Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết 2x + 1 tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x.. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA = a.[r]
(1)ĐỀ ÔN THI HK II KHỐI 11 Đề Câu I : (2 điểm) Tính các giới hạn sau : x +1 - cos x cos2 x (1đ) L1 = lim (1đ) L2 = lim x®+¥ x®0 x2 + x2 - 3x Câu II : (2 điểm) ì x2 + - ï ví i x ¹ (1đ) Cho hàm số : f ( x) = í x4 + x2 (m là tham số) ïm - ví i x = î Tìm m để hàm số f liên tục x = (1đ) Cho phương trình : m4 + m + x2009 + x5 - 32 = (m là tham số) ( ) Chứng minh phương trình trên luôn có ít nghiệm dương với giá trị tham số m Câu III : (3 điểm) (1đ) Cho hàm số f ( x) = x Chứng minh f '( x) > 0, "x Î ¡ x +1 æp ö (1đ) Cho hàm số f ( x) = Tính f ' ç ÷ + cos2 2x è 12 ø x -1 (1đ) Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số đã cho, biết 2x + tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x Câu IV : (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và · = 120o Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a góc BAD (1đ) Tính góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) (1đ) Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với (1đ) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (P) Tính diện tích thiết diện này theo a HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ Câu Nội dung I Điểm (2đ) L1 = lim x®+¥ x +1 æ ö x ç + 1÷ - 3x èx ø = lim x®+¥ x +1 0,25 æ ö x ç + 1÷ - 3x èx ø 0,25 (2) ĐỀ ÔN THI HK II KHỐI 11 1 x =2 æ ö ç + 1÷ - èx ø 0,25 1+ = lim x®+¥ 1L2 = lim x®0 0,25 ( cos3x + cos x ) - cos x - cos3x - cos x - cos3x = lim = lim + lim 2 x®0 x®0 x x®0 x 2x 2x2 0,25 x 3x sin2 sin2 - cos x 1 cos3 x = =9 Vì lim = lim và lim = lim x®0 x2 x®0 x®0 x®0 3x 4 2x2 æ xö æ ö 4ç ÷ çè ÷ø è 2ø nên L2 = 0,50 0,25 + = 4 II (2đ) x2 + - x2 = lim = lim x®0 2 x4 + x2 x x + x + + x®0 ( x + 1) lim f ( x) = lim x®0 ( x®0 )( ) ( ) x2 + + = 0,50 0,25 Hàm số f liên tục x = Û lim f ( x) = f (0) x®0 Û ( 0,25 = m- Û m = 2 ) Hàm số f ( x) = m4 + m + x2009 + x5 - 32 là hàm đa thức nên liên tục trên ¡ , đó 0,25 nó liên tục trên đoạn [0 ; 2] f (0) = -32 < ; ( ) 2009 f (2) = m + m + 2009 =2 é æ ö2 æ ö 1ù êç m - ÷ + ç m + ÷ + ú > 0, "m Î ¡ 2ø è ø úû êëè Suy f (0) f (2) < 0, "m Î ¡ nên phương trình f(x) = có nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2) nên nó luôn có ít nghiệm dương với giá trị tham số m III 0,50 0,25 (3đ) ( x)' x2 + f '( x) = ( ( x2 + ) ' x2 + - x2 + x ) = ( x x2 + ) x2 + 2 .x = (x 0,75 ) +1 (3) ĐỀ ÔN THI HK II KHỐI 11 Vì x2 + > 0, "x Î ¡ nên (1 + cos 2x ) f '( x) = (1 + cos 2x ) ' 2 =- (x ) 0,25 + > 0, "x Î ¡ đó f '( x) > 0, "x Î ¡ 2cos2x ( cos2x ) ( + cos2 x ) ' =- (2cos2x)(-2sin2 x) ( + cos2 x ) = 2sin4x ( + cos2 2x ) 0,25 æ p ö 16 f 'ç ÷ = 49 è 12 ø 0,75 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho Phương trình tiếp tuyến M có dạng (d) : y - y0 = f '( x0 )( x - x0 ) với f ' ( x0 ) = ( 2x0 + 1) 0,25 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x và : f ' ( x0 ) = Û ( 2x0 + 1)2 0,25 éx = = Û ( 2x0 + 1) = Û ê ë x0 = -1 với x0 = thì y0 = -1 nên ta có phương trình tiếp tuyến là (d1 ) : y = 3x - 0,25 với x0 = -1 thì y0 = nên ta có phương trình tiếp tuyến là (d2 ) : y = 3x + 0,25 IV (3đ) S N H I M D A O B C Vì SA ^ (ABCD) nên AC là hình chiếu SC lên mp(ABCD), đó góc đường · thẳng SC và mp(ABCD) góc đường thẳng SC và AC và góc SCA 0,25 · = ADC · = 60o , suy các tam · = 120o nên suy ABC ABCD là hình thoi và góc BAD giác ABC, ADC là tam giác nên AC = a 0,25 (4) ĐỀ ÔN THI HK II KHỐI 11 Mặt khác SA = a và SA ^ (ABCD) nên SA ^ AC Suy D SAC vuông cân A 0,25 · và 45o Vậy góc đường thẳng SC và mp(ABCD) góc SCA 0,25 ABCD là hình thoi nên suy BD ^ AC (1) 0,25 SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BD (2) 0,25 Từ (1), (2) suy BD ^ (SAC) 0,25 Mà BD Ì (SBD) nên suy (SBD) ^ (SAC) 0,25 Gọi H là hình chiếu A lên SC, suy AH ^ SC (3) Gọi I là giao điểm SO và AH Qua I, vẽ MN // BD 0,25 Vì BD ^ (SAC) nên MN ^ (SAC) , đó MN ^ SC (4) Từ (3), (4) suy (AMHN) ^ SC nên mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (AMHN) Suy thiết diện là tứ giác AMHN MN ^ (SAC) ü ý Þ MN ^ AH Vậy tứ giác AMHN có hai đường chéo vuông góc AH Ì (SAC) þ AH là đường cao tam giác vuông cân SAC nên AH = MN // BD Þ SAMHN a 2 MN SI 2 = = (vì I là trọng tâm D SAC), suy MN = BD BD SO 3 Mà BD = 2BO = 0,25 0,25 a 2a = a nên MN = 1 a 2a a2 = AH.MN = = (đvdt) 2 HẾT 0,25 (5)