NW359 360 DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA mãn điều KIỆN GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TỐN 45: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG KHÁC Trong không gian d1 : Oxyz , cho mặt phẳng BÀI TẬP MẪU ( P) : x + y − z − = x −1 y z + x − y z +1 = = , d2 : = = −2 −1 hai đường thẳng Đường thẳng vng góc với có phương trình là: x −3 y −2 z + = = 2 −1 A x −1 y z +1 = = −2 −1 C B ( P), đồng thời cắt x − y − z +1 = = −2 d1 d2 x − y +1 z − = = 2 −1 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện với mặt phẳng đường thẳng khác Phương pháp d1 , d d - B1: Gọi tọa độ giao điểm đường thẳng cần tìm với uuu r ( P) AB - B2: Dựa vào kết véc tơ phương với véc tơ pháp tuyến mặt phẳng A, B - B3: Viết phương trình đường thẳng qua Từ ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A A(2a + 1, a, −2a − 1) B(b + 2, 2b, −b − 1) d Gọi giao điểm đường thẳng cần tìm với uuur d1 , d AB = (b − 2a + 1, 2b − a, −b + 2a) d ⊥ ( P) Ta có nên để b − 2a + 2b − a −b + 2a = = 2 −1 uuu r ( a; b) = (0;1) AB = (2; 2; −1) A(1;0; −1), B (3; 2; −2) Giải nên Từ viết x−3 y −2 z +2 (d) : = = 2 −1 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ MỞ RỘNG Một số dạng thường gặp A d Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua , cắt song song với mặt phẳng ( Q) ( P) A  Viết phương trình mặt phẳng qua song song với mặt phẳng  Viết phương trình mặt phẳng ( R) qua TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA A chứa d ( P) Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  Đường thẳng cần tìm giao điểm ( P) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( Q) Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm, cắt  Tìm điểm thuộc đường thẳng  Tìm vec-tơ phương đường thẳng  Nêu kết luận phương trình đường thẳng Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng nằm thẳng d mặt phẳng  Tìm giao điểm I ( P) d , có liên hệ với mặt phẳng , vng góc với d giao điểm d r u mặt phẳng ( P) Cho C đường thẳng d x − y− z+ x − y + z− = = , d2 : = = −1 −2 −3 thẳng vng góc A đường vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng r v I  Viết phương trình đường thẳng cần tìm qua nhận vec-tơ phương Câu I ( P)  Viết vec-tơ phương d1 : ( P) (P ) x − y+ z = = ( P) Tìm r r r v = [ u, n] mp(P ): x + 2y + 3z− = Đường d1 d2 , cắt , có phương trình là: B x − y− z+ = = D Lời giải x − y− z− = = x − y+ z = = Chọn A d1 d2 A vaøB , A( 3− t;3− 2t; −2 + t) B ( 5− 3u; −1+ 2u2 + u) d1 d2 Từ phương trình , ta có , ta có uuu r AB ( t − 3u + 2;2t + 2u − 4; −t + u+ 4) r uuu r r d ⊥ ( P ) ⇔ AB = kn ( P ) n( 1;2;3) Từ giả thiết có VTPT Do , giải điều kiện ta có Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng t = 2; u = 1⇒ A( 1; −1;0) Vậy phương trình đường thẳng TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA d cần lập là: x − y+ z = = Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Trong không gian ∆1 : x y z −1 = = −1 đường thẳng ∆1 Oxyz 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ , Cho mặt phẳng Đường thẳng ∆2 ( R ) : x + y − 2z + = nằm mặt phẳng Hãy tìm phương trình đường thẳng ( R) ∆2 đường thẳng đồng thời cắt vng góc với Lời giải ∆1 Câu  x = 2t  y = t z = 1− t  Phương trình tham số đường thẳng I ( x; y ; z ) ( R) ∆1 I Gọi giao điểm Khi tọa độ thỏa mãn  x = 2t y = t x =    ⇒ y = z = 1− t  z = ⇒ I = ( 0; 0;1)  x + y − z + =  r r n = ( 1;1; −2 ) u = ( 2;1; −1) ( R) ∆1 Mặt phẳng có VTPT ; Đường thẳng có VTCP r r [ n, u ] = ( 1; −3; −1) Ta có ( R) ∆2 ∆1 Đường thẳng nằm mặt phẳng đồng thời cắt vng góc với đường thẳng r r I = ( 0;0;1) [ n, u ] ∆2 Do qua nhận làm VTCP x = t   y = −3t z = 1− t ∆2  Vậy phương trình x −1 y z − d: = = Oxyz −1 Trong không gian , cho đường thẳng mặt phẳng ( P ) : 2x − y − 2z +1 = góc với d Hãy tìm phương trình đường thẳng nằm ( P) , cắt vuông Lời giải x = 1+ t  d :  y = −t z = + t  Phương trình tham số ( + t ) − ( −t ) − ( + t ) + = ⇔ t = Xét phương trình TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( P) d M ( 2; −1;3) Vậy đường thẳng cắt mặt phẳng uur r ad = ( 1; −1;1) n = ( 2; −1; −2 ) d Gọi vectơ phương vectơ pháp tuyến ( P) mặt phẳng r uur r a =  ad , n  = ( 3; 4;1) Khi vectơ phương đường thẳng cần tìm Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: Câu Trong không gian với hệ tọa độ Cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 10 = 0,  x = −2 + 2t  d :  y = 1+ t z = 1− t  điểm A ( 1;3; ) ( P) d Tìm phương trình đường thẳng cắt N MN M A hai điểm cho trung điểm cạnh Lời giải M = ( d ) ∩ ( ∆) ⇒ M ∈( d ) M ( −2 + 2t ,1 + t ,1 − t ) , t ∈ ¡ Ta có Giả sử N ( − 2t ; − t ; t + ) MN A Do trung điểm nên N ∈( P) ( − 2t ) − ( − t ) + ( + t ) − 10 = ⇔ t = −2 Mà nên ta có phương trình M ( −6; − 1;3) Do đó, uuuu r AM = ( −7; − 4;1) ∆ vectơ phương đường thẳng x + y +1 z − = = −1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm E ( 2;1;3) ( P ) : 2x + y − z − = Oxyz Trong không gian , cho điểm , mặt phẳng mặt cầu đường thẳng Câu Oxyz x − y +1 z − = = ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z − ) = 36 ( S) ∆ Gọi ∆ đường thẳng qua hai điểm có khoảng cách nhỏ Tìm phương trình Lời giải I ( 3; 2;5) R=6 Mặt cầu có tâm , bán kính Khoảng cách hai giao điểm ∆ E , nằm ( P) cắt R − d ( I , ∆ ) = 36 − d ( I , ∆ ) ≥ 36 − IE = 36 − = 30 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ⇔ IE ⊥ ∆ Dấu xảy uur  nr p , IE  = ( −5;5; )   Suy Vậy Câu r u∆ = ( 1; −1; ) ∆ nhận x = + t  ∆ :  y = 1− t z =  Trong không làm véc-tơ phương Oxyz gian d: , cho đường ( P) : x + y + z − = a Đường thẳng a phương trình đường thẳng Đường thẳng nằm ( P) đồng thời cắt A(1;1;1) uur uu r n p = (1; 2;1) ( P) u d d = (2;1;3) có VTPT có VTCP uu r uur uu r ua =  n p ; ud  = ( 5; −1; −3) Ta có VTCP x −1 y −1 z −1 a: = = −1 −3 Vây Câu Trong không gian Oxyz ( P) : x − y + z + = a ; mặt vng góc cắt phẳng d Tìm Lời giải ( P) d thẳng x +1 y z + = = , viết đường thẳng qua điểm d: đồng thời cắt đường thẳng Lời giải ∆ M ( 1; 2; ) , song song với mặt phẳng x −1 y − z − = = 1 I = ∆ ∩ d ⇒ I ∈ d ⇔ I ( + t; + t;3 + t ) Gọi đường thẳng cần tìm Gọi uuu rr uuu r uuu r MI n( P ) = ⇔ t − t + ( + t ) = ⇔ t = −1 ⇒ MI = ( −1; −1;0 ) MI // ( P ) MI = ( t ; t ;1 + t ) mà nên uuu r M 1; 2; MI = ( −1; −1;0 ) ( ) ∆ I Đường thẳng qua có véctơ phương có phương trình tham số Câu x = 1− t  y = −t z =  Trong không gian với hệ toạ độ ( P ) : z −1 = Oxyz ( Q) : x + y + z − = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA , cho đường thẳng Gọi d ∆ giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng nằm mặt phẳng ( P) , cắt Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU x −1 y − z − = = −1 −1 đường thẳng d thẳng x = + t  y = t z = 1+ t  A B 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ ∆ vng góc với đường thẳng x = − t  y = t z =  C Lời giải x = + t  y = t z =  Phương trình đường D x = + t   y = −t z = 1+ t  Chọn C Đặt r nP = ( 0;0;1) ( P) ( Q) véctơ pháp tuyến r r r u∆ =  nP , nQ  = ( −1;1;0 ) ∆ = ( P) ∩ ( Q) ∆ Do nên có véctơ phương Đường thẳng = ( −1; −1;0 ) d′ : Gọi d r nQ = ( 1;1;1) nằm ( P) x −1 y − z − = = −1 −1 ( P) : x − y − z −1 = A d có véctơ phương z = z −1 =    x −1 y − z − ⇔  y = = =  x = ⇒ A ( 3;0;1)    −1 −1 Trong không gian với hệ tọa độ cắt d A = d′ ∩ d ⇒ A = d′ ∩ ( P) Do phương trình đường thẳng ( ∆) nên Xét hệ phương trình Câu d ⊥∆ r ur r ud =  n P , u′∆  x = + t  d : y = t z =  Oxyz (d) : cho đường thẳng Viết pt đường thẳng ( ∆) x + y −1 z − = = qua điểm A ( 1;1; − ) , biết mặt phẳng ( ∆ ) // ( P ) x −1 y −1 z + = = −1 −1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA B x −1 y −1 z + = = Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU C x −1 y −1 z + = = 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ D Lời giải x −1 y −1 z + = = 1 Chọn C Gọi M = ( d ) ∩ ( ∆ ) ⇒ M ( −1 + 2t;1 + t; + 3t ) Khi uuuur AM = ( 2t − 2; t ; 3t + ) ( ∆) làuurmột vectơ phương u n( P ) = ( 1; - 1; − 1) với uuuu r uuur uuuur ⇔ AM n( P ) = ⇔ 2t − − t − 3t − = ⇔ t = −3 ⇒ AM = ( −8; − 3; − ) uuuu r uuur ( ∆ ) // ( P ) ⇔ AM ⊥ n( P ) ( ∆) : Vậy x −1 y −1 z + = = Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng Phương trình đường thẳng qua điểm A x = t  y =  z = −1 − t  B Chọn A Lấy tọa độ điểm 0 = − t   = 2t  −1 = −1 − t  0 = + 2t   = − 3t  −1 = − t  0 = − t  2 = −1 = − t  M ( 0; 2; −1) x = 1− t  d : y = +t  z = 2t  M ( 0;2; −1) x = 1− t   y = 2t  z = −1 − t  d cắt C Lời giải ( P) : x − 2y + z + = mặt phẳng song song với  x = + 2t   y = − 3t z = 1− t  ( P) D x = 1− t  y = z = 1− t  thay vào phương án vô nghiệm nên loại phương án B vô nghiệm nên loại phương án C vô nghiệm nên loại phương án D Đường thẳng x = t  y =  z = −1 − t  qua điểm TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA M ( 0; 2; −1) cắt d song song với ( P) Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 11 Trong không gian với hệ trục ( P) : x + y − z + = với mặt phẳng x = 1− t   y = + 2t  z = −1 − t  A ( P) điểm 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Oxyz A ( 1; 2; −1) , chođường thẳng Đường thẳng có phương trình x = 1− t   y = − 2t  z = −1 + t  B Gọi phương ( ∆ ) // ( P ) ⇒ ( ∆) Mặt phẳng ( P) ( ∆) qua x = 1+ t   y = − 2t  z = −1 + t  C Lời giải Chọn C B = ( d ) ∩ ( ∆ ) ⇒ B ( + t;3 + 3t;2t ) Do x = + t ( d ) :  y = + 3t  z = 2t  A∉( d ) nên A , cắt ( d) song song x = 1+ t   y = − 2t  z = −1 − t  D uuur AB = ( t + 2;3t + 1; 2t + 1) có vectơ pháp tuyến mặt phẳng r n = ( 1;1; −1) vectơ uuu r AB = ( 1; −2; −1) uuu rr AB.n = ⇔ t + + 3t + − 2t − = ⇔ t = −1 Ta uuu r A∉( P) AB = ( 1; −2; −1) A Do nên đường thẳng qua nhận làm vectơ phương thoả toán x = 1+ t   y = − 2t ( ∆ )  z = −1 + t Vậy phương trình đường thẳng : x y z−2 d1 : = = A 1; 2;3 ( ) d 1 Câu 12 Viết phương trình đường thẳng qua cắt đường thẳng song song với mặt phẳng A x = 1+ t  y = 2−t z = + t  ( P) : x + y − z − = B x = 1+ t  y = +t z =  C x = 1+ t  y = 2−t z =  x = 1+ t  y = 2+ t z = + t  D Lời giải Chọn C Do d uuu r d ∩ d1 = B ⇒ B ( 2m; m; m + ) ⇒ AB = ( 2m − 1; m − 2; m − 1) ( P) song song với mặt phẳng nên uuur r uuur AB.n ( P ) = ⇔ 1( 2m − 1) + ( m − ) − ( m − 1) = ⇔ m = ⇒ AB = ( 1; −1;0 ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy phương trình đường thẳng x = 1+ t  y = −t z =  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng đường thẳng d có phương trình lần x +2 y−2 z d: = = (P) : x + 2y − 3z + = 1 −1 lượt Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), vng góc cắt đường thẳng d A  x = −1− t  ∆ :  y = 2− t z = −2t  B  x = −3− t  ∆ :  y = 1− t z = 1− 2t  C Lời giải  x = −3+ t  ∆ :  y = 1− 2t z = 1− t  D  x = −1+ t  ∆ :  y = 2− 2t z = −2t  Chọn C A = ∆ ∩ d ⇒ A = ( P) ∩ d ⇒ A(t − 2; t + 2; −t ) Gọi A ∈ ( P ) ⇔ t − + 2t + + 3t + = ⇔ t = −1 ⇒ A( −3;1;1) Mà uur uur uu r nP = (1; 2; −3) ⇒  nP , ud  = (1; −2; −1) r  uu ud = (1;1; −1) Ta có VTCP ∆  x = −3 + t  ⇒ ∆ :  y = − 2t z = 1− t  Mà ∆ qua A d: x y −1 z + = = 2 Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng , mặt phẳng (P) : 2x + y + 2z − 5= A(11 ; ; −2) điểm Phương trình tắc đường thẳng ∆ qua A, song song với mặt phẳng (P) vng góc với d x −1 y −1 z + x −1 y −1 z + ∆: = = ∆: = = 2 −3 −2 A B x −1 y −1 z + x −1 y −1 z + ∆: = = ∆: = = −2 2 C D Lời giải Chọn A uu r uur ud = (1; 2; 2); nP = (1; 2; 2) Ta có Vì A(1;1; −2) → ∆ : Mặt khác ∆ qua TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA uur uuur ∆ / /(P) uur   ⇒ u = u  ∆  d , n( P )  = (2; 2; −3) ∆ ⊥ d x −1 y −1 z + = = 2 −3 Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ d: 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Oxyz , cho mặt phẳng x +1 y z + = = ( P) : x + 2y + z − = đường thẳng ( P) ∆ Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng , đồng thời d cắt vng