Luận văn sư phạm Nghiên cứu didactique về toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH X’W NGUYỄN PHƯƠNG THỦY NGHIÊN CỨU DIDACTIQUE VỀ DẠY HỌC CĂN BẬC HAI Ở LỚP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : DIDACTIQUE TOÁN Người hướng dẫn : TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU TP Hồ Chí Minh 2004 LỜI CẢM ƠN Trước hết cho bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô Lê Thị Hoài Châu, người tận tâm hướng dẫn giúp đỡ nhiều suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cám ơn Bà Claude Comiti, Bà Annie Bessot, Ông Alain Birebent, Thầy Lê Văn Tiến, Thầy Đoàn Hữu Hải hết lòng giảng dạy suốt năm học vừa qua Tôi xin cảm ơn Cô Nguyễn Xuân Tú Huyên, người nhiệt tình giúp dịch luận văn sang tiếng Pháp Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường PTTH Ngô Quyền bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học Lời cuối cho gởi lời cảm ơn đến người thân gia đình quan tâm lo lắng giúp đỡ động viên nhiều suốt ba năm vừa qua Nguyễn Phương Thủy MỤC LỤC Chương : Những vấn đề đặt I Lyù chọn đề tài – mục đích nghiên cứu II Phạm vi lý thuyết tham chieáu II.1 Chuyển đổi didactic II.2 Lý thuyết nhân chủng hoïc II.2.1 Tổ chức toán học II.2.2 Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân II.3 Hợp đồng didactic .6 III Trình bày lại hệ câu hỏi nghiên cứu IV Phương pháp tổ chức nghiên cứu Chương : Căn bậc hai lịch sử 11 I Các quan niệm bậc hai lịch sử .11 II Định lý Pythagore .13 III vaø khám phá số vô tỉ 15 Chương : Một nghiên cứu thể chế bậc hai 20 I Quá trình hình thành khái niệm số chương trình toán trường phổ thông .20 II Phân tích sách giáo khoa Đại số hành 22 II.1 Phần lý thuyết .22 II.1.1 Về số vô tæ 22 II.1.2 Về khái nhiệm bậc hai 25 a) Sự tồn ngầm ẩn khái niệm 25 b) Căn bậc hai sách Đại số 27 II.2 Phaàn tập 37 Chương : Thực nghiệm .46 A Phần dành cho giáo viên 47 I Phân tích câu hỏi .47 II Phân tích a posteriori .51 II.1 Đối với nhóm câu hỏi .51 II.1 Đối với nhóm câu hỏi .52 B Phần dành cho hoïc sinh 54 I Phân tích a priori .55 I.1 Bieán didactic 55 I.2 Các tập thực nghiệm 56 I.3 Caùc chiến lược .57 I.3.1 Đối với tập .58 I.3.2 Đối với tập .59 I.3.3 Đối với tập .59 I.3.4 Đối với tập .60 II Phân tích a posteriori .61 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo .68 Phuï luïc Chương : Những vấn đề đặt Chương NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯC ĐẶT RA I Lý chọn đề tài - mục đích nghiên cứu ƒ Xây dựng tập hợp số nội dung quan trọng chương trình môn toán bậc trung học sở (THCS) Chương trình số học lớp hệ thống hóa kiến thức học tiểu học số tự nhiên N Đồng thời, kiến thức phân số, phép toán phân số đề cập lớp nâng cao, hoàn thiện Đại số tiếp tục mở rộng khái niệm số thành số hữu tỉ Đại số 9, việc đưa vào khái niệm số vô tỉ, mở rộng khái niệm số thành số thực Ngoài phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa với số mũ tự nhiên (được định nghóa qua phép nhân), trình bày lớp dưới, lúc người ta đưa vào phép tính khai Đó giai đoạn phát triển cuối cùng, kết thúc trình mở rộng khái niệm số bậc THCS Quá trình mở rộng khái niệm số, từ số tự nhiên, đến số nguyên, số hữu tỉ, dựa nhu cầu thực phép toán mà trước thực tập hợp số cũ Ví dụ: nói nhu cầu phải có số nguyên, sách giáo khoa Đại số 7, 2000, trang viết sau: “Tổng tích hai số tự nhiên số tự nhiên, phép trừ số tự nhiên luôn thực Ta đặt vấn đề: Bổ sung vào tập hợp N số tự nhiên số để tập hợp số phép trừ thực được.” Cũng thế, để đặt vấn đề cho cần thiết phải có số hữu tỉ sách giáo khoa Đại số 7, 2000, trang 25 viết: Chương : Những vấn đề đặt “Trong Z phép toán cộng, trừ, nhân thực Ta thấy Z phép chia cho số a khác không luôn thực Ta đặt vấn đề: mở rộng Z thành tập hợp số phép chia cho số khác thực được.” Nhưng làm để nói đến cần thiết phải mở rộng tập số hữu tỉ Q ? Với bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia ta làm điều Có nhiều phương pháp khác để xây dựng trường số thực : phương pháp Dedekind (phương pháp lát cắt), phương pháp dãy bản, … Tuy nhiên giới thiệu phương pháp cho học sinh chúng đòi hỏi kiến thức vượt khỏi khuôn khổ chương trình phổ thông Việc đưa tập hợp số thực cho phù hợp với học sinh phổ thông điều không đơn giản Về mặt toán học, khái niệm số vô tỉ nảy sinh từ nhu cầu phép khai Liệu việc dạy học toán theo đường lịch sử, lấy khái niệm bậc hai làm sở cho việc xây dựng tập số thực ? Đó lý khiến quan tâm đến khái niệm bậc hai số Khái niệm chiếm vị trí quan trọng tập hợp số thực Ngoài ra, xuất cho phép giải số toán hình học (như tìm cạnh huyền tam giác vuông biết độ dài hai cạnh góc vuông), đại số (giải phương trình bậc hai), khái quát hóa dẫn đến khái niệm bậc n sau Đúng Assude nói : "cũng nhiều khái niệm toán học khác, chỗ giao nhiều lónh vực : đại số, hình học, giải tích Chính gây nên khủng khoảng lớn toán học, phương tây : khủng khoảng số vô tỉ người Hy lạp Nó trung tâm việc đặt vấn đề cho xuất số thực" (Assude, 1989, tr 34) ƒ Một khía cạnh khác liên quan đến khái niệm bậc hai làm quan tâm : khía cạnh tính toán gần bậc hai Không phải bậc Chương : Những vấn đề đặt hai cho giá trị số hữu tỉ (số thập phân hữu hạn vô hạn tuần hoàn), có số mà bậc hai số vô tỉ (số thập phân vô hạn tuần hoàn) Trong trường hợp sau, tìm giá trị bậc hai số xét được, lấy giá trị gần Có nhiều phương pháp để tìm giá trị gần bậc hai, chẳng hạn dùng công thức xấp xỉ, thuật toán khai phương, hay bảng tính sẵn giá trị bậc hai, … Ngoài ra, với phát triển khoa học kỹ thuật ngày nay, máy tính bỏ túi gọn nhẹ giúp người nhiều việc tính toán Chúng thay bảng tính sẵn thuật toán để tìm bậc hai số không âm cách nhanh chóng Đó công cụ cần quan tâm dạy-học toán nói chung, dạy - học bậc hai nói riêng Với luận văn này, muốn tìm hiểu xem : - Khái niệm bậc hai đưa vào chương trình môn toán bậïc trung học nào? Nhằm giải toán ? - Việc đưa vào khái niệm số vô tỉ có quan hệ với bậc hai dạy - học toán bậc học ? - Máy tính bỏ túi khai thác dạy học bậc hai ? II Phạm vi lý thuyết tham chiếu Để tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, sở lý luận, dựa vào lý thuyết chuyển đổi didactic, hợp đồng didatic lý thuyết nhân chủng học Dưới trình bày ngắn gọn vài điểm chủ yếu phạm vi lý thuyết tham chiếu lựa chọn Chúng tập trung khía cạnh lý thuyết cần thiết cho mục đích nghiên cứu II.1 Chuyển đổi didactic Chương : Những vấn đề đặt Trong nhà trường phổ thông, môn học, người ta chọn số tri thức kho tàng mà loài người tích luỹ để dạy cho học sinh Những tri thức cần phải xếp tái cấu trúc lại thành hệ thống liên kết logic, phục vụ cho mục tiêu dạy học định Hơn nữa, để trở nên dạy được, chúng phải chịu số ràng buộc đó, phải trình bày cho phù hợp với trình độ học sinh Tất điều làm cho chúng bị biến đổi, không giữ nguyên dạng vốn tồn cộng đồng nhà bác học Chuyển đổi didactic, nói cách đơn giản, trình biến đổi đối tượng tri thức thành đối tượng dạy học Việc quy định đối tượng cần dạy thể thông qua chương trình, sách giáo khoa, đề thi, văn nhà quản lý giáo dục, Theo Bessot Comiti, tri thức cần dạy có đặc trưng sau : - Đối tượng tri thức rút từ phạm vi vấn đề kỹ thuật có liên kết với tri thức Những điều trước "xung quanh" đối tượng thay "có trước" "có sau" - Ý muốn xếp dạng văn tri thức thành trình tự logic cho dạy theo mục tiêu dạy-học xác định dẫn đến chỗ làm thay đổi định nghóa tri thức làm thay đổi logic hình thành tri thức lịch sử - Tri thức dạy trở thành tri thức cần phải biết chuẩn mực hợp pháp kiến thức, quy định cho học sinh lứa tuổi Do đó, kiểm tra việc dạy-học tri thức cách hợp pháp phạm vi toàn xã hội Chương : Những vấn đề đặt Những tri thức thiết lập chiếm vị trí định xã hội xác định tồn dự án xã hội nhằm truyền đạt tri thức hình thức dạy - học Didactic toán quan tâm dến việc dạy học tri thức II.2 Lý thuyết nhân chủng học Trong khái niệm lý thuyết ta phải kể đến quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân tổ chức toán học II.2.1 Tổ chức toán học Hoạt động toán học phận hoạt động xã hội, thực tế toán học kiểu thực tế xã hội nên cần thiết xây dựng mô hình cho phép mô tả nghiên cứu thực tế Chính quan điểm mà Chevallard (1998) đưa vào khái niệm praxéologie Theo Chevallard, praxéologique gồm thành phần : - Các kiểu nhiệm vụ T – diện thể chế - Kỹ thuật τ – cho phép thực nhiệm vụ t kiểu nhiệm vụ T Công nghệ θ – văn lý giải cho kỹ thuật τ - Lý thuyết φ – công nghệ công nghệ θ Trong trường hợp thành tố T, τ, θ , φ praxéologie mang chất toán học, người ta nói đến praxéologie toán học hay tổ chức toán học Khái niệm cho phép mô hình hóa thực tiễn xã hội nói chung hoạt động toán học nói riêng (Bosch Chevallard, 1999) II.2.2 Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân Chương : Những vấn đề đặt Theo Chevallard, quan hệ thể chế I với tri thức O, R(I, O), tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Nó cho biết O xuất đâu, nào, tồn sao, có vai trò gì, O Quan hệ cá nhân X với tri thức O, R(X, O), tập hợp tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Nó cho biết X nghó gì, hiểu O, thao tác O Trong thể chế, cá nhân phô bày công khai làm với O, mà đánh giá phù hợp với mối quan hệ thể chế với đối tượng Sự xuất tổ chức toán học cho phép thiết lập mối liên hệ với khái niệm quan hệ thể chế Cụ thể, cách tiếp cận chương trình sách giáo khoa theo quan điểm tổ chức toán học giúp ta làm rõ quan hệ thể chế I tri thức O mà ta xem Nó cho phép giải thích mối liên hệ phần lý thuyết với phần tập, phân tích tổ chức toán học, phải trả lời câu hỏi sau: Về nhiệm vụ T : T có nêu lên cách rõ ràng không? Ở đâu? Các lý đưa T vào có làm rõ không? Hay T xuất cách ngẫu nhiên, thiếu gợi động ? T có mối liên hệ với phần toán học khác không? Về kỹ thuậtτ : τ có nêu lên cách rõ ràng không hay phát thảo? τ sử dụng không? Phạm vi sử dụng τ nào? (phạm vi kiểu nào, loại toán nào?) Tương lai τ sao? Về yếu tố công nghệ – lý thuyết : Việc mô tả, giải thích cho kỹ thuật τ có đặt không? Hay kỹ thuật τ xem tự rõ ràng, tự nhiên? Hình thức giải thích có gần với hình thức chuẩn toán học không? II.3 Hợp dồng didactic TÀI LIỆU THAM KHẢO Phân phối chương trình môn Toán Trung học sở (2000) Vụ trung học phổ thông NGÔ HỮU DŨNG – TRẦN KIỀU (2001) Sách giáo viên Đại số (tái lần 11) – NXB Giáo dục NGÔ HỮU DŨNG – TRẦN KIỀU (2001) Sách giáo khoa Đại số (tái lần 11) – NXB Giáo dục NGÔ HỮU DŨNG – TRẦN KIỀU – TÔN THÂN – ĐÀO NGỌC NAM (2003) Sách tập Đại số (tái lần 7) – NXB Giáo dục NGUYỄN DUY THUẬN (2002) Sách giáo khoa Đại số (tái lần 13) – NXB Giáo dục NGUYỄN VĂN BÀNG (2002) Sách giáo khoa Hình học (tái lần 13) – NXB Giáo dục HOÀNG XUÂN SÍNH – NGUYỄN TIẾN TÀI (2001) Sách giáo khoa Đại số (tái lần 13) – NXB Giáo dục NGUYỄN BÁ KIM – VŨ DƯƠNG THỤY (2001) Phương pháp dạy học môn Toán (tái lần 3) – NXB Giáo dục HOWARD EVES (1993) Giới thiệu lịch sử toán học – NXB khoa học kỹ thuật 10 TERESA ASSUDE (1989) Racines carrees: Conceptions et mises en situations d’eleves de quatrieme et troisieme 11 BRONER (1992) Kiến thức bậc hai học sinh Mali 12 ANNIE BESSOT – LÊ THỊ HOÀI AN (1992) Một nghiên cứu hợp đồng didactique vấn đề bậc hai 13 BESSOT.A – COMITI.C (2001–2002) Bài giảng chương trình Thạc só Didactique Toán, ĐHSP TP.HCM 14 LÊ THỊ HOÀI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN – ĐOÀN HỮU HẢI (2001–2002) Bài giảng chương trình Thạc só Didactique Toán, ĐHSP TP.HCM 15 BOSCH VÀ CHEVALLARD (1999) Tổ chức praxéologie PHẦN PHỤ LỤC PHỤ LỤC PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN GIÁO VIÊN PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN GIÁO VIÊN Kính thưa quý thầy cô, thực nghiên cứu nhỏ việc dạy học bậc hai trường phổ thông, muốn xin tham khảo ý kiến quý thầy cô Xin quý thầy cô vui lòng đánh chéo vào câu muốn chọn 1) Quý thầy cô hướng dẫn học sinh sử dụng dấu “ ” máy tính bỏ túi nào? a) Trước : “ Bảng bậc hai” b) Trong : “ Bảng bậc hai” c) Không dạy Nếu quý thầy cô không dạy, xin nói rõ lý do: 2) Quý thầy cô dạy học sinh tìm bậc hai số không âm cách sau (có thể chọn nhiều cách) : a) Sử dụng kỹ thuật đại số (tức dùng công thức sách giáo khoa như: A2 = A , AB = A B , A = B A ) B b) Sử dụng máy tính bỏ túi c) Sử dụng bảng bậc hai d) Sử dụng thuật toán khai phương sách giáo khoa e) Sử dụng kỹ thuật khác Xin nói rõ kỹ thuật nào? 3) Khi dạy tập bậc hai, thầy cô có cho tập yêu cầu học sinh tính giá trị gần a không? (với a số không âm không bình phương số hữu tỉ nào) a) Chưa 4) Cho toán sau: b) Thỉnh thoảng c) Thường xuyên ( “Khai phương ) 3− ” Sau lời giải ba học sinh: ƒ Hoïc sinh 1: ( 3− ) ƒ Hoïc sinh : ( 3− ) ƒ Hoïc sinh 3: ( 3− ) = 3− 2 = − ≈ 0,318 ≈ (1,732 − 1,414 ) = 0,318 = 0,318 Với thang điểm 10, quý thầy cô cho học sinh điểm : Học sinh Học sinh Học sinh Học sinh Điểm Lý quý thầy cô trừ điểm: 5) Cho toán : “So sánh hai số sau: + 11 + 11 ” Cách giải sau quý thầy cô mong đợi học sinh : a) Giả sử + 11 < + 11 (1) vaø sau dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức b) So sánh hai số với số thứ ba c) So sánh bình phương hai số d) So sánh giá trị gần hai số e) Cách giải khác Xin nói rõ cách nào? Xin chân thành cám ơn quý thầy cô oOo PHỤ LỤC BÀI TẬP THỰC NGHIỆM DÀNH CHO HỌC SINH Họ tên : …………………………………………………… ……… Lớp : …………………………………………………… ……… Trường : …………………………………………………… ……… Bài tập 1: Tính : 81 ; 45 ; 0,049 ; 71 ; 25 ; BÀI TẬP THỰC NGHIỆM ( Phần làm …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ) 3− Phaàn nhaùp …………………………………………… ……………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… Bài tập : Hãy thực phép khai phương số 50 nhiều cách (nêu rõ em sử dụng phương pháp để khai phương) Phần làm …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… Phần nháp …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………… …………………………………………… ……………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… Bài tập : So sánh cặp số : a) + vaø + ; b) + 11 Phần làm …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… + 11 Phần nháp …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… Bài tập : Tính giá trị biểu thức A = − a , với : ⎛ 2 + 1⎞ ⎟ a) a = ; b) a = ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………… …………………………………………… ……………………………………… Phần làm …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… Phaàn nhaùp …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………… …………………………………………… ……………………………………… PHỤ LỤC MỘT SỐ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH ... trình môn toán bậïc trung học nào? Nhằm giải toán ? - Việc đưa vào khái niệm số vô tỉ có quan hệ với bậc hai dạy - học toán bậc học ? - Máy tính bỏ túi khai thác dạy học bậc hai ? II Phạm vi lý... khoa Tổ chức toán học với hợp đồng didactic Để nghiên cứu quy tắc hợp đồng didactic chi phối hoạt động cá thể (giáo viên học sinh) thể chế dạy học xác định, ta phân tích tổ chức toán học tồn thể... toán học II.2.1 Tổ chức toán học Hoạt động toán học phận hoạt động xã hội, thực tế toán học kiểu thực tế xã hội nên cần thiết xây dựng mô hình cho phép mô tả nghiên cứu thực tế Chính quan điểm