Đang tải... (xem toàn văn)
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình : + Bước 1: Lập phương trình Hệ phương trình - Chọn ẩn và xác định ĐK cho ẩn nếu có Thông thường bài toán hỏi cái gì t[r]
(1)Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 HỆ THỐNG Ch¬ng tr×nh «n thi vµo líp 10 PHẦN ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ : RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Phần 1: Kiến thức cần nhớ Các dạng bài tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, bậc hai, bậc ba D¹ng : Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc h÷u tØ - Khi thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø tù thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n : Nh©n chia tríc, céng trõ sau Cßn nÕu biÓu thøc cã c¸c dÊu ngoÆc th× thùc hiÖn theo thø tù ngoÆc trßn, ngoÆc vu«ng, ngoÆc nhän - Với bài toán tìm giá trị phân thức thì phải tìm điều kiện biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0) Dạng : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa A - Biểu thức có dạng B xác định (có nghĩa) B 0 - Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) A 0 A B xác định (có nghĩa) B > - BiÓu thøc cã d¹ng A 0 xác định (có nghĩa) C A 0 A B C xác định (có nghĩa) C 0 B C A - BiÓu thøc cã d¹ng - BiÓu thøc cã d¹ng D¹ng : Rót gän c¸c biÓu thøc chøa c¨n bËc hai, c¨n bËc ba LÝ thuyÕt chung: a) Các công thức biến đổi thức A 1) A AB A 2) A B 3) B ( víi A 0 vµ B 0) A (víi A 0 vµ B > 0) B A B A 4) 5) A A 6) 7) 8) B (víi B 0) B A B (víi A 0 vµ B 0) B A B A B A B (víi A < vµ B 0) B A AB (víi AB 0 vµ B 0) B B C A B C (víi B > 0) A B A B (víi A 0 vµ A B ) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (2) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 C A B C A B A B (víi A 0 , B 0 vµ A B) 9) *) Lu ý: §Ó rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ta lµm nh sau : - Quy đồng mẫu số chung (nếu có) - §a bít thõa sè ngoµi dÊu c¨n (nÕu cã) - Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) - Thực các phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , … theo thứ tự đã biết để làm xuất các thức đồng dạng - Cộng, trừ các biểu thức đồng dạng (các thức đồng dạng) b) Các đẳng thức quan trọng, đáng nhớ: 1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ( a b)2 a a.b b (a,b 0) 2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ( a b)2 a a.b b 3) a2 - b2 = (a + b).(a - b) (a,b 0) a b ( a b).( a b) (a,b 0) 4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 3 2 6) a b (a b)(a ab b ) a a b b a3 b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 3 2 7) a b (a b)(a ab b ) a a b b a3 a b b3 ( a b)(a ab b) (a,b 0) 8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 9) ( a b c) a b c ab ac bc (a,b,c 0) a2 a 10) 11) 11/ x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 12/ x13+x23=(x1+x)3-3x1x2(x1+x2) Lu ý: - Khi giải các bài toán vận dụng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các đẳng thức theo hai chiÒu khai triÓn vµ thu gän mét c¸ch linh ho¹t - Hai đa thức với giá trị biểu thức tất các hệ số chúng tơng ứng b»ng - Một đa thức đa thức không tất các hệ số nó không PHẦN2: Bµi To¸n rót gän biÓu thøc 1) C¸ch gi¶i: RÚT GỌN BIỂU THỨC Bớc Tìm ĐKXĐ biểu thức đã cho Bớc Quy đồng mẩu thức các phân thức, thực các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để đa biểu thức đã cho dạng đơn giản Một số lu ý: - Trớc quy đồng mẫu thức hay thực các phép tính, có thể thì nên rút gọn phân thức trớc Kết sau biến đổi các biểu thức hữu tỷ cần đợc rút gọn - Các phép tính với đa thức có đầy đủ các tính chất các số thực ( giao hoán, kết hợp, phân phối) - Khi gi¶i c¸c bµi to¸n liªn quan tíi gi¸ trÞ cña ph©n thøc cÇn chó ý t×m §KX§ cña ph©n thøc 2) VÝ dô: Rót gän biÓu thøc: A = √x − − x √ − √ x+1 x −1 Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (3) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 ¿ x≥0 √ x −1 ≠ √ x +1≠ x −1 ≠ ⇔ ¿ x ≥0 Gi¶i: BiÓu thøc A cã nghÜa ⇔ √x≠1 ∀x x≠1 ⇔ ¿ x ≥0 x≠1 ¿{{{ ¿ ⇒ §KX§ cña biÓu thøc lµ x ≥ vµ x ≠ √x − − Khi đó ta có: A = √ x − √ x+1 x −1 √ x( √ x +1) − (√ x −1) − ¿ ( √ x −1)(√ x+ 1) ( √ x +1)( √ x −1) ( √ x −1)( √ x +1) √ x ( √ x+1)−2( √ x − 1) −2 ¿ ( √ x −1)( √ x+ 1) x + √ x − √ x+ 2− ¿ ( √ x −1)( √ x+1) x − √x ¿ ( √ x −1)( √ x+1) √ x (√ x −1) ¿ ( √ x −1)( √ x+1) x ¿ √ √ x +1 3/ C¸c d¹ng to¸n liªn quan Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là số) a c Bíc Sö dông tÝnh chÊt = ⇔ a d=b c để làm mẩu phơng trình b d Bớc Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x Bíc §èi chiÕu ®iÒu kiÖn vµ chän nghiÖm hîp lÝ VÝ dô 1: Cho A = √x √x− a) A = (víi x b) A = vµ x 1) Tìm các giá trị x để: c) A = − Gi¶i: Ta cã: a) A = b) A = ⇔ √ x =2 ⇔ √ x=2( √ x − 1)⇔ √ x=2 √ 2− 2⇔ 2=2 √ x − √ x ⇔ √ x=2 √ x −1 ⇔ x = (TM§K) VËy víi x = th× A =2 x ⇔ √ = ⇔ √ x=2( √ x −1)⇔ √ x=2 √ x −2 ⇔ √ x=− √ x −1 Vậy không có giá trị nào x để A = (V« nghiÖm) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (4) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 c) A = − ⇔ √ x =− ⇔2 √ x=− ( √ x −1 ) ⇔ √ x=1− √ x ⇔3 √ x=1 ⇔ √ x= √ x −1 ⇔ x= (TM§K) 1 VËy víi x = th× A = − Chú ý: Trong trờng hợp bài toán cha cho giá trị P thì các em cần dựa giả thiết bài toán để t×m P råi tiÕn hµnh gi¶i nh b×nh thêng |P|=m(m≥ 0)⇔ P=m ¿ P=−m +) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 P =k ⇔ P=k ¿ P=−k +) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ VÝ dô 2: Cho P = (víi x và x 4) Tìm các giá trị x để: − √x a) |P|=1 b) P2= c) P2=3 P Gi¶i: |P|=1⇔ P=1 ¿ P=−1 a) Ta cã: ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ =1 ⇔ 3=2− √ x ⇔ 1=− √ x ⇔ √ x=− (V« nghiÖm) Trêng hîp Víi P=1 ⇔ 2− √ x =−1 ⇔ 3=−(2 − √ x )⇔ 3=√ x − 2⇔ √ x=5 ⇔ x=25 (TM) Trêng hîp Víi P=− 1⇔ −√ x VËy víi x = 25 th× |P|=1 P= ⇔ P= ¿ b) Ta cã: P=− ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ = ⇔ 6=2− √ x ⇔4=− √ x ⇔ √ x=− (V« nghiÖm) Trêng hîp Víi P= ⇔ 2 −√ x Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (5) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 =− ⇔ 6=−(2 − √ x) ⇔6=√ x −2 ⇔ √ x=8 ⇔ x=64 (TM) Trêng hîp Víi P=− ⇔ 2 − √x VËy víi x = 64 th× P2= P2=3 P ⇔ P2 − P=0 ⇔ P(P −3)=0 ⇔ P=0 ¿ P=3 b) Ta cã: ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ =0 ⇔ 3=0 (V« nghiÖm) Trêng hîp Víi P=0 ⇔ −√ x =3⇔ 3=3 (2− √ x )⇔ 3=6 − √ x ⇔3 √ x=3 ⇔ √ x=1 Trêng hîp Víi P=3 ⇔ −√ x ⇔ x=1 (TM) VËy víi x = th× P2=3 P Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P < m P > m, P m, hoÆc P m (víi m lµ h»ng sè) Bớc Chuyển m sang vế trái, để vế phải Bớc Quy đồng mẩu thức các phân thức làm gọn vế trái Bớc Xác định dấu tử mẩu vế trái, từ đó có đợc bất phơng tr×nh đơn giản (không chứa mẩu) Bớc Giải bất phơng trình trên để tìm đợc x Bíc §èi chiÕu ®iÒu kiÖn vµ chän nghiÖm hîp lÝ VÝ dô: Cho A = √ x − (víi x 0) Tìm các giá trị x để: √ x+1 a) A > b) A < c) A Gi¶i: Ta cã: 3( x −1) √ x+ > a) A > ⇔ √ x −1 > ⇔ √ x −1 − >0 ⇔ √ − √ x +1 √ x +1 3( √ x+1) 3( √ x+1) 3( √ x − 1)−( √ x +1) x −4 ⇔ >0 ⇔ √ >0 ⇔ √ x − >0 (v× 3( √ x+ 1)>0 ) 3( √ x+1) 3( √ x +1) ⇔ √ x> ⇔ √ x >2 ⇔ x>4 (TM§K) VËy víi x > th× A > 5( x − 1) 2( √ x +1) b) A < ⇔ √ x −1 < ⇔ √ x −1 − <0 ⇔ √ − <0 √ x +1 √ x+ 5 ( √ x+1) ( √ x+1) 5( √ x − 1) −2( √ x +1) x −7 ⇔ <0 ⇔ √ <0 ⇔ √ x −7 <0 (v× 5( √ x+ 1)>0 ) ( √ x +1) 5( √ x+ 1) 49 ⇔ √ x< ⇔ √ x< ⇔ x< 49 Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc x< 49 VËy víi x< th× A < 2( x − 1) (√ x +1) c) A ⇔ √ x −1 ≤ ⇔ √ x −1 − ≤ ⇔ √ − ≤0 √ x+ √ x+ 2(√ x +1) 2( √ x +1) 2( √ x −1) −( √ x +1) x −3 ⇔ ≤0 ⇔ √ ≤0 ⇔ √ x −3 ≤ (v× 2( √ x+1)>0 ) 2( √ x +1) 2( √ x +1) ⇔√ x≤3⇔ x≤9 Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (6) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc x VËy víi x th× A Chó ý: +) |P|=P ⇔ P ≥ +) |P|=− P ⇔ P ≤0 +) |P|> P ⇔ P<0 +) √ P> P ⇔ 0< P<1 +) √ P< P ⇔ P> VÝ dô Cho biÓu thøc: P = (với x ≥ và x ≠ ) Tìm tất các giá trị x để: − √x a) |P|=P b) |P|=− P c) √ P< P d) √ P> P Gi¶i: ≥ ⇔ − √ x >0 ⇔ √ x <1 ⇔ x<1 a) Ta cã: |P|=P ⇔ P ≥ ⇔ 1− √ x Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc: ≤ x <1 VËy víi ≤ x <1 th× |P|=P ≤ ⇔ 1− √ x <0 ⇔ √ x >1 ⇔ x >1 (tho¶ m·n §KX§) b) Ta cã: |P|=− P ⇔ P ≤0 ⇔ −√ x VËy víi x > th× |P|=− P c) Ta cã: √ P< P ⇔ P> 1⇔ >1 ⇔ − 1> ⇔ − − √ x >0 −√ x 1− √ x 1− √ x − √ x 1−(1 − √ x) x ⇔ >0 ⇔ √ >0 ⇔1 − √ x> ⇔ √ x<1 ⇔ x <1 −√ x 1− √ x Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc: ≤ x <1 VËy víi ≤ x <1 th× √ P< P √ P> P ⇔ ≤ P<1 ⇔ P≥ P<1 ⇔ ¿ ≥0 1− √ x <1 −√ x ⇔ d) Ta cã: ¿ − √ x >0 − 1<0 1− √ x ⇔ ¿ √ x <1 1− √ x − <0 − √ x 1− √ x ¿{ Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (7) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 ⇔ x <1 √x <0 − √x ⇔ ¿ x< 1 − √ x <0 (kh«ng tån t¹i x) ⇔ ¿ x< √ x >1 ⇔ ¿ x< x >1 ¿{ Vậy không có giá trị nào x để √ P> P D¹ng Bµi to¸n so s¸nh biÓu thøc P víi m (m lµ h»ng sè) Bíc TÝnh P – m = ? Bớc Nhận xét dấu hiệu P – m để có kết so sánh +) NÕu P – m > th× P > m +) NÕu P – m < th× P < m +) NÕu P – m = th× P = m VÝ dô: Cho P = √ x − (víi x > 0) H·y so s¸nh P víi √x Gi¶i: Ta cã: P – = √ x − −1= √ x − − √ x = √ x −1 − √ x = − √x √x √x √x √x −1 V× < ⇒ P – < ⇒ P < √x D¹ng Bµi to¸n Chøng minh biÓu thøc P < m (m lµ h»ng sè) víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc §KX§ Bíc TÝnh P – m = ? Bớc Nhận xét dấu hiệu P – m để có điều phải chứng minh +) NÕu P – m > th× P > m +) NÕu P – m < th× P < m +) NÕu P – m = th× P = m VÝ dô: Cho P = √ x +1 (víi x > 0) Chøng minh r»ng: P > víi mäi gi¸ trÞ cña x > √x Gi¶i: Ta cã: P – = √ x +1 −1= √ x +1 − √ x = √ x+1 − √ x = √x √x √ x √x √x V× víi x > th× √ x > ⇒ > ⇒ P – > ⇒ P > (®pcm) √x Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng) Loại I Bài toán tìm các giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên C¸ch gi¶i: Bớc Biến đổi biểu thức P dạng: n P= m ± ( Víi m, n Z, f(x) lµ biÓu thøc chøa x) f (x) n n Bớc Biện luận:Vì m Z nên để P nguyên thì ph¶i nguyªn, mµ nguyªn th× “f(x) f (x) f (x) ph¶i lµ íc cña n” Bớc Giải các phơng trình: f(x) = Ư(n) để tìm đợc x Bíc §èi chiÕu ®iÒu kiÖn vµ chän nghiÖm hîp lÝ VÝ dô 1: Cho P = √ x+2 (víi x vµ x 1) Tìm các giá trị x để P nhận giá trị nguyên √x− ( x −1)+3 √ x −1 3 Gi¶i: Ta cã: P = √ x+2 = √ = + =1+ √x− √ x −1 √ x −1 √ x − √x−1 Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (8) §Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn th× lµ íc cña Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 3 ph¶i nhËn gi¸ trÞ nguyªn, mµ √x− √x− nguyªn th× √ x −1 ph¶i ⇔ √ x −1=1 ¿ x − 1=− √ ¿ √ x −1=3 ¿ √ x − 1=−3 ¿ √ x=2 ¿ √ x=0 ¿ √ x=4 ¿ √ x=−2(VN) ¿ x =4 (TMDK ) ¿ x=0( TMDK) ¿ x=16( TMDK) ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ VËy víi x = 0, x = vµ x = 16 th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn √ x (víi x VÝ dô 2: Cho M = vµ x 4) Tìm các giá trị x để M nhận giá trị √x− nguyªn d¬ng √ x = (√ x − 2)+2 = √ x −2 + =1+ Gi¶i: Ta cã: M = √x− √ x −2 √ x −2 √ x − √x − Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (9) §Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn th× lµ íc cña ⇔ x −2=1 √ ¿ √ x − 2=− ¿ √ x −2=2 ¿ √ x − 2=− ¿ x=3 √ ¿ √ x=1 ¿ √ x=4 ¿ √ x=0 ¿ x=9(TMDK) ¿ x=1(TMDK) ¿ x=16(TMDK) ¿ x=0(TMDK) ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ Víi x = th× M = Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 2 ph¶i nhËn gi¸ trÞ guyªn, mµ √x − √x− nguyªn th× √ x −2 ph¶i √9 = =3 > (TM) √9 − −2 √1 = =−1<0 (lo¹i) Víi x = th× M = √ −2 1− √16 = =2 > (TM) Víi x = 16 th× M = 16 √ −2 −2 √0 = =0 (lo¹i) Víi x = th× M = √0 − −2 VËy víi x = vµ x = 16 th× M nhËn gi¸ trÞ nguyªn d¬ng Loại II Bài toán tìm các giá trị x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên C¸ch gi¶i: Bớc Nhân chéo đặt √ x= y ( y ≥0) để đa biểu thức P dạng phơng trình bậc cã Èn lµ y vµ tham sè P Bớc Tìm P để phơng trình bậc hai ẩn y trên có nghiệm không âm Bíc Chän c¸c gi¸ trÞ P nguyªn tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña P võa t×m ë bíc Bớc Thay P vừa tìm đợc vào biểu thức đã cho để tìm đợc x Bíc §èi chiÕu §KX§ chän nghiÖm hîp lÝ VÝ dô: Cho biÓu thøc P = √ x (víi x 0) x+ Gi¶i: Ta cã : P = √ x ⇔ P (x+1)=4 √ x ⇔ P x −6 √ x + P=0 (1) x+ Đặt: √ x= y (ĐK: y ≥ ) đó phơng trình (1) trở thành: P y − y + P=0 (2) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (10) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Trêng hîp NÕu P=0 th× √ x =0 ⇔ √ x=0 ⇔ x =0 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) x+ Trêng hîp NÕu P≠ ph¬ng tr×nh (2) lµ mét ph¬ng tr×nh bËc hai Èn y cã: −3 ¿2 − P P=9 − P2 b a=P ; b=−6 ; c=P ; b ' = =−3 vµ b ' ¿2 − ac=¿ Δ ' =¿ Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ⇔ ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm kh«ng ©m: ⇔ Δ' ≥0 b − ≥0 a c ≥0 a ⇔ ¿ − P2 ≥0 ≥0 P ≥ 0(∀ P) ⇔ ¿ P2 ≤ P> ⇔0< P ≤ ¿{{ §Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn th× P= {1 ; 2; } Víi P=1 ⇔ √ x =1 ⇔6 √ x=x +1 ⇔ x − √ x +1=0⇔ x=17 ±12 √ (TM§K) x +1 Víi P=2 ⇔ √ x =2 ⇔3 √ x=x +1 ⇔ x −3 √ x +1=0 ⇔ x = ± √ (TM§K) x +1 x Víi P=3 ⇔ √ =3 ⇔ √ x=x +1 ⇔ x − √ x +1=0 ⇔ x =1 (TM§K) x +1 VËy víi x = 0, x = 1, x = ± √ , x = 17 ±12 √ th× biÓu thøc P nhËn gi¸ trÞ nguyªn D¹ng Bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P a) Kh¸i niÖm: +) NÕu P(x) m (m lµ h»ng sè) th× m gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x) +) NÕu P(x) k (k lµ h»ng sè) th× k gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x) b) C¸ch gi¶i: Lo¹i Trêng hîp biÓu thøc P cã d¹ng lµ mét ®a thøc P=ax +b √ x+ c Bớc Biến đổi biểu thức P dạng: P = ± [ f ( x ) ] 2+ m ( f ( x) lµ biÓu thøc chøa biÕn x vµ m lµ mét h»ng sè) Bớc Lập luận để có giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P Bớc Tìm điều kiện để xảy dấu “=” Bíc KÕt luËn VÝ dô T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P ¿ x − √ x+3 ( x ≥ 0) Gi¶i: √ x −1 ¿2 +2 Ta cã: P ¿ x − √ x+ 3=(x − √ x+ 1)+2=¿ √ x −1 ¿2 +2 ≥2 ⇒ V× √ x −1 ¿2 ≥0 ⇒ ¿ P ¿ DÊu “=” x¶y √ x −1=0 ⇔ x=1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Đạt đợc x=1 VÝ dô T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M = 2+3 √ x − x (x ≥ 0) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (11) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Gi¶i: 17 + 2 17 V× √ x − ≥ ⇒ − √ x − ≤0 ⇒ − √ x − