ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG HESSE

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Toàn Vinh ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG HESSE Chuyên Ngành: Hình Học Và Tôpô Mã Số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHAN DÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn khoa học TS Phan Dân Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Thầy trang bị cho tài liệu, tạo hội cho làm quen với đường cong elliptic số ứng dụng đường cong elliptic, biết tương đương tuyến tính đường cong elliptic dạng Hesse dạng Weierstrass, ứng dụng đường cong elliptic dạng Hesse Lý thuyết mã hoá thông tin Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy tổ Hình học khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh giúp đỡ cho kiến thức chuyên môn phương pháp làm việc suốt trình học Cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu Trường trung học sở trung học phổ thông Nguyễn Khuyến toàn thể đồng nghiệp, bạn học viên gia đình động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Tp.Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2010 Tác giả Trần Nguyễn Toàn Vinh BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÝ HIỆU I Căn iđêan I deg( f ) Bậc đa thức f EH (q ) Đường cong elliptic dạng Hesse trường F q EW (q ) Đường cong elliptic dạng Weierstrass trường F q E (k ) Đường cong elliptic trường k #E(K) Cấp E(K) G (k ) Nhóm điểm hữu tỉ A B Tổng trực tiếp nhóm A B k[X] Trường hàm hữu tỉ X q Trường đóng đại số F q (X) Iđêan triệt tiêu X (X) Vành hàm quy X X(k) Tập tất điểm k-hữu tỷ X X(  ) Tập hợp điểm hữu tỷ đường cong X n Không gian afin n-chiều n Không gian xạ ảnh n-chiều trường k đóng đại số Fq Trường hữu hạn gồm q phần tử g Cơ sở Gröbner g Gm Nhóm nhân Ga Nhóm cộng tính G (ma ) Nhóm xoắn G(k) Nhóm điểm hữu tỉ gdc(a, b, c) Ước chung lớn a, b, c k[x1, …, xn] Vành đa thức k với n biến T(A) Nhóm xoắn nhóm aben A I MỞ ĐẦU I.1 Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu đường cong elliptic, tích phân elliptic hàm elliptic chủ đề quan tâm nhiều lĩnh vực nghiên cứu nhà Toán học kỷ 19, kể đến nhà Toán học có tên tuổi Abel, Gauss, Jacobi Legendre Nói riêng đường cong elliptic – thuộc đối tượng nghiên cứu Hình học Đại số đề tài mang tính thời Tuy nhiên với phát triển mạnh mẽ gần Lý thuyết mã hoá thông tin gắn liền với kết nghiên cứu đường cong đặt yêu cầu tự nhiên tìm kiếm dạng mô tả khác đường cong elliptic để từ lựa chọn thuật toán ngày tốt cho việc tính toán xác định đặc trưng chúng Phần lớn kết nghiên cứu thuộc lĩnh vực xuất phát từ hai dạng biễu diễn phổ biến dạng Weierstrass dạng Hesse đường cong elliptic Trong phạm vi đề tài, xét dạng Hesse đường cong elliptic đề cập tới số thông tin mối liên hệ tới dạng Weierstrass chúng để có cách nhìn tổng quát nghiên cứu đối tượng Vì vậy, đề tài có tên gọi “Đường cong elliptic dạng Hesse” I.2 Lịch sử vấn đề Hướng nghiên cứu mà đề tài tiếp cận dựa kết sau đây: a) Một kết thú vị nhóm aben hữu hạn sinh (các Zmođun hữu hạn