góc với đường thẳng x −1 y −1 z −1 x −1 y −1 z −1 = = = = −1 −3 −3 A B x −1 y +1 z −1 x +1 y + z −1 = = = = −1 −1 C D Lời giải Chọn A r ( P ) n( P ) = ( 1; 2;1) Vectơ pháp tuyến mặt phẳng là: r d ud = ( 2;1;3 ) Vectơ phương đường thẳng  x = −1 + 2t  d :y = t  z = −2 + 3t  Phương trình tham số đường thẳng −1 + 2t + 2t − + 3t − = ⇔ 7t − = ⇔ t = Xét phương trình: ( P ) A ( 1;1;1) d A∈ ∆ Suy giao điểm đường thẳng mặt phẳng Ta có: r r r  u∆ =  n( P ) , ud  = ( 5; − 1; − 3) ∆ Vectơ phương đường thẳng là: x −1 y −1 z −1 ∆: = = −1 −3 Phương trình tắc đường thẳng ( P ) : x + y + 2z + = Oxyz Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng đường thẳng d: x −1 y −1 z = = 2 Đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng d đường thẳng có phương trình x +1 y +1 z +1 = = A x −1 y −1 z −1 = = −2 −2 C Chọn B Vectơ pháp tuyến ( P) r n = ( 3; 2; − 1) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA B D Lời giải ( P) , đồng thời vng góc cắt x +1 y +1 z +1 = = −3 x −1 y +1 z −1 = = −3 Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU ⇒ cos ( d , ∆1 ) = cos ( d , ∆ ) ⇒ 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ a + 2b + 3c a + b + c 14  a + 2b + 3c = a + 2b − 3c ⇔ c =  ⇒  a + 2b =  a + 2b + 3c = −a − 2b + 3c ( 1) ( 2) = a + 2b − 3c a + b + c 14  x = −1 + t  ⇒ d :  y = + 2t , t ∈ ¡ r  z = −1 ( 1) c = b = 2a ⇒ u = ( a, 2a, ) = ( 1; 2;0 )  Xét , , 1.1 + 2.2 70 cos ( ∆1; d ) = = 14 ⇒ ( ∆1 ; d ) ≈ 53°18' 14  x = −1  ⇒ d : y = ,t ∈ ¡ a + 2b = r ⇒a=b=0   z = −1 + t ⇒ u = ( 0;0; c ) = c ( 0; 0;1) ( ) b = 2a  Xét : −3 cos ( ∆1 , d ) = = 14.1 14 ⇒ ( ∆1 , d ) ≈ 36°42 ' ( ∆1 , d ) < 45° d Do đường phân giác góc nhọn nên  x = −1  d : y = ,t ∈ ¡  z = −1 + t  d Vậy đường thẳng cần tìm ur uu r u1 = ( 1; 2;3) u2 = ( 1; 2; − ) Nhận xét: Có thể làm đơn giản cách: ta thấy ; hai véc tơ ur uu r ur uu r ur uu r u1.u2 < ⇒ u1 , u2 > 90° u1 − u2 có độ dài Vậy véc tơ phương d A ( 2;3;3 ) Oxyz ABC Câu 31 Trong khơng gian , cho tam giác có , phương trình đường trung tuyến kẻ ( từ B x −3 y −3 z −2 = = −1 −1 x−2 y−4 z−2 = = −1 −1 A r u = ( 2;1; −1) ) ( ) , phương trình đường phân giác góc AB Đường thẳng có véc-tơ phương r r u = ( 1; −1;0 ) u = ( 0;1; −1) B C Lời giải D r u1 = ( 1; 2;1) C Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Phương trình tham số đường phân giác góc C  x = + 2t  CD :  y = − t z = − t  −t 5−t   M =  + t; ; ÷ 2   C = ( + 2t ; − t ; − t ) AC M Gọi , suy tọa độ trung điểm M ∈ BM Vì nên:  7−t  5−t  −3  −2  ÷ + t − ( ) =   =  ÷ ⇔ t − = − t = − t ⇒ t = −1 −2 −1 −1 C = ( 4;3;1) Do ( P) CD A Phương trình mặt phẳng qua vng góc ( x − ) − ( y − 3) − ( z − 3) = 2x − y − z + = hay ( P ) CD ( x; y; z ) H Tọa độ giao điểm nghiệm hệ  x = + 2t  x = + 2t x = y = 4−t y = 4−t y =    ⇔ ⇔    z = − t  z = − t z =   x − y − z + = t = ⇒ H ( 2; 4; ) 2 ( + 2t ) − ( − t ) − ( − t ) + = A′ A Gọi điểm đối xứng với qua đường phân giác vậy:  x A′ = xH − x A = 2.2 − =   y A′ = yH − y A = 2.4 − =  x = z − z = 2.2 − = ⇒ A′ ( 2;5;1)  A′ H A Do A′ ∈ BC phương trình đường thẳng Vì BC nên đường thẳng B = BM ∩ BC BC nên tọa độ B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA CD , suy có véc-tơ phương x = − t  y = 3+ t z =  nghiệm H trung điểm AA′ uuur CA′ = ( −2; 2; ) = ( −1;1;0 ) , , nên ( x; y; z ) hệ Trang 22 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x = − t x = y = 3+t   y = ⇔ z =  z = x − y −  = = t = ⇒ B ( 2;5;1) ≡ A′  −1 Đường thẳng AB uuur AB = ( 0; 2; −2 ) = ( 0;1; −1) có véc-tơ phương AB véc-tơ phương đường thẳng Oxyz, Câu 32 Trong không gian ( P ) : 2x − y + 2z +1 = d: cho đường thẳng Đường thẳng d ∆ x + y −1 z + = = −4 E ( −2; 1; − ) qua ; hay ∆ mặt phẳng , song song với r u = ( m; n; 1) r u = ( 0;1; −1) ( P) đồng thời T = m2 − n tạo với góc bé Biết có véctơ phương Tính T = −5 T =3 T =4 T = −4 A B C D Lời giải Chọn D r n = ( 2; − 1; ) ( P) d Mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến đường thẳng có vec tơ phương r v = ( 4; − 4;3) Vì ( P) ∆ r r u ⊥ n ⇔ 2m − n + = ⇔ n = 2m + song song với mặt phẳng nên rr 4m + 4m − 4n + u v = = · cos( ∆; d ) = r r 41( 5m + 8m + ) m + n + + ( −4 ) + 32 u v Mặt khác ta có ( 4m + 5) = 16m2 + 40m + 25 = 5m + 8m + 41 5m + 8m + 41 Vì 0° ≤ (·∆; d ) ≤ 90° nên (·∆; d ) cos(·∆; d ) bé −72t − 90t 16t + 40t + 25 ⇒ f ′ ( t ) = 2 f ( t) = t + t + ( ) 5t + 8t + Xét hàm số Bảng biến thiên TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA lớn Trang 23 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Dựa vào bảng biến thiên ta có T = m − n = −4 Do 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ max f ( t ) = f ( ) = suy (·∆; d ) bé m=0⇒n=2 ∆ E ( −2; 1; − ) Làm theo cách khơng cần đến kiện: đường thẳng qua M ( −2; −2;1) , A ( 1; 2; −3) Oxyz Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm đường thẳng d: x +1 y − z = = 2 −1 r u ∆ Tìm vectơ phương đường thẳng qua d M A , vng góc với đường thẳng đồng thời cách điểm khoảng bé r r r r u = ( 2; 2; −1) u = ( 1;7; −1) u = ( 1; 0; ) u = ( 3; 4; −4 ) A B C D Lời giải Chọn C ( P) ∆ , chứa uur uu r M ( −2; −2;1) nP = ud = ( 2; 2; −1) ( P) Mp qua có vectơ pháp tuyến nên có phương trình: ( P ) : 2x + y − z + = ( P) ∆ AK H, K AK ≥ AH : const A Gọi hình chiếu lên Khi đó: nên uu r A 1, 2, − u ( ) d = ( 2; 2; −1) K≡H AH Đường thẳng qua có vectơ phương nên  x = + 2t   y = + 2t  z = −3 − t  AH có phương trình tham số: H ∈ AH ⇒ H ( + 2t ; + 2t ; −3 − t ) H ∈ ( P ) ⇒ ( + 2t ) + ( + 2t ) − ( −3 − t ) + = ⇒ t = −2 ⇒ H ( −3; −2; −1) r uuuur u = HM = ( 1;0; ) Vậy Gọi ( P) mp qua M vng góc với TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA d Trang 24 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ góc N ( 1;1;0 ) A x y −6 z −6 = = −4 −3 là: Oxyz , cho tam giác Biết điểm AC thuộc đường thẳng 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ABC có phương trình đường phân giác M ( 0;5;3) thuộc đường thẳng AB điểm Vectơ sau vectơ phương đường thẳng AC A r u = ( 1; 2;3) B r u = ( 0;1;3) r u = ( 0; − 2; ) C Lời giải D r u = ( 0;1; − ) Chọn B x = t   y = − 4t  A  z = − 3t ( d ) Phương trình tham số đường phân giác góc : ( d) D ∈ AC ⇒ AC D M Gọi điểm đối xứng với qua Khi đường thẳng có vectơ phương uuur ND Ta xác định điểm D uuuu r K t ;6 − t ;6 − t MK = ( t ;1 − 4t ;3 − 3t ) ( ) K MD Gọi giao điểm với Ta có ; uuuu r r r ud = ( 1; − 4; − 3) t − ( − 4t ) − ( − 3t ) = ⇔ t = MK ⊥ ud Ta có với nên  xD = x K − xM  xD =    y D = y K − yM ⇔  y D = 1 9 K  ; 4; ÷ z = 2z − z z = D ( 1;3;6 )  D K M  D 2 2 K MD trung điểm nên hay uu ur r u = ( 0;1;3) DN = ( 0; − 2; − ) AC Một vectơ phương Hay vectơ phương x − y +1 z +1 x y z −1 d1 : = = d2 : = = Oxyz −2 1 −2 Câu 35 Trong không gian , cho bốn đường thẳng: , , d3 : x −1 y + z −1 = = 1 đường thẳng A ( d) d4 : , B x y −1 z −1 = = −1 C Vô số Lời giải Chọn D Đường thẳng d1 qua điểm Số đường thẳng không gian cắt bốn M = ( 3; −1; −1) D ur u1 = ( 1; −2;1) có véctơ phương uu r M = ( 0;0;1) u2 = ( 1; −2;1) d2 Đường thẳng qua điểm có véctơ phương TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 25 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ur r u1 = u M ∉ d1 d1 d2 nên hai đường thẳng song song với r uuuuuur uuuuuur M 1M = ( −3;1; ) u1 , M 1M  = ( −5; −5; −5 ) = −5 ( 1;1;1; ) Ta có , r n = ( 1;1;1) (α ) (α ) d1 d2 Gọi mặt phẳng chứa có véctơ pháp tuyến Do ( α ) x + y + z −1 = Phương trình mặt phẳng A = d3 ∩ ( α ) A ( 1; −1;1) B = d4 ∩ ( α ) B ( −1; 2;0 ) Gọi uuur Gọi ur AB = ( −2;3; −1) u1 = ( 1; −2;1) AB Do không phương với nên đường thẳng cắt hai đường d1 thẳng Câu 36 Trong d: d2 không gian x +1 y + z + = = 2 Oxyz , cho điểm d mặt ( α ) : 2x + y − 2z − = phẳng 1  A  ;1;1÷ 2  Gọi ∆ d A 21 B đường thẳng đường thẳng nằm mặt phẳng song song với đồng thời cách khoảng Đường thẳng B AB điểm Độ dài đoạn thẳng , C Lời giải ∆ cắt mặt phẳng D (α) , ( Oxy ) Chọn A Cách 1: B ∈ Oxy B ∈( α ) Ta có: x +1 y + z + d: = = 2 Ta có: d ⊂ (α) nên d nên qua ∆ B ( a; − 2a;0 ) M ( −1; −2; −3) có véctơ phương r u = ( 1; 2; ) song song với nằm mặt phẳng TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA (α ) Trang 26 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Gọi Gọi  x +1 y + z + = =  C: 2 1  ⇒ C  ;1; ÷  C = d ∩ ( Oxy ) 2  z = d ′ = ( α ) ∩ ( Oxy ) có VTCP Gọi 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ , suy r ud ′ = ( 1; −2;0 ) ϕ = ( ∆, d ′ ) = ( d , d ′ ) d′ thỏa hệ ( α ) : x + y − z − =  ( Oxy ) : z = Ta có: r r cos ϕ = cos ( ud , ud ′ ) = H AB = AC + BC = + Vậy d: Do đó, d′ qua 45 = BC = CH = sin ϕ x +1 y + z + = = 2 M (−1; −2; −3) Cách 2: Ta có: qua có VTCP B = ∆ ∩ ( Oxy ) ∆ ⊂ ( α ) B ∈ ( Oxy ) ∩ ( α ) ⇒ B ( a; − 2a;0 ) Ta có: , nên r uuur u; MB    ⇔ =3 r u d ( ∆, d ) = d ( B; d ) = ∆ // d Ta có: nên r uuur uuur MB = ( a + 1; − 2a;3) u; MB  = ( 4a − 2; 2a − 1; − 4a ) Ta có: ; r uuur u; MB    ( 2a − 1) =3 r ⇔ = ⇔ ( 2a − 1) = u Do Vậy 1  C  ;1;0 ÷ 2  C CH = ∆ hình chiếu lên Ta có uuur AC ⊥ ( Oxy ) ⇒ AC ⊥ BC AC = ( 0;0; −1) Ta có nên Gọi 1  AB =  a − ÷ + ( − 2a ) + 12 = 2  r u = ( 1; 2; ) + +1 =  8 K − ; ; ÷ H ( 2; 2;1) Oxyz  3 3 O ABC Câu 37 Trong khơng gian , cho tam giác nhọn có , , BC AC AB d A B C A hình chiếu vng góc , , cạnh , , Đường thẳng qua vng góc với mặt phẳng ( ABC ) TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA có phương trình Trang 27 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A x + y +1 z −1 d: = = −2 d: 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B 17 19 y− z− 9= = −2 x+ C 2 y− z+ 3= 3= d: −2 x− d: D Lời giải x y −6 z −6 = = −2 Chọn A Ta có tứ giác BOKC tứ giác nội tiếp đường tròn (vì có hai góc vng BC K O , nhìn · · ( 1) OKB = OCB góc vng) suy KDHC DC K H Ta có tứ giác tứ giác nội tiếp đường trịn (vì có hai góc vng , nhìn · · ( 2) DKH = OCB góc vng) suy · · · ( 1) ( 2) DKH = OKB OKH BK Từ suy Do đường phân giác góc · AC OKH đường phân giác ngồi góc · OC KOH AB Tương tự ta chứng minh đường phân giác góc đường · KOH phân giác ngồi góc OK = OH = KH = Ta có ; ; · · OKH KOH I J Gọi , chân đường phân giác ngồi góc u u r u u u r IO KO 4 = = ⇒ IO = IH ⇒ I ( −8; − 8; − ) I = AC ∩ HO IH KH 5 Ta có ta có uuu r uuur JK OK = = ⇒ JK = JH ⇒ J ( 16; 4; − ) J = AB ∩ KH JH OH 3 Ta có ta có TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 28 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU IK Đường thẳng phương trình Đường thẳng trình I qua nhận 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ uur  16 28 20  IK =  ; ; ÷ = ( 4; 7;5 )  3  làm vec tơ phương có  x = −8 + 4t ( IK ) :  y = −8 + 7t  z = −4 + 5t  OJ qua  x = 4t ′ ( OJ ) :  y = t ′  z = −t ′  O nhận uuu r OJ = ( 16; 4; − ) = ( 4;1; − 1) làm vec tơ phương có phương A ( −4; −1;1) A = IK ∩ OJ Khi , giải hệ ta tìm uu r uu r uu r uu r  IA, IJ  = ( −60;120; −120 ) = −60 ( 1; − 2; ) IA = ( 4;7;5 ) IJ = ( 24;12;0 )   Ta có , ta tính ( ABC ) A Khi đường thẳng qua vng góc với mặt phẳng có véc tơ phương r u = ( 1; −2; ) nên có phương trình x + y +1 z −1 = = −2 Nhận xét: ♦ Mấu chốt toán chứng minh trực tâm nội tiếp tam giác OHK Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D D tam giác ABC tâm đường trịn dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho uur uur uur r a.IA + b.IB + c.IC = a = BC I tam giác với tâm đường trịn nội tiếp, ta có , với , b = CA c = AB OA ⊥ DA D A A ∈ DH , ” Sau tìm , ta tìm với ý A A ♦ Ta tìm tọa độ điểm cách chứng minh tâm đường tròn bàng ABC OHK D tam giác Khi đó, ta tìm tọa độ điểm dựa vào tính chất quen thuộc ABC J A sau: “Cho tam giác với tâm đường trịn bàng tiếp góc , ta có tiếp góc H uur uur uuur r −a.JA + b.JB + c.JC = , với a = BC b = CA c = AB , , ” Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ∆: , cho đường thẳng x +1 y z +1 = = −1 hai điểm A ( 1; 2; −1) B ( 