NW359 360 DẠNG 38 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TỐN 38: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Oxyz A ( x A ; y A ; z A ) B ( xB ; yB ; z B ) C ( xC ; yC ; zC ) , cho ba điểm ,  Trong không gian uuur AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) Ta có: Tọa độ trung điểm I AB x A + xB + xC   xG =  y + y B + yC  G  yG = A  z A + zB + zC   zG =  G ABC Tọa độ trọng tâm tam giác , r r r r r u = ( x ; y ; z ) ⇔ u = xi + y j + zk  Nếu  r u = ( x1 ; y1 ; z1 ) đoạn thẳng , x A + xB   xI =  y + yB  I  yI = A  z A + zB   zI =  r r r v = ( x2 ; y2 ; z2 ) v ≠ ( phương với ) r r r r r a ⊥ u  ⇒ a = u , v  r r  r r  a ⊥ v u v  Nếu vectơ , không phương ∆ A B ∆  x1 = kx2 r r  u = kv ⇔  y1 = ky2  z = kz  uuu r AB uuu r BA  Đường thẳng qua hai điểm có vectơ phương r r ku ( k ≠ ) u ∆ ∆  Nếu vectơ phương vectơ phương , đường thẳng có vơ số vectơ phương  Nếu hai đường thẳng song song với vectơ phương đường thẳng vectơ phương đường thẳng uu r α ( ) u ∆ ∆ ∆  Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng vectơ phương đường thẳng uur uur uur (α) nα u∆ = nα vectơ pháp tuyến mặt phẳng , tức TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  Đường thẳng trình tham số ∆ qua điểm  Điểm  Cho hai mặt phẳng ∆ có PTTS  x = x0 + at  ∆ :  y = y0 + bt  z = z + ct  ( α ) : Ax + By + Cz + D = A : B : C ≠ A′ : B′ : C ′ thuộc , nên tọa độ r n = ( A, B, C ) M M ( x0 + at ; y0 + bt ; z0 + ct ) ( α ′) : A′x + B′y + C ′z + D′ = Điều kiện chứng tỏ hai mặt phẳng cắt Gọi đường thẳng giao tuyến chúng Đường thẳng ( α ′) có phương x − x0 y − y0 z − z0 ∆: = = ( abc ≠ ) a b c thuộc đường thẳng Với điều kiện có vectơ phương r u = ( a;b;c)  x = x0 + at  ∆ :  y = y0 + bt  z = z + ct  phương trình tắc M M ( x0 ; y0 ; z0 ) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ d nghiệm hệ ur n′ = ( A′, B′, C ′ ) gồm điểm M ( x; y; z )  Ax + By + Cz + D =   A′x + B′y + C ′z + D′ = vừa thuộc Khi d (α) vừa uu r r ur ud =  n, n′  với d vectơ phương đường thẳng r i = ( 1; 0;0 ) Ox  Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục r j = ( 0;1;0 ) Oy  Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục r k = ( 0;0;1) Oz  Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  PTĐT qua điểm, dễ tìm VTCP (khơng dùng t.c.h)  PTĐT qua điểm, VTCP tìm t.c.h (cho mp)  PTĐT qua điểm, VTCP tìm t.c.h (cho đt)  PTĐT qua điểm, VTCP tìm t.c.h (cho đt+mp) d1 d2  PTĐT qua điểm, cắt , có liên hệ với ( P) d  PTĐT qua điểm, cắt , có liên hệ với mp d1 d2  PTĐT qua điểm, cắt lẫn d  PTĐT qua điểm, vừa cắt – vừa vng góc với d  PTĐT qua điểm, vng góc với , thỏa ĐK khoảng cách  PTĐT qua điểm, thỏa ĐK khác TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ d1 , d  PTĐT cắt đường thẳng , thỏa ĐK khác ( P) d  PTĐT nằm , vừa cắt vừa vng góc với ( P) d  PTĐT hình chiếu đường thẳng  PTĐT thỏa ĐK đối xứng  PT đường vng góc chung hai đường thẳng chéo BÀI TẬP MẪU Câu 38 : (ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Trong không gian Oxyz , đường thẳng qua hai điểm A ( 1; ; − 1) ; B ( ; − 1;1) có phương trình tham số x = 1+ t x = 1+ t x = 1+ t x = 1+ t      y = − 3t  y = − 3t  y = −3 + 2t  y = + 2t  z = −1 + 2t  z = + 2t z = − t  z = −t     A B C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm phương trình tham số đường thẳng qua điểm cho trước HƯỚNG GIẢI: uuu r AB B1: Tìm tọa độ véc tơ phương B2: Viết phương trình tham số đường thẳng Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: AB Lời giải Chọn A uuu r AB = ( 1; − ; ) AB Ta có véctơ phương đường thẳng r u = ( 1; − ; ) A 1; ; − ( ) AB Vậy đường thẳng qua điểm có VTCP nên phương trình tham số AB x = 1+ t   y = − 3t  z = −1 + 2t  ( t ∈¡ ) Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Trong không gian với hệ trục C ( 0; −2;1) Oxyz Phương trình trung tuyến x −1 y + z + = = −4 A C x +1 y − z − = = −4 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA , cho tam giác AM tam giác B D ABC ABC có A ( −1;3; ) , B ( 2;0;5 ) x +1 y − z − = = −2 −2 −4 x − y + z −1 = = −1 Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải Chọn C Ta có: Câu uuuur M ( 1; −1;3) AM = ( 2; −4;1) AM Phương trình : Oxyz, d O Trong không gian đường thẳng qua gốc tọa độ có vectơ phương r u = ( 1; 2;3) có phương trình: A ; x +1 y − z − = = −4 x =  d :  y = 2t  z = 3t  B  x = −t  d :  y = −2t  z = −3t  Chọn B Vì d có vectơ phương C Lời giải r u = ( 1; 2;3) x =  d :y = z =  D x = t  d :  y = 3t  z = 2t  nên có vectơ phương  x = −t ur  u ′ = ( −1; −2; −3) ⇒ Ptts d :  y = −2t  z = −3t  Câu Trong không gian với hệ tọa độ ∆ trình tham số đường thẳng A  x = + 3t  ∆ :  y = −3 + 2t  z = −2 + 2t  B Oxyz , cho hai điểm qua hai điểm  x = + 4t  ∆ :  y = −3 − t  z = −2  A C Lời giải A ( 3; 2; ) B ( 4; −1;0 ) , Viết phương B  x = + 4t  ∆ : y = 2−t z =  D x = − t  ∆ :  y = + 3t  z = + 2t  Chọn D uuur r AB = ( 1; −3; −2 ) u = ( −1; 3; ) ∆ ∆ VTCP hay VTCP Ta có ∆ qua A ( 3; 2; ) Phương trình đường thẳng Câu Trong không gian x =  y =1 z = t  A Oxyz ∆ là: x = − t   y = + 3t  z = + 2t  Oy , đường thẳng chứa trục có phương trình tham số x = x = t x =    y = t y = y = z = z = z = t    B C D Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn B Trục Câu Oy qua O ( 0;0;0 ) có vectơ phương Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A trình tắc đường thẳng qua A C x +1 y + z − = = −3 x −1 y − z + = = −3 B AB C x = t −1  y = ;t ∈ ¡ z =  D / / ( Ox ) ⇒ A Tìm phương B x −1 y − z + = = −3 I ( −1;5;2 ) song song với trục x = t −1  y = ;t ∈ ¡ z =  D Lời giải x −1 y − z + = = −1 qua B Chọn C  x = −m   y = 5m ; m ∈ ¡  z = 2m   x = −2t   y = 10t ; t ∈ ¡  z = 4t  Ox ur Vectơ phương Ta có đường thẳng ( D) x = t −1  ⇒ ( D) :  y = ; t ∈ ¡ z =  Câu ( D) Viết phương trình tham số đường thẳng A , uuur AB = (2; −3;4) Phương trình tắc đường thẳng qua  x = −2t   y = 10t ; t ∈ ¡  z = 4t  A ( 1; 2; − ) B ( 3; − 1;1) x − y +1 z −1 = = −3 D Lời giải Véctơ phương đường thẳng nên có phương trình B Chọn C Câu r j = ( 0;1;0 ) x =  y = t z =  qua ( D ) : e1 = ( 1; 0; ) I ( −1;5;2 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;3; − 1) , B ( 1; 2; ) thẳng cho khơng phải phương trình đường thẳng TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Phương trình đường AB Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A C x −1 y − z − = = 1 −5 x = − t  y = 3−t  z = −1 + 5t  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B Chọn B uuur AB = ( −1; −1;5 ) D Lời giải x + y + z −1 = = 1 −5 x = 1− t  y = −t  z = + 5t  x −1 y − z − = = 1 −5  Xét phương án A qua nhận xA + y A + z A − ≠ ≠ 1 −5 qua điểm A ( 2;3; − 1) nhận phương trình đường thẳng AB đường thẳng làm vectơ phương x + y + z −1 = = 1 −5  Xét phương án B  Xét phương án C uuu r BA = ( 1;1; −5 ) AB x − y − z +1 = = 1 −5 làm vectơ phương : B ( 1; 2; ) Vậy phương trình tắc đường thẳng uuu r BA = ( 1;1; −5 ) khơng phải phương trình đường thẳng AB x = − t  y = 3−t  z = −1 + 5t  phương trình tham số đường thẳng AB đường thẳng uuur AB = ( −1; −1;5 ) A ( 2;3; − 1) qua nhận làm vectơ phương x = 1− t  y = −t  z = + 5t   Xét phương án D phương trình đường thẳng AB đường thẳng qua uuur AB = ( −1; −1;5 ) B ( 1; 2; ) nhận làm vectơ phương AB Vậy phương án B phương trình đường thẳng Câu Oxyz ABCD.MNPQ I A( 0;1; 2), B(1; 0;1), C ( 2; 0;1) Trong hệ tọa độ , cho hình hộp tâm , biết Q( − 1; 0;1) AC I Đường thẳng qua , song song với có phương trình TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A  x = 2t   y = −t  z = −1 − t  B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  x = 4t   y = −2t  z = −1 − 2t  C Lời giải  x = 2t   y = −t z = 1+ t  D  x = 4t   y = −2t  z = − 2t  Chọn D Vì I AC với Câu trung điểm BQ nên có phương trình I ( 0;0;1)  x = 4t   y = −2t  z = − 2t  Trong không gian với hệ tọa độ uuur AC = ( 2; −1; −1) Oxyz , cho hai điểm I nên đường thẳng qua , song song A ( 1;2; −3) B ( −2;3;1) , A ( 1;2; −3) OB song song với có phương trình  x = − 2t  x = − 4t  x = − 2t     y = + 3t  y = − 6t  y = + 3t  z = −3 + t  z = −3 + 2t  z = −3 − t    A B C Lời giải Chọn A uuur OB = ( −2;3;1) Chọn vectơ phương đường thẳng cần tìm qua Phương trình đường thẳng qua A ( 1;2; −3 ) song song với Oxyz Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ , đường thẳng làm vectơ phương có phương trình tắc : ∆: A Đường thẳng x −1 y + z −1 = = −1 ∆ ∆: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA B OB qua D  x = −2 + t   y = + 2t  z = − 3t   x = − 2t   y = + 3t  z = −3 + t  A ( 2; −1; ) x +1 y − z +1 = = −1 nhận r u ( −1; 2; −1) Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU ∆: C x + y −1 z + = = −1 −1 Chọn D Đường thẳng ∆ ∆: tắc : qua 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ ∆: D Lời giải A ( 2; −1; ) nhận x − y +1 z − = = −1 −1 Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ x − y +1 z − = = −1 −1 r u ( −1; 2; −1) làm vectơ phương có phương trình A ( 1;1;0 ) ; B ( 0;1;2 ) Oxyz , cho hai điểm AB vec tơ phương đường thẳng ? r r a = ( −1;0; −2 ) b = ( −1;0; ) A r B ur c = ( 1; 2; ) d = ( −1;1; ) C D Lời giải Chọn B uuur AB = ( −1;0; ) AB vec tơ phương đường thẳng Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Vectơ A ( 1;1;2 ) ; B ( 2; −1;3) Viết phương trình AB đường thẳng x −1 y −1 z − = = A x − y + z −1 = = 1 C B D x −1 y −1 z − = = −2 x +1 y +1 z + = = −2 Lời giải Chọn B Vec tơ phương đường thẳng AB uuur AB = ( 1; −2;1) ⇒ Phương trình đường thẳng AB x −1 y −1 z − = = −2 Oxyz Câu 13 Trong không gian , viết phương trình tắc đường thẳng D qua hai điểm A ( 1;2;- 5) , B( 2;3;- 7) D: A D: C x- y - z + = = 1 - x +1 y + z- = = 1 - D: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA B x- y - z + = = 1 x +1 y + z- D: = = 1 D Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải Chọn A Ta có D uuu r AB = ( 1;1;- 2) A ( 1;2;- 5) qua D: tắc là: có vec tơ phương nên có phương trình x- y - z + = = 1 - Oxyz Câu 14 Trong khơng gian với hệ tọa độ B(2; −3;1) có phương trình tham số x = 1+ t   y = − 5t , (t ∈ ¡ )  z = + 4t  A x = 1+ t   y = − 5t , (t ∈ ¡ )  z = −3 − 2t  C , cho đường thẳng qua hai điểm B D x = − t   y = −8 + 5t , (t ∈ ¡ )  z = − 4t  x = + t   y = −3 + 5t , (t ∈ ¡ )  z = + 4t  A(1; 2; −3) Lời giải Chọn B uuu r AB = (1; −5; 4) Ta có: Đường thẳng qua hai điểm x = 1− t   y = + 5t , t ∈ ¡  z = −3 − 4t  Khi đó, đường thảng Với A(1; 2; −3) t = −2 AB , ta B (2; −3;1) M (3; −8;5) có phương trình tham số thuộc đường thẳng x = − t   y = −8 + 5t , (t ∈ ¡ )  z = − 4t  AB có phương trình tham số Oxyz A(2;3; −1), B(1; 2; 4) Câu 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm Phương trình cho khơng phải phương trình đường thẳng x = − t  y = 3−t x + y + z −1 = =  z = −1 + 5t  1 −5 A B x = 1− t  y = −t x −1 y − z − = =  z = + 5t  1 −5 C D Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA AB ? Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ uuu r BA = (1:1; −5) A(2;3; −1) ∉ Vì điểm đường thẳng AB x + y + z −1 = = 1 −5 nên x + y + z −1 = = 1 −5 Các đường thẳng lại có véc-tơ phương qua điểm khơng phải phương trình B ( 1; 2; ) ( 1;1; −5) qua điểm A ( 2;3; −1) ( d) Câu 16 Phương trình tham số đường thẳng x = + t  x = + 3t    y = −2 + 2t  y = −2 − t  z = −1 − 3t  z = −3 + t   A B A ( 1;2; −3) qua hai điểm  x = −1 + 2t   y = −2 − 3t  z = + 4t  C Lời giải D B ( 3; −1;1)  x = −1 + 2t   y = − 3t  z = −7 + 4t  Chọn Duuu r AB = ( 2; − 3;4 ) ( d) A B Ta có: vectơ phương đường thẳng Loại đáp án ,  x = −1 + 2t   y = − 3t  d :  z = −7 + 4t A Thế tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng 1 = −1 + 2t  2 = − 3t −3 = −7 + 4t  ⇔ t =1 ⇒ A∈d Ta có:  x = −1 + 2t   y = − 3t ( d )  z = −7 + 4t Vậy phương trình tham số đường thẳng Oxyz Câu 17 Trong không gian tia A C AB A ( 2;4;- 1) B( 5;0;7) cho hai điểm , Viết phương trình tham số ïìï x = 2+ 3t ïï í y = 4- 4t ïï ïïỵ z =- 1+ 8t ïìï x = 2- 3t ïï í y = 4+ 4t ïï ïïỵ z =- 1- 8t B D ïìï x = 2+ 3t ïï í y = 4- 4t ( t ³ 0) ïï ïïỵ z =- 1+ 8t ïìï x = 2+ 3t ïï í y = 4- 4t ( t £ 0) ïï ïïỵ z =- 1+ 8t Lời giải Chọn B TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Do 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ N ( −10;8; − ) uuur NM = ( ; - ; 1) Ta có: Đường thẳng ∆ qua có phương trình M ( −2;1; − ) nhận x + y −1 z + = = −7 Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ mặt phẳng uuur NM = ( ; - ; 1) ( P ) : x − y − z = Oxyz , làm vectơ phương nên ∆ a: cho hai đường thẳng x y z x +1 y z +1 = = ; b: = = 1 −2 −2 −1 ( P) d  Viết phương trình đường thẳng song song với , cắt N MN = M mà 7x −1 y + 7z + 7x − y + 7z + d: = = d: = = −5 −5 A B 7x + y − 7z + 7x −1 y − z + d: = = d: = = −5 −5 C D Lời giải Chọn D M ( t; t; −2t ) N ( −1 − 2t ', t ', −1 − t ' ) a N b M Do thuộc , thuộc nên gọi Suy uuuu r MN = ( −1 − 2t '− t ; t '− t; −1 − t '+ 2t ) uuuu r uur MN nP = ( P) d  Do đường thẳng song song với nên suy −1 − 2t '− t − t '+ t + + t '− 2t = ⇔ t = −t ' uuuu r MN = ( −1 + t ; −2t ; −1 + 3t ) ⇒ MN = 14t − 8t + Khi MN = ⇔ 14t − 8t + = ⇔ t = ∨ t = Ta có uuuu r MN = ( −1;0; −1) t =0 Với (loại khơng có đáp án thỏa mãn) uuuu r  5 4 8 MN =  − ; − ; ÷ = − ( 3;8; −5 ) M  ; ;− ÷ t=  7 7 7 7 Với 4 x− y− z+ 7= 7= ⇔ 7x − = y − = 7z + −5 −5 Vậy a b TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 29 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 14 Trong không gian d1 : Oxyz 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( P ) :2 x − y + z + = , cho mặt phẳng hai đường thẳng x y −1 z +1 x − y −1 z + = = d2 : = = d1 −1 1 −2 A B ; Xét điểm , di động d2 ( P) AB AB cho song song với mặt phẳng Tập hợp trung điểm đoạn thẳng đường thẳng  x = − 9a  x = − 9a  x = − 9a  x = + 9a     ∆ :  y = + 8a ∆ :  y = − 8a ∆ :  y = + 8a ∆ :  y = + 8a  z = −2 − 5a  z = −2 − 5a  z = −2 + 5a  z = −2 − 5a     A B C D Lời giải Chọn A r n = ( 2; − 1;2 ) ( P) Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến Phương trình tham số đường thẳng  x = 3a  d1 :  y = − a (a  z = −1 + a  tham số, a∈¡ ) x = + b  d :  y = − 2b (b  z = −3 + b  b∈¡ Phương trình tham số đường thẳng tham số, ) A ∈ d1 ⇒ A ( 3a;1 − a; − + a ) B ∈ d ⇒ B ( + b;1 − 2b; − + b ) Ta có: ; uuur ⇒ AB = ( b − 3a + 2; a − 2b ; b − a − ) Theo giả thiết: 3a  b=  uuu r r  ( b − 3a + ) − ( a − 2b ) + ( b − a − ) =  AB ⊥ n   AB / / ( P ) ⇔  ⇔ a ≠ ⇔ a ≠ A , B ∉ P ( ) b ≠     b ≠ 3a 3a   B  + ;1 − 3a; − + ÷ 2   Suy Gọi I trung điểm đoạn thẳng TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA AB , ta có: Trang 30 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 3a  3a + +   xI = x A + xB    xI =  − a + − 3a   xI = + a ⇒ y =   I y A + yB     yI = 3a ⇔  yI = − 2a   − + a − +   z A + zB  z = z =  z I = −2 + a  I  I 2      I = 1 + a;1 − 2a; − + a ÷   hay  x = 1+ a  ∆ :  y = − 2a   z = −2 + a  a∈¡ * a I Suy tập hợp điểm đường thẳng ( tham số, ) Đường thẳng ( ∆) có vectơ phương là: Câu 15 Trong không gian Oxyz ( P ) : 3x + y − z − = A  x = − 9a  ⇒ ∆ :  y = + 8a r  z = −2 − 5a u = ( −9;8; − )  d: , cho đường thẳng Gọi d′ x − 12 y − z − = = hình chiếu vng góc d lên ( P) mặt phẳng Phương trình tham số d′  x = 62   y = −25  z = 61 − 2t  B  x = 62t   y = 25t  z = −2 + 61t  Chọn D Mặt phẳng ( P)  x = 62t   y = −25t  z = + 61t  C Lời giải D  x = 62t   y = −25t  z = −2 + 61t  uur nP = ( 3;5; −1) có VTPT  x = 12 + 4t   y = + 3t z = 1+ t A = d ∩ ( P ) ⇒ A ( 12 + 4t ;9 + 3t ;1 + t )  d Đường thẳng có PTTS: Gọi A ∈ ( P ) ⇒ ( 12 + 4t ) + ( + 3t ) − ( + t ) − = ⇔ t = −3 ⇒ A ( 0; 0; −2 ) Vì B ( 12;9;1) ( P) d H B Đường thẳng qua điểm Gọi hình chiếu lên mặt phẳng uuur uur B ( 12;9;1) uBH = nP = ( 3;5; −1) BH Đường thẳng qua có vectơ phương TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 31 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU có PTTS  x = 12 + 3t   y = + 5t z = 1− t  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ H ∈ BH ⇒ H ( 12 + 5t ;9 + 3t ;1 − t ) H ∈ ( P ) ⇒ ( 12 + 3t ) + ( + 5t ) − ( − t ) − = ⇔ t = − Vì Ta có uuur  186 15 183  AH =  ;− ; ÷ 35   35 Đường thẳng d′ 78  186 15 113  ⇒H ;− ; ÷ 35 35   35 Chọn VTCP đường thẳng A ( 0; 0; −2 )  x = −1 + 2t x y −1 z +  = = ,  y = + t (t ∈ ¡ ) −1  z = ( P) : x + y − z = A C có VTCP d′ ur u′ = ( 62; −25;61)  x = 62t   y = −25t  z = −2 + 61t  ur u′ = ( 62; −25;61) có PTTS: d1, d2 Oxyz Câu 16 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai đường thẳng có phương trình qua x − y z +1 = = −4 x y −1 z + = = −4 Phương trình đường thẳng vng góc với cắt hai đường thẳng d1, d B D x +1 y −1 z − = = −4 1 x+ z− y − 2= = −4 Lời giải Chọn A ∆ d1, d A ( 2t ;1 − t; −2 + t ) , B ( −1 + s;1 + s;3) Gọi giao điểm uđường thẳng uur uu r AB = ( −1 + s − 2t ; s + t ;5 − t ) nP = ( 7;1; −4 ) ∆ ≡ AB Mặt khác: , uuu r uur  AB, nP  = ( −3t − 4s − 5; −15t + 8s + 31; −9t − 5s − 1)   −3t − 4s − = t =   A ( 2;0; −1) ⇔ − 15 t + s + 31 = ⇔   uuu r uur r ⇔ s = −   −9t − 5s − = AB ⊥ ( P ) ⇔  AB, nP  =  B ( −5; −1;3 )  Mà uuu r A ( 2;0; −1) AB = ( −7; −1; ) ∆ Đường thẳng qua có VTCP có phương trình x − y z +1 = = −4  Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 32 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  8 K − ; ; ÷ H ( 2; 2;1) Oxyz  3 3 O ABC Trong không gian , cho tam giác nhọn có , , A, B, C BC , AC , AB d A hình chiếu vng góc cạnh Đường thẳng qua vuông góc với mặt phẳng A x + y +1 z −1 d: = = −2 d: ( ABC ) có phương trình 2 y− z+ 3= 3= d: −2 x− B 17 19 y− z− 9= = −2 x+ C d: D Lời giải x y−6 z −6 = = −2 Chọn A Ta có tứ giác BOK C tứ giác nội tiếp đường trịn (vì có hai điểm K O BC , nhìn () · B = OCB · OK góc vng) Suy K DHC K H DC Ta có tứ giác tứ giác nội tiếp đường trịn (vì có hai điểm , nhìn ( ) · H = OCB · DK góc vng) Suy · H = OK · B DK · H OK BK AC Từ suy Do đường phân giác · H OK đường phân giác · OH K OC AB Tương tự ta chứng đường phân giác đường phân · OH K giác OK = OH = K H = Ta có , , · H · OH OK K I J Gọi , chân đường phân giác ( ) ( ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 33 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ uur uuu r IO K O = = ⇒ IO = IH ⇒ I −8; − 8; − KH 5 I = AC ∩ HO I H Ta có , uuur uuur J K OK = = ⇒ J K = J H ⇒ J 16;4; − 3 J = AB ∩ K H J H OH Ta có , uuu r  16 28 20  IK =  ; ; ÷ = 4;7;5  3 3 IK I Đường thẳng qua nhận làm vectơ phương có ( ) ( ) (  x = −8 + 4t ( IK ) :  y = −8 + 7t  z = −4 + 5t  phương trình Đường thẳng OJ Khi Ta tính qua O uuu r OJ = 16;4; − = 4;1; − A = I K ∩ OJ uur I A = 4;7;5 ( ) ) ( ( ) , giải hệ tìm uur IJ = 24;12;0 ( ) uur uur IA , IJ  = −60;120; − 120 = −60 1; − 2;2   ( r u = ( 1; − 2; ) ) A nên có phương trình Oxyz ( ) , cho hai mặt cầu có vectơ phương ( S1 ) , ( S2 ) có phương trình Một đường thẳng d vng góc với véc tơ ( S1 ) cắt mặt cầu theo đoạn thẳng có độ dài d? Hỏi véc tơ sau véc tơ phương ur uu r uu r uu r u1 = 1;1; u = 1;1; u u3 = (1;1;0) = 1;1; − A B C D Lời giải Chọn B ( tiếp xúc với mặt cầu ( S2 ) ( ABC ) x + y +1 z −1 = = −2 ( S1 ) : x + y + z = 25;(S ) : x + y + ( z − 1)2 = r u = (1; −1;0) làm vectơ phương có vng góc với mặt phẳng d: Trong khơng gian ) A −4; − 1;1 Khi đường thẳng qua Câu ( nhận  x = 4t ′ ( OJ ) :  y = t ′  z = −t ′  phương trình Khi ) ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( ) ( ) Trang 34 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Hai mặt cầu (S1),(S2) có tâm là gốc toạ độ O, điểm I(0;0;1) bán kính R1 = 5; R2 = Gọi A tiếp điểm d (S2), ta có IA = R2 = Vì d cắt ( S1 ) theo đoạn thẳng có độ dài nên 8 d (O; d) = R −  ÷ = 25 − 16 = 2 Vì r r d ⊥ u ⇒ u d = (1;1; x), ta có: OI + IA ≥ OA ≥ d (O, d ) → + ≥ OA ≥ ⇒ O, I , A thẳng hàng uuu r OA uur uur OA = OI = 3OI = (0; 0;3) ⇒ A(0; 0;3) OI uuu r r OA, u d  r   d (O; d ) = = = ⇔ x = ⇒ u d = (1;1; 0) uu r ud x2 + Do Câu Trong khơng gian với hệ trục tọa độ ( α ) : x − y + z + 15 = qua M Oxyz mặt cầu , nằm mặt phẳng (α) cắt , cho điểm ( S ) : ( x − 2) ( S) M ( −3;3; − 3) thuộc mặt phẳng + ( y − 3) + ( z − ) = 100 A, B cho độ dài AB Đường thẳng ∆ lớn Viết phương ∆ trình đường thẳng x +3 y −3 z +3 = = A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA B x+3 y −3 z +3 = = 1 Trang 35 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU C x +3 y −3 z +3 = = 16 11 −10 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ D Lời giải x+3 y −3 z +3 = = Chọn A ( S) I ( 2;3;5 ) R = 10 Ta có: Mặt cầu có tâm , bán kính 2.2 − 2.3 + + 15 d ( I,( α ) ) = =6< R 2 ⇒ (α ) ∩( S) = C ( H ;r) H + ( −2 ) + (α) I , hình chiếu lên uur u∆ = ( 2; −2;1) ( α ) ⇒ ∆1 ∆1 I Gọi đường thẳng qua vng góc với có VTCP  x = + 2t  y = − 2t  x = + 2t  x = −2     ∆1 :  y = − 2t ⇒ z = + t y =  z = + t z = 2 x − y + z + 15 =   ⇒ H PTTS Tọa độ nghiệm hệ: ⇒ H ( −2;7;3) ( C) ⇔ ∆ ≡ MH đường kính uuuu r M ( −3;3; − 3) MH = ( 1; 4; ) MH Đường thẳng qua có VTCP x +3 y −3 z +3 ∆: = = Suy phương trình Ta có Câu AB có độ dài lớn ⇔ AB Trong không gian Oxyz, cho ba điểm AB A ( 1;2;3) , B ( 1;2;0 ) M ( −1;3; ) Gọi d đường M thẳng qua B vng góc với đồng thời cách khoảng nhỏ Một véc tơ r u ( 2; a; b ) d a+b phương có dạng Tính tổng −2 −1 A B C D Lời giải Chọn D * Cách uuur AB = ( 0;0; −3) uur ud = ( 2; a; b ) * uuur uur d ⊥ AB ⇒ AB.ud = ⇔ b = uur ⇒ ud = ( 2; a;0 ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 36 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU * 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ uuuu r BM = ( −2;1; ) uuuu r uu r ⇒  BM , ud  = ( −4a;8; −2a − ) uuuu r uu r  BM , ud    ⇒ d = d ( M,d ) = uu r ud = 16a + 64 + ( 2a + ) 20a + 8a + 68 a2 + = + a2 5a + 2a + 17 = = f ( a) a2 + Xét 5a + 2a + 17 f ( a) = a2 + f ′( a) = −2a + 6a + (a f ( a) Vì hàm + 4)  a = −1 =0⇔ a = liên tục f ( −1) = 4, f ( ) = 5, 25 d ⇔ f ( a ) ¡ f ( a) nên có GTNN = { f ( −1) , f ( ) } Vậy đạt GTNN ⇒ a + b = −1 ⇒ C ⇔ a = −1 * Cách d ⊥ AB nên d nằm mặt phẳng (P) qua B vng góc Có phương trình: hay M ( −1;3; ) Vậy ( x − 1) + ( y − ) − ( z − ) = ( P) : z = ⇒ ( P) Khoảng cách từ ( d) trùng M ( −1;3; ) xuống có vtcp ( d) uuur AB = ( 0;0; −3) ( xOy ) ( xOy ) đến ( P) nhỏ (d) qua H hình chiếu ⇒ H ( −1;3;0 ) uuur BH = ( −2;1;0 ) r u ( 2; a; b ) // − ( 2; −1;0 ) Gt cho có vtcp dạng ⇒ a = −1, b = ⇒ a + b = −1 ⇒ C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 37 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Trong không gian với hệ tọa độ đường thẳng qua phẳng M Oxyz , cho điểm r u = ( a; b; c ) , nhận vectơ ( P) : 2x + y + z = 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ M ( 2; 2; − 3) N ( −4; 2;1) ∆ Gọi làm vectơ phương song song với mặt cho khoảng cách từ N đến ∆ a đạt giá trị nhỏ Biết b , a+b+c hai số nguyên tố Khi 15 13 A B bằng: 16 C Lời giải: D 14 Chọn A ( Q) Gọi Suy mặt phẳng qua ( Q) : 2x + y + z − = ∆ // ( P ) Do d ( N, ∆) nên ∆ ⊂ ( Q) M ( 2; 2; − 3) song song với mặt phẳng ( P) đạt giá trị nhỏ ⇔∆ qua N′ , với N′ N hình chiếu lên  x = −4 + 2t  d : y = 2+ t z = 1+ t ( P)  d N Gọi đường thẳng qua vng góc , ⇒ N ′  − ; 10 ;  ′ N ∈ Q ⇒ t = ( )  ÷ ′  3 3 N ′ ∈ d ⇒ N ( −4 + 2t; + t;1 + t ) Ta có ; uuuur  10 16  r MN ′ =  − ; ; ÷ u = ( a; b; c )  3 3 phương r a b u = ( −5;2;8 ) Do , nguyên tố nên chọn ( Q) a + b + c = 15 Vậy Câu Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng đường thẳng vng góc chung a+b+c ngắn bằng? A B d1 x = + t  d1 :  y = + t  z = −1 − 2t  d2 : x−2 y −2 z −2 = = −3 −1 Gọi d d M ( a; b; c ) d N ( 4; 4;1) MN , thuộc , Khi độ dài C Lời giải: D Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 38 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU P ( + t; + t; −1 − 2t ) ∈ d1 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Q ( + 4t ′; − 3t ′; − t ′ ) ∈ d2 Gọi uuur PQ = ( 4t ′ − t ; −3t ′ − t ; −t ′ + 2t + 3) r r a = ( 1;1; −2 ) b = ( 4; −3; −1) d1 , d Ta có: , VTCP r uuur  4t ′ − t − 3t ′ − t − ( −t ′ + 2t + 3) = a.PQ = ⇔ r u u u r    ( 4t ′ − t ) − ( −3t ′ − t ) − 1( −t ′ + 2t + 3) = b.PQ = Khi đó: 3t ′ − 6t = t ′ = ⇔ ⇔  26t ′ − 3t = t = −1 uuur P ( 1;1;1) Q ( 2;2;2 ) ⇒ PQ = ( 1;1;1) Suy x = 1+ t  d :  y = 1+ t z = 1+ t  Nên uuuur M ( + t;1 + t;1 + t ) NM = ( t − 3; t − 3; t ) Gọi nên NM = Do đó: MN Đoạn thẳng Suy Câu ( t − 3) + ( t − 3) + t = 3t − 12t + 18 = ( t − ) + ≥ M ( 3;3;3) ⇒ a + b + c = ( C) ngắn Trong không gian Gọi Oxyz giao tuyến t =2 , cho điểm ( S) A ( 0;1;9 ) mặt cầu với mặt phẳng ( Oxy ) ( S ) : ( x − 3) Lấy hai điểm + ( y − ) + ( z − ) = 25 M,N ( C) cho MN = OAMN MN Khi tứ diện tích lớn đường thẳng qua điểm số điểm đây?    12  − ; 4;0 ÷   ; −3; ÷ 4;6;0 ( 5;5;0 ) ( ) 5     A B C D Lời giải: Chọn A Mặt cầu Gọi H ( S) có tâm I ( 3; 4; ) tâm đường tròn ( C) , bán kính R=5 Gọi rC bán kính đường tròn ⇒ H ( 3;4;0 ) , IH ⊥ ( Oxy ) d ( I , ( Oxy ) ) = , ( C) ( C ) d ( A, ( Oxy ) ) = rC = − = OH = ⇒ O , nằm ngồi đường trịn , 2 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 39 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 1 VOAMN = d ( A, ( Oxy ) ) SOMN = 3SOMN = d ( O , MN ) MN = 5.d ( O, MN ) Suy Mà Vmax ⇔ d ( O, MN ) max d ( O, MN ) ≤ OH + HK = + − ( 5) =7 (Với K trung điểm MN ) OH ⊥ MN MN Dấu xảy Khi có véc tơ phương uuur r uuur r OH ; k  = ( 4; −3;0 ) , OH = ( 3; 4;0 ) , k = ( 0; 0;1)   MN K qua trung điểm uuur uuur  21 28  OK = OH ⇒ K  ; ; ÷  5  21   x = + 4t  28  MN :  y = − 3t  z = t=  → ( 5;5;0 )  Phương trình đường thẳng ( Câu Trong không gian ) Oxyz , cho hai điểm ( P ) : x − y + 2z − = A ( −3;0;1) B ( 1; − 1;3) , ( d) mặt phẳng ( P) A Đường thẳng qua , song song với mặt phẳng cho d d B khoảng cách từ đến đường thẳng nhỏ Đường thẳng có vectơ phương r u = ( 1; b; c ) A b = 11 c Khi b c B b = c b =− c C Lời giải: D b 11 =− c Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 40 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B d K A H Q) Gọi ( Q) mặt phẳng qua Phương trình mặt phẳng d Vì đường thẳng Gọi H, K Khi Gọi A ( −3;0;1) song song với ( Q ) : x − y + 2z + = qua A , song song với mặt phẳng hình chiếu d ( B, ( d ) ) = BH ≥ BK ∆ B Suy ( P) lên đường thẳng d ( P) nên uur uur ⇒ nQ = nP = ( 1; −2; ) d ⊂ ( Q) mặt phẳng ( Q) d ( B, d ) = BK ⇔ H ≡ K uu r uur ( Q ) ⇒ u∆ = nP = ( 1; − 2; ) B đường thẳng qua vng góc với mặt phẳng x = 1+ t  ∆ :  y = −1 − 2t  z = + 2t H ( + t ; − − 2t ;3 + 2t ) ∈ ∆  Phương trình tham số Lấy 10 ( + t ) − ( −1 − 2t ) + ( + 2t ) + = ⇔ t = − H ∈( Q) Vì nên u u u r   11   26 11  26  11 H − ; ; ÷ AH =  ; ; − ÷ = 1; ; − ÷   26 26   9 9  9 Suy Khi uu r  11  ud = 1; ; − ÷ ⇒ b = 11 , c = −  26 26  d 26 26 Suy vec tơ phương b 11 =− c Vậy Câu Trong không gian từ B Oxyz x −3 y −3 z −2 = = −1 −1 x−2 y−4 z−2 = = −1 −1 A , cho tam giác r u = ( 2;1; −1) ABC có A ( 2;3;3) , phương trình đường trung tuyến kẻ , phương trình đường phân giác góc Đường thẳng AB có véc-tơ phương r r u = ( 1; 2;1) u = ( 0;1; −1) B C Lời giải: C D r u = ( 1; −1;0 ) Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 41 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Gọi d1 d2 phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C góc  x = 3−t  ⇒ d1 :  y = + 2t  z = 2−t  Gọi Vì M 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ trung điểm AC ⇒ M ∈ d1 ⇒ M ( − t ;3 + 2t ; − t ) Mà M trung điểm 2 + 2t ′ = 2(3 − t ) − 2 + 2t ′ = − 2t t =   ⇒  − t ′ = 2(3 + 2t ) − ⇔  − t ′ = + 4t ⇔  t ′ =  − t ′ = 2(2 − t ) −  − t ′ = − 2t   và đường phân giác  x = + 2t ′  d2 :  y = − t′  z = − t′  C ∈ d ⇒ C ( + 2t ′; − t ′; − t ′ ) ⇒ M ( 3;3; ) B C ( 4;3;1) AC ( P) d2 A Gọi mặt phẳng qua vuông góc với uur uur ⇒ nP = ud2 = ( 2; −1; −1) ⇒ ( P ) : 2.( x − 2) − ( y − 3) − (z − 3) = ⇔ x − y − z + = Gọi N điểm đối xứng với A qua Gọi I trung điểm AN Dễ thấy N ∈ d1 Câu 10 Trong không gian d ⇒ N ∈ ( BC ) N ∈( P) ⇒ I = d ∩ ( P ) ⇒ I = ( 2; 4; ) ⇒ N ( 2;5;1) t =1 ⇒ N ≡ B Oxyz Vậy  A(2;3;3) uuur ⇒ AB = ( 0;1; −1)   B (2;5;1) cho hai đường thẳng x y −1 z −1 x −1 y z − d1 : = = , d2 : = = −1 −2 −4 Viết d1 , d phương trình đường phân giác góc tù tạo x −1 y z − x −1 y z − x y −1 z −1 x −1 y z − = = = = = = = = −3 −5 −1 1 1 1 A B C D Lời giải: Chọn D x = t  x = − 2s   d1 :  y = − t ( t ∈ ¡ ) , d :  y = −4s ( s ∈ ¡ )  z = + 2t  z = + 2s   Ta viết phương trình tham số d1 d2 Tìm giao điểm hai đường thẳng TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 42 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có Lấy t = − s t =  1 − t = −4 s ⇔  1 + 2t = + s  s =  A ( 0;1;1) ∈ d1 ⇒ IA = suy Gọi 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ I ( 1;0;3) giao điểm hai đường thẳng B ( − 2s ; − s ;3 + s ) ∈ d IB = ⇔ s + 16 s + s = ⇔ s = Ta có cho IB = d1 d2 1 ⇔s=±  B ( 0; −2; )   B ( 2; 2; ) Vậy có điểm thỏa mãn uur uur uu r uur B ( 0; −2; ) IA ( −1;1; − ) , IB ( −1; − 2;1) ⇒ IA.IB = −3 < ⇒ ·AIB Với ta có góc tù ·AIB B ( 0; −2; ) Theo yêu cầu toán ta viết phương trình đường phân giác góc với (không cần xét trường hợp kia) 5  M  0; − ; ÷ 2  M AB Gọi trung điểm suy , phương trình đường phân giác cần I ( 1;0;3) 5  M  0; − ; ÷ 2  tìm phương trình đường thẳng qua hai điêm uuur  1 r uuur r IM =  −1; − ; − ÷ u = − IM ⇒ u = ( 2;1;1) 2   Ta có , chọn làm vectơ phương đường r I ( 1;0;3) u = ( 2;1;1) phân giác Vậy đường phân giác qua điểm nhận làm vectơ phương có phương trình tắc là: TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA x −1 y z − = = 1 Trang 43 ... vectơ phương : B ( 1; 2; ) Vậy phương trình tắc đường thẳng uuu r BA = ( 1;1; −5 ) phương trình đường thẳng AB x = − t  y = 3−t  z = −1 + 5t  phương trình tham số đường thẳng AB đường thẳng. .. phương đường thẳng cần tìm qua Phương trình đường thẳng qua A ( 1;2; −3 ) song song với Oxyz Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ , đường thẳng làm vectơ phương có phương trình tắc : ∆: A Đường thẳng. .. −1;13;18 ) ∆: , cho đường thẳng là: x −2 y −4 z −3 = = −1 13 18 x −1 y + z = = Phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng đường d thẳng qua đường ∆ thẳng x = 1+ t   y = + 38t  z = − 5t