Tài liệu hình học 12 - 300 trang giải chi tiết
“Nơi có ý chí, nơi có đường.” Tài liệu gồm 301 trang bao gồm chủ đề sau: Chủ đề Khối đa diện Phép biến hình khơng gian Chủ đề Góc khơng gian Chủ đề Khoảng cách không gian Chủ đề Thể tích khối đa diện Chủ đề Nón - Trụ - Cầu Bố cục chủ đề gồm phần sau: Kiến thức cần nắm Các dạng toán phương pháp giải (kèm theo toán minh họa) Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có đáp án lời giải chi tiết) MỤC LỤC MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC PHẲNG Các đường tam giác Tam giác ABC vuông A Các hệ thức lượng tam giác thường Hai tam giác đồng dạng định lí Talet Các cơng thức tính diện tích 10 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 10 Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 10 Chứng minh hai đường thẳng vng góc 10 Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 11 Hai định lí quan hệ vng góc 11 Định lí ba đường vng góc, cơng thức diện tích hình chiếu 11 CHỦ ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN 12 A KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN 12 I KHỐI ĐA DIỆN KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ 12 Khái niệm hình đa diện 12 Khái niệm khối đa diện 12 Phân chia lắp ghép khối đa diện 14 Một số kết quan trọng 14 B PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN HAI HÌNH BẰNG NHAU 15 I PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHƠNG GIAN 15 Phép tịnh tiến theo vectơ v 15 Phép đối xứng qua tâm O 15 Phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục ) 15 Phép đối xứng qua mặt phẳng P 15 Mặt phẳng đối xứng số hình thường gặp 15 II HAI HÌNH BẰNG NHAU .18 III PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN 18 Phép vị tự không gian 18 Hai hình đồng dạng 18 C KHỐI ĐA DIỆN LỒI KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 19 I KHỐI ĐA DIỆN LỒI 19 II KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU .19 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 20 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 21 I ĐỀ BÀI 21 Khái niệm khối đa diện 21 Khối đa diện lồi Khối đa diện 24 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 26 Khái niệm khối đa diện 26 Khối đa diện lồi Khối đa diện 29 CHỦ ĐỀ 2: GĨC TRONG KHƠNG GIAN 31 A GĨC TRONG KHƠNG GIAN 31 I GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 31 Phương pháp 31 Một số toán minh họa 31 II GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 37 Phương pháp 37 Một số loại góc đường thẳng mặt phẳng thường gặp hình chóp 38 Một số toán minh họa 38 III GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG .43 Phương pháp 43 Một số toán minh họa 44 B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 49 I ĐỀ BÀI 49 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 54 CHỦ ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 69 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 69 B GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH 70 DẠNG 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG .70 Phương pháp 70 Một số toán minh họa 71 DẠNG 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG .76 Phương pháp 76 Một số toán minh họa 78 DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 87 Phương pháp 87 Một số toán minh họa 87 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 91 Phương pháp 91 Một số toán minh họa 92 C BÀI TẬP TRẮC NGHIÊM 100 I ĐỀ BÀI 100 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 108 CHỦ ĐỀ 4: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 130 A CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 130 I THỂ TÍCH KHỐI CHĨP 130 II THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI HỘP CHỮ NHẬT 130 III MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KỸ THUẬT CẦN NẮM 131 Một số khái niệm tính chất 131 Kỹ thuật tìm đường cao cách đưa tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 131 B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ DẠNG TỐN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 132 I PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỐN TRỰC TIẾP 132 Phương pháp 132 Một số toán minh họa 132 II PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH GIÁN TIẾP BẰNG CÁCH PHÂN CHIA LẮP GHÉP CÁC KHỐI CHÓP 144 Phương pháp 144 Một số toán minh họa 144 III PHƯƠNG PHÁP TỶ SỐ THỂ TÍCH 151 Phương pháp 151 Một số toán minh họa 151 IV BÀI TỐN MIN MAX THỂ TÍCH 163 Phương pháp 163 Một số toán minh họa 163 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 172 I ĐỀ BÀI 172 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 183 PHẦN MỞ RỘNG: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN 212 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 212 Hệ trục tọa độ không gian 212 Tọa độ vectơ 212 Tọa độ điểm 212 Tích có hướng hai vectơ 213 Vấn đề góc 213 Vấn đề khoảng cách 214 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ỨNG DỤNG HÌNH GIẢI TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN 215 CHỦ ĐỀ 5: NÓN - TRỤ - CẦU 224 A MẶT NÓN 224 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 224 Mặt nón trịn xoay 224 Hình nón tròn xoay 224 Công thức diện tích thể tích hình nón 224 Giao tuyến mặt tròn xoay mặt phẳng 225 II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 225 ĐỀ BÀI 225 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 232 B MẶT TRỤ 247 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 247 Mặt trụ tròn xoay 247 Hình trụ trịn xoay 247 Cơng thức tính diện tích thể tích hình trụ 247 Tính chất 247 II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 248 ĐỀ BÀI 248 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 257 C MẶT CẦU 271 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 271 Định nghĩa 271 Vị trí tương đối điểm mặt cầu 271 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 271 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu 271 Diện tích thể tích mặt cầu 272 Một số khái niệm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 272 II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 273 ĐỀ BÀI 273 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 280 MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC PHẲNG Các đường tam giác A A b c N K G H hb B B C M Trọng tâm G tam giác giao điểm ba đường trung tuyến, AG hc AM C a Trực tâm H tam giác ABC giao điểm ba đường cao A A R c O r C B b I B Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực a C Tâm I đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm ba đường phân giác Tam giác vuông ABC vuông A A α B Các tỉ số lượng giác: AC BC AC + tan AB + sin AB BC AB + cot AC + cos Định lí Pitago: BC AB2 AC Diện tích: S AB.AC H C M Độ dài đường trung tuyến AM BC Hệ thức lượng: AH.BC AB AC AB2 BH.BC , AC CH.CB AH BH.HC 1 , AH HB.HC 2 AH AB AC Các hệ thức lượng tam giác thường Cho tam giác ABC có: + Độ dài cạnh tương ứng a , b , c + Chiều cao tương ứng kẻ từ đỉnh A , B , C , hb , hc + r , R bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp ABC + p abc (nửa chu vi ABC ) A a) Định lý cosin: b) Định lý sin: A b c b c B R O C a b2 c a2 2bc a c b2 b2 a c 2ac cos B cos B 2ac a b2 c c a b2 2ab cos C cos C 2ab a b2 c 2bc cos A cos A B C a a b c 2R sin A sin B sin C c) Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến: d) Cơng thức tính A diện tích tam giác: A b c H N K hb G hc a B B Gọi S diện tích ABC : C M C 1 a.ha b.hb c.hc 2 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 abc ; SABC p.r 4R AM AB2 AC BC SABC BN BA2 BC AC SABC CK CA CB2 AB2 SABC SABC p p a p b p c Hai tam giác đồng dạng định lí Talet A B M N A C M P ABC ∽ MNP chúng có góc tương ứng AB MN Nếu ABC ∽ MNP thì AC MP N B MN / / BC C AM AN MN AB AC BC Các cơng thức tính diện tích Diện tích tam giác Diện tích tam giác vng A B SABC A Diện tích đều: S AB AC C h B a B SHVuong a C H A B S Đường chéo h/vuông: a O AB CD AH SHCN AB AD D D C a Diện tích hình thang Diện tích hình vng hình chữ nhật A Chiều cao đều: a2 C H Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc B o Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc tích hai đường chéo o Hình thoi có hai đường chéo vng góc A trung điểm đường C S AC.BD D II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng vng góc mp( P) ta chứng minh vng góc với hai đường thẳng a , b cắt nằm mp( P ) Trình bày a ( P) Ta có: b ( P) P a A b P Chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng d ta chứng minh vng góc với mp( P) chứa d Trình bày Ta có: P d d d P Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn SG tan 60.AG https://facebook.com/duytuan.qna a SG 2a a ; SA sin 60 a 2a 2a a 2a Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho R SO Câu 23 Chọn A A Ta có: SIO ∽ SGA SI SG SI SA SO SO SO SA SG Gọi M trung điểm BC suy BC AM , BC DM , AM DM ( ABC DBC tam giác K đều) Do BC AMD Trong AMD mặt phẳng trung trực , dựng AH MD AH BCD , d BCD I trọng O J B tâm tam giác DBC nên d trục đáy BCD D HI M Gọi O giao d MK ( O giao điểm C hai trục hai đáy DBC ABC ) Mặt khác AMD mặt phẳng trung trực BC nên OB OC OA OD hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD a 2 a a 11 2 AM DM ; DK AD a , MK MD DK a MK 3 2 Ta có tan KMD DK OI DK.MI 2a 33 OI MK MI MK 33 r OD OI ID2 với ID a a 55 MD suy r 3 11 Câu 24 Chọn D S Gọi M trung điểm AB Vì SAB nằm d mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy nên SM ABC Gọi G trọng tâm ABC Vì ABC nên G tâm O đường tròn ngoại tiếp ABC Dựng đường thẳng d qua G vng góc với mp ABC J A Gọi J tâm tâm đường tròn ngoại tiếp SAB Dựng d' C M G đường thẳng d qua J vng góc với mp SAB Gọi O giao điểm d d Khi O tâm mặt cầu B ngoại tiếp hình chóp S ABC với r OC Do SAB ABC tam giác cạnh nên ta có: 3 3 JM ' ; GC 3 https://toanhocplus.blogspot.com Trang 287 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2 3 3 15 Xét OGC vuông G ta có: OC GC GO 2 15 15 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho là: V 3 54 Câu 25 Chọn B S Gọi H trung điểm cạnh BC Vì ABC nên AH BC Vì SBC ABC SBC ABC BC nên AH SBC Do H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC nên A C AH trục đường tròn ngoại tiếp SBC G 6a Vì ABC nên trọng tâm G tâm đường H trịn ngoại tiếp tam giác B Vậy ta có GA GB GC Mà G AH nên GS GB GC Suy GS GA GB GC Vậy G tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC 3a Bán kính: R GA 6a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: V 3a Câu 26 Chọn C 32 3 a3 A' C' Ta có tam giác ABC vng A nên tâm đường tròn ngoại I' tiếp tam giác ABC trung điểm I BC Gọi trung điểm BC I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ B' O ABC ABC thuộc đường thẳng II Xét hình chữ nhật BCC B có tâm hình chữ nhật trung điểm O II Tam giác ICO có OC IO IC A C I B Mà II AA a , BC a , nên bán kính R OC a Câu 27 Chọn C S 120 nên Xét hình thoi ABCD có BAD AD AC AB , suy A tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy BCD M Theo giả thiết SA vng góc với đáy ABCD nên đường thẳng SA trục đáy BCD d I B A C D https://toanhocplus.blogspot.com Trang 288 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Gọi M trung điểm SD , mặt phẳng SAD kẻ đường thẳng d vng góc với SD M , d cắt SA I Ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD Lúc R IS a 10 a 10 IS SM SM.DS 5a IS Ta có ISM ∽ DSA DS SA SA 3a Câu 28 Chọn A S Gọi H trung điểm BC 60 AH a ; BH a BC a Có AB a , BAH 2 V ABCD a3 1 a DH a2 DH DH SABC 16 2 Vậy DA AH DH D a M Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đường trịn R AO BC a sin A A C Vậy H trung điểm AO H Kẻ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , đường I O B thẳng cắt AD S với D trung điểm SA a a 3a , SA DA SM SA 2 Từ trung điểm M đoạn AD kẻ đường vng góc với AD , cắt SO I Vậy SO DH Dễ dàng có I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Hai tam giác vuông SAO SIM đồng dạng nên MI SM a a 21 MI a OA SO a Bán kính mặt cầu RABCD ID MI MD a 91 Câu 29 Chọn B Gọi V1 thể tích khối cầu có cách quay hình trịn tâm O quanh trục AD Gọi V2 thể tích khối nón có cách quay tam giác AHC quanh trục AD Thể tích cần tìm V V1 V2 Đường trịn tâm O có bán kính R OA Ta có V1 3 3 3 3 3 3 Khối nón có bán kính đáy r , chiều cao h , V2 2 2 Thể tích cần tìm V V1 V2 23 3 Câu 30 Chọn A https://toanhocplus.blogspot.com Trang 289 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Ta có BC a2 2a2 2.a.a 2.cos45 a2 BC a S Suy tam giác ABC vuông B BC AB BC SAB BC AB1 BC SA C1 AB1 CB AB1 SBC AB1 CB1 AB1 SB B1 Gọi I trung điểm AC , suy IC IA IB A 45° C I Tam giác AB1C vuông B1 suy IC IA IB1 Tam giác AC1C vuông C1 suy IC IA IC1 B Do hình chóp A.BCC1 B1 nội tiếp mặt cầu tâm I , bán kính r IA a a 2 a 3 Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC1 B1 V Câu 31 Chọn C Gọi M , N trung điểm CD AB A AB CN AB MN ; tương tự CD MN Ta có: AB DN N Suy MN đường trung trực đoạn vng góc 4a chung AB CD Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD I thuộc MN I B D 6a Xét tam giác ANC vng N có: M CN AC NA2 22a2 4a2 2a C Xét tam giác CMN vng M có: MN CN CM 18 a2 a2 3a IM IN 3a IM IN 3a Lại có: 2 2 2 IM MC IN NA IM IN NA MC IM IN 3a IM a IM IN 3a IM IN IM IN 5a IN a IM IN a Vậy bán kính cần tìm R IM MC 85 a 9a2 a Câu 32 Chọn A Gọi bán kính đường trịn đáy hình trụ R Theo giả thiết hình vẽ thì: Hình trụ có bán kính đường trịn đáy R , chiều cao 6R Mặt cầu có bán kính R https://toanhocplus.blogspot.com Trang 290 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Hình nón có bán kính đường tròn đáy R , chiều cao 4R Thể tích lượng nước ban đầu V thể tích khối trụ nên V R2 R 6 R3 Thể tích lượng nước tràn V1 tổng thể tích khối nón khối cầu nên 8 R3 V1 R2 R R 3 Thể tích lượng nước cịn lại cốc V2 V V1 6 R3 8 R3 10 R3 3 10 R3 V Do tỉ số thể tích lượng nước cịn lại lượng nước ban đầu là: 3 V 6 R Câu 33 Chọn A S d Gọi E trung điểm AB Dễ thấy SE ABCD Dựng trục d qua O song song với SE Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng F qua G vng góc với mặt phẳng ABC cắt d G I I tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD 3 SG SE ; B GI EO AD ; R SI SG2 GI 4 32 Suy thể tích khối cầu ngoại tiếp là: V R3 3 Câu 34 Chọn D Ta có SE I A D O C Gọi I tâm mặt cầu S , theo giả thiết I tâm tứ diện ABCD Gọi O 3 a a AB2 a AO ; R AI 4 4 Ta có T MA MB2 MC MD MA MB MC MD MI IA MI IB MI IC MI ID MI MI IA IB IC ID IA2 R2 IA2 2a2 tâm tam giác BCD AI Câu 35 Chọn C S Gọi H hình chiếu S mặt phẳng ABC SH đường cao hình chóp Gọi M , I trung điểm BC , SA Ta tích khối chóp S ABC I a nên ta có 11 AB.SH a3 SH 2a 32 C M A H B https://toanhocplus.blogspot.com Trang 291 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Dễ thấy năm điểm A , B , H , C , S thuộc mặt cầu tâm I ngoại tiếp hình chóp S ABC Mặt khác A , B , H , C thuộc mặt phẳng nên tứ giác ABHC nội tiếp đường tròn 90 BHC 900 HM BC a SM HM SH a 21 Mà BAC 2 Áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có: SM SB2 SC BC SB2 SC BC 13a2 SM 4 (1) R2 CI CA2 SC SA2 4a2 SC R2 R2 (2) R2 BI BA SB2 SA2 a2 SB2 R2 R2 (3) Từ (1), (2),(3) ta có R2 a2 SB2 4a2 SC 5a2 SB2 SC 5a2 13a2 a2 2 2 2 3a Câu 36 Chọn B R C B I Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi K ; r đường r tròn ngoại tiếp ABCD K A D Khi IA.IC IB.ID r IK (theo phương tích đường trịn) Suy r IK h r h IK Gọi O , R mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ta có R2 OA OK r Vậy Rmin C B h2 5 h h IK h2 R 4 D A h I tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD Câu 37 Chọn A S Gọi H trung điểm AB , suy AH ABCD Gọi G trọng tâm tam giác SAB O tâm hình vng ABCD G I Từ G kẻ GI // HO suy GI trục đường A D tròn ngoại tiếp tam giác SAB từ O kẻ H OI // SH OI trục đường trịn ngoại tiếp B hình vng ABCD K O C Ta có hai đường nằm mặt phẳng cắt I Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD https://toanhocplus.blogspot.com Trang 292 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna R SI SG GI a 21 21 a Suy thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD V R3 54 Câu 38 Chọn A S G A I a B H O D C Gọi H trung điểm AB SH AB (vì SAB đều) Mặt khác SAB ABCD SH ABCD Gọi O giao điểm AC , BD O tâm đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Gọi G trọng tâm SBC G tâm đường tròn ngoại tiếp SBC Qua O dựng đường thẳng d //SH d trục đường tròn O Qua G dựng đường thẳng //OH trục đường tròn H d I IA IB IC ID IS I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S ABCD Xét tam giác SAB có cạnh a SH Mặt khác IG OH 3a SG a AD a 2 Xét tam giác vuông SIG : IS2 SG IG a2 a 5a2 a IS 4 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S ABCD là: S 4 R2 5 a Câu 39 Chọn A Ta có R2 r h2 h2 r R 4 O2 Mà diện tích xung quanh hình trụ : R h2 S 2 rh 2 h R h I h Xét hàm số f h 4R2 h2 h R2 h R 2 r B O1 A Dấu xảy h R Câu 40 Chọn D https://toanhocplus.blogspot.com Trang 293 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Gọi chiều cao hình nón x , x R S Gọi bán kính đáy hình nón r ta có: r OM OH R x R 2Rx x x R x 1 Thể tích hình nón V r x x R x 3 x x 2R x x x Mặt khác ta lại có R x 2 O H M x2 R3 2R x 27 32 R3 Suy V x R x 27 32 R3 x 4R , dấu “=” xảy R x x 27 Chú ý: Ta khảo sát hàm V x R x f x 0; 2R để tìm max V Câu 41 Chọn A S Vậy max V An1 E An I A4 H A1 A3 A2 Ký hiệu hình chóp đa giác S.A1 A2 An H hình chiếu S A1 A2 An Ta có: SA1 , A1 A2 An SA1 , HA1 SA H 30 Xét SA1 H vng H ta có: SH SA1 sin 30 a a , A1 H SA1 cos 30 2 Gọi I tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp Kẻ IE SA1 , ta có: SEI ∽ SHA1 Suy ra: SE.SA1 SA12 SE SI SI a SH SA1 SH 2SH Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp: V a Câu 42 Chọn D https://toanhocplus.blogspot.com Trang 294 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Gọi P mặt phẳng qua đỉnh vuông góc với mặt phẳng đáy hình nón Khi P cắt hình cầu (viên kẹo) theo thiết diện đường trịn lớn Viên kẹo có đường kính lớn đường tròn lớn đường tròn nội tiếp tam giác SAB Nửa chu vi tam giác SAB p 13 Diện tích tam giác SAB S 1 AB.d S , AB 10 52 39 2 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB : r 10 39 S 39 , đường kinh 2r 13 p 13 Câu 43 Chọn C S Gọi S mặt cầu có tâm I bán kính R Xét hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O , cạnh a a I Ta có OA a AC a OI IA2 OA2 81 2 D A O a2 Mặt khác ta lại có SO SI IO 81 Thể tích khối chóp S.ABCD V C B 2 a2 a 81 a2 3a a 81 Đặt a2 t , a nên t 162 t 324 3t Xét hàm số f t 3t t 81 , với t 162 ta có f t ; t 12 81 t 108 t 108 t t Giải pt: f t 81 9 t t t t 144 12 t 144 81 12 Ta có bảng biến thiên t f t 162 144 576 f t Từ bảng biến thiên ta có Vmax 576 t 144 hay a 12 Vậy thể tích lớn khối chóp nội tiếp hình cầu cầu có bán kính V 576 Câu 44 Chọn B https://toanhocplus.blogspot.com Trang 295 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna z O y I x Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ Mỗi bóng xem mặt cầu tâm I a; b; c Vì bóng tiếp xúc với hai tường nhà nên chúng tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ d I , xOy d I , yOz d I , zOx R a b c I a; a; a Gọi M x; y ; z điểm nằm bóng có khoảng cách đến hai tường nhà mà tiếp xúc ; ; M 1; 2; M nằm bóng IM d I , xOy a 2 a 1 a a a 2a 14 a 21 * Vì * có biệt thức nên có hai nghiệm phân biệt a1 , a2 a1 a2 Khi tổng đường kính hai bóng a1 a2 14 Câu 45 Chọn A A a a B D H a a C Gọi H trọng tâm tam giác BCD G tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Khi bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD là: r d G , ABC d G , BCD d G , ACD d G , ABD 3.VG BCD Ta có: VG BCD SBCD d G , BCD d G , BCD SBCD Mà VG BCD VG ABC VG ABD VG ACD (vì SBCD SABC SABD SACD ) Mặt khác VG BCD VG ABC VG ABD VG ACD VABCD VG BCD https://toanhocplus.blogspot.com Trang 296 V ABCD Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn BH https://facebook.com/duytuan.qna a a ; AH AB2 BH 3 a2 a a3 a3 VABCD VG BCD VABCD 12 48 r d G , BCD 3.VG BCD SBCD a3 a 48 12 a 4 a3 Vậy thể tích khối cầu nội tiếp tứ diện là: V r 216 Câu 46 Chọn A SI SAB SAB P Nhận xét: SI P Mặt khác: SAB chứa đường kính đường trịn tâm O nên SAB cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn lớn qua ba điểm S , A , B Do tâm mặt cầu tâm đường trịn ngoại tiếp SAB x S K R x R H a I R x A O y B P Cách 1: Trong mặt phẳng SAB , chọn hệ trục Oxy cho I 0; ; A a; ; B 3a; ; S 0; a Ta có tâm H đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình 2 2 x 2a AE BE x a y x 3a y 7a a H a; 2 2 AE SE x a y x y 2a y Khi mặt cầu qua ba điểm S , A , B có bán kính R AE a 65 Cách 2: Xét SAB có AB a , SA SI IA2 a 5, SB SI IB2 a 13 SA.SB a 5a 13 a 65 SA.SB.AB R SSAB SI AB 2SI 2.2a 4R https://toanhocplus.blogspot.com Trang 297 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Cách 3: Gọi mặt cầu tâm H qua đường tròn tâm O điểm S Khi ta có tứ giác HOIS hình thang vng O I Ta có SI OI 2a 2OA Gọi R HA HS HB bán kính mặt cầu cần tìm HA HO OA x a Kẻ HK SI K SI , đặt HO x KI x HS HK SK a x a 2a x Vì HA HS nên 7a 4a x a x 7a a 65 Vậy R HA a2 Câu 47 Chọn C A Gọi O trung điểm AB , M điểm đường trịn C Ta có IM OM OI R2 h R Rh h O 1 Thể tích hình nón: V AI SC h. Rh h2 3 Đặt f h 2Rh h3 I ( R tham số) Tập xác định D 0; R f 'h B 4R Rh 3h ; f ' h h 3 f 0 ; f R R 32 R R ; f 81 4R 4R Hay thể tích hình nón lớn đạt h Câu 48 Chọn D S Vậy hàm số f h đạt giá trị lớn h S E a I D A M O O B Giả sử SO x ta có: SI x a ; SE https://toanhocplus.blogspot.com M N x a N C a x2 2ax Trang 298 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Xét SEI ∽ SON ta có: https://facebook.com/duytuan.qna IE.SO SE IE NO SO NO SE ax x ax ax 4a2 x2 Thể tích khối chóp V x x ax x 2a Xét hàm số f x f x x 4ax x 2a x2 x 2a 2a x ; f x x 4a (do 2a x ) Bảng biến thiên 2a x f x 4a – f x 8a Vậy giá trị nhỏ thể tích V 32a3 Câu 49 Chọn D S G K I D A M E O C B Gọi M trung điểm AB G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB , O tâm hình vng ABCD Ta có OM SAB Dựng trục hình vng ABCD trục tam giác SAB , chúng đồng phẳng cắt I tức OI , GI trục hình vng ABCD trục tam giác SAB Bán kính mặt cầu R SI Ta có 4 R2 84 cm R 21 cm Đặt AB x cm Trong tam giác vuông SGI ta có SI SG GI 1 , ta có GI 1 x x , SG thay vào tính x Dựng hình bình hành ADBE Khoảng cách d BD SA d d BD , SAE d d B , SAE 2d M , SAE Kẻ MK AE ta có SAE SMK https://toanhocplus.blogspot.com Trang 299 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna SM.MK d M , SAE d M , SK Ta có SM SM MK 2 x x 3 , MK 2 Thay giá trị vào tính d M , SAE Vậy khoảng cách SA BD 21 21 Câu 50 Chọn A S M2 I E M1 I1 B H A Gọi I1 , I tâm mặt cầu S1 S2 1 a a Gọi H trung điểm AB Khi ta có SAB R1 SH 3 Hạ I1 M1 SA , I M2 SA Xét SI M có sin 30 ο I M2 SI I M SI Khi ta có SH SI I E EH 3r1 3r2 2r1 r1 3r2 Chứng minh tương tự ta có r2 3r3 ,…., rn 3rn1 Do dãy bán kính r1 , r2 ,…, rn , lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với r1 công bội q a Suy dãy thể tích khối cầu S1 , S2 , …, Sn ,… lập thành cấp số nhân lùi a 3 3 vô hạn với V1 a công bội q1 27 54 Vậy tổng thể tích khối cầu S1 , S2 , , Sn , là: V V1 3 a q 52 Câu 51 Chọn B https://toanhocplus.blogspot.com Trang 300 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna a A r H C I b B M H Gọi r , Rmc bán kính đáy khối nón khối cầu; a , b , c kích thước hình hộp chữ nhật Dễ dàng thấy a 4r , ABC cạnh 2r nên BH Rmc AB r b r 2r 4 1 4 4 r Vkc Rmc r r Vkn r h r (do h r ) 3 3 3 3 337 4 r Rmc Ta có phương trình r r 3 3 Từ a 12 , b 3 Gọi D , E, F đỉnh hình nón DEF có cạnh nội tiếp đường trịn có bán kính HM Từ IH IM HM 2 sin 60 , c Rmc IH r Vậy thể tích nước ban đầu thể tích khối hộp chữ nhật: Vkhcn abc 12.9 3 1209, cm https://toanhocplus.blogspot.com Trang 301 Nón - Trụ - Cầu ... VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 183 PHẦN MỞ RỘNG: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN 212 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 212 Hệ trục tọa... hạn hình nón cụt Tương tự ta có đinh nghĩa khối chóp n -giác; khối chóp cụt n -giác; khối chóp đều; khối hộp; Ví dụ: - Các hình khối đa diện: - Các hình khơng phải khối đa diện: Giải thích: Hình. .. phương pháp giải (kèm theo toán minh họa) Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có đáp án lời giải chi tiết) MỤC LỤC MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC PHẲNG