Tài liệu Giáo án ôn thi tốt nghiệp môn Toán - Biên soạn: Phùng Ngọc Chương pptx

Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương Tiết 1-2 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I Mục tiêu học: - Về kiến thức: Học sinh nắm định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng, nửa khoảng, đoạn, điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng, nửa khoảng, đoạn - Về kỹ năng: Giải toán xét tính đơn điệu hàm số đạo hàm Áp dụng đạo hàm để giải toán đơn giản - Về ý thức, thái độ: Tích cực,chủ động nắm kiến thức theo hướng dẫn GV, sáng tạo trình tiếp thu kiến thức II Phương tiện dạy học SGK, SBT,làm tập nhà III Phương pháp dạy học chủ yếu: Vấn đáp – hoạt động nhóm IV Tiến trình dạy học Bài mới: : Ôn lý thuyết Yêu cầu hs trình bày lại: Tính đơn điệu, hàm số đồng biến, hs nghịch biến, Mối quan hệ dấu đạo hàm biến thiên hàm số Để xét tính đơn điệu hàm số ta làm theo quy tắc: - Tìm TXĐ - Tính y’=f’(x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà y’=0 không xác định - lập bảng biến thiên xét dấu y’ - kết luận y’ từ bảng xét dấu y’ tìm khoảng đồng biến, nghịch biến : Tổ chức luyện tập 1)Xét tính đơn điệu hàm số a) y = f(x) = x33x2+1 b) y = f(x) = 2x2x4 c) y = f(x) = x −3 x +2 d) y = f(x) = e) y= f(x) = x3−3x2 g) y = f(x) = x − 4x + 1− x x − 3x + x −1 h) y= f(x) = x4−2x2 i) y = f(x) = sinx [0; 2π] Tiếp tục yêu cầu nhóm giải tập , Hướng dẫn nhanh cách giải ; Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, Để Hs đồng biến đạo hàm phải dương, nghịch biến đạo hàm phải âm 2) Cho hàm số y = f(x) = x3 + (m+1)x2+3(m+1)x+1 Định m để hàm số đồng biên khoảng xác định (ĐS:1 ≤ m ≤ 0) 3) Tìm m∈Z để hàm số y = f(x) = Năm học 2009-2010 mx − x −m đồng biên khoảng xác định (ĐS:m = 0) Trang Giáo án ôn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương Tiết CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I/ Mục tiêu : 1/ Kiến thức : Nắm vững định nghĩa cực đại cực tiểu hàm số, hai quy tắc để tìm cực trị hàm số, tìm tham số m để hàm số có cực trị 2/ Kĩ năng: Vận dụng thành thạo hai quy tắc để tìm cực trị hàm số, biết vận dụng cụ thể trường hợp qui tắc 3/ Thái độ: Nghiêm túc, cẩn thận, xác II Phương tiện dạy học SGK, SBT, làm tập nhà III Phương pháp dạy học chủ yếu: Vấn đáp – hoạt động nhúm IV Tiến trình dạy học 1: Cũng cố lý thuyết Để tìm cực trị hàm số ta áp dụng quy tắc sau: - Tìm TXĐ - Tính y’ tìm điểm xi (i =1, 2, …)mà y’=0 không xác định - Lập bảng biến thiên - Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điểm cực trị hàm số Để tìm cực trị hàm số ta áp dụng quy tắc sau: - Tìm TXĐ - Tính y’ tìm điểm xi (i =1, 2, …)mà y’=0 khơng xác định - Tính y’’ y’’(xi) - Dựa vào dấu y’’(xi) để kết luận điểm cực trị hàm số 2: Tổ chức luyện tập 1) Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số quy tắc I: a) y = x3 b) y = 3x + x + 2) Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số quy tắc II: a / y = x − 3x + b) y = x2lnx c) y = sin2x với x∈[0; π ] 3) Xác định tham số m để hàm số y = x3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực đại x = ( m = 11) 4) Xác định m để hàm số y = f(x) = x3-3x2+3mx+3m+4 a.Khơng có cực trị ( m ≥1) b.Có cực đại cực tiểu ( m 3) Trang Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN b.Đạt cực trị x = c.Đạt cực tiểu x = -1 6) Tìm cực trị hàm số : a) y = x + x b) y = − Phùng Ngọc Chương (m = 4) (m = 7) x4 + 2x + 7) Xác định m để hàm số sau đạt cực đại x =1: y = f(x) = x3 -mx2+(m+3)x- 5m+1 (m = 4) / Hướng dẫn học nhà : BT nhà m x − 2(m + 1) x + mx − Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu x + mx B2 Cho hàm y = Tìm m để hàm số có cực trị 1− x x + mx − 2m − B3 Cho hàm số y = Xác định m để hàm số có cực đại cực tiểu x+2 B1 Hàm số y = Năm học 2009-2010 Trang Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương Tiết TIỆM CẬN VÀ TÍNH ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ I/ Mục tiêu: Về kiến thức: Giúp học sinh nắm giới hạn hàm số, Nắm kỹ tiệm cận,cách tìm tiệm cận đồ thị hàm số Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ thành tạo việc tìm tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số biết ứng dụng vào toán thực tế Về tư : Đảm bảo tính xác, linh hoạt Về thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận II/ Chuẩn bị GV HS Hs: nắm vững lí thuyết giới hạn,tiệm cận đồ thị Chuẩn bị trước bt nhà III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp IV/ Tiến trình tiết dạy: 1/ Ổn định lớp: 2/ Bài mới: Phần : Yêu cầu học sinh chia làm nhóm nhắc lại số kiến thức lý thuyết có liên quan đến học sau : / Khái niệm giới hạn bên trái,giới hạn bên phải / Giới hạn vô - Giới hạn vô / Khái niệm tiệm cận ngang đồ thị / Khái niệm tiện cận đứng đồ thị Cả lớp thảo luận,bổ sung ,sửa sai,hoàn thiện phần lý thuyết để khắc sâu kiến thức cho Hs : Tiến hành hướng dẫn,gợi mở dẫn dắt để học sinh giải tập Bài tập : Chia lớp làm nhóm yêu cầu nhóm giải câu sau.Tìm tiệm cận đứng,ngang đồ thị hàm số sau : y= − 3x d/ y = a/ y = −4 1+ x x −1 2+ x b/ y = − 2x + 3x c/ Đại diện nhóm trình bày bảng, lớp thảo luận bổ sung, góp ý, hồn chỉnh ghi chép Gợi ý lời giải : a / y = x −1 2+ x ta có xlim →−2 + 2x −1 2x −1 = −∞, lim− = +∞, Nên đường x →−2 + x 2+ x thẳng x = - đường tiệm cận đứng đồ thị 2− 2x −1 x =2 = lim Vì xlim nên đường thẳng y = đường tiệm cận ngang →±∞ + x x →±∞ 1+ x đồ thị Bài tập : Tiến hành tương tự cho tập sau : Năm học 2009-2010 Trang Giáo án ôn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương x2 − x − b/ y = ( x − 1) 2− x d/ y= x − 4x + x − 12 x + 27 a./ y = x − 4x + x + 3x c/y= x −4 Đại diện nhóm trình bày ,lớp thảo luận ,góp ý ,bổ sung Gợi ý lời giải : x − 12 x + 27 a./ y = x − 4x + x − 12 x + 27 =1 Vì xlim →±∞ x − x + nên đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị Vì x − x + > , ∀ x nên đồ thị khơng có tiệm cận đứng 4/ Củng cố: Nhắc lại cách tìm giới hạn hsố Lưu ý cách tìm tiệm cận đứng nhanh cách tìm giá trị làm cho mẫu thức khơng BTVN: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau a y = x − 3x3 − x + x đoạn [ −2; 2] 2x +1 đoạn [ 3; 4] x−2 y = x3 − x + x , x ∈ [ 0; 4] b y = c d y = x + − x2 , Năm học 2009-2010 x ∈ [ −2; 2] Trang Giáo án ôn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương Tiết 5-6-7 : KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BA VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN I/ Mục tiêu: Về kiến thức: Giúp học sinh nắm sơ đồ khảo sát hàm số, Nắm kỹ biến thiên, Cực trị, GTLN, GTNN, tiệm cận, cách vẽ đồ thị hàm số Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ thành tạo việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số Về tư : Đảm bảo tính logic Về thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.chính xác, II/ Chuẩn bị GV HS Hs: nắm vững lý thuyết khảo sát hàm số toán liên quan III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp kết hợp hoạt động nhóm IV/ Tiến trình tiết dạy: * Ôn lý thuyết : Sơ đồ khảo sát hàm số: Txđ Sự biến thiên a) Giới hạn tiệm cận (Chỉ xét tiệm cận hàm phân thức) b) Bảng biến thiên: - Tính đạo hàm - Tìm điểm xi cho phương trình y’(xi) = Tính y(xi) - Lập bảng biến thiên - Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến cực trị Vẽ đồ thị: - Tìm giao với trục toạ độ (Hoặc số điểm đặc biệt) - Vẽ đồ thị PTTT đồ thị hàm số a) PTTT hàm số (C): y = f(x) điểm M0(x0; y0) Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y0 = f ′(x0)(x – x0) Bước 2: Tính f ′(x) Bước 3: Tính f ′(x0) Bước 4: Thay x0, y0 f ′(x0) vào bước b) PTTT (C): y = f(x) biết hệ số góc k cho trước Bước 1: Tính f ′(x) Bước 2: Giải phương trình f ′(x0) = k ⇒ nghiệm x0 Bước 3: Tính y0 = f(x0) Bước 4: Thay x0, y0 k = f ′(x0) vào PT: y – y0 = f ′(x0)(x – x0) * Tiến hành hướng dẫn,gợi mở dẫn dắt để học sinh giải tập VD1 : Cho hàm số y = - x3 + 3x2 - a) Khảo sát hàm số Năm học 2009-2010 Trang Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm y’’=0 Giải: a) Khảo sát hàm số: Tập xác định: R Sự biến thiên: ∞ a) Giới hạn: xlim y = m →±∞ b) Bảng biến thiên: y’ = - 3x2 + 6x, y’ = ⇔ - 3x2 + 6x =  x = ⇒ y1 = −2 ⇔  x2 = ⇒ y1 = X -∞ +∞ y’ - + +∞ y -2 - Hàm số đồng biến khoảng (0 ; 2) nghịch biến khoảng - ∞ (-∞ ; 0) (2 ; +∞) y - Cực trị: Điểm cực đại (2 ; 2) cực tiểu (0 ; -2) Đồ thị : - Điểm uốn : y” = - 6x + 6; y” = x = ⇒ y = Ta có điểm uốn là: U(1 ; 0) O - Giao Ox : A(1 − 3;0); B(1 + 3;0);U (1;0) - Giao Oy : D(0 ; -2) -2 Nhận xét : Đồ thi nhận điểm uốn U(1 ; 0) làm tâm đối xứng b) Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn U(1 ; 0) Hệ số góc k = f’(1) = Vậy ta có phương trình tiếp tuyến : y - y0 = k(x - x0) hay : y - = 3(x - 1) ⇔ y = 3x - Một số ý khảo sát hàm số bậc ba : Txđ: R ∞ a > ⇒ xlim y = ±∞; a < ⇒ xlim y = m →±∞ →±∞ a > : CĐ - CT; a < 0: CT - CĐ (Không có cực trị y’> y’< ∀x∈R) Tìm điểm uốn trước vẽ đồ thị Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng VD 2: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + Năm học 2009-2010 Trang x Giáo án ôn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3 – 3x – + m=0 ĐS: * m > 4: n0; * m = 4: n0; * < m < 4: n0; * m = 0: n0; * m < 0: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + d) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) x − xA y − yA = HD: PT đt qua điểm A(xA; yA) B(xB; yB) có dạng: ĐS: x B − x A yB − yA y = 2x + VD3: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3 + 3x2 – k = ĐS: * k > 4: n0; * k = 4: n0; * < k < 4: n0; * k = 0: n0; * k < 0: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ -1 HD: Thế x = -1 vào (C) ⇒ y = 3: M(-1; 3) ĐS: y = -3x d) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) ĐS: y = -2x + VD4: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = − x − 83 27 ĐS: y = − x + 115 3 27 ;y= − x+ VD5: Cho hàm số (Cm): y = 2x + 3(m – 1)x + 6(m – 2)x – a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m = b) Với giá trị m, đồ thị hàm số (Cm) qua điểm A(1; 4) ĐS: m = c) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số (C) qua điểm B(0; -1) ĐS: y = -1; y = − x −1 Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số: y = x3 − 12 x + 12 (C) a) Khảo sát hàm số b) Tìm giao điểm (C) với đường thẳng d: y = - Bài 2: Cho hàm số y = x3 − x (C ) (Đề thi TN 2002) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(3; 0) Năm học 2009-2010 Trang Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương Bài 3: Cho hàm số y = x3 − 3x(C ) (Đề TN 2001) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ (d) Bài 4: (Đề TN 99) Cho hàm số y = x3 - (m + 2)x + m a) Tìm m để hàm số có cự đại tương ứng với x = b) Khảo sát hàm số tương ứng với m = 1(C) c) Biện luận số giao điểm (C) với đường thẳng y = k Bài : (Đề 97) Cho hàm số y = x3 - 3x + (C) Khảo sát hàm số (C) Bai 6: (Đề 93) Cho hàm số y = x3 - 6x2 + (C) a) Khảo sát hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y’’=0 c) Dựa vào (C) để biện luận số nghiệm phương trình x3 - 6x2 + - m Bài : Cho hàm số y = x3 − x + 2, (C ) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: y = − x + Năm học 2009-2010 Trang Giáo án ôn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương Tiết 8-9-10 KHẢO SÁT HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN I/ Mục tiêu: Về kiến thức: Giúp học sinh nắm sơ đồ khảo sát hàm số, Nắm kỹ biến thiên,Cực trị,GTLN,GTNN,tiệm cận,cách vẽ đồ thị hàm số Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ thành tạo việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số Về tư : Đảm bảo tính logic Về thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.chính xác, II/ Chuẩn bị GV HS Hs: nắm vững lí thuyết khảo sát hàm số toán liên quan III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp kết hợp hoạt động nhóm IV/ Tiến trình tiết dạy: Phần : Ơn lý thuyết : Sơ đồ khảo sát hàm số: 2/ Bài toán : Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình f(x)= ϕ (m) Phương pháp giải: B1: Vẽ đồ thị (C) hàm f(x) (Thường có toán khảo sát hàm số ) B2: Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng y= ϕ (m) Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm Ví dụ: Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = Giải: Phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = y ⇔ x3 – 6x2 + 9x = m Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng d: y=m dựa vào đồ thị ta có: Nếu m > phương trình có nghiệm Nếu m = phương trình có nghiệm Nếu 0< m Phùng Ngọc Chương t > t2 − t − ⇔ >0⇔ log x − t −1  −1 < t < x > log x > ⇔ ⇔ 1 −1 < log x <  < x <  2 + Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm 1  : S =  ; ÷U ( 4; +∞ ) 2  Ví dụ 3: Giải bất phương trình: HD: + + + log x − 13log x + 36 > Điều kiện: x > Đặt : t = log x Lúc đó: log x − 13log x + 36 > t − 13t + 36 >  x < 104 t <  log x < ⇔ ⇔ ⇔ t >  log x >  x > 10 + Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm : S = ( 0;10 ) U ( 10 ; +∞ ) BÀI TẬP TỰ GIẢI: Bài 1:Giải bất phương trình sau: log 1 3x − >1 x+2 log ( x + 7) > log (1 − x) log ( x + 5) ≤ log (3 − x) − log (26 − 3x ) > log x + log x + log 27 x > 11 log x 2.log x > 16 log (3x − 1).log ( 3x − )≤ 16 11 log log (13 − x ) > 1 + >1 − log x log x 10 2(log x ) − 5log ( x ) + < 12 x + log x + log (3 x ) > 3 log x − log ( x − x − 5) < 4 Bài 2:Giải bất phương trình sau: log ( x + 3) > + log ( x − 1) 2 log ( x − 2) + log ( x − 3) = Năm học 2009-2010  log  log   x ÷≤  log5 (4 x + 144) − log > + log5 (2 x− + 1) Trang 40 Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN log log ( x − )  >   Phùng Ngọc Chương log ( x − x + ) + log ( x − ) > log x + log 25 x > log 0,2 11 22 x +6 + x +7 − 17 ≥ 10 12 2.16 x − 15.4 x − < log ( 4.3x − ) − log ( x − ) ≤ 13 log x > log5 ( x + ) − log ( x + ) Năm học 2009-2010 14 x + 2.71− x − > log ( x − x + 3) ≤ log( x + x − 3) + log x+3 >0 x −1 Trang 41 Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương Tiết 27 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM I MỤC TIÊU -Giúp học sinh hệ thống hố tồn kiến thức nguyên hàm hàm số -Vận dụng bảng nguyên hàm tìm nguyên hàm hàm số -Sử dụng thành thạo phương pháp tìmnguyên hàm cách đổi biến số phương pháp phần II NỘI DUNG 1.TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ: a.Kiến thức cần nắm vững : Các định nghĩa nguyên hàm họ nguyên hàm, tính chất nguyên hàm Bảng nguyên hàm thường dùng Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp : NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP THƯỜNG GẶP 1, ∫ dx = x + C 2, ∫ xα dx = 3, ∫ u =u ( x) 1, ∫ du = u + C xα +1 + C , α ≠ −1 α +1 dx = ln x + C , x ≠ x 2, ∫ uα du = 3, ∫ 4, ∫ e x dx = e x + C 5, ∫ a x dx = NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP : uα +1 + C , α ≠ −1 α +1 du = ln u + C , u = u ( x ) ≠ u 4, ∫ eu du = eu + C ax + C , < a ≠ ln a 5, ∫ a u du = au + C , < a ≠ ln a 6, ∫ cos x.dx = sin x + C 6, ∫ cos u.du = sin u + C 7, ∫ sin x.dx = − cos x + C 7, ∫ sin u.du = − cos u + C dx = tan x + C cos x dx 9, ∫ = − cot x + C sin x 8, ∫ du = tan u + C cos u du 9, ∫ = − cot u + C sin u 8, ∫ b.Tìm nguyên hàm hàm số định nghĩa tính chất Phương pháp giải: Thường đưa nguyên hàm cho nguyên hàm tổng hiệu sau vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết Ví du 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f(x) = x3 – 3x + Năm học 2009-2010 x b) f(x) = x + x Trang 42 Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN c) f(x) = (5x + 3)5 Phùng Ngọc Chương d) f(x) = sin4x cosx Giải 1 x4 f ( x )dx =∫ (x - 3x + )dx = ∫ x 3dx − 3∫ xdx + ∫ dx = − x + ln x + C ∫ x x 2x 3x x x x x + +C b) ∫ f ( x )dx = ∫ (2 + ) dx =∫ dx + ∫ dx = ln ln (5 x + 3)6 5 d (5 x + 3) = +C c) ∫ f ( x )dx =∫ (5x+ 3) dx =∫ (5x+ 3) 30 sin x 4 +C d) ∫ f ( x )dx =∫ sin x cosxdx =∫ sin x d (sin x ) = π a) Ví du 2: Tìm ngun hàm F(x) hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( )= Giải Ta có F(x)= x – π π π π cos3x + C Do F( ) = ⇔ - cos + C = ⇔ C = 6 Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – π cos3x - Ví dụ 3: Tìm ngun hàm hàm số 2x −1 dx x+2 x − 3x + b) ∫ dx 2x −1 dx x − 3x + 3x − d )∫ dx x + 4x + a)∫ c Tìm nguyên hàm cách đổi biến số: Phương pháp giải: đặt t=u(x) Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số a)∫ b) ∫ dx 3x + dx 2x −1 c) ∫ 2 x − 1` dx x −1 3x + d )∫ dx x +1 + c) ∫ d Tìm nguyên hàm phương pháp phần: Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức: ∫ u.dv = u.v − ∫ v.du Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số a ) ∫ x.cos xdx c ) ∫ (2 x + 1)e x dx b) ∫ ( x + 1) sin xdx d )∫ ln x dx x2 Bài tập đề nghị: Tìm nguyên hàm hàm số sau Năm học 2009-2010 Trang 43 Giáo án ôn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN a ∫ (2 x − 3x + 5)dx c.∫ sin x dx b ∫ Phùng Ngọc Chương x3 dx x+2 d ∫ (e x + 5)e x dx e.∫ dx 2x −1 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trị nguyên hàm π − x= 2 x + 3x + 3x − Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = , biết F( 1) = x + 2x + Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = e1-2x , biết F( ) = Năm học 2009-2010 Trang 44 Giáo án ôn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương Tiết 28 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍNH TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ I MỤC TIÊU -Giúp học sinh tính tích phân số hàm đơn giản -Sử dụng thành thạo phương pháp tính tích phân cách đổi biến số II NỘI DUNG 1/Các kiến thức cần nắm vững : Bảng nguyên hàm thường dùng Định nghĩa tích phân, tính chất tích phân Phương pháp tính tích phân phương pháp đổi biến số 2/Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tính tích phân định nghĩa tính chất Phương pháp giải: Thường đưa tích phân cho tích phân tổng hiệu sau vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết Ví dụ: Tìm tích phân hàm số sau: ∫ (x a/ π 4 b/ ∫ ( − 3sin x )dx cos x −π + 1)dx −1 c/ ∫ x − dx −2 Giải ∫ (x a/ 3 x ∫ x dx + ∫ 1dx = ( + 1)dx = −1 −1 3 + x) −1 π =( −1 π 81 + 3) − ( − 1) = 24 4 π π 4 ( − 3sin x )dx = ∫ dx − ∫ sin xdx = (4 tan x + cos x ) 4π = b/ ∫ − cos2 x cos2 x −π −π −π 4 4 = (4 tan π + cos π ) − [4 tan( − π ) + cos( − π )] =8 4 4 c/ ∫ −2 2 −2 −2 x − dx = ∫ x − dx + ∫ x − dx = ∫ (1 − x )dx + ∫ ( x − 1)dx =(x- x2 x2 ) −2 + ( − x ) =5 2 Dạng 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng 1: Phương pháp giải: b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) ⇒ dx = u′(t) dt b2: Đổi cận: x = a ⇒ u(t) = a ⇒ t = α x = b ⇒ u(t) = b ⇒ t = β ( chọn α , β thoả đk đặt trên) b b3: Viết ∫ f(x)dx a tích phân theo biến mới, cận tính tích phân Ví dụ: Tính : ∫ − x dx Năm học 2009-2010 Trang 45 Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương π Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt Với x ∈ [0;1] ta có t ∈ [0; ] Đổi cận: x = ⇒ t = π π π π π − x dx = cos2 t.dt = (1 + cos 2t).dt= (t + s in2t ) = ∫ ∫ 20 2 ∫ Vậy x= ⇒ t = ; Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dấu tích phân có dạng :  a − x đặt x= a sint  a + x đặt x= a tgt  x − a đặt x= b a sin t π π 2 π π t ∈ (− ; ) 2 π π t ∈ [− ; ] \ { 0} 2 t ∈ [− ; ] Dạng 2: Tính tích phân ∫ f[ϕ (x)]ϕ '(x)dx phương pháp đổi biến a Phương pháp giải: b1: Đặt t = ϕ (x) ⇒ dt = ϕ '( x ) dx b2: Đổi cận: x = a ⇒ t = ϕ (a) ; x = b ⇒ t = ϕ (b) b3: Viết tích phân cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm Ví dụ : Tính tích phân sau : a/ I = ∫ 2x +1 dx x2 + x + 1 b/ J = ∫ x + 3.x.dx Giải: a/ Đặt t = x + x +1 ⇒ dt = (2x+1) dx Đổi cận: dt x = ⇒ t =1 ; x = ⇒ t = Vậy I= ∫ = ln t = ln t 1 b/ Đặt t= x + ⇒ t2= x2+ ⇒ tdt = x dx Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = Vậy J = t3 t dt = ∫ 3 2 = (8 − 3) Bài tập đề nghị: Bài Tính tích phân sau: π 1/I= ∫ (3 + cos x ).dx x 2/J= ∫ (e + 2)dx 3/K= ∫ (6 x + x )dx Bài Tính tích phân sau: Năm học 2009-2010 Trang 46 Giáo án ôn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN π ex 2/ ∫ e x + dx 1/ ∫ e cos x.dx sin x Phùng Ngọc Chương e 3/ ∫ 1 + ln x dx x 4/ ∫ x( x + 3) dx Tiết 29 30 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I MỤC TIÊU -Giúp học sinh tính tích phân số hàm phân thức hữu tỉ -Sử dụng thành thạo phương pháp tính tích phân phương pháp phần II NỘI DUNG 1/ Tính tích phân phương pháp tùng phần: b Công thức phần : ∫ u.dv = u.v b a a b − ∫ v.du a Phương pháp giải: B1: Đặt biểu thức dấu tích phân u tính du phần cịn lại dv tìm v B2: Khai triển tích phân cho theo cơng thức phần b B3: Tích phân ∫ vdu suy kết a Chú ý: b b a a a) Khi tính tính tích phân phần đặt u, v cho ∫ vdu dễ tính ∫ udv khó phải tìm cách đặt khác b b) Khi gặp tích phân dạng : ∫ P( x ).Q( x ).dx a - Nếu P(x) đa thức ,Q(x) hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx Nếu bậc P(x) 2,3,4 ta tính tích phân phần 2,3,4 lần theo cách đặt - Nếu P(x) đa thức ,Q(x) hàm số ln(ax+b) ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx Ví dụ 1: Tính tích phân sau: π e a/ I= x.cos x.dx ∫ b/J= ∫ x.ln x.dx Giải u = x du = dx ⇒ (chú ý: v nguyên hàm cosx ) dv = cos x.dx v = sin x a/ Đặt :  Năm học 2009-2010 Trang 47 Giáo án ôn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Vậy I=x cosx π Phùng Ngọc Chương π π - sin x.dx = cosx ∫ = -1 du = dx  u = ln x  x ⇒ b/ Đặt :  dv = x.dx v = x   e e x e2 e2 e2 + e x2 e Vậy J= lnx - ∫ dx = − ∫ xdx = − x = 21 4 1 x 2/ Tính tích phân số hàm hữu tỉ thường gặp: a) Dạng bậc tử lớn hay bậc mẫu: Phương pháp giải: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng phần nguyên phần phân số tính Ví dụ: Tính tích phân sau: 2 2x 1 dx =ò (1 + )dx = [ x + ln x - 1]1 = + ln a/ ò 2x - 2x - 2 1 = ln x + x +1 x3 x2 23 dx =ò ( x + x + + )dx = [ + + x + ln x - 1]-0 = - ln b/ ò x- x- - - b) Dạng bậc1 bậc 2: Phương pháp giải: Tách thành tổng tích phân tính *Trường hợp mẫu số có nghiệm phân biệt: Ví dụ: Tính tích phân : 5( x - 1) dx ò x2 - x - Giải Đặt 5x - A B A( x - 3) + B( x + 2) 5( x - 1) = ( x + 2)( x - 3) = x + + x - = ( x + 2)( x - 3) x - x- ⇒ A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 ⇒ A=3 cho x=3 ⇒ B=2 5( x - 1) dx Vậy ta có: ị = x - x- ò( x + + x )dx = (3ln x + + ln x - ) = ln 16 27 * Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: Ví dụ: Tính tích phân : 1 (2 x +1)dx - 4x +4 òx Giải 1 (2 x +1)dx 2x - d ( x - x + 4) = ò( + )dx = ò + 5ò dx CI: ò x - 4x +4 x - 4x +4 x - 4x +4 x - 4x + ( x - 2)2 0 0 Năm học 2009-2010 Trang 48 Giáo án ôn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN − ln 2 x +1 x +1 A B A( x - 2) + B