientific: Los Angeles, CA, 2007 51 Swanson, J A Shaping Cups into Phagosomes and Macropinosomes Nat Rev Mol Cell Biol 2008, 9, 639–649 52 Vallhov, H.; Qin, J.; Johansson, S M.; Ahlborg,... 2007, 28, 1565–1571 4 Su, J.; Zhang, J.; Liu, L.; Huang, Y.; Mason, R P Exploring Feasibility of Multicolored CdTe Quantum Dots for In Vitro and In Vivo Fluorescent Imaging J Nanosci Nanotechnol 2008, 8, 1174–1177 5 Lok, C N.; Ho, C M.; Chen, R.; He, Q Y.; Yu, W Y.; Sun, H.; Tam, P K.; Chiu, J F.; Che, C M Proteomic Analysis of the Mode of Antibacterial Action of Silver Nanoparticles J Proteome Res 2006,... Kovochich, M.; Brant, J.; Hotze, M.; Sempf, J.; Oberley, T.; Sioutas, C.; Yeh, J I.; Wiesner, M R.; Nel, A E Comparison of the Abilities of Ambient and Manufactured Nanoparticles to Induce Cellular Toxicity According to an Oxidative Stress Paradigm Nano Lett 2006, 6, 1794–1807 Zhang, Z.; Berg, A.; Levanon, H.; Fessenden, R W.; Meisel, D On the Interaction of Free Radicals with Gold Nanoparticles J Am... www.acsnano.org 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Lung Function Changes in Sprague-Dawley Rats After Prolonged Inhalation Exposure to Silver Nanoparticles Inhal Toxicol 2008, 20, 567–574 Asharani, P V.; Wu, Y L.; Gong, Z.; Valiyaveettil, S Toxicity of Silver Nanoparticles in Zebrafish Models Nanotechnology 2008, 19, 1–8 Singh, S.; Nalwa, H S Nanotechnology and Health SafetyToxicity and Risk... the NUS-Nanoscience and Nanotechnology Initiative (NUSNNI), Department of Chemistry and Department of Physiology The authors thank L V Bindhu and S Shubhada for their help with the manuscript 16 17 18 19 Supporting Information Available: Additional details of experiments and results are included This material is available free of charge via the Internet at http://pubs.acs.org 20 REFERENCES AND NOTES... Investigating the Antimicrobial Activities of Silver Nanoparticles Langmuir 2006, 22, 9322–9328 7 Kim, J S.; Kuk, E.; Yu, K N.; Kim, J H.; Park, S J.; Lee, H J.; Kim, S H.; Park, Y K.; Park, Y H.; Hwang, C Y.; et al Antimicrobial Effects of Silver Nanoparticles Nanomedicine 2007, 3, 95–101 8 Samuel, U.; Guggenbichler, J P Prevention of CatheterRelated Infections: The Potential of a New Nano-Silver Impregnated . 20 14 1 HỆ MÃ HÓA TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC Họ tên : Bùi Thị Phương Ngày sinh : 15/03/1989 Mã học viên : 120 2 527 8 Email : phuongbt.mi 12@ vnu.edu.vn Điện thoại : 09734130 12 1 Đường cong Elliptic. (x, y) thuộc đường cong Elliptic Zp trên thì điểm (x, p - y) cũng thuộc đường cong trên vì: (p-y) 2 = p 2 – 2py + y 2 y 2 mod p Ví dụ (1, 7) đối xứng với (1, 16) vì 7+16 = 0 mod 23 . Hình vẽ. GF (2 m ) Đường cong Elliptic trên trường GF (2 m ) là đường cong có các hệ số thuộc trường GF (2 m ), đường cong này có dạng hơi khác so với trên Zp: y 2 + xy = x 3 + ax + b a,b,x,y GF (2 m ) Bây