Đề cương toán 11 - HK2

Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi cấp số cộng sau: a.. Hàm số liên tục: - xét tính liên tục của hàm số.. - dựa vào tính liên tục của hàm số chưng minh sự có nghiệm của phư

A MÔN: ĐẠI SỐ – GIẢI TÍCH

CHƯƠNG III DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN

1 Cấp số cộng

- Định nghĩa

- Số hạng tổng quát.

- Tính chất.

- Công thức tính tổng

Bài 1: Chứng tỏ rằng dãy số với số hạng tổng quát an = 2n - 5 là một cấp số cộng Cho biết số hạng đầu, tìm công sai d Tính S20

Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi cấp số cộng sau:

a 











13 3

6 3

4 3 1

U U

U U U

b 













26 18 2

2 8 6

U U

U U

c/ 72 152

4 12

60 1170







Bài 3: Sáu số lập thành một cấp số cộng, tổng của chúng bằng 12, tổng các bình

phương của chúng bằng 64 Tìm sáu số đó

Bài 4: Năm số lập thành cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng

bằng 45, tìm 5 số đó

Bài 5: Bốn số lập thành cấp số cộng Tổng của chúng bằng 20, tổng các nghịch đảo

của chúng bằng 25/24 tìm 4 số đó

2 Cấp số nhân

- Định nghĩa

- Số hạng tổng quát.

- Tính chất.

- Công thức tính tổng.

Bài 1: Tổng n số đầu tiên của dãy số là Sn= 3n-1 Tìm Un, chứng tỏ dãy số đã cho là cấp số nhân Tìm U1 và công bội q

Bài 2: Tìm cấp số nhân có 5 số hạng biết U3=3 và U5=27

Bài 3: Người ta thiết kế một toà tháp 11 tầng Diện tích mỗi tầng bằng một nửa diện

tích tầng ngay bên dưới, biết diện tích đế tháp là 12288m2 Tính diện tích tầng trên cùng

Bài 4: Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân biết:

a/









 384

192

7

6

u u b/ 













144

72

3 5

2 1

u

u u u

Bài 5: Cho CSN có U1=2 và U3=18 Tính tổng 10 số hạng đầu của CSN

Bài 6: Biết 3 số x, y, z lập thành CSN, và 3 số x, 2y, 3z lập thành CSC Tìm CSN đó.

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN

1 Lý thuyết về giới

hạn của dãy số

- Các giới hạn đặc

biệt

- Phương pháp tính

giới hạn của dãy số.

1)

n n

n n

2

1 2 6 lim 3

3







2)

n n

n n







2

2

5

2 1

5 3

2 2

2









n

n n

4)

7 3

5 4 lim 3 2

2









n n

n n

5)

9 6 4

2

4 5











n n

n n n

6)

n n

n n







2 3

2

1 2 3 lim

















5 1 3 2

2 lim

2 2

3

n

n n

n

8) 6 2 5

5

3 2 lim

n n

n





3 4 5 1

7 4 3 2 lim

2 2

3 2









n n

n n

2 1  1

3 5 1 3 lim 3

2









n n

n n

2 2

1 2

2 7 1 lim







n

n n

12) 2 2

3 1

2 lim

n

n n





13)

2 lim

3 3





n

n

n 14)

3 2

2 3 2

4









n n

n

n 15)

12

8 5 7 lim









n

n n

16)

2 3

1 1

lim

2









n

n

n 17) lim3n3  7n11 18) lim 2 4 2 2





 n n n

19) lim312n  n3 20) lim3 n9 8n2  7 21)

1 2

2 1 lim

2







n n n

Lý thuyết Bài tập

22)

2 3

1 1

lim

2









n

n

4 3 2

4 lim

1 2

1 3 lim





n n

25) n n n

5 3 7

5 2 3 lim





26) n n n n

5 3 2

5 4 lim



 27) 1 1

5 ) 3 (

5 ) 3 (









n n

n n

28) lim 3n 1  2n 1 29) lim n2 n1 n 30)lim 2 2 1







31) limn n2 5 n 32) limn3 1 n3 33) lim3 n2  n3 n

2 Giới hạn của hàm

số

- Dạng tính được.

- Dạng vơ định :

- Giới hạn một bên

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

a)

2 2 2

lim

x

 

 

   b)

1

lim

4

x

x x





 c)

0

1 1 lim

x

x x



  d) 22

3

lim

x



  e) 4

3

1 3 lim 2





x

    g)lim 6 6 152

x

  

 h) lim( 5x2 1 x 5)



k) lim 2 3

3

x

x

  



Bài 2: Tính các giới hạn sau:

a) 3

lim

3

x

x x



 



 b)

2

lim

2

x

x x



 



 c)

2

3 lim

2

x

x x





 d)

3

2 lim

3

x

x x

 





Bài 3:Tính các giới hạn sau:

1)

2 5 3

10 3 lim 2

2





x x

















3 1

1 lim

x x

x

x



 1

1 lim

1 4) 3

15 2 lim

2





x x

5

15 2 lim

2







x x

6 ) 5 (

1 lim

3



 x x

x

x

7)

6

2 9 3 lim 3

2 3







x x x

x x

x x

4 3 lim 2

2







20 12

6 5 lim 2

2







x x

x

10)

6

2 3 lim 2

2 3







x x x

6

4 4 lim 2

2 3







x x x

4 2 2

6 lim 3 2

2





x x

x

13/

4 3

1 3 lim 2





x

2

3 5 lim 2





x

x

x



5 lim

5 16)

2

1 5 3 lim





x

x 17)

1 1

lim

x

x x

x

1 lim

2 1









19)

x

x x

x

1 1

lim

2 0







25

3 4 lim 2





x

x

x x

x

x











1 2

1 lim

2

4 10 2

3 lim



x

x

x x

x

3 0

8 1

2

1

7 5

lim 2

3 2 3







x x

x

6 6 2

1 3 lim

x x

x x







 50

30 20

1 2

2 3 3 2 lim









x x

27) lim  2 1 2 2 































5 2

1 11 3

lim

2 4









x x

x

x

1 1

lim 3

0





32 )

2 3

2 4

2 3 lim 2

3









x x x

x

x

x

1 4 1 lim3

0





2

2 4 lim3



x

x

3 Hàm số liên tục:

- xét tính liên tục của

hàm số.

- dựa vào tính liên tục

của hàm số chưng

minh sự có nghiệm

của phương trình

Bài 5:

a/ Cho h/số f(x)= .

  









x 1 1 , nếu x 2 x

1 , nếu x 2 2

b) Cho hàm số g(x)=















2 x nếu

2 x nếu ,

, 5

2 8

3

x x

Xét tính liên tục của hàm số tại x=0 Xét tính liên tục của hàm số trên toàn

trục số Trong g(x) trên phải thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại x=2 c/ Cho hàm số f(x)=

2 4 2

4 ,

x x



 









, nếu x 2 nếu x 2

d) Cho hàm số

0 1- x ,











2

x , nếu x

nếu x 0 Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số Xét tính liên tục của hàm số tại x =0

Bài 6: Chứng minh rằng:

a/ Phương trình sinx-x+1= 0 có nghiệm

b/ Phương trình

4

3

x - sin x+

3

2

= 0 có nghiệm trên đoạn  2;2 c/ Phương trình 3x3 + 2x – 2 = 0 có ít nhất một nghiệm

d/ Phương trình 4x4 + 2x2 – x – 3 =0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1;1) e/ Phương trình 2x3 – 6x +1 = 0 có 3 nghiệm trên khoảng (-2 ; 2)

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM

1 Tính đạo hàm bằng

định nghĩa Bài 1: Tìm đạo hàm của các hs sau bằng đ/nghĩa.a) y = f(x)= x3 2x +1 tại x0= 1 b) y = f(x)= x2 2x tại x0=  2

c) y = f(x)= x  3 tại x0= 6 d/ y =f(x) 2

3

x x





 tại x0 = 4 e/y  4 x  1 tai x0 = 2 f/ y= x2 – 2x + 3 tại x0 = 2

2 Tính đạo hàm

bằng công thức:

- Công thức tính

đ/hàm

- Các quy tắc tính đạo

hàm

- Đạo hàm của hàm số

lượng giác

- Đạo hàm cấp cao

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

5

x x y

x

 



 2) y= x4 3x2 3) y= cos7 3x.sin3x 4/ sin cos

sin cos

y





 5/

y = 312

x 6/ tan 1

2

x

y  7/ y =x.cotx 8/y sinx sinx

  9/ y  sin 1  x2 10/ y =sin(sin(2x-7)) 11/ y  1 2 tan  x 12/ y  cot 13  x2 13/

5 3

5 7

y

x

  

  14/

3 2

1 1

x y

x





 15/ 2 3

2 (1 )(1 )

x y





  16/y = 



1

x x 17/ y = cos(sinx) 18/ 2 2 1

2

x y x





 19/y cos 1 2 x2 20)y = x

sin3x ; 21) y= 1 cos 2

2

x 22/y=(x+1) x +x+12 ; 23.y= 1+2tanx; 24 y= sin(sinx)

Lý thuyết Bài tập

y

x



 ; 26.y sinsinx coscosx





 ; 27)y= sin(cos(x3-5x2 + 4x - 10)) 28) y = (x + 1)8(2x – 3) 29) y= 1 cos2

2

x

 30) 2 2

1 ( 1)

y x



 ; 31) y  x22x ; 32)

4 2 2

3

x y x



  33) y x x21;

3 (2 5)

y x



 35) y= tan4x − cosx; 36) f x =( x +1+x)  2 10

Bài 3: Cho hàm số f(x) = x3 – 2x2 + mx – 3 Tìm m để a/ f’(x) 0 với mọi x b/ f’(x) < 0   x (0;2) c/ f’(x) > 0 với mọi x > 0

Bài 4: Cho y= x3 -3x2 + 2 tìm x để: a/ y’ > 0 b/ y’< 3 *Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm

Bài 5: CMR mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã cho tương ứng

a) Với hs y= 1 x  2 , ta có (1 x2)y” xy’+y=0 b/y  2 x x  2 , ta có y3.y” + 1 =0 c/ 3

4

x y x





 ta có: 2y’2= (y-1)y”

2

y Cm rằng: 2y.y’’ – 1 = y’2

Bài 6: Giải phương trình f’(x) = 0, biết rằng

a/ f x( ) 3x 60 643 5

x x

    b/ ( ) sin 3 cos 3 sin cos3

f x   x  x 

c/ f(x) = 3sin2x + 4cos2x+ 10x

Bài 7: Tính đạo hàm cấp 4 của các hàm số sau

a/ y = 1

x b/ y = 1

1

x  c/ y = sinx d/ y = cosx

3.Phương trình tiếp

tuyến.

-Tiếp tuyến của đồ thị

tại điểm M thuộc (C).

- Biết tiếp tuyến có

hệ số góc k,

- Biết tiếp tuyến qua

1 điểm.

Bài 1: Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2 + 2, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: a/ Biết hoành độ tiếp điểm là x0 = 0

b/ Biết tung độ tiếp điểm là y0 = 0 c/ Biết tiếp tuyến đi qua A(0;3)

Bài 2: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 4x + 2 viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số a/ Tại điểm x0 = 2

b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1 3

4 x 

c/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + y + 3 = 0

B HÌNH HỌC

CHƯƠNG III VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1 Véctơ trong không

gian: (nắm pp cm 3

điểm thẳng hàng, 3

véctơ đồng phẳng,

đthẳng // đthẳng,

Bài 1 : Cho hình chĩp S.ABCB cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O

Biết SA = SA và SB = SD

a) Chứng minh SO   ABCD 

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC Chứng minh IJ   SBD 

2 Quan hệ vuông

góc

Dạng 1: Tính gĩc giữa

hai đường thẳng chéo

nhau a và b, tính gĩc

giữa đt và mp, gĩc giữa

hai mp

Dạng 2: Chứng minh hai

đường thẳng a và b

vuơng gĩc nhau

Dạng 3: Chứng minh

đường thẳng vuơng gĩc

với mặt phẳng:

Dạng 4: Chứng minh hai

mặt phẳng vuơng gĩc

nhau:

Dạng 5: Khoảng cách

-Khoảng cách từ một

điểm đến một đt,

khoảng cách từ một

điểm đến một mp

-Khoảng cách từ một đt

đến một mp song song,

khoảng cách giữa hai

mp song song

- Khoảng cách giữa 2

đường thẳng chéo nhau

b) Vẽ đường cao AH cảu tam giác ADI Chứng minh AH   BCD 

Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên bằng 2a Gọi I là trung điểm AD

a) C/m AD vuông góc với mp (SOI) , DB vuông góc với mp(SAC) b) Tính tang của góc giữa SA và mặt đáy (ABCD)

c) Tính tang của góc giữa (SAD) và mặt đáy (ABCD)

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB=BC=AD=CA=DB = a 2 và CD = 2a

a) CM: AB vuông góc với CD

b) Gọi H là hình chiếu của I lên mp(ABC) , C/m H là trưc tâm của tam giác ABC

Bài 5 Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC,

AD = a & khoảng cách từ D đến BC bằng a Gọi H à trung điểm của BC và I là trung điểm của AH

a) Chứng minh BC  (ADH) & DH = a

b) Chứng minh DI  (ABC)

c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của AD & BC

Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết AB = a, AD =

SA vuông góc (ABCD) và SA bằng a 3 a) CMR : CB vuông góc với mp (SAB) , CD vuông góc với mp(SAD) b) Tính góc giữa SB và mặt đáy (ABCD)

c) Tính góc giữa (SCD) và mặt đáy (ABCD) d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đt AB và SC

Bài 7 Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a Tính khoảng cách từ

tâm mặt đáy ABCD đến các mặt bên của hình chóp

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) Qua

A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại E, K, H

a) Chứng minh AE  SB và AH  SD

b) Chứng minh rằng EH // BD Từ đó nêu cách xác định thiết diện

c) Tính diện tích thiết diện khi SA = a 2

Bài 9: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, tâm O Cạnh SA =

a và SA(ABCD) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A lên các cạnh

SB và SD

a Chứng minh BC  (SAB), CD  (SAD);

b Chứng minh (AEF)  (SAC);

c.Tính tan  với  là gĩc giữa cạnh SC với (ABCD)

Tính khoảng cách d1 từ A đến mặt phẳng (SCD)

Bài 10: Hình chĩp S.ABCD, ABCD là hình vuơng cạnh a, SA=a, SA(ABCD) Gọi I, K là hình chiếu của A lên SB, SD

a) Cmr các mặt bên hình chĩp là các tam giác vuơng

b) Chứng minh: (SAC)  (AIK)

c) Tính gĩc giữa SC và (SAB)

d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD)