��I HÅC QUÈC GIA H� NËI TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI�N ������ MAO THÀ THU HI�N TRÁ CHÌI TH�P H� NËI V� MËT SÈ V�N �� TO�N HÅC LI�N QUAN LU�N V�N TH�C S� KHOA HÅC H Nëi � N«m 2012 1 ��I HÅC QUÈC GIA[.]
I HÅC QC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN - MAO THÀ THU HIN TRÁ CHÌI THP H NËI V MËT SÈ VN TON HÅC LIN QUAN LUN VN THC S KHOA HÅC H Nëi N«m 2012 I HÅC QUÈC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN - MAO THÀ THU HIN TRÁ CHÌI THP H NËI V MËT SÈ VN TON HC LIN QUAN Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp M số: 60 46 40 LUN VN THC S KHOA HC NGìI HìẻNG DN KHOA HC: PGS TS T DUY PHìẹNG H Nởi Nôm 2012 Mưc lưc Mð ¦u Trá chìi th¡p H Nëi 1.1 1.2 1.3 Làch sû ph¡t triºn trá chìi Th¡p H nëi 1.1.1 Truy·n thuy¸t 1.1.2 Làch sû B i to¡n th¡p H Nëi, c¡c b i to¡n têng qu¡t v c£i bi¶n 24 1.2.1 B i to¡n Th¡p H Nëi cê iºn 24 1.2.2 B i to¡n Th¡p H Nëi vỵi nhi·u cåc 24 1.2.3 C¡c c£i bi¶n cõa b i to¡n Th¡p H Nëi 28 C¡c cỉng cư gi£i b i to¡n th¡p H Nởi v cĂc vĐn à liản quan 36 1.3.1 Thuªt gi£i » qui 36 1.3.2 H» ¸m 36 1.3.3 ỗ th H Nởi 36 1.3.4 Thuªt to¡n gi£i trá chìi Th¡p H Nëi 37 1.3.5 B i to¡n Th¡p H Nởi v mởt số vĐn à khĂc liản quan C¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n Th¡p H Nëi 37 39 2.1 Trá chìi th¡p H Nëi v thuªt gi£i » qui 2.2 Gi£i b i to¡n th¡p H Nởi bơng biu diạn hằ ám 2.3 39 cì sè 45 ỗ H Nëi 51 2.3.1 ỗ H Nëi 51 2.3.2 Tü ¯ng c§u v èi xùng 55 2.3.3 T÷ìng ùng Lucas 56 2.3.4 Gi£i b i to¡n Th¡p H Nëi 65 Kát luên Ti liằu tham khÊo 71 71 Mé U Trá chìi (B i to¡n) Th¡p H Nëi ÷đc nh to¡n håc Edouard Lucas ph¡t minh v phê bi¸n rëng rÂi Paris nôm 1883, l mởt bi toĂn nời tiáng thá giợi, hiằn ang ữủc nghiản cựu v ph¡t triºn bði r§t nhi·u nh to¡n håc v khoa hồc mĂy tẵnh, cĂc chuyản gia giĂo dửc v y håc, ÷đc ÷a v o nhi·u s¡ch v· trá chìi to¡n hồc v cĂc giĂo trẳnh tin hồc nhữ mởt vẵ dử in hẳnh và thuêt giÊi ằ qui v lêp trẳnh côn bÊn Trỏ chỡi ThĂp H Nởi khổng ch thó ð ché nâ mang t¶n H Nëi, thõ ổ cừa Viằt Nam m cỏn hĐp dăn cĂc nh nghiản cựu bi nõ liản quan án nhiÃu vĐn à cừa ToĂn-Tin hồc nhữ giÊi thuêt ằ qui, hằ ám, tam giĂc Pascal, thÊm Sierpinski, lỵ thuyát ỗ th v chu trẳnh Hamilton, ổtổmĂt hỳu hÔn, ở phực tÔp tẵnh toĂn, Bi toĂn ThĂp H Nởi gủi ỵ cho nhiÃu nghiản cựu mợi toĂn hồc v khoa hồc mĂy tẵnh Ch tẵnh riảng số bi bĂo nghiản cựu v· b i to¡n Th¡p H Nëi l¾nh vüc To¡n hồc v Tin hồc  cõ án hỡn 450 bi vợi khoÊng 250 bi vợi Ưu à cõ cửm tứ "The Tower of Hanoi", ông trản gƯn 200 tÔp chẵ khoa håc uy t½n (xem T i li»u tham kh£o [6]) õ l chữa k án nhỳng bi viát và sû döng b i to¡n Th¡p H Nëi khoa håc gi¡o döc v y håc ho°c nhúng cuèn s¡ch v· tin håc, â câ tr¼nh b y v· trá chìi Th¡p H Nëi M°c dị trá chìi Th¡p H Nëi cõ mt trản khĂ nhiÃu trang WEB v giĂo trẳnh tin hồc tiáng Viằt, số lữủng bi viát tiáng Vi»t giỵi thi»u v· trá chìi v b i to¡n Th¡p H Nởi trản cĂc tÔp chẵ l rĐt ẵt v cỏn rĐt sỡ lữủc (xem [1]-[7]) v hẳnh nhữ chữa cõ bi nghiản cựu tiáng Viằt no và bi toĂn ThĂp H Nởi Chẵnh vẳ lỵ õ, luên vôn ữủc xƠy dỹng vợi mửc ẵch trẳnh by và lch sû ph¡t triºn trá chìi Th¡p H Nëi cịng mët số vĐn à toĂn hồc liản quan Luên vôn gỗm PhƯn m Ưu v hai Chữỡng nởi dung Chữỡng Têng quan v· làch sû ph¡t triºn trá chìi Th¡p H Nëi Ch÷ìng C¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n ThĂp H Nởi Chữỡng giợi thiằu tờng quan v· làch sû ph¡t triºn trá chìi Th¡p H Nëi Líi gi£i b i to¡n Th¡p H Nëi cho ba cåc bơng cĂc cổng cử khĂc (thuêt giÊi ằ qui, hằ ám cỡ số 2, ỗ th) ữủc trẳnh by Chữỡng Sau hỡn 100 nôm, trỏ chỡi ThĂp H Nởi  cõ nhỳng cÊi biản v tờng quĂt hâa (trá chìi Th¡p H Nëi vỵi nhi·u cåc, trá chỡi ThĂp H Nởi vợi cĂc ắa mu, trỏ chỡi ThĂp H Nởi vợi hÔn chá hữợng chuyn ắa, trỏ chìi Th¡p H Nëi song song, ) Nhúng c£i bi¶n v tờng quĂt hõa ny dăn án nhỳng vĐn à toĂn hồc thú v, thêm chẵ dăn tợi nhiÃu bi toĂn hiằn chữa cõ lới giÊi Luên vôn cụng sỡ lữủc giợi thiằu cĂc m rởng v cÊi biản kh¡c cõa b i to¡n Th¡p H Nëi T¡c gi£ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc nhĐt tợi PGS TS TÔ Duy Phữủng, ngữới  truyÃn thử kián thực v hữợng dăn tên tẳnh tĂc giÊ hon thnh luên vôn ny Xin ữủc cĂm ỡn ThƯy  cung cĐp nhiÃu ti liằu ỗng thới cho php sỷ dưng b£n th£o cn s¡ch cõa Th¦y v· trá chìi Th¡p H Nëi T¡c gi£ cơng xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cỉ gi¡o khoa To¡n Cì - Tin, trữớng Ôi hồc trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - HQG H Nởi bÔn b v ngữới thƠn  õng gõp ỵ kián, giúp ù, ởng viản tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn H Nởi, ngy 25 thĂng 12 nôm 2011 Hồc viản: Mao Th Thu HiÃn Chữỡng Trá chìi th¡p H Nëi 1.1 Làch sû ph¡t triºn trá chìi Th¡p H nëi H¼nh 1.1: B¼a cn s¡ch giỵi thi»u v· trá chìi Th¡p H Nëi cõa E Lucas 1.1.1 Truy·n thuy¸t Eduard Lucas, t¡c gi£ cõa trỏ chỡi thĂp H Nởi,  viát và mởt truyÃn thuyát n ở nhữ sau: Dữợi vỏm cừa tỏa thĂp thớ thƯn Brahma (thƯn sĂng tÔo) thnh Bernares, tÔi v trẵ ữủc coi l trung tƠm thá giợi, bưt Ưu sĂng tÔo vụ trử, thƯn Brahma  t 64 chiác ắa bơng vng rỏng cõ khot lộ giỳa trản mởt ba chiác cồc kim cữỡng CĂc ắa ny cõ ữớng kẵnh nhọ dƯn tứ dữợi lản trản v tÔo thnh mởt hẳnh nõn CĂc nh tu h nh táa th¡p li¶n tưc st ng y ¶m, khỉng mằt mọi, chuyn 64 ắa tứ cồc Ưu tiản sang cåc thù ba cõa táa th¡p Khi di chuyºn c¡c ắa phÊi tuƠn theo hai qui tưc sau: 1) Mội lƯn ch ữủc chuyn mởt ắa trản cừa mởt cồc no õ 2) ắa trản ữủc chuyn tứ mët cåc sang mët hai cåc kh¡c Do t½nh vù, ắa lợn khổng ữủc t lản trản ắa nhä Khi cæng vi»c ho n th nh, táa th¡p s³ ê, v lóc â cơng l thíi iºm k¸t thóc cõa vụ trử vợi mởt tiáng nờ khừng khiáp! Chữa ró dỹa trản tữ liằu no, gƯn Ơy, Z KĂtai v L I Kovacs  thảm: , tÔi n ở, dữợi triÃu Ôi Fo Hi (in India, in the reign of Fo Hi, [19], 2009) 1.1.2 Làch sû Düa trản truyÃn thuyát và thĂp Brahma (cõ th cụng chẵnh E Lucas nghắ ra, xem [21] v cĂc tữ liằu khĂc), v cõ th, dỹa theo hẳnh mău nhỳng ngổi thĂp cờ  tứng tỗn tÔi vũng Đt phêt giĂo linh thiảng gƯn H Nởi (Bưc Ninh?, xem [22]), hoc cụng cõ th vẳ lẵ no õ khĂc, nh toĂn hồc nời tiáng ngữới PhĂp Edouard Lucas  phờ bián Trỏ chỡi ThĂp H Nởi Paris nôm 1883 dữợi tản giÊ l giĂo sữ N Claus Nôm 1884, de Parvile [23]  tiát lở, giĂo sữ N Claus chẵnh l tản giÊ cừa nh nghiản cựu lẵ thuyát số nời tiáng Eduard Lucas Trản bẳa cừa hởp ỹng trỏ chỡi sÊn xuĐt nôm 1883 v cuèn s¡ch L'Arithm²ique Amusante (Sè håc vui), xu§t bÊn tÔi Paris nôm 1895 (sau ặng mĐt), chẵnh Edouard Lucas  viát ([21], trang 179): la Tour d'Hanoi, v²ritable casse-t¶te annamite (Th¡p H Nởi, mởt trỏ chỡi trẵ tuằ cừa ngữới Annam), tÔi ặng lÔi gồi trỏ chỡi ny l trỏ chỡi ThĂp H Nởi v tÔi lÔi l trỏ chỡi trẵ tuằ cừa ngữới Annam thẳ chữa cõ cƠu trÊ lới thêt ró rng RĐt cõ th, theo E Lucas, trỏ chỡi ThĂp H Nởi  xuĐt hiằn ổng tứ thá k 19 hoc trữợc õ CĂc ắa ữủc lm bơng Trung Quốc, Nhêt BÊn v ổng Kinh (Tonkin-Bưc Kẳ) Tuy nhiản, cho tợi nay, c¡c nh làch sû v kh£o cê câ l³ văn chữa tẳm thĐy cĂc thữ tch viát và truyÃn thuyát 64 ắa vng vợi ba cồc kim cữỡng tÔi thĂp Brahma cừa n ở cụng nhữ cĂc ắa cừa trỏ chỡi thĂp H Nởi tÔi Trung Quốc, Nhêt BÊn v Viằt Nam Cõ l cụng chữa nhẳn thĐy sĂch FER-FERTAM-TAM m Lucas  nhưc CĂc hởp üng trá chìi tỵi Nhúng hëp üng trá chìi ThĂp H nởi nhĐt văn l hởp ỹng cĂc ắa sÊn xuĐt tÔi PhĂp nôm 1883 v nhỳng nôm sau õ Trong [1] viát: nh toĂn hồc án thôm Viằt Nam, ngưm cÊnh Hỗ Gữỡm v b quyán rụ bi v àp cừa ThĂp Rũa nản  t tản l Bi toĂn ThĂp H Nởi Tuy nhiản, thĂp Rũa xƠy nôm 1886, cỏn trỏ chỡi ThĂp H Nởi  xuĐt hiằn Paris tứ nôm 1883, vẳ vêy giÊ thuyát Lucas ¢ gåi Th¡p Rịa l Th¡p H Nëi l khổng cõ cỡ s Hẳnh 1.2: ThĂp Rũa Hỗ Gữỡm v Cởt cớ H nởi Mởt giÊ thuyát nỳa l Cởt cớ H Nởi  gủi ỵ cho E Lucas t tản trỏ chỡi cừa mẳnh l trỏ chỡi th¡p H Nëi: The Flag Tower of Hanoi may have served as the inspiration for the name Cët cí H Nởi cõ Ăy gỗm ba khối vuổng xƠy chỗng lản Trá chìi th¡p H Nëi ìn gi£n nh§t cơng gỗm ba ắa trỏn xáp chỗng lản trản mởt cởt Cởt cớ H Nởi xƠy nôm 1805-1812, hỡn 70 nôm trữợc trỏ chỡi thĂp H Nởi ữủc phờ bián Nôm 1882 PhĂp tĐn cổng Ănh chiám thnh H Nëi l¦n thù hai · t i H Nëi v ỉng Dữỡng l thới sỹ Paris vo nhỳng nôm 1882-1883 Nôm 1883 cụng l nôm PhĂp phĂt hnh tẵn phiáu lĐy tiÃn xƠy dỹng Nh thớ lợn (trản nÃn cừa thĂp BĂo Thiản v chũa BĂo Thiản) PhÊi chông iÃu ny gủi ỵ E Lucas t tản cho trỏ chỡi cõa m¼nh l trá chìi Th¡p H Nëi? H¼nh 1.3: Hẳnh Ênh cừa thĂp BĂo thiản 10 (a + 2n−1) = Do â δ(a + n−1 P a2i βi i=0 2n−1) = n−2 P a2i βi + βn−1 = λ(a) + βn−1 i=0 = ρ((a + 2n−1) − λ(a + 12n−1)) = ρ((a + 2βn−1 ) − (λ(a) + βn−1 )) = ρ(a − λ(a) + βn−1 ) = ρ(a − λ(a)) + 2n−1 = δ(a) + 2n−1 Vªy 2n−1) (ρ(a + 12n−1 ), δ(a + 12n−1 )) ϕ ◦ T (a) = ϕ(a + = = (ρ(a) + 2n−1 , δ(a) + 2n−1 ) = Tˆ ◦ ϕ(a) Chùng minh ho n to n t÷ìng tü cho tr÷íng hđp a ∈ [1] ho°c a ∈ [2] Chùng minh ành l½ Gi£ sû β l cì s cừa Vn ữủc xĂc nh nhữ trản, v a ∈ V (Hn ) Ta vi¸t a = an−1 βn−1 + an−2 βn−2 + + a0 β0 , ∈ Z3 Ưu tiản phÊi chựng minh rơng ϕ(a) ∈ V (Pn ) Tø ành ngh¾a λ, ta câ λ(a)i = a2i ≡ 1 (mod 3) n¸u = 2 61 (2.2) â (a − λ(a))i = − (λ(a))i = 1 n¸u = 2 (2.3) Khi â, ρ(a) = a2n−1 2n−1 + a2n−2 2n−2 + + a20 v δ(a) = ρ(a−λ(a)) = (an−1 −a2n−1 )2 2n−1 +(an−2 −a2n−2 )2 2n−2 + +(a0 −a20 )2 nản theo nh lẵ Lucas, sỷ dửng (2.2) v (2.3) ta câ Qn−1 a2 ρ(a) i (mod 2) ≡ (mod 2) ≡ i=0 −a (a) i Nhữ vêy, (a) = ((a), (a)) V (Pn ) ch rơng l Ănh xÔ 1-1, ta l§y a, b ∈ V (Hn ), a 6= b n−1 n−1 P P Gi£ sû a = βi , b = bi βi i=0 i=0 Náu (a) 6= (b) thẳ (a) 6= (b) v ta cõ iÃu phÊi chựng minh GiÊ thiát rơng (a) = ρ(b) Khi §y n−1 P i P i n−1 bi = i=0 i=0 hay, biºu di¹n cì sè cõa ρ(a) v ρ(b) ta câ (a2n−1 a2n−2 a20 ) = (b2n−1 b2n−2 b20 ) Tứ Ơy suy a2i = b2i vợi mồi i n Nhữ vêy, vợi mội i ho°c = bi ho°c = 2bi Z3 Vẳ a 6= b nản tỗn tÔi mởt ch¿ sè j cho aj 6= bj Do õ, ời chộ a v b, náu cƯn thiát, ta cõ th giÊ thiát rơng aj = v bj = V¼ (λ(a))j = a2j = v (λ(b))j = b2j = n¶n (a − λ(a))j = aj − a2j = 0, â (b − λ(b))j = bj − b2j = Nh÷ng ((a − λ(a))j )2 = v ((b − λ(b))j )2 = tữỡng ựng chẵnh l cĂc bit thự j biu diạn cỡ số cừa (a) v (b) nản (a) 6= δ(b) Vªy ϕ(a) 6= ϕ(b) hay ϕ l ¡nh xÔ 1-1 Do |V (Pn )| = |V (Hn )| = 3n theo nhên xt trản nản l to n ¡nh Nh÷ng ta cơng câ thº chùng minh trüc tiáp l ton Ănh v õ ta lÔi nhên ữủc ng thực trản nhữ mởt hằ quÊ GiÊ sû (r, k) ∈ Pn (ngh¾a l Crk ≡ (mod 2)) v gi£ sû 62 r= n−1 P i ri , k= n−1 P i=0 ki 2i i=0 vỵi ri , ki ∈ {0, 1} , ≤ i n v theo nh lỵ Lucas, Crk ≡ (mod 2), ≤ i ≤ n Vợi số nguyản khổng Ơm m vợi biu di¹n (mt m1 m0 ) cì sè ta x¡c ành τ (m) = t P mi βi i=0 °t a = τ (r) + τ (k) = n−1 P (ri + ki )βi i=0 â, nh÷ thữớng lằ, php cởng ữủc hiu theo nghắa cởng bit modulo Ta kh¯ng ành r¬ng ϕ(a) = (r, k) Ưu tiản ta nhên thĐy rơng, theo nh lẵ Lucas, ki = 0 n¸u ri = 0 ho°c n¸u r = i Do â 0 n¸u ri = = (ri + ki ) = hoc náu r = i nản 0 n¸u ri = = 1 n¸u r = i hay a2i = ri Chùng tä ρ(a) = n−1 P a2i 2i = i=0 n−1 P i=0 ri i = r Ti¸p theo, ta nhên thĐy n1 n1 P P (a) = β i = ri βi = τ (r) i=0 i=0 Do â, sû dưng ành ngh¾a cõa a ta câ 63 ρ(a − λ(a)) = ρ(a − τ (r)) = ρ(τ (k)) = k ¯ng thùc cuèi suy tứ nhên xt rơng Ănh xÔ hủp l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản têp {1, 2, , 2n − 1} Tø ¥y ta câ ϕ(a) = (ρ(a), δ(a)) = (ρ(a), ρ(a − λ(a))) = (r, k) Chùng tä ϕ l to n ¡nh Ci cịng, chóng ta cƯn phÊi chựng minh rơng l Ănh xÔ bÊo ton tẵnh liÃn kà Nghắa l a liÃn kà vợi b Hn náu v ch náu (a) liÃn k· vỵi ϕ(b) Pn Ta s³ chùng minh bơng qui nÔp theo n Vợi n = khng nh l hin nhiản GiÊ thiát rơng khng nh úng vỵi måi n < m Ta s³ chùng minh kh¯ng ành óng vỵi n = m Gi£ sû a li·n kà vợi b Hm Náu a v b nơm mởt khối thẳ chúng l cĂc nh liÃn kà bÊn ỗng phổi cừa Hm1 Cử thº hìn, ta câ T i (a) li·n k· vỵi T i (b) vỵi i ∈ {0, 1, 2} n o õ Theo giÊ thiát qui nÔp, (T i (a)) l li·n k· vỵi ϕ(T i )(b)) Pm−1 Theo Bê · 2.3.5, ta câ Tˆi ◦ ϕ(a) li·n k· vợi Ti (a), T l Ănh xÔ b£o to n t½nh li·n k·, ta suy ϕ(a) li·n kà vợi (b) Náu a v b nơm hai khối khĂc chúng liÃn kÃ, thẳ ch 1m−1, 21m−1), (02m−1, 12m−1) câ thº câ ba kh£ n«ng sau Ơy: (a, b) l (0 0m1, 20m1) Những ta dng tẵnh trỹc tiáp ữủc rơng {(a), (b)} hoc (1 t÷ìng ùng l {(2m−1 − 1, 0), (2m−1 , 0)}, {(2m−1 − 1, 2m−1 − 1), (2m−1 , 2m−1 )} ho°c {(2m−1 − 1, 2m−1 − 1), (2m − 1, 2m1 )} Nhữ vêy, ró rng, (a) liÃn kà vợi (b) mồi trữớng hủp BƠy giớ ta giÊ sỷ rơng a v b khổng liÃn kà Náu chúng nơm trản mởt khối thẳ, theo qui nÔp, tữỡng tỹ nhữ trản, (a) khổng liÃn kà vợi (b) Mt khĂc, náu a v b nơm trản cĂc khối kh¡c cõa Hm th¼ theo Bê · 3, ϕ(a) v (b) nơm trản cĂc khối khĂc cừa Pm Vẳ l Ănh xÔ 1-1 nản {(a), (b)} khổng th l mởt ba cp tữỡng ựng vợi cĂc cÔnh nối cĂc khối Do õ (a) v (b) cụng khỉng thº li·n k· tr÷íng hđp n y 64 ành lẵ ữủc chựng minh hon ton Tữỡng ựng Lucas cho ph²p chóng ta câ c¡c thỉng tin li¶n quan giúa Hn v Pn Dữợi Ơy l cĂc hằ quÊ trỹc tiáp tứ chựng minh nh lẵ trản Hằ quÊ 2.3.1 Vợi mồi số nguyản dữỡng n, |V (Pn)| = 3n Hằ quÊ 2.3.2 Số cĐu hẳnh hủp lằ bi toĂn ThĂp H Nởi vợi khoÊng cĂch tứ trÔng thĂi hon hÊo bơng biu diạn cỡ số cõa Chùng minh r l 2b(r) â b(r) l sè c¡c sè r i·u n y suy trỹc tiáp tứ cĂc bẳnh luên sau nh lẵ Lucas v tứ tẵnh chĐt ối xựng (xem thảm Bi toĂn dữợi Ơy) Ta cõ th xĂc nh, no thẳ mởt cĐu hẳnh  cho nơm trản dÂy cĂc bữợc chuyn nhĐt giỳa cĂc trÔng thĂi hon hÊo i·u n y cơng ch½nh l b i to¡n x¡c ành no nh  cho nơm trản biản cừa Hn Sỷ dửng tữỡng ựng Lucas, bi toĂn ny gƯn nhữ l tƯm thữớng Hằ quÊ 2.3.3 Trong Hn nh a nơm trản ữớng ngưn nhĐt giỳa v 2, v 1, ho°c ρ(a) = 2n − 1, v v ch¿ khi, δ(a) = 0, δ(a) = ρ(a) ho°c t÷ìng ùng 2.3.4 Gi£i b i to¡n Th¡p H Nëi R§t nhi·u b i to¡n Trá chìi Th¡p H Nëi câ thº ph¡t biºu nh÷ l c¡c b i to¡n tẳm ữớng i ngưn nhĐt trản ỗ th Hn C¡c b i to¡n n y câ thº gi£i hi»u qu£ b¬ng c¡ch sû dưng t÷ìng ùng Lucas Ta cơng câ thº sỷ dửng tẵnh ối xựng cừa ỗ th H Nởi Trong cĂc bi toĂn dữợi Ơy, náu a v b l cĂc nh cừa ỗ th G, d(a, b) l khoÊng cĂch tứ a tợi b ( ở di ữớng ngưn nhĐt tứ a tợi b G) Bi toĂn Bi toĂn ThĂp H Nởi vợi cĐu hẳnh bĐt kẳ Bi toĂn tẳm số bữợc chuyn ẵt nhĐt cƯn thiát chuyn cĂc ắa tứ 65 mởt cĐu hẳnh hủp lằ bĐt kẳ sang cồc ẵch nhớ sỷ dửng cĂc qui tưc  cho Trong mổ hẳnh cừa chúng ta, iÃu ny dăn tợi bi toĂn tẳm cĂc khoÊng c¡ch d(a, ), d(a, ), ho°c d(a, ) vợi a l mởt nh bĐt kẳ cừa Hn Bơng qui nÔp, dng ch rơng, Pn , måi ¿nh kh¡c ¿nh (0, 0) l ¿nh k· vợi nh hng phẵa trản Tứ Ơy suy rơng khoÊng cĂch án (0, 0) tứ mởt nh bĐt kẳ hng r bơng chẵnh r Do õ, sỷ dưng t÷ìng ùng Lucas, ta câ d(a, ) = ρ(a) vỵi måi ¿nh a cõa Hn v , sû dưng t½nh èi xùng, ta câ 20 2 10 d(a, ) = d(a + , ) = ρ(a + ), v d(a, ) = d(a + , ) = (a + ) Ta cụng nhên ữủc ữớng ngưn nhĐt tữỡng ựng mội trữớng hủp (nghắa l, dÂy c¡c tr½ trung gian cõa Th¡p H Nëi giúa cĐu hẳnh ban Ưu v cĐu hẳnh ẵch) Ta bưt Ưu tứ trản ỗ th Hn GiÊ sỷ i thay êi tø n − ¸n Ta kiºm tra biºu di¹n cì sè cõa ρ(a) v δ(a) Náu chỳ số thự i cừa (a) l 1, thẳ ta biát rơng, theo nh lẵ Lucas, chỳ số tữỡng ùng cõa δ(a) l ho°c l 1: n¸u â l sè th¼ chuyºn 2i ¿nh sang tr¡i, v náu l số thẳ chuyn 2i nh sang phÊi (cĂc cÔnh nơm ngang khổng sỷ dửng) Khi õ ta cõ ữớng ngưn nhĐt tứ án a, ữớng ngữủc cõa nâ cho nghi»m cõa b i to¡n Th¡p H Nëi tờng quĂt Thẵ dử Xt trữớng hủp n = v a = 20201 Ta t½nh 20201 = 21111 + 2111 + 12 â, 20201 = β4 + 23 + Vẳ vêy biu diạn cỡ số cõa ρ(20201) l 11010 Chuyºn sang h» ¸m cì sè 10, ta câ ρ(20201) = 26, ch½nh l kho£ng cĂch tứ 20201 án 00000 Biu diạn cỡ số cừa (20201) nhên ữủc bơng cĂch lĐy hằ số cừa βi (trong biºu di¹n cõa a) trø i sè thù i cì sè cõa ρ(20201) (v sau õ bẳnh phữỡng, iÃu ny khổng thay ời kát quÊ v¼ 02 = v 12 = 1) Do â biu diạn cỡ số hai cừa (20201) l 01000 ữớng ngưn nhĐt tứ án a lƯn lữủt i qua 16 ¿nh tr¡i, ¿nh ph£i v ¿nh tr¡i (Hẳnh 2.8) Thẵ dử Thẵ dử dữợi Ơy tờng qu¡t hâa trá chìi Th¡p H Nëi 66 H¼nh 2.8: ữớng i ngưn nhĐt tứ án 20201 thnh trỏ chỡi ThĂp H Nởi vợi cĂc ắa mu Xt têp 3n ắa mu ọ, trưng, xanh vợi n ắa mội mu Lúc Ưu tĐt cÊ cĂc ắa Ãu nơm trản cồc Bưt Ưu tứ ba ắa nhọ nhĐt CĂc ắa ữủc tổ mu thự tỹ l: ọ, trưng, xanh, ọ, trưng, xanh, , cho tợi ắa cuối mu xanh Ta phÊi tẳm số bữợc chuyn ẵt nhĐt cĂc ắa mu ọ nơm hủp lằ tr¶n cåc 0, m u trng tr¶n cåc v m u xanh trản cồc Ơy cụng chẵnh l bi to¡n x¡c ành d( , a) theo n â a = 210210 210 Ta cõ, náu n chđn thẳ a = 210210 210 = 2111 111+21 111+ +21, v náu n l thẳ a = 210210 210 = 2111 111 + 21 111 + + 21 + Do â ρ(a) câ biºu di¹n h» cì sè l 1010 10 tr÷íng hđp n chđn v 1010 101 trữớng hủp n l´ Chuyºn v· cì sè 10 ta ÷đc: 2 + + + 23n−1 = (23n − 1) náu n chđn (a) = + + + 23n−1 = (23n+1 − 1) n¸u n l´ Tø â ta câ líi gi£i b i toĂn Bi toĂn Ănh giĂ trung bẳnh số bữợc chuyn Kẵ hiằu En l khoÊng cĂch trung bẳnh tứ tỵi ¿nh a v Sn P {d(a, 0) | a Hn }, ta nhên ữủc cổng thực truy hỗi sau Ơy: 67 = Sn = 3Sn1 + 2.3n1 2n1 (é Ơy số hÔng cuối xuĐt hiằn tứ vi»c chuyºn méi ¿nh khèi [1] v [2] 2n−1 nh lản trản v õ nõ tữỡng ựng vợi ¿nh khèi [0]) Ta câ En = Sn 3n Sn−1 3n−1 = + 32 2n−1 , vỵi i·u ki»n ban Ưu E0 = 0, dng chựng minh ữủc En = 32 (2n − 1) Nâi c¡ch kh¡c, sè trung bẳnh cĂc chuyn ởng ỏi họi chuyn(tối ữu) cĂc ắa tứ mởt cĐu hẳnh chồn ngău nhiản ban Ưu án cĐu hẳnh hon hÊo trản cồc ẵch bơng sè chuyºn ëng ái häi theo nghi»m tèi ÷u Ln = 2n − b i to¡n Th¡p H Nởi cờ in Cố nh nh/cĐu hẳnh a v tẵnh khoÊng cĂch trung bẳnh/số chuyn ởng An (a) án nh gõc/cĐu hẳnh hon hÊo chồn ngău nhiản Ró rng 0 (d(a, ) + d(a, ) + d(a, )) = (d(a, ) + d(a + , ) + d(a + , )) = (ρ(a) + ρ(a + ) + ρ(a + )) n−1 n−1 P P =2 βi v = βi Vn nản An (a) = 20 Vẳ i=0 An (a) = 10 i=0 n−1 P a2i 2i 3( i=0 + n−1 P (ai + 1)2 2i + i=0 n−1 P (ai + 2)2 2i ) i=0 Nh÷ng x2 + (x + 1) + (x + 2)2 = vỵi måi x ∈ Z3 Do â n−1 P i n An (a) = = (2 − 1) i=0 Nh÷ vªy, An (a) khỉng phư thc v o a, câ thº ữủc tẵnh khổng cƯn giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn v bơng En Bi toĂn Bi toĂn tẳm ữớng i ngưn nhĐt giỳa hai cĐu hẳnh/hai nh Bi toĂn sau Ơy m rởng Bi toĂn 1: Tẳm số bữợc chuyn tối thiu cƯn thiát i tứ mởt cĐu hẳnh hủp lằ sang mởt cĐu hẳnh hủp lằ khĂc b i to¡n Th¡p H Nëi Trong ngæn ngú cõa ỗ th H Nởi, nõ ữủc gồi l bi toĂn tẳm ữớng i ngưn nhĐt giỳa hai nh bĐt kẳ 68 TĐt nhiản,  cõ nhỳng thuêt toĂn hỳu hiằu giÊi bi toĂn ny cho ỗ th bĐt kẳ, thẵ dử, thuêt toĂn Dijkstra hay thuêt toĂn Floyd, Hn l mởt ỗ th khĂ c thũ nản ta s³ ch¿ c¡ch gi£i ìn gi£n hìn Ta sû dưng t÷ìng ùng Lucas º gi£i b i to¡n n y Gi£ sû a1 v a2 l c¡c ¿nh ph¥n bi»t cõa Hn Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ th chồn chúng nơm cĂc khối khĂc nhau, thẵ dử, a1 ∈ [0] v a2 ∈ [1] Gi£ sû ϕ(a1 ) = (r1 , k1 ) v ϕ(a2 ) = (r2 , k2 ) K½ hi»u d1 = d1 (a1 , a2 ) l ở di cừa ữớng ngưn nhĐt tø a1 tỵi a2 khỉng i qua [2] v d2 = d2 (a1 , a2 ) l ë d i ÷íng ngưn nhĐt tứ a1 án a2 i qua [2] Ta câ d1 = d((r1 , k1 ), (2n−1 − 1, 2n−1 − 1)) + d((r2 , k2 ), (2n−1 , 2n−1 )) + = ((2n−1 − − r1 ) + (r1 − k1 )) + (r2 − 2n−1 ) + = r2 − k1 v d2 = d((r1 , k1 ), (2n−1 − 1, 0)) + d((r2 , k2 ), (2n − 1, 2n−1 )) + 2n−1 + = ((2n−1 − − r1 ) + k1 ) + ((2n − − r2 ) + (k2 − 2n−1 )) + 2n−1 + = 3.2n−1 − − r1 − r2 + k1 + k2 Nhên xt rơng Ơy ta  tẵnh số cĂc nh nơm ngang v ữớng cho mội nh hai lƯn (xem Hẳnh 2.9) Nhữ vêy, ta thĐy rơng d2 ≤ d1 ⇔ r1 + 2r2 ≥ 2k1 + k2 + 3.2n−1 − Sû dưng t½nh èi xùng ho°c tẵnh trỹc tiáp, ta cụng cõ th nhên ữủc kát qu£ t÷ìng tü cho a1 v a2 [0] v [2] hoc [1] v [2] Thẵ dử Tẳm d(011, 102) H3 T÷ìng ùng Lucas cho ϕ(011) = (3, 0) v ϕ(102) = (7, 5) Tø ¥y, ta tẵnh ữủc d1 (011, 102) = = v d2 (011, 102) = 11 − − + + = Vªy d(011, 102) = v ữớng ngưn nhĐt i qua tĐt cÊ ba khối cừa H3 (xem Hẳnh 2.9) Nhữ vêy, ỗ th H Nởi tọ rĐt hỳu hiằu nghiản cùu khæng ch¿ b i to¡n Th¡p H Nëi cê iºn, m cỏn nghiản cựu cĂc bi toĂn 69 Hẳnh 2.9: ữớng i ngưn nhĐt giỳa hai nh bĐt ký ThĂp H Nởi suy rởng v cÊi biản RĐt nhiÃu nh to¡n håc sû dưng cỉng cư n y nghi¶n cùu b i to¡n Th¡p H Nëi têng qu¡t 70 K¸t Luên Chữỡng cừa luên vôn trẳnh by khĂ chi ti¸t làch sû ph¡t triºn cõa b i to¡n Th¡p H Nởi Chữỡng trẳnh by chi tiát cĂc lới giÊi bi toĂn thĂp H Nởi vợi ba cồc (thuêt giÊi » qui, sû dưng h» ¸m cì sè 2, sû dửng ỗ th H Nởi) Ngoi ra, tĂc giÊ cụng cố gưng v lản mởt bực tranh tữỡng ối Ưy õ v· c¡c mð rëng v c£i bi¶n cõa b i toĂn ThĂp H Nởi (1.2 Chữỡng 1) Nhơm ù rối bùc tranh to n c£nh, t¡c gi£ khỉng i s¥u chựng minh hát cĂc cổng thực truy hỗi lới gi£i cõa c¡c b i to¡n n y, nh÷ng hy vång mët số chựng minh Ưy ừ v chi tiát (cho bi to¡n Th¡p H Nëi xoay váng, ) cơng ¢ l m s¡ng tä nhúng mð rëng v c£i bi¶n cõa b i toĂn ThĂp H Nởi Mc dũ cỏn rĐt sỡ lữủc v chữa bao quĂt hát ữủc số lữủng lợn cĂc bi viát ch riảng và cổng cử ỗ th giÊi bi toĂn ThĂp H Nởi, hy vồng luên vôn cụng  cho mởt bực tranh tữỡng ối ró nt và phữỡng phĂp ỗ th giÊi bi toĂn ThĂp H Nởi Hy vồng luên vôn gủi ỵ sỹ quan tƠm án c¡c v§n · thó cõa b i to¡n th¡p H Nởi, nhƠn dp 1000 nôm Thông Long 71 Ti liằu tham khÊo [1] PhÔm Tr n, Bi toĂn ThĂp H Nởi, TÔp chẵ ToĂn hồc v Tuời tr, số 280, thĂng 10-2000 [2] PhÔm Tr n, Bi toĂn ThĂp H Nởi-CĂi nhẳn tứ lỵ thuyát ở phực tÔp tẵnh toĂn, TÔp chẵ Thổng tin ToĂn hồc, Têp 6, Số 2, th¡ng 8-2002, trang 10-13 [3] Vơ ¼nh Háa, B i to¡n ThĂp H Nởi, TÔp chẵ ToĂn Tuời thỡ 2, Số 68, thĂng 10-2008 [4] Nguyạn Th Hỗng Phữủng, Thuêt toĂn Frame-Stewart gi£i b i to¡n Th¡p H Nëi têng qu¡t, Luªn vôn Cao hồc, Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản, 2010 [5] TÔ Duy Phữủng, quĂt, Trỏ chỡi ThĂp H Nởi-Lch sỷ v bi toĂn tờng TÔp chẵ ToĂn hồc v Tuời tr, số 280, thĂng 1-2010 [6] TÔ Duy Phữủng, Trá chìi Th¡p H Nëi: Làch sû v nhúng v§n · (B£n th£o), 150 trang, 2010 To¡n-Tin håc li¶n quan, [7] Nguyạn XuƠn TĐn, Bi toĂn ThĂp H Nởi-mởt bi toĂn hõc búa hỡn mởt trôm nôm nay, TÔp chẵ Thỉng tin To¡n håc, Tªp Sè 1, th¡ng 3, 2002, trang 2-4 [8] E Allardie and A Y Fraser, La Tour d'Hanoi, Proceeding of the Edinburgh Mathematical Society (1884), 50-53 72 [9] M Atkinson, The cyclic Towers of Hanoi problem Information Processing Letters, Vol 13, No (1981), 118-119 MR0645457 (83f:68004) [10] W W Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays, Macmil- lan and Co., London, Sixth Edition, 1914 [11] Henry Ernest Dudeney, ous problems), The Canterbury Puzzles (and other curi- Thomas Nelson and Sons, Ltd., London, 1907; New York, E P Dutton and Company, 1908 [12] Otto Dunkel, Editorial note concerning advanced problem 3918, Amer Math Monthly 48 (1941), 219 [13] M C Er, The Colour Towers of Hanoi: A Generalization, The Computer Journal, Vol 27 (1984), No 1, 80-82 [14] J S Frame, Solution to advanced problem 3918 Amer Math Monthly 48 (1941), 216-217 [15] Ronal L Graham, Donal E Knuth, and Oren Patashnik, Concrete mathematics: A foundation for computer sciences Addison-Wesley, Reading, MA, 1989 Second Edition, 1994 [16] Andreas M Hinz, The Tower of Hanoi Enseign Math (2) 35 (1989), 289-321 MR1039949 (91k:05015) [17] Andreas M Hinz, Pascal's Triangle and the Tower of Hanoi, American Mathematical Monthly, Vol 99 No 6, p 538-544, June-July 1992 [18] E I Igratiev, Trong vữỡng quốc sĂng tÔo hay Sè håc cho måi ng÷íi, Quyºn 1, S.-Peterburg, 1914 (T¡i bÊn lƯn thự tữ, tiáng Nga) [19] ZoltĂn KĂtai, Lehel Istv¡n Kov¡cs Tower ming techniques blend of Hanoi-where program- Acta Univ Sapientiae, Informatica 1, (2009), pp 89-108 73 [20] Sandi Klavzar, Uros Milutinovic, and Ciril Petr, On the Frame- Stewart algorithm for the multi-peg Tower of Hanoi problem, Discrete Appl Math 120 (2002), no 1-3, 141-157 MR1912864 (2003c:05028) [21] douard Lucas, Nouveaux jeux scientifiques de M douard Lucas, La Nature, 17t h year, 2n d semester (1889), no 855 (October 5), 301-303 [22] douard Lucas, L'Arithm²ique R²cr²ations Mathematicques , Amusante: Introduction aux Gauthier-Villars, Paris, 1895, pp 179-183 [23] Henri de Parville, R²cr²ations math²matiques: La tour d'Hanoi et la question du Tonkin, La Nature, 12th year, 1st semester, no 565 (March 29, 1884), 285-286 [24] David G Poole, The cal knows Hanoi), [25] A Sapir, towers and triangles of Professor Claus (Pas- Mathematics Magazine, 67 (1994), 323-344 The Towers of Hanoi with Forbidden Moves, The Com- puter Journal, 47 (1) (2004), 20-24 [26] R S Scorer, P M Grundy, and C A, B Smith, games, Some Binary Math Gaz 28 (1944), No 280 (July), 96-103 [27] B M Stewart, Advanced problem 3918, Amer Math Monthly 46 (1939), 363 [28] B M Stewart, Solution to advanced problem 3918 Amer Math Monthly 48 (1941), 217-219 [29] Paul K Stockmeyer, puzzle, Variations on the four-post Tower of Hanoi Congr Numer 102 (1994), 3-12 74 [30] Paul K Stockmeyer, phy, The Tower of Hanoi: A Bibliogra- http://w.w.w.cs.wm.edu/ pkstoc/hpapers.html, Version 2.2, 22/10/2005 [31] P.K Stockmeyer, Fred Lunnon, Hanoi, New Variations on the Tower of Thirteenth International Conference on Fibonaci Numbers and Their Applications, July 7-11, 2008, Patras, Greece [32] Yu-Kuo Wang, Analysis on an Iterative algorithm of The Tower of Hanoi problem with Parallel Moves, M Sc Thesis, Institute of Computer Science and Information Engineering, Chung Hoa University, 1999 [33] Derick Wood, Towers of Brahma and Hanoi Revisited, Math 14(1981), No 1, 17-24 MR 0629340 (82i:68031) 75 J Recr