3; −1; −5 ) d A ∆ , Gọi đường thẳng qua điểm cắt đường thẳng cho d d B khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớn Phương trình đường thẳng TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 29 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A C x −3 y z +5 = = 2 −1 x + y z −1 = = −1 Chọn A Gọi I = ∆∩d 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x y+2 z = = −1 B D Lời giải x −1 y − z + = = −5 I ( −1 + 2t ;3t ; −1 − t ) Khi uur uuur uuu r uur AB = ( 2; −3; −4 ) AI = ( 2t − 2;3t − 2; −t ) ⇒  AI ; AB  = ( − 15t;6t − 8;10 − 12t ) Ta có: ; uur uuur  AI , AB  405t − 576t + 228   d ( B; d ) = = uur 14t − 20t + AI Suy ra: 405t − 576t + 228 135t − 192t + 76 f ( t) = = 14t − 20t + 7t − 10t + Xét hàm số −6t + 16t − ⇒ f ′( t ) = ( 7t − 10t + ) 2 Cho t = f ′( t ) = ⇔  t =  Bảng biến thiên: Do d ( B; d ) nhỏ uur  5 AI =  ; 2; − ÷ 3 3 Suy f ( t) t= đạt giá trị nhỏ 27 uur r u = AI = ( 1; 6; −5 ) d Chọn vectơ phương đường thẳng x −1 y − z + d: = = −5 Vậy phương trình đường thẳng A( 1; 2;3) , B ( 0;1; 2) Oxyz Câu 39 Trong không gian , cho hai điểm Đường thẳng qua điểm M ( 1; 2; −2 ) , song song với mặt phẳng phương trình TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( P) : x − y + z + = đồng thời cắt đường thẳng AB có Trang 30 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A x = 1− t  y = +t z =  B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x = 1− t  y = −t z = − t  Lời giải C x = 1+ t  y = −t z =  D  x = − 5t   y = − 5t  z = −2  Chọn D Đường thẳng d A, B qua điểm d: có phương trình: x −1 y − z − = = 1 I = ∆ ∩ d ⇒ I ∈ d ⇔ I ( + t ; + t;3 + t ) ∆ Gọi đường thẳng cần tìm Gọi uuu rr uuu r uuu r MI n( P ) = ⇔ t − t + ( + t ) = ⇔ t = −5 ⇒ MI = ( −5; −5;0 ) MI // ( P ) MI = ( t ; t ;5 + t ) mà nên uuu r MI = ( −5; −5;0 ) M 1; 2; − ( ) ∆ I Đường thẳng qua có véctơ phương có phương trình tham số Câu 40 Trong (d) :  x = − 5t   y = − 5t  z = −2  không gian x −1 y −1 z = = −1 Oxyz A ( 1; 2; 6) , B ( - 1; - 2; 4) , cho mặt phẳng M ( 1;1; ) ( P) điểm mặt phẳng trung trực ( P) , AB đường thẳng Đường thẳng ( ∆) ( d) qua , song song với mặt phẳng đồng thời cắt đường thẳng có phương trình x + y +1 z − x −1 y −1 z − = = = = −1 −1 A B x −1 y −1 z − x − y +1 z − = = = = −1 1 −1 C D Lời giải Chọn C AB : x + y + z + = ⇒ ( P ) : x + y + z + = Viêt mặt phẳng trung trực x = 1+ t ( d ) :  y = − t , t ∈ ¡  z = 3t  Phương trình tham số r n = ( 1; 2;1) ( P) Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến ∆ ∩ d = A ( + t ;1 − t ;3t ) Giả sử TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 31 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU uuur ⇒ MA = ( t ; −t;3t − ) uuur ⇒ MA = ( 1; −1;1) uuur r véc tơ phương ∆ ⇒ MA.n = ⇔ t − 2t + 3t − = ⇔ t = ∆: Vậy phương trình đường thẳng Câu 41 Trong không gian d: Oxyz , cho đường thẳng B ( 0;1;10) , C ( 1;0;5) Đường thẳng trình x+8 = A x −5 = C 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ y z−7 = 11 y z+3 = 11 ∆ nằm x −1 y −1 z − = = −1 x − y +1 z + = = −1 ( ABC ) B D A ( 0;0;7) , điểm d cắt vng góc với x + y +1 z + = = −1 x−4 y −3 z −3 = = 11 có phương Lời giải Chọn C ( ABC ) : x - y + z - = Viết phương trình mặt phẳng  x = + 3t  d :  y = −1 + t  z = −2 − t  Phương trình tham số ( P) 2(2 + 3t ) − 3( −1 + t ) − − t − = ⇔ t = ⇒ M (5;0; −3) d M Tọa độ giao điểm r uur uuur u = ud ; n( P )  = (−2; −5; −11) = −1.(2;5;11) ∆ VTCP r a = (2;5;11) ( P) d ∆ ∆ M nằm cắt vng góc với suy qua có VTCP nên có phương trình: x −5 y z +3 = = 11 Câu 42 Trong không gian x + y − 3z + = Oxyz , cho điểm Đường thẳng d A ( 1; 2; − 1) mặt phẳng 2 qua tâm đường trịn vng góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng x −1 y − z +1 = = −1 −2 A x −1 y − z + = = 1 C có phương trình ( x - 3) +( y - 3) + z = ( Q) : x + y + z - = ( α) ( α) Đường thẳng , ∆ qua điểm A , cắt d có phương trình TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA B D x −1 y − z +1 = = −2 −1 x −1 y − z −1 = = Trang 32 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải Chọn C d: x- y- z = = B ( + t ; + 3t; 2t ) Viết phương trình đường thẳng Gọi giao điểm uuu r AB ( + t ; + 3t; t + 1) d ∆ ∆ Đường làm vec tơ phương uuur uu rthẳng nhận ∆ //( α ) AB.nα = Vì nên Suy B ( 3;3; ) ( + t ) + ( + 3t ) − ( 2t + 1) = ⇔ 10t = ⇔ t = Suy uuu r ∆ AB = ( 2;1;1) Vec tơ phương đường thẳng : x −1 y − z + = = 1 ∆ Phương trình đường thẳng : A ( 1;3; ) ( P ) : x − y − z − = 0, Oxyz Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Cho mặt phẳng điểm đường thẳng  x = −2 + 2t  d :  y = 1+ t z = 1− t  ∆ ( P) Tìm phương trình đường thẳng cắt N MN MA = MN M A hai điểm cho thuộc đoạn thẳng cho x y −2 z x − y −1 z + = = = = −1 10 −1 −35 A B x y−2 z x + y +1 z − = = = = 10 −35 −1 −1 C D Lời giải Chọn B M = ( d ) ∩ ( ∆) ⇒ M ∈( d ) M ( −2 + 2t ,1 + t ,1 − t ) , t ∈ ¡ Ta có Giả sử 3t 3t   uuur uuur N  3t − ; ; − + ÷ 2 2  MN AM = MN A Do thuộc đoạn thẳng nên cho Mà N ∈( P) d nên ta có phương trình   3t   3t  23 23   3t − ÷−  ÷−  − + ÷− = ⇔ 6t − =0⇔t = 2    2 12   11 35 11  M  ; ;− ÷  12 12  Do đó, uuuu r 5 r 1 35  uuuu AM =  ; − ; − ÷ ⇒ AM = ( 10; −1; −35 ) 12  12 12  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA vectơ phương đường thẳng ∆ Trang 33 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Vậy phương trình đường thẳng cần tìm Câu 44 Trong khơng gian Oxyz A ( 1; 2; − 3) , cho điểm x −3 y −3 z = = −2 x y−2 z = = 10 −1 −35 ( α) d , đường thẳng có phương trình 3x + y − z + = d' mặt phẳng có phương trình Gọi đối xứng với Oxy d d' ∆ A qua mặt phẳng Đường thẳng qua điểm , cắt song song với mặt phẳng ( α) A ( Oyz ) cắt mặt phẳng G ( 0;0; ) G điểm có tọa độ G ( 0; 4;0 ) G ( 0;1; ) B C Lời giải G ( 0; −1;0 ) D Chọn B Ta có ïìï x = + t ï d ' : í y = + 3t ïï ïïỵ z = 2t B ( + t ; + 3t ; 2t ) Gọi uuur AB ( + t ; + 3t ; t + 3) giao điểm d uuur uu r làm vec tơ phương ∆ //( α ) AB.nα = Vì nên Suy ( + t ) + ( + 3t ) − ( 2t + 3) = ⇔ + 4t = ⇔ t = −1 Suy uuur ∆ AB = ( 1; − 2; 1) Vec tơ phương đường thẳng : x −1 y − z + = = −2 Phng trỡnh ng thng : ị D ầ ( Oyz ) = { G ( 0; 4;0) } Câu 45 Trong không gian với hệ tọa độ d: x −3 y −3 z = = điểm Oxyz , cho mặt phẳng A ( −1; 2; −1) ∆ Đường B ( 2; 0; − ) thẳng ∆ nhận ( P) : x + y − z + = Viết phương trình đường thẳng ∆ , đường thẳng qua điểm A ( Q) : - y - z - = ( P) d cắt song song với mặt phẳng tạo với mặt phẳng góc có số đo gần giá trị đây? ( D , ( Q) ) » 54014 ' A ( D, ( Q) ) » 620 24 ' B ( D , ( Q) ) » 77034' ( D, ( Q) ) » 250 43' C Lời giải D Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 34 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ ( P) r n = ( 1;1; −1) Ta có véc tơ pháp tuyến mặt phẳng uuu r B ( + t ;3 + 3t; 2t ) ⇒ AB = ( + t ;3t + 1; 2t + 1) B = ∆∩d Gọi uuu rr ( P) AB.n = ⇔ + t + 3t + − 2t − = ∆ Do đường thẳng song song với mặt phẳng nên ta có ⇔ t = −2 uuu r r AB = ( 2; −5; −3) ⇒ u = ( 2; −5; −3) t = −2 ∆ Với véc tơ phương đường thẳng x +1 y − z +1 = = −5 −3 ∆ Vậy phương trình đường thẳng r r 2.0 +( - 5) ( - 1) +( - 3) ( - 7) 28 sin ( D , ( Q) ) = cos u D , nQ = = 38 446 16948 ( ) Þ ( D , ( Q ) ) » 77 034 ' TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 35 ... TÀI LIỆU  Đường thẳng cần tìm giao điểm ( P) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( Q) Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm, cắt  Tìm điểm thuộc đường thẳng  Tìm vec-tơ phương đường thẳng  Nêu... cho đường thẳng x +1 y z +1 = = −1 hai điểm A ( 1; 2; −1) B ( 3; −1; −5 ) d A ∆ , Gọi đường thẳng qua điểm cắt đường thẳng cho d d B khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớn Phương trình đường thẳng. .. nên đường thẳng qua nhận làm vectơ phương thoả toán x = 1+ t   y = − 2t ( ∆ )  z = −1 + t Vậy phương trình đường thẳng : x y z−2 d1 : = = A 1; 2;3 ( ) d 1 Câu 12 Viết phương trình đường thẳng