NW49 KIỂM TRA cực TRỊ hàm số đề THEO MA TRẬN TRẮC NGHIỆM GV

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN TRƯỜNG  THPT TRẮC NGHIỆM ĐỀ THI THỬ:2019-2020 KIỂM TRA CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian: 45 phút y = f ( x) ( a; b) x0 Ỵ ( a; b) Tìm mệnh đề Câu Cho hàm số xác định liên tục mệnh đề sau f ¢( x0 ) = y = f ( x) x A Nếu hàm số đạt cực trị y = f ( x) f ¢( x0 ) = x B Nếu hàm số đạt cực trị f ¢( x0 ) = f Â( x0 ) > 0, " x ẻ ( x0 ; b) f ¢( x0 ) < 0, " x Ỵ ( a; x0 ) y = f ( x) C Nếu và hàm số x đạt cực tiểu f ¢( x0 ) = f Â( x0 ) > 0, " x ẻ ( x0 ; b) f ¢( x0 ) < 0, " x Ỵ ( a; x0 ) y = f ( x) D Nếu và hàm số x đạt cực đại Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TOÁN: Đây lý thuyết cực trị hàm số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Xem lại khái niệm cực trị Lời giải Chọn C y = f ( x) Câu Cho hàm số có đồ thị hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số A B y = f ( x) C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm số điểm cực trị hàm số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Biết nhận dạng điểm cực trị đồ thị HƯỚNG GIẢI: Đếm số điểm cực trị đồ thị suy số điểm cực trị hàm số Lời giải Chọn A Hàm số có điểm cực trị TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA D y = f ( x) biết đồ thị Trang ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT Câu Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y= x − x2 − x − A 10 10 B C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TOÁN: Khoảng cách giưa hai điểm cực trị KIẾN THỨC CẦN NHỚ: AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) D +) Độ dài đoạn thẳng Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn C Ta có y′ = x − x − x = 1+ y′ = ⇔   x = − , suy hai điểm cực trị đồ thị hàm số  −8 −   −8 +  10 A 1 + 2; ; B − 2; ÷  ÷ AB = ÷  ÷ 3     Vậy y = f ( x) Câu Cho hàm số có bảng biến thiên hình sau Tìm điểm cực đại hàm số A - B C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Tìm cực trị hàm số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: + Định nghĩa cực trị hàm số: x ∈K Giả sử hàm số f xác định tập K Ta nói: • x0 D ( a; b ) chứa x0 cho ( a; b ) ⊂ K điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng f ( x ) > f ( x0 ) , ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f ( a; b ) chứa x0 cho ( a; b ) ⊂ K • x0 điểm cực đại hàm số f tồn khoảng Khi f ( x ) < f ( x0 ) , ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } f ( x0 ) Khi gọi giá trị cực đại hàm số f + Điều kiện để hàm số đạt cực trị x x Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm Khi đó, hàm số f có đạo hàm điểm f ' ( x0 ) = Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TỐN • Nếu f ′( x) > khoảng ĐỀ THI THỬ:2019-2020 ( x0 − h; x0 ) f ′( x) < khoảng ( x0 ; x0 + h ) x0 f ( x) điểm cực đại hàm số f ′( x) < ( x − h; x0 ) f ′ ( x ) > khoảng ( x0 ; x0 + h ) x0 • Nếu khoảng f ( x) điểm cực tiểu hàm số HƯỚNG GIẢI: Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại x = Câu Dạng đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx + cx + d (a < 0) trường hợp phương trình y ' = có nghiệm phân biệt là: y y x x O O A Hình B Hình y y x x O O C Hình D Hình Lời giải Chọn A y = ax3 + bx + cx + d (a < 0) trường hợp phương trình Vì hàm số bậc ba nghiệm phân biệt nên đồ thị dạng Hình y ' = có [ −10;10] để hàm số y = x3 + mx + có Câu Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn cực trị? A 10 B 11 C 12 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Tìm điều điện để hàm số bậc có cực trị KIẾN THỨC CẦN NHỚ + Cho hàm số f ′ ( x) từ ( −) y = f ( x) đổi dấu từ sang ( +) ( +) K \ { x0 } x liên tục có đạo hàm khoảng K Nếu qua , sang x0 ( −) x0 điểm cực đại hàm số Nếu qua x0 , f ′( x) đổi dấu điểm cực tiểu hàm số TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT + Hàm số bậc ba có cực trị khơng có cực trị ( a ≠ ) có hai điểm cực trị ⇔ Phương trình y′ = có + Hàm số y = ax + bx + cx + d , ∆′ = b − 3ac (cơng thức tính nhanh ∆′ đạo hàm: y′ ) ( a ≠ ) khơng có cực trị ⇔ y′ = vơ nghiệm có + Hàm số y = ax + bx + cx + d , ⇔ ∆ y′ ≤ nghiệm HƯỚNG GIẢI: ∆ B1: Tính y′ y′ ∆ >0 B2: Giải điều kiện y′ B3: Đối chiếu điều kiện kết luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A y′ = x + m nghiệm phân biệt ⇔ ∆ y′ > ∆ y′ = −12m Hàm số y = x + mx + có cực trị y ′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ −12m > ⇔ m < mà m ∈ ¢; m ∈ [ −10;10] nên m ∈ { −10; −9; −8; ; −1} Vậy có 10 giá trị m thỏa mãn điều kiện để Trắc nghiệm: y = x + mx + ∆′ = b − 3ac = −3m > ⇔ m < Hàm số y = x + mx + có cực trị y′ mà m ∈ ¢; m ∈ [ −10;10] m ∈ { −10; −9; −8; ; −1} nên m Vậy có 10 giá trị thỏa mãn điều kiện để Câu Cho hàm số điểm cực trị? A y = f ( x) có đồ thị hình bên Trên đoạn [ −3;3] hàm số cho có B C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây tốn xác định số điểm cực trị dựa vào đồ thị KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Với bảng biến thiên: f ′( x) x x  đổi dấu từ + (dương) sang − (âm) qua điểm điểm cực đại f ′( x)  đổi dấu từ − (âm) sang + (dương) qua điểm x0 x0 điểm cực tiểu Với đồ thị hàm số: Trang TÀI LIỆU ƠN THU THPT QUỐC GIA NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020  Đồ thị “đi lên” “đi xuống” cực đại  Đồ thị “đi xuống” “đi lên” cực tiểu HƯỚNG GIẢI: B1: Quan sát thay đổi chiều biến thiên đồ thị hàm số điểm x = −1 , x = x=3 Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn D [ −3;3] hàm số có điểm cực trị x = −1 , x = x = Dựa vào đồ thị ta thấy, đoạn qua ba điểm đồ thị hàm số thay đổi chiều biến thiên y = f ( x) Câu Cho hàm số có đạo hàm ¡ Khẳng định sau đúng?: A Nếu hàm số đạt cực trị x0 đạo hàm đổi dấu x qua x0 B Nếu đạo hàm đổi dấu x qua x0 hàm số đạt cực đại x0 f ′ ( x0 ) = x C Nếu hàm số đạt cực trị f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = x D Nếu hàm số không đạt cực trị Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: nhận biết lí thuyết cực trị KIẾN THỨC CẦN NHỚ: HƯỚNG GIẢI: Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A Câu Cho hàm số y = f ( x) f ′ ( x ) = ( x − 1) ( − x ) ( x − 1) có đạo hàm Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực trị? A B C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng toán đếm số cực trị hàm số biết biểu thức đạo hàm Phương pháp: Số cực trị hàm số số nghiệm đơn bội lẻ đạo hàm KIẾN THỨC CẦN NHỚ: + Đạo hàm không đổi dấu qua nghiệm kép nghiệm bội chẵn nên hàm số khơng có cực trị nghiệm HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm nghiệm đạo hàm B2: Đếm số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ kết luận số cực trị Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B f ′ ( x ) = ( x − 1) ( − x ) ( x − 1) = ( x − 1) ( − x ) ( x + 1)  Ta có x = f ′ ( x ) = ⇔  x = −1  x =  TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT  TrongÅđó x = nghiệm kép  Vậy hàm số có hai cực trị Câu 10 Cho hàm số y = f ( x) f '( x) xác định, liên tục ¡ có đạo hàm hình vẽ bên y -2 x O -1 Hàm số đạt cực tiểu điểm A x = −1 B x = C x = −2 D x = Phân tích lời giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm cực trị hàm số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: f ' ( x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại x0 + Nếu f ' ( x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu x0 + Nếu Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn C f '( x) y = f ( x) Từ đồ thị hàm số ta có BBT hàm số sau Dựa vào BBT ta có x = −2 điểm cực tiểu hàm số y = x − mx + ( m − m − 1) x Câu 11 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số đạt cực đại x = A m = B m = C m ∈ ∅ D m = Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị KIẾN THỨC CẦN NHỚ: ìï f '( x0 ) = ù ắắ đ x0 ùù f ''( x0 ) < f x ỵ điểm cực đại ( ) x0 ìï f '( x0 ) = ù ắắ đ x0 ïï f ''( x0 ) > ỵ f x điểm cực tiểu ( ) Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 2  Ta có y′ = x − 2mx + m − m − y ′′ = x − m  y′ ( 1) = 1 − 2m + m − m − = m − 3m = x =1⇔  ⇔ ⇔ y′′ ( 1) < − 2m <    m >  Hàm số đạt cực đại m =  ⇔   m = ⇔ m = m >  Câu 12 Tìm tất giá trị điểm cực trị dương m để hàm số y=  m < −2  m > −1 A  x − ( m + 3m + ) x + 2019m3 − có B −2 < m < −1 C m > Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa điều kiện KIẾN THỨC CẦN NHỚ: HƯỚNG GIẢI: B1: Tính đạo hàm, tìm nghiệm đạo hàm B2: Dùng điều kiện điểm cực trị để tìm m Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A D m < x − ( m + 3m + ) x + 2019m3 −  Hàm số xác định ¡ có y′ = x − ( m + 3m + ) y= ′  Ta có: y = ⇔ x = m + 3m +  m < −2 ⇔ m + 3m + > ⇔   m > −1  Hàm số có điểm cực trị dương Câu 13 Số giá trị nguyên m để hàm số tiểu trái dấu A B y = x3 − x − 2x + 1− m có giá trị cực đại giá trị cực C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm tham số để hàm số có cực trị kèm giả thiết theo y KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 2.1 Một số qui tắc tính đạo hàm: ( x n ) ′ = nx n−1 ( u ± v ) ′ = u ′ ± v′ TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT ( ku ) ′ = ku ′ ( k số) 2.2 Hàm số y = ax + bx + cx + d có giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu y ( x1 ) y ( x2 ) < x ,x phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm y ′ giải phương trình y ′ = tìm tham số để phương trình y ′ = có hai x ,x nghiệm phân biệt y ( x1 ) , y ( x2 ) B2: Tính y ( x1 ) y ( x2 ) < B3: Giải điều kiện kết luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn D  Ta có y′ = 3x − x − ; x = 2 ′ y = ⇔ 3x − x − = ⇔  x = −   Với x = y = −5 − m Với x=− 73 y= −m 54  73  ⇔ ( −5 − m )  − m ÷ <  54   Hàm số có giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu 73 54 Do m ∈ ¢ nên m ∈ { −4; −3; −2; −1;0;1}  Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn ⇔ −5 < m < Câu 14 Đồ thị hàm số y = x − x − x + có hai điểm cực trị A B Điểm thuộc đường thẳng AB N ( 1; −10 ) Q −1;10 ) C D ( Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm đường thẳng nối hai điểm cực trị KIẾN THỨC CẦN NHỚ: ( a ≠ 0) Phương trình đường thẳng AB có dạng d : y = ax + b HƯỚNG GIẢI: B1: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = x − x − x + để tìm toạ độ hai điểm A B ( a ≠ 0) B2: Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng d : y = ax + b B3: Từ A ∈ d B ∈ d lập thành hệ phương trình hai ẩn A P ( 1;0 ) B M ( 0; −1) B4: Giải hệ, từ ta phương trình đường thẳng AB Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn C Trang TÀI LIỆU ƠN THU THPT QUỐC GIA NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020  Ta có y = x − x − x + , TXĐ: D = ¡  x = −1 ⇒ y = ⇔  x = ⇒ y = −26  Suy y′ = 3x − x − , xét y′ =  Bảng biến thiên  A ( −1;6 )  B ( 3; −26 ) y = x − x − x +  Với A , B hai điểm cực trị đồ thị hàm số , suy  ( a ≠ 0)  Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng d : y = ax + b 6 = − a + b a = −8 ⇔  b = −2  Ta có hệ phương trình −26 = 3a + b  Suy đường thẳng AB có phương trình y = −8 x −  Vậy điểm N ( 1; −10 ) thuộc đường thẳng AB Câu 15 Biết đồ thị hàm số y= x2 − x + x −1 có hai điểm cực trị A B Phương trình đường thẳng AB B x + y + = C x − y − = D x − y + = Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ A x − y − = ax + bx + c y= b′x + c′ thị hàm số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Sử dụng công thức nhớ nhanh đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số ax + bx + c 2ax + b d:y= b′x + c′ b′ HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm tập xác định hàm số B2: Tính đạo hàm, chúng tỏ đạo hàm có hai nghiệm phân biệt, lập bảng biến thiên kết luận điểm cực trị đồ thị B3: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Lời giải Chọn C D = R \ { 1} Tập xác định hàm số x = x − 2x ′ y = ⇔ x − x = ⇔ y′ = x = ( x − 1) ; phương trình  Đạo hàm y= TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT Bảng biến thiên hàm số Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(0; −2) B (2; 2) , đường thẳng AB : x y+2 = ⇔ AB : x − y − = Vậy AB : x − y − = Câu 16 Hàm số hàm số f ( x) f ( x) f ' ( x ) = −2 ( x − 1) xác định liên tục ¡ có đạo hàm ( x + 1) Khi A Đạt cực tiểu điểm x = −1 C Đạt cực đại điểm x = −1 B Đạt cực tiểu điểm x = D Đạt cực đại điểm x = Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm cực trị hàm số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: ( a; b ) chứa điểm x0 có đạo hàm ( a; b ) Giả sử hàm số f bliên tục khoảng ( a; b ) \ { x0 } f ′( x) - Nếu x x đổi dấu từ âm sang dương x qua f đạt cực tiểu f ′( x) - Nếu đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 HƯỚNG GIẢI: y = f ( x) Để tìm cực trị hàm số , ta thực bước sau: - B1: Tìm tập xác định hàm số - B2: Tính y′ Tìm điểm mà y′ = y′ không xác định - B3: Lập bảng xét dấu y′ - bảng biến thiên (tìm lim vô cùng, x mà y’ không xác định – giới hạn bên) Từ kết luận điểm cực trị hàm số Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn C  x = −1 f ' ( x ) = ⇔ −2 ( x − 1) ( x + 1) = ⇔  x =  Ta có Bảng biến thiên hàm số Trang 10 f ( x) TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Suy hàm số cho đạt cực đại x = −1 Câu 17 Cho hàm số y = f ( x) f ′( x) liên tục R có đồ thị hình vẽ ( ) g ( x ) = f −x2 + x Số điểm cực tiểu hàm số A B C D Phân tích hướng dẫn giải y = f ( x) DẠNG TỐN: Đây dạng tốn: Cho hàm số (Đề cho hàm, đồ thị, f x , f '( x) y = f ( u) bảng biến thiên ( ) ) Tìm số điểm cực trị hàm số u hàm số x KIẾN THỨC CẦN NHỚ +) xo điểm cực trị hàm số g ( x) g ′( x ) đổi dấu qua xo +) Giả sử hàm số x0 ( ) đạt cực trị điểm x Khi đó, y = f ( x ) y=f x có đạo hàm điểm ( ) f ′ x0 = + Số cực trị hàm số số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phương trình: HƯỚNG GIẢI: y ' = u ' f ' ( u ) Bước Tính đạo hàm u ' = y' = ⇔   f '( u ) = Bước Giải phương trình Bước 3.Tìm số nghiệm đơn bội lẻ điểm mà y ' không xác định ( ) f ′ x = Kết luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 11 ĐỀ THI THỬ:2019-2020  Ta có NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT g ( x ) = f ( − x + x ) ⇒ g ′ ( x ) = ( −2 x + 1) f ′ ( − x + x )   x = x =  −2 x + =   ⇒ g ′ ( x ) = ⇔ ( −2 x + 1) f ′ ( − x + x ) = ⇔  ⇔ − x2 + x = ⇔  x =  f ′ ( − x + x ) =  x = − x + x =      −2 x + >    f ′ ( − x + x ) > g ′ ( x ) > ⇔ ( −2 x + 1) f ′ ( − x + x ) > ⇔    −2 x + <  ′  f ( −x + x) <     Do    x <  x <    − x2 + x >  x > x <    ⇔   − x + x < ⇔    x < ⇔   < x  x > 2    0 < − x + x < 0 < x <     Bảng biến thiên  Vậy hàm số có điểm cực tiểu ( C ) Đường thẳng qua điểm A ( −1,1) Câu 18 Cho hàm số y = x − x + x − có đồ thị C vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị ( ) 3 y = x+ y = − x+ 2 2 A y = x + B C D x − y − = Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn viết phương trình đường thẳng liên quan đến phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số bậc ba KIẾN THỨC CẦN NHỚ: y = ax3 + bx + cx + d , ( a ≠ ) - Cho hàm số bậc ba , hàm số bậc ba có hai điểm cực trị đường thẳng qua hai điểm cực trị xác định sau: 2 +) Thực phép chia đa thức: y = ax + bx + cx + d cho y′ = 3ax + 2bx + c thương q ( x) Trang 12 phần dư r ( x ) = mx + n , ta được: y = y′.q ( x ) + r ( x ) TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 y = mx + n đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số bậc ba Khi HƯỚNG GIẢI: Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B 2 1 y = x − x + x − =  x − ÷ 3x − 12 x + + ( −2 x + ) 3 3  y′ = x − 12 x + , ( ) ( C) có phương trình y = −2 x + y = x+b  Đường thẳng vng góc với y = −2 x + có phương trình = ( −1) + b ⇔ b = A ( −1;1) 2  Đường thẳng qua suy y = x+ 2  Vậy phương trình đường thẳng cần tìm  Khi đường thẳng qua hai điểm cực trị 12 Câu 19 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x + ( m − 5) x + ( m − 25) x + đạt cực đại x = ? A B D 10 C Vô số Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị điểm KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điểm đổi dấu qua f ′ ( x) x0 x0 ,cụ thể: Điểm x0 cho trước điểm cực trị hàm số x0 f ′ ( x0 ) = điểm cực đại hàm số đổi dấu từ âm sang dương qua x0 , điểm x0 f ′ ( x) f ′ ( x0 ) = điểm cực tiểu hàm số f ′ ( x0 ) = f ′ ( x) x đổi dấu từ dương sang âm qua Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A 11  y ' = 12 x + 7(m − 5) x + 6(m − 25) x 11  m = ⇒ y ' = 12 x Khi y ' = ⇔ x = nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu y’ đổi từ âm sang dương, nên x = điểm cực tiểu hàm số, khơng thỏa mãn, m = loại  m = −5 ⇒ y ' = x (12 x − 70) = ⇒ x = nghiệm bội chẵn, y’ khơng đổi dấu qua x = , m = −5 loại m ≠ ±5 ⇒ y ' = x 12 x + 7(m − 5) x + 6(m − 25)  = x5 g ( x)  g ( x) với g ( x) = 12 x + 7( m − 5) x + 6( m − 25) , ta thấy x = không nghiệm x = Để hàm số đạt cực đại y’ phải đổi dấu từ dương sang âm qua x = , xảy lim g ( x) <   x → 0− ⇔ 6(m − 25) < ⇔ −5 < m <  lim g ( x ) <  +  x →0 TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 13 ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT m = { −4; −3; ;3; 4}  m nguyên nên Vậy có giá trị m thỏa mãn toán Câu 20 Cho hàm số y = f ( x) + m y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có ba điểm cực trị?  m ≤ −1  A  m ≥  m ≤ −3  m = −1 m ≥  B  C  m = D ≤ m ≤ Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn cực trị hàm chứa giá trị tuyệt đối KIẾN THỨC CẦN NHỚ: y = f ( x) - Đồ thị hàm suy từ đồ thị hàm y = f ( x) : Giữ nguyên phần đồ thị trục hoành, phần đồ thị bên trục hoành lấy đối xứng lên - Điểm cực trị hàm số điểm thuộc tập xác định hàm số mà điểm hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến ngược lại HƯỚNG GIẢI: - Vẽ đồ thị y = f ( x) + m , sau vẽ y = f ( x) + m - Dựa vào đồ thị suy điều kiện cần có m Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số y = f ( x) ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x) + m sau  Trường hợp 1: −3 + m < < + m ⇔ −1 < m < pt f ( x) + m = có nghiệm a < x1 < b < x2 < c < x3 bảng biến thiên hàm số y = f ( x) + m sau: Hàm số có điểm cực trị, không thỏa mãn yêu câu đề Trang 14 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN ĐỀ THI THỬ:2019-2020  Trường hợp 2: + m ≤ ⇔ m ≤ −1 pt f ( x) + m = có nghiệm c ≥ x3 bảng biến thiên hàm số y = f ( x) + m sau: Hàm số có điểm cực trị  Trường hợp 3: −3 + m ≥ ⇔ m ≥ pt f ( x) + m = có nghiệm a ≤ x1 bảng biến thiên hàm số y = f ( x) + m sau: Hàm số có điểm cực trị Kết luận: m ≤ −1 m ≥ S Câu 21 Gọi tập hợp tất y = x − ( 2m + 3) x − ( m − ) x + m + giá trị có hai điểm cực trị tham x1 , x2 số m thỏa mãn để hàm số y ( x1 ) y ( x2 ) = Tính tổng phần tử tập S A −3 B − C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng toán cực trị chứa tham số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: +) D − 22 ( c)′ = ( xn ) ′ = nxn−1 +) HƯỚNG GIẢI: B1: Tính đạo hàm hàm số Từ tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị B2: Xác định điều kiện tốn B3: Giải điều kiện tốn từ xác định giá trị tham số m Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn D y ′ = x − ( 2m + ) x − m +  Ta có TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA Trang 15 ĐỀ THI THỬ:2019-2020  Hàm số có NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT hai điểm cực trị ⇔ y′ = có hai nghiệm phân biệt  −15 − 273 m < ⇔  −15 + 273 m > ⇔ ∆′ = ( 2m + 3) − ( − m ) > ⇔ 4m + 15m − >  y ( x1 ) y ( x2 ) = y = x − ( 2m + ) x − ( m − ) x + m +  Theo giả thiết suy đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành ⇒ x − ( 2m + 3) x − ( m − ) x + m + = có nghiệm kép ⇔ ( x + 1)  x − ( m + ) x + m + 8 = có nghiệm kép  x = −1 ( x + 1)  x − ( m + ) x + m + 8 = ⇔   x − ( m + 2) x + m + =  Ta có x2 − ( m + 2) x + m + =  Trường hợp 1: phương trình nghiệm x = −1 Với x =1→ m = − có hai nghiệm phân biệt có 13  x = −1 14 11 x + x+ =0⇔  13  x = − 11 3 m=−  có phương trình Với 13 m=− thỏa mãn Do  Trường hợp 2: Phương trình x2 − ( m + 2) x + m + = có nghiệm kép khác −1 ∆′ = ( m + ) − ( m + ) =  m + 3m − = m =   ⇔ ⇔ ⇔  13  m = −4 13  m ≠ − m ≠ −    13  22 S =  − ; −4;1 −   Vậy tổng phần tử S Do y = x + ( m + 3) x − ( m + ) x + m + ( C ) Tìm giá trị thực tham số Câu 22 Cho hàm số có đồ thị m để ( C ) có hai điểm cực trị khoảng cách từ O đến đường thẳng nối hai điểm cực trị lớn 2 A B C m = −3 ± D m = −6 ± Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TOÁN: Đây dạng cực trị hàm số bậc ba chứa tham số có yếu tố hình học KIẾN THỨC CẦN NHỚ: a ≠ ⇔  ∆ y′ > a) Hàm số y = ax + bx + cx + d có hai cực trị m = −6 ± 2 m = −3 ± b) Đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y = ax + bx + cx + d có phương trình: Trang 16 TÀI LIỆU ƠN THU THPT QUỐC GIA NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 2 b2  bc ∆ : y =  c − ÷x + d −  3a  9a c) Điểm cố định mà họ đường cong m f ( x; y ) + g ( x; y ) = qua với giá trị tham số  f ( x; y ) =  m nghiệm hệ phương trình:  g ( x; y ) = HƯỚNG GIẢI: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị, sau viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, từ tìm giá trị lớn khoảng cách cách xét điểm cố định mà đường thẳng qua Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A y = x + ( m + 3) x − ( 2m + ) x + m +  Tập xác định D = ¡ y ' = x + ( m + ) x − ( 2m + )  ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt  Để hàm số có điểm cực trị ⇔ ∆ ' = ( m + 3) + ( 2m + ) = ( m + ) > ⇔ m ≠ −6 2  Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: 2 b2  bc −2m − 24m − 72 2m + 24m + 81 ∆ : y =  c − ÷x + d − = x+ 3 3a  9a 9  2m + 24m ⇔ y=− ( x − 1) − 8x + 9 I ( 1;1)  Nhận thấy đường thẳng qua điểm cố định d ( O; ∆ ) ≤ OI = , dấu xảy OI ⊥ ∆ −2m − 24m − 72 k1 =  Đường thẳng ∆ có hệ số góc là: , đường thẳng OI có hệ số góc là:  Ta có: k2 = 2m + 24m + 72 −12 ± = ⇔ 2m + 24m + 72 = ⇔ m =  Câu 23 Cho hàm số y = x − 2mx + − m Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm OI ⊥ ∆ ⇒ k1.k2 = −1 ⇔ A m = B m = C m = D m = −1 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm tham số phần cực trị hàm bậc bốn trùng phương KIẾN THỨC CẦN NHỚ: TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 