CII: Đặt x - x + = ( x - 2)2 = x - + ( x - 2)2 = ( x - 2)2 Û A( x - 2) + B = x +1 A = A = ⇔ Ax -2A+B= ⇔  ⇔  −2 A + B =  B = =(ln x − x + − Vậy ) x −2 Phùng Ngọc Chương = 1 x +1dx 5 ò x - x + = ò[ x - + ( x - 2)2 ]dx = (2ln x-2 - x-2 ) = − ln 0 *Trường hợp mẫu số vơ nghiệm: Ví dụ: Tính tích phân :I= ị - (2 x - 3)dx x2 +2x + Giải: 2x +2 I=ò dx x +2x + - 1 d ( x + x + 4) dx = ò - 5J ò ( x +1)2 + x +2x +4 - 1 d ( x + x + 4) Ta có ị = ln/x2 +2x+4/ −1 = ln − ln = ln x +2x + 0 Tính J= ị ( x +1) - dx +3  −π π  ; ) ⇒ dx= 3(1 + tg2 t )dt Khi x= -1 t = ; x=0 2   Đặt x+1= 3tgt (t ∈  t= π π π ⇒ J= 3(1 + tg t ) dt = 1dt = − π Vậy I= ln − 5( − π ) ∫ ∫ (3 + 3tg t ) 3 6 3/ Tính tích phân hàm vơ tỉ: b n Dạng1: ∫ R( x, ax + b )dx Đặt t= n ax + b a b Dạng 2: ∫ R( x, n a ax + b )dx cx + d Đặt t= n Ví dụ: Tính tích phân I = ∫ ax + b cx + d − xdx Giải Đặt t = − x ⇔ t3= 1-x ⇔ x= 1-t3 ⇒ dx= -3t2dt Đổi cận: x=0 ⇒ t=1; x=1 ⇒ t=0 Năm học 2009-2010 t4 Vậy I= ∫ t.(−3t )dt = 3∫ t dt = = Trang 49 Giáo án ôn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương 4/ Tính tích phân số hàm lượng giác thường gặp β β β α α α Dạng: ∫ sin ax.cos bxdx, ∫ sin ax.sin bxdx, ∫ cos ax.cos bxdx Phương pháp giải: Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hiệu tích phân giải β β n Dạng: ∫ sin xdx; ∫ cos α n xdx α Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến Ví dụ : β ∫ sin n +1 α β β xdx = ∫ sin x sin xdx = ∫ (1 − cos2 x )n sin xdx Đặt t =cosx 2n α β α β n β  + cos x  ∫ cos xdx = α (cos x ) dx = α   dx ∫ ∫  α 2n n β Dạng: ∫ R(sin x ).cos xdx α β 2n k +1 Đặc biệt: ∫ sin x.cos xdx α Phương pháp giải: Đặt t =sinx β β α α n +1 2k Dạng: ∫ R(cos x ).sin xdx Đặc biệt: ∫ sin x.cos xdx Phương pháp giải: Đặt t =cosx Các trường hợp cịn lại đặt x=tgt Ví dụ: Tính tích phân sau: π π π a/ ∫ sin x.cos x.dx b/ ∫ sin xdx c/ ∫ cos3 xdx 0 π d/ ∫ cos3 x sin xdx Giải π π 0 a/ ∫ sin x.cos x.dx = ∫ (sin x + s in2 x )dx = − ( cos x + cos x ) 02 = π 2 π π 2 b/ ∫ sin xdx = ∫ − cos x dx = ( x − sin x ) 02 = π π 2 π π π 0 c/I= ∫ cos3 xdx = ∫ cos2 x.cos x.dx = ∫ (1 − sin x ).cos x.dx đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx x=0 ⇒ u=0 ; x= π ⇒ u=1 u3 Vậy: I= ∫ (1 − u ).du = (u − ) = Năm học 2009-2010 Trang 50 Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương π π π 0 d/J= ∫ cos3 x sin xdx = ∫ cos2 x sin x.cos x.dx = ∫ (1 − sin x )sin x.cos x.dx đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx x=0 ⇒ u=0 ; x= 1 u3 u5 π ⇒ u=1 2 Vậy: J= ∫ (1 − u )u du = ∫ (u − u ).du = ( − ) = 15 0 Bài tập đề nghị: 3x Bài : 1/ ∫ x.e dx π 2 Tính tích phân sau: π e 2/ ∫ x2 dx cos x 3/ ∫ ln x.dx 4/ ∫ x.ln( x − 1).dx 5/ ∫ e cos x.dx x 2 x + 5x + dx 2/ J= ∫ x +1 x + x − 3x dx Bài : 1/ I= ∫ x2 1 Bài : 1/ I= ∫ x − 5x + dx Bài 4: 1/ ∫ x − xdx Bài : 1/ π ∫ cos x.dx Năm học 2009-2010 1− 2x dx 2/ I= ∫ x − 6x + 2/ ∫ −2 π 3/ I= ∫ 3x − dx x − 4x + x dx 2− x π π 2/ ∫ sin x.cos x.dx 3 3/ ∫ sin x cos x.dx 4/ ∫ sin x dx π Trang 51 Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương Tiết 31-32 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I MỤC TIÊU -Tính diện tích hình phẳng -Tính thể tích khối trịn xoay II NỘI DUNG 1/ Diện tích hình phẳng: a) Dạng tốn1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn b đường cong (C) :y=f(x) đường thẳng x= a; x=b; y= : S = ∫ f ( x ) dx a b) Dạng tốn2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng Cơng thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C), (C’) đường thẳng b x= a; x=b : S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx a Phương pháp giải tốn: B1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C’) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1: Nếu phương trình hồnh độ giao điểm vơ nghiệm (a;b) Khi diện tích hình b phẳng cần tìm là: S = ∫ f ( x ) − ( x )]dx [ g a TH2: Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm x 1∈ (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: b x1 b a a x1 S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx = ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx + ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx TH3: Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm x1; x2 ∈ (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 x1 x2 a x2 b S = ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx Chú ý: * Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp * Dạng toán trường hợp đặc biệt dạng toán đường cong g(x)=0 Năm học 2009-2010 Trang 52 Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sinx đoạn [0;2 π ] Ox Giải: Ta có :sinx = có nghiệm x= π ∈ ( 0;2π ) diện tích hình phẳng cần tìm là: 2π S= ∫ π sin x dx = ∫ sin xdx + 2π ∫ sin xdx = π 2π π cos x + cos x π =4 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P 1): y = x2 –2 x , (P2) y= x2 + đường thẳng x = -1 ; x =2 Giải Pthđgđ : x2 –2 x = x2 + Û 2x +1= Û x = -1/2 Do :S= - 1/ ò (x - x ) - ( x +1) dx = - ò [( x - x ) - ( x +1)]dx + - - 1/ = 2 - - x ) - ( x +1)]dx - 1/ 2 ò ( x +1) dx + ò ( x +1) dx ò [( x = ( x2 + x) - 1/ 2 - 25 13 + ( x + x ) - = + = (dvdt) 4 2 Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y2 = x , đường thẳng (d): 2x+y-4 = Giải: Ta có (P): y = x ⇔ x = 4−y y2 (d): 2x+y-4 = ⇔ x= Phương trình tung độ giao điểm (P) đường thẳng (d) là: y = y2 − y ⇔  =  y = −4 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= ∫( −4 −y y2 y y2 y2 y3 − )dy = ∫ (2 − − )dy = (2 y − − ) =9 4 12 −4 −4 2/ Thể tích vật thể trịn xoay Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trình y= f(x) đường thẳng x= a, x=b , y= quay vòng b xung quanh trục ox là: V =Π f ( x ) dx ∫ a Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh quay hình trịn có tâm O bán kính R quay xung quanh trục ox tạo Giải: Đường trịn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 ⇒ y2= R2-x2 Thể tích khối cầu : V= π R R R3  ( R − x ) dx = π  R x − x  = π  R −  = πR   ∫ −R   −R   (đvtt) Năm học 2009-2010 Trang 53 Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN Phùng Ngọc Chương Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2– 2x Giải: 2 Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm : S = π ∫ ( x − x ) dx = π ∫ ( x − x + x )dx =π ( 18π x − x + x ) −1 = (đvtt) 5 −1 2 −1 Bài tập nhà: 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (P): y= x2 - 2x trục hồnh 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (H): y = x +1 x đường thẳng có phương trình x=1, x=2 y=0 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 đường thẳng (d): y=5 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C): y = x3 –3 x , y = x 5/ Tính thể tích vật thể trịn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: π a/ y = cosx ; y = ; x = ; x = b/ y = sin x ; y = ; x = ; x = π x c/ y = xe ; y = ; x = ; x = Năm học 2009-2010 Trang 54 ... ⇒ y = - tiệm cận ngang x →∞ d) Bảng biến thi? ?n : x -? ?? +∞ y’ - +∞ y -1 -1 -? ?? y O x I -2 -4 3.Đồ thị : (H3) Năm học 200 9-2 010 Trang 13 Giáo án ơn thi TỐT NGHIỆP MƠN TOÁN Phùng Ngọc Chương - Giao... x - 4x +4 x - 4x +4 x - 4x +4 x - 4x + ( x - 2)2 0 0 Năm học 200 9-2 010 Trang 48 Giáo án ôn thi TỐT NGHIỆP MƠN TỐN − ln 2 x +1 x +1 A B A( x - 2) + B CII: Đặt x - x + = ( x - 2)2 = x - + ( x -. .. 5( x - 1) dx ò x2 - x - Giải Đặt 5x - A B A( x - 3) + B( x + 2) 5( x - 1) = ( x + 2)( x - 3) = x + + x - = ( x + 2)( x - 3) x - x- ⇒ A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x =-2 ⇒ A=3 cho x=3 ⇒ B=2 5( x - 1)