sinh): “Mỗi nhóm aben hữu hạn sinh tổng trực tiếp nhóm cyclic”, mà thực chất hạng tử biểu diễn mô tả tường minh thông qua phần xoắn không xoắn b) Hai sử dụng Định lý Bézout số giao điểm đường cong xạ ảnh phức c) Ba Hệ Định lý Riemann-Roch khẳng định cấu trúc nhóm tập điểm đường cong elliptic Luận văn tập trung giải số vấn đề về: mô tả luật nhóm đường cong dạng Hesse, j-bất biến, thuật toán xác định điểm n-xoắn, khảo sát tương đương tuyến tính đường cong elliptic dạng Hesse Weierstrass I.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu đường cong elliptic dạng Hesse trường hữu hạn trường số phức - Đề tài giới hạn phạm vi xét luật nhóm đường cong dạng Hesse, đặc trưng j-bất biến điểm n-xoắn họ đường cong - Xác lập tương đương tuyến tính hai cách biểu diễn Weierstrass Hesse - Một số ứng dụng tương đương tuyến tính I.4 Mục đích nghiên cứu - Mô tả chi tiết cách tiếp cận, phương pháp xây dựng thuật toán xác định luật nhóm đường cong elliptic dạng Hesse - Nghiên cứu tính đối xứng đường cong dạng Hesse, xác định jbất biến đường cong dạng - Tính toán xác định điểm n-xoắn số lớp đường cong dạng Hesse - Mối liên hệ hai dạng Weierstrass Hesse Tương đương tuyến tính Hoàn chỉnh việc chứng minh số Định lý mô tả tính chất đường cong dạng Hesse thuộc chủ đề vừa nêu I.5 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp mô tả đường cong elliptic dạng Hesse, thực việc xây dựng luật nhóm đường cong xác định điểm xoắn số họ đường cong cụ thể Phần thứ hai sử dụng phương pháp tạo lập ánh xạ tuyến tính hai dạng Weierstrass Hesse đường cong elliptic (bảo toàn j-bất biến tập hợp điểm) Đây số hướng nghiên cứu kỹ thuật dùng phổ biến việc nghiên cứu đường cong elliptic Các hướng nghiên cứu sử dụng phát triển nhiều tác giả nửa kỷ qua giới Các phương pháp nghiên cứu dùng Luận văn dựa công cụ nghiên cứu sử dụng [Fri], [Ful1], [Sil3] II NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các nhóm aben hữu hạn sinh Định nghĩa 1.1.1: Một nhóm aben A hữu hạn sinh có phần tử hữu hạn a1 , a2 , , an  A cho với x  A , có số nguyên k1, k2, … , kn cho x   i 1 ki n Định nghĩa 1.1.2: Cho A nhóm aben Nhóm xoắn A, ký hiệu T(A), tập: T(A) = {a  A | n   : na  0} Định nghĩa 1.1.3: Một nhóm aben A gọi không xoắn T(A) = {0} Bổ đề 1.1.4: Cho A nhóm aben Khi A/T(A) không xoắn Định nghĩa 1.1.5:  n      (n hạng tử) gọi nhóm aben tự hạng n Định lý 1.1.6: Nếu A nhóm aben không xoắn hữu hạn sinh mà có tập hợp phần tử sinh nhỏ với n phần tử, A đẳng cấu với nhóm aben tự hạng n Chứng minh: Lý luận phương pháp quy nạp số phần tử sinh cực tiểu A Nếu A cyclic (đó sinh phần tử khác 0), A   Giả sử kết cho thấy tất nhóm aben không xoắn hữu hạn sinh với tập hợp phần tử sinh nhỏ có n phần tử Giả sử A không xoắn { a1 , a2 , , an } tập phần tử sinh cực tiểu A Nếu T(A/< a1 >)={0} A/< a1 > không xoắn sinh n-1 phần tử, suy < a1 >   Nếu T(A/< a1 >) không nhóm tầm thường có nhóm B  A cho T(A/< a1 >)  B/< a1 > Như với phần tử  b  B có số nguyên  i   cho ib< a1 > Nhưng sau ib  ja1 với j   Định nghĩa ánh xạ : f :B (và f(0) = 0) b  f(b) = j/i Đọc giả kiểm tra ánh xạ phép đồng cấu định nghĩa tốt nhóm aben kiểm tra ánh xạ có hạt nhân tầm thường, đơn ánh để : B  f ( B) Bây giờ, B hữu hạn sinh (vì  vành Noether) B cyclic Để thấy điều giả sử b = Khi đó: f(B) = < f(b1), … , f(bm) > = nhóm nhóm cyclic , cyclic Nếu B = A A tự phần tử sinh Ngược lại thì: A / B  a1 , , an  a2 , , an  A / B  ( A/  a1 ) / ( B /  a1 )  ( A/  a1 ) / T ( A/  a1 ) Do đó, A/B không xoắn sinh n – phần tử, aben tự hạng m < n Suy ra: A  B   m cho B  A /  m hữu hạn sinh Do B cyclic nên ta có điều phải chứng minh Chú ý: m = n – n cực tiểu Định nghĩa 1.1.7: Cho A nhóm aben, cho B C nhóm A Ta nói A tổng trực tiếp B C, ký hiệu A  B  C , A = B + C B  C  {0} , B + C = { b + c | bB cC} Định nghĩa 1.1.8: Cho P phạm trù cho X Y vật P Một cấu xạ f: X  Y gọi đơn xạ với vật Z P cặp cấu xạ: i, j: Z  X, f  i  f  j i = j Định nghĩa 1.1.9: Cho P phạm trù cho X Y vật P Một cấu xạ f: X  Y gọi toàn xạ với vật Z P cặp cấu xạ: i, j: Y  Z, i  f  j  f i = j Định nghĩa 1.1.10: Cho A B nhóm aben Tổng trực tiếp A B phạm trù nhóm aben, ký hiệu A  B nhóm aben, A  B với phép đồng cấu tắc i: A  A  B j: B  A  B với nhóm aben C cấu xạ f: A  C g: B  C, có ánh xạ k: A  B  C làm cho biểu đồ sau giao hoán: i j A   A  B  B f k g C Suy i, j phép đơn ánh Chú ý: Định nghĩa 1.1.10 ví dụ định nghĩa tính chất phổ dụng Chú ý rằng, định nghĩa có ý nghĩa phạm trù bất kỳ, vật 73 160bit 240bit Phép nhân Đo Ước lượng Đo Ước lượng Affin LiDIA 16.35ms 16.14ms 34.81ms 34.32ms Jacobi LiDIA 14.58ms 13.69ms 32.14ms 31.44ms Jacobi 8.91ms 8.70ms 23.72ms 23.40ms 6.24ms 6.09ms 18.39ms 18.17ms Weierstrass Hesse Phép toán quan trọng suốt mã hóa giải mã phép nhân điểm, [k ]P Trong phép tính này, k giá trị ngẫu nhiên có kích thước giống bậc đường cong Trong phép thử, chọn k giá trị ngẫu nhiên số điểm đường cong Các kết cho Bảng Trong thiết lập chúng ta, hai dạng chứng tỏ dạng Hesse nhanh 30% so với dạng Weierstrass ngắn 160bit nhanh 20% 240bit Chúng ta tin kết cách rõ ràng hệ thống mật mã sử dụng đường cong Hesse thực tốt hệ thống sử dụng đường cong Weierstrass Lí để giảm khác thời gian thực 240bit 160bit, thời gian thực phép nhân phần tử trường hữu hạn tăng nhanh nhiều so với phép toán khác Do khác số phép nhân trở thành quan trọng kết Chú ý tất ước lượng, tính toán tất phép toán trường sở, không phép nhân (phép bình phương) thường thấy thuyết trình Đối với 160bit, ước lượng dựa đếm phép nhân (và bình phương) (Bảng 2) thực tế dự đoán hiệu 74 suất nhỏ tăng thêm khoảng 15%, so với kết ước lượng khoảng 30% 2.2.5 Kết luận Các thí nghiệm chứng tỏ hệ thống mật mã sử dụng đường cong Hesse thực tốt hệ thống sử dụng đường cong Weierstrass Hơn nữa, hiệu suất tăng thêm lớn mà kỳ vọng từ việc đếm phép nhân trường thường thấy thuyết trình, công thức phép toán điểm dạng Hesse đơn giản dạng Weierstrass Dựa điều này, kết luận hệ thống mật mã đường cong elliptic sử dụng dạng Hesse nên xem xét sử dụng nhiều hơn, đặc biệt thiết bị tính toán ràng buộc thẻ thông