17 ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT  Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax + bx + c có ba điểm cực trị ab < OB ⊥ AC  O ( 0;0 )  Gốc tọa độ trực tâm tam giác OA ⊥ BC , với A , B , C ba điểm cực trị đồ thị  Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực b3 + 8a − 4abc =  ab < tâm  HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm điều kiện (*) cho m để hàm số có ba điểm cực trị B2: Tìm tọa độ ba điểm cực trị B3: Dựa vào giả thiết cho tam giác tam giác từ ta áp dụng tính chất tam giác để thiết lập phương trình có liên quan đến tham số m B4: Giải phương trình lập suy giá trị tham số m B5: Kiểm tra giá trị m tìm với điều kiện (*) để chọn m phù hợp Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A  TXĐ: D = ¡ x = y′ = ⇔  y′ = x − 4mx = x ( x − m ) x = m  Ta có Cho ( 1)  Hàm số có ba cực trị ⇔ m > Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: ( ) A ( 0;1 − m ) , ( m ; −m − m + uuu r uuur OB = − m ; − m − m + AC = m , − m ⇒ ,  Ta có tam giác ABC cân A nên AO ⊥ BC C ( ) ( ), B − m ; − m2 − m + ) uuur uuur  Do tam giác ABC nhận O làm trực tâm ⇔ OB ⊥ AC ⇔ OB AC = m = ⇔ ⇔ m + m3 − m − m = ⇔ m ( m + m − m − 1) =  m = ±1 ( 1) ta suy m =  Kết hợp với Cách :  Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực b3 + 8a − 4abc =  ab < tâm   Chứng minh công thức : x = y′ = ⇔  x = − b 2a  Ta có y ′ = 4ax + 2bx , Trang 18 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Hàm số có ba cực trị ⇔ ab <  −b b   −b b  B  ;− + c÷ C − ; − + c  ÷ ÷  a 4a ÷ 2a 4a A ( 0; c )     Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị , , uuu r  −b b  uuur  −b b  OB =  ;− +c÷ AC = − ;− ÷  ÷ a a a 4a ÷  ,    Ta có tam giác ABC cân A nên AO ⊥ BC uuur uuur ⇔ OB ×AC = ABC O ⇔ OB ⊥ AC  Do tam giác nhận làm trực tâm ⇔   b b2  b2 b  b2 −  − + c ÷ = ⇔ −  − + c ÷ = ⇔ b + 8a − 4abc = a 4a  4a  4a    Áp dụng cho hàm số y = x − 2mx + − m với a = , b = −2m , c = − m  m > ⇔ m =1  −2m ) + − ( −2m ) ( − m ) = (    Ta có Câu 24 Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hàm đạo hàm y = f '( x ) hình vẽ f (b) = ; f (c) = −2 Số giá trị nguyên trị A m ∈ [ −5;5] để hàm số g ( x) = f ( x) + f ( x) + m + có điểm cực B 10 C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm điểm cực trị hàm ẩn chứa giá trị tuyệt đối KIẾN THỨC CẦN NHỚ: + Định nghĩa tính đơn điệu hàm số: ( a; b ) với x1 , x2 ∈ ( a; b ) mà x1 < x2 - Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến khoảng f ( x1 ) < f ( x2 ) ( a; b ) với x1 , x2 ∈ ( a; b ) mà x1 < x2 - Hàm số y = f ( x) gọi nghịch biến khoảng f ( x1 ) > f ( x2 ) - Hàm số y = f ( x) gọi đồng biến nghịch biến khoảng ( a; b ) ta nói hàm số y = f ( x ) đơn điệu khoảng ( a; b ) + Định lí: Giả sử hàm số f có đạo hàm K ( ) ( ) f' x ≥0 f' x =0 - Nếu với x ∈ K số hữu hạn điểm x ∈ K hàm số f đồng biến K TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 19 ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT ( ) ( ) f' x ≤0 f' x =0 - Nếu với x ∈ K số hữu hạn điểm x ∈ K hàm số f nghịch biến K + Định nghĩa cực trị hàm số: x ∈K Giả sử hàm số f xác định tập K Ta nói: ( a;b) chứa x0 cho ( a;b) ⊂ K - x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng ( ) ( ) ( ) { } Khi f ( x ) f x > f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0 f x < f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f a;b x x ( a;b) ⊂ K - điểm cực đại hàm số f tồn khoảng chứa cho ( ) ( ) ( ) ( ) { } Khi f ( x ) gọi giá trị cực đại hàm số f y = f ( x ) , ( C1 ) ; y = g ( x ) , ( C2 ) + Sự tương giao: Cho hàm số f ( x) = g ( x ) , (*) Xét phương trình: ( C ) & ( C2 ) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị HƯỚNG GIẢI: y = f ( x) B1: Lập bảng biến thiên hàm số B2: Tìm điểm cực trị hàm số h( x) = f ( x) + f ( x) + m + tương giao hàm số y = h ( x) với trục hoành B3: Xét tương giao đồ thị hàm số t( x) = f ( x) + f ( x) đường thẳng y = −m − Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A y = f ( x)  Ta có bảng biến thiên hàm số  Xét hàm số h( x) = f ( x) + f ( x) + m + Ta có h'( x) = f ( x) f'(x) + f '( x)  f '( x ) =  x = a; x = b h'( x) = f ( x) f'(x) + f '( x) = ⇔  ⇔  f ( x ) = −2 x = c < a Khi đó: h x Vậy h'( x) = có nghiệm phân biệt, suy ( ) có điểm cực trị  Xét h( x) = ⇔ f ( x) + f ( x) = −1 − m (∗) g( x) = f ( x) + f ( x) + m −  Để có điểm cực trị PT (∗) có nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phân biệt  Xét hàm số t( x) = f ( x) + f ( x) Trang 20 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN ĐỀ THI THỬ:2019-2020  f '( x) =  x = a; x = b t'( x) = f ( x) f'(x) + f '( x) = ⇔  ⇔  f ( x) = −2 x = c < a Ta có Ta có t(c) = −4; t (b) =  Ta có bảng biến thiên t(x): Từ YCBT ⇔ t( x) = − m − có hai nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phân biệt  − m − > t ( a) >  m < −6   ⇔  − < − m − ≤ ⇔  −6 ≤ m < ⇔ m ∈ [ −5;5] ; m ∈ ¢ ⇔ m ∈ { −5, −4, −3, −2, −1, 0,1, 2} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 25 Cho f ( x) hàm đa thức bậc cho đồ thị hàm số y = f ′( x ) hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số A B ( y = g ( x) = f x + x + ) C D Phân tích Lời giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm cực trị hàm hợp biết đồ thị hàm số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: HƯỚNG GIẢI: Bước 1: Tìm tập xác định hàm g = f ( u ( x) ) D = ( a1 ; a2 ) ∪ ( a3 ; a4 ) ∪ ∪ ( an −1; an ) Bước 2: Xét biến thiên đơn giản) u = u ( x) , giả sử ta tập xác định Ở a1 ≡ −∞; an ≡ +∞ hàm y = f ( x) (B2 làm gộp B3  x; u = u ( x )  [ u; g = f (u )] Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét tương quan  Bảng thường có dịng giả sử sau TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA Trang 21 ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận truyền thống f ′( x)  Đầu tiên ta nhận xét x = x = đồ thị tiếp xúc trục Ox nên ta có x = f ′ ( x ) = ⇔  x =  x = x = , x = nghiệm kép  Ta có y = g ( x) = f ( x + x + ) , nên  x = −2 g′ ( x ) = ( 2x + 4) f ′ x2 + 4x + = ⇔   f ′ x + x + = t = f ′ ( t ) = ⇔ t = t =  Xét phương trình ,ta loại hai nghiệm t = t = nghiệm kép không điểm cực trị  Từ t = ; x + x + = ⇔ x = −1 ∨ x = −3 ( ) ( ) g ( x)  Tóm lại hàm số có ba điểm cực trị x = −1; x = −2; x = −3 Cách 2: (PP ghép trục) BBT cùa hàm số y = f ( x) Đặt u = x + x +   u′ = x + u ′ = ⇔ x = −2 ⇒ u =  BBT u Trang 22 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN  BBT hàm số  Vậy hàm số ĐỀ THI THỬ:2019-2020 y = g ( x) = f ( x + x + 5) = f ( u ) y = g ( x) = f ( x + x + 5) TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA có ba điểm cực trị Trang 23 ... x) có điểm cực trị? A B C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn đếm số cực trị hàm số biết biểu thức đạo hàm Phương pháp: Số cực trị hàm số số nghiệm đơn bội lẻ đạo hàm KIẾN THỨC... NHỚ: + Đạo hàm không đổi dấu qua nghiệm kép nghiệm bội chẵn nên hàm số khơng có cực trị nghiệm HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm nghiệm đạo hàm B2: Đếm số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ kết luận số cực trị Từ đó,... đạt cực trị x0 đạo hàm đổi dấu x qua x0 B Nếu đạo hàm đổi dấu x qua x0 hàm số đạt cực đại x0 f ′ ( x0 ) = x C Nếu hàm số đạt cực trị f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = x D Nếu hàm số khơng đạt cực trị