minh Cuối tin với kết chứng tỏ dạng Hesse thiết lập mật mã đường cong elliptic hay chí có khả thay RSA để ứng dụng thực tiễn 75 III KẾT LUẬN Trong luận văn đưa kết luận về: - Phương pháp xây dựng thuật toán xác định luật nhóm đường cong elliptic dạng Hesse - Tính đối xứng đường cong dạng Hesse, j-bất biến đường cong dạng - Tính toán điểm n-xoắn số họ đường cong dạng Hesse - Tương đương tuyến tính đường cong elliptic dạng Weierstrass đường cong elliptic dạng Hesse - Thực hệ thống mã hóa đường cong elliptic cách sử dụng đường cong Hesse trường số nguyên tố - Một số thí nghiệm chứng tỏ hệ thống mật mã sử dụng đường cong Hesse thực hiệu hệ thống sử dụng đường cong Weierstrass Chứng minh số Định lý mô tả tính chất đường cong dạng Hesse thuộc chủ đề nêu phần mở đầu Đề cương Luận văn 76 BẢNG THUẬT NGỮ Trang A Afin LiDIA Ánh xạ quy Ánh xạ đồng Ánh xạ hữu tỉ Ánh xạ hữu tỉ trội Ánh xạ ngược quy Ánh xạ ngược hữu tỉ Ánh xạ song hữu tỉ Ánh xạ tuyến tính Ánh xạ tuyến tính nghịch đảo 70 19 19 21 21 23 21 21 56 56 B Bao đóng đại số Bao đóng xạ ảnh Bất khả quy Bổ đề Hensel 13 16 33 C Cái níu lại Cấu trúc nhóm Cấu xạ Chỉnh hình Chu kỳ Cơ sở Gröbner Cực điểm Cubic lùi Cubic xoắn 20 34 37 37 38 21 10 D,Đ Dàn  Dạng toàn phương bậc Đa tạp aben 37 45 39 77 Đa tạp afin Đa tạp bất khả quy Đa tạp đại số Đa tạp đại số afin Đa tạp đơn hữu tỉ Đa tạp nhóm xạ ảnh Đa tạp phức Đa tạp tuyến tính Đa tạp tựa xạ ảnh Đa tạp xạ ảnh Đa thức Đại số giao hoán Đại số tuyến tính Đẳng cấu Điểm cộng Điểm đơn Điểm Heegner Điểm k-hữu tỉ Điểm kép Điểm kỳ dị Điểm lùi Điểm nhân Điểm nút Điểm uốn Định lý Bézout Định lý Hilbert Định lý Fermat nhỏ Định lý Hasse-Minkowsk I Định lý Luzt_Nagell Định lý Mazur Định lý Mordell Định lý Mordell-Weil yếu Định lý Northcott Định lý số dư Trung hoa Đơn ánh Đơn xạ Độ cao tắc (độ cao Néron_Tate) Đồng cấu tắc Đồng cấu đồng Đồng cấu k-đại số 10 11 25 33 37 22 13 14 17 16 19 55 18 39 27 55 33 41 52 41 53 30 10 47 31 43 43 39 44 44 38 44 20 78 Đồng cấu thương Đường cong afin Đường cong đại số phẳng Đường cong elliptic Đường cong elliptic dạng Hesse Đường cong elliptic dạng Weierstrass Đường cong không kỳ dị Đường cong môđula X1 (11) Đường cong phẳng Đường cong xạ ảnh Đường conic 36 10 27 52 52 33 39 27 33 31 G Giống (loại) Giả thuyết Wiel 34 38 H Hàm quy Hàm độ cao Hàm hữu tỉ Hàm hữu tỉ quy Hàm phân hình Hàm Hạt nhân tầm thường Hữu hạn sinh 17 43 20 23 37 27 5 I Iđêan Iđêan Iđêan không tầm thường Iđêan định nghĩa Iđêan hữu hạn sinh Iđêan không thích hợp Iđêan nguyên tố Iđêan triệt tiêu Iđêan 10 12 15 11 11 15 14 12 14 79 J j-bất biến 54 K Khóa mật mã Không gian afin Không gian vectơ Không gian xạ ảnh Không gian xạ ảnh ambient 53 22 14 25 L Lớp tương đương Luật nhóm Lũy linh 14 35 18 M Ma trận khả nghịch Mặt phẳng afin Mặt phẳng xạ ảnh Mặt Riemann 53 28 28 34 N Nghiệm không tầm thường Nguyên lý Hasse Nhóm aben Nhóm aben hữu hạn sinh Nhóm aben không xoắn Nhóm aben tự Nhóm xoắn nhóm aben A Nhóm cyclic Nhóm Lie Nhóm Lie compact liên thông Nhóm tầm thường 31 30 4 4 37 37 80 Nullstellensatz Hilbert 12 P Phần tử sinh Phần tử sinh cực tiểu Phép biến đổi tuyến tính Phép chiếu tự nhiên Phép cộng điểm Phép đẳng cấu Phép đẳng cấu giải tích Phép đồng cấu Phép đồng cấu tắc Phép đúp điểm Phép hoán vị Phép nhân điểm Phép nhân phức Phép nhúng Phép nhúng Segre Phép trừ điểm Phương pháp Pollard p  Phương trình đồng dư Phương trình Phương trình tuyến tính Phương trình Weierstrass 25 19 62 38 62 52 61 23 27 64 45 31 29 33 Q Quan hệ tương đương 14 S Sàng toàn phương Sàng trường số Siêu mặt Song ánh Số đối chiều Sự rút gọn cộng Sự rút gọn nhân 45 45 12 16 42 42 81 T Tác động kênh biên Tập mở trù mật Tập zero Tham số hóa Thuật toán Deuring Tọa độ xạ ảnh chuẩn tắc Tọa độ Tọa độ trộn Tọa độ xạ ảnh Jacobi Toàn xạ Tôpô Hausdorff Tôpô Zariski Tổng trực tiếp Trù mật Trường số hữu tỷ  Trường số p-adic  p Trường số phức  Trường số thực  Trường đóng đại số Trường hoàn chỉnh Trường hữu hạn q 67 25 10 50 66 14 70 70 11 11 11 27 27 27 27 33 27 Trường phân rã Tương đương song hữu tỉ Tương đương tuyến tính Tương đương xạ ảnh 56 21 52 25 V Vành (tọa độ) afin Vành giao hoán Vành Noether Vành thương Vết tự đồng cấu Frobenius Vi phân quy 17 11 11 17 52 34 X 82 Xạ ảnh LiDIA Xạ ảnh không kì dị 70 33 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO [BSS] Blake, Seroussi, and Smart, Cryptography Cambridge [CEP] Elliptic Curves in university press, 1999 E R Canfield, P Erdos, and C Pomerance, On a problem of Oppenheim concerning “factorisatio numerorum”, J Number Theory 17 (1983), no 1, 1-28 [CPQ] M Ciet, G Piret and J –J Quisquater, Several optimizations for elliptic curve implementation on smart card Universite Catholique de Louvain, Technical report CG-2001/1 [Elk] N D Elkies, Heegner point computations, Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), 122-133, Lecture Notes in Comput Sci 877, Spinger, Berlin, 1994 [FIPS] FIPS 186-2, Digital signature standard (DSS), National Institute of Standards and Technology, USA, 2000 [Fri] Frium H R The Group Law on Elliptic Curvers on Hesse form Proc of the Sixth Int Conf on Finite Fields and Applications Mehico (2001) [Ful1] Fulton W Algebraic Curves., An Introduction to Algebraic Geometry Mathematic Lecture Notes Series (1974) [Ful2] W Fulton, Algebraic curves An introduction to algebraic geometry Notes written with the collabora-tion of Richard Weiss Reprint of 1969 original Advanced Book Classics Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989 84 [Har] Joe Harris Algebraic geometry, volume 133 of Graduate Tests in Mathematics Spinger-Verlag, New York, 1995 A first course, Corrected reprint of the 1992 original [HU] J E Hopecroft and J D Ullman, Formal languages and their relation to automata Addition-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills,.Ont 1969 [HWCD] H Hisil, K Wong, G Carter, E Dawson, Faster group operations on elliptic curves International Association for Crytologic Research, Cryptology ePrint Archive, 2007/441 [IEEE] IEEE 1363-2000: Standard Specifications for Public Key Cryptography [JQ] M Joye and J –J Quisquater, Hessian elliptic curves and side channel attacks, Proceedings of CGES 2001, LNCS, v.2162, springer-Verlag, 2001, pp 402-410 [Kob] N Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zetafuntions Second edition Graduate Texts in Mathematics 58, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1984 [Lin] C.-E Lind Untersuchungen uber die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom geschlecht Eins, Thesis, University of Uppsala, 1940 [MM] R Martin and W McMillen, An elliptic curve over Q with rank at least 24, Janury 2000, electronic announcement on the NMBRTHRY list server (posted May 2, 2000), [Mo1] L J Mordell, On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees, Proc Cambrige Phil Soc 21 (1922), 179-192 85 [Mo2] L J Mordell, On the magnitude of the integer solutions of the equation ax  by  cz  J Number Theory (1969),1-3 [MOC] A Miyaji, T Ono, and II Cohen, “Efficient elliptic curve exponentiaion,” in Ad-vances in Cryptology-Proceedings of ICICS’97 Springer-Verlag LNCS1334, 1997, pp 282290 [Po1] B Poonen Computational aspects of curves of genus at least 2, pp 283-306 in: Cohen, H (ed.), Algorithmic Number Theory, Second International Symposium, ANTS-II, Talence, France, May 1996, Proceedings, Lecture Notes in Computer Science 1122, SpringerVerlag, Berlin [Po2] B Poonen, Computing rational points on cuvers, to appear in the Proceedings of the Millennial Conference on Number Theory, May 21-26, 2000, held at the University of Illinois at Urbana_Champaign [Rei] H Reichardt, Einige im Kleinen uberall losbare, im Grossen unlosbare diophantische Gleichungen, J Reine Angew Math 184 (1942), 12-18 [Ros] M Rosing, Implementing Elliptic Curve Cryptography Manning, 1990 [Sch] R Schoof, Elliptic curves over finite fields and the computation of square roots mod p, Math Comp 44 (1945), no 170, 483-494 86 [Sel] E Selmer, The diophantine equation ax3  by3  cz3  , Acta Math 85 (1951), 203-362 and 92 (1954), 191-197 [Ser1] J P Serre, A course in arithmetic Translated from the French Graduate Texts in Mathematics 7, SpringerVerlag, New York-Heidelberg, 1973 [Ser2] J P Serre, Lectures on the Mordell-Weil theorem Translated from the French and edited by Martin Brown from notes by Michel Waldschmidt Aspects of Mathematics, E15 Friedr Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1989 [Sha1] Igor R Shafarevich Basic algebraic geometry Springer-Verlag, Berlin, second edition, 1994 Varieties in projective space, Translated from the 1988 Russian edition and with notes by Miles reid [Sha2] I R Shafarevich, Basic algebraic geometry Varieties in projective space Second edition Translated from the 1988 Russian edition and with notes by Miles Reid Springer-Verlag, Berlin 1994 [Sha3] I.R Shafarevich, Basic algebraic geometry Schemes and complex manifolds Second edition Translated from the 1988 Russian edition by Miles Reid Sptinger-Verlag, Berlin, 1994 [Sil1] J H Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves Graduate Texts in Mathematics 106, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1986 [Sil2] J Silverman, Advanses topics in the arithmetic of elliptic curves, GTM 151, Springer-Verlag, New York, 1994 87 [Sil3] Silverman J H and Tate J Rational Points on Elliptic Curves Springer (1992) [Sma] N P Smart, “The Hessian form of an elliptic curve,” in CHES 2001, Koc, Nacache, and Paar, Eds SpringerVerlag LNCS 2162, May 2001,pp 118-125 [ST] J H Silverman and J Tate, Rational points on elliptic curves Undergraduate Texts in Mathematics SpringerVerlag, New York, 1992 [...]... i, k 0, , n; j, l 0, , m kl il kj nh x núi trờn c gi l phộp nhỳng Segre 1.4 Cỏc ng cong elliptic 1.4.1 Cỏc ng cong phng Cho k l mt trng Chng hn, k cú th l trng cỏc s hu t , trng cỏc s thc , trng cỏc s phc , trng cỏc s p-adic p , hoc trng hu hn q ca q phn t Cho k l mt bao úng i s ca k (Xem [Kob], [Ser1]) Mt ng cong phng X trờn k c nh ngha bi phng trỡnh f ( x, y ) 0 , õy f ( x, y ) aij xi y... x nh ca cỏc ng cong: Hm thun nht ca mt a X Y thc thun nht f ( x, y ) bc d l F ( X , Y , Z ) : Z d f , Bng cỏch Z Z 30 thay x bi X , y bi Y , v thờm y cỏc thnh phn ca Z mi n thc mang bc tng ca ca mi n thc l d Ta cú: f ( x, y ) F ( x, y,1) Nu f ( x, y ) 0 l mt ng cong phng C trong 2, bao úng x nh ca nú l ng cong C trong 2 c nh ngha bi phng trỡnh thun nht F ( X ,Y , Z ) 0 ng cong C bng vi C... toỏn gii quyt bi toỏn ny da trờn vic tỡm mt c s Grửbner, chỳng ũi hi mt s tớnh toỏn mt nhiu thi gian Vớ d 3: 10 Mt siờu mt trong 2 l mt ng cong i s phng Mt parabol cú th c cho bi tham s húa t (t , t 2 ) hoc hon ton bi y x 2 k[ x; y ] Vớ d 4: Cubic xon l mt ng cong trong 3 c cho bi tham s húa t (t , t 2 , t 3 ) Nú hon ton c cho bi hai phng trỡnh f1 y x 2 v f 2 z xy k[ x; y; z ] Vớ d 5: Hp v... im k-hu t trờn X c ký hiu X (k ) Vớ d 22: Phng trỡnh x 2 y 6 y 2 11 0 xỏc nh mt ng cong phng X trờn bc 3 v (5, ẵ) X( ) 28 Ti im ny ta cú th phỏt biu mt bi toỏn m, m trờn nhiu th k ó c dựng nh mt ng lc thỳc y cho s phỏt trin ca cỏc ngnh toỏn hc, ú l: Cõu hi: Liu cú hay khụng mt thut toỏn, m khi cho mt ng cong phng X trờn thỡ xỏc nh c X ( ) cú khỏc rng hay khụng? Mc dự X ( ) khụng nht thit... trong g Iờan thun nht thu c bng cỏch ny l iờan nh ngha ca bao úng x nh X n ca X Vớ d 12: 17 ng cong chun tc hu t bc d , C d l tham s húa cho bi: ( s : t ) ( s d : s d 1t : : t d ) Ta cú th mụ t nú bng mt tp hp cỏc phng trỡnh bc hai sao cho ma trn: x x x x d 1 0 1 2 x x x x d 1 2 3 cú hng l 1 Ngha l ng cong l tp zero ca cỏc a thc: x x x2 , x x x x , 0 2 1 0 3 1 2 Vớ d 13: Hỡnh chiu ca mt a... , Z ) 0 l nhng ng cong trong 2 trờn k, cú bc tng ng l m v n nh lý Bộzout chng t chỳng giao nhau ti mn im ca 2 , vi iu kin l: (1) F v G khụng cú cỏc tha s chung khụng tm thng (2) Nghiờn cu trờn mt trng i s úng, v (3) m cỏc im tng giao vi bi (trong trng hp k d, hoc cỏc im tip xỳc) 31 1.4.3 Cỏch xỏc nh X(): s chia nh theo bc Ta tr li vn xỏc nh tp hp cỏc im hu t X () õy X l mt ng cong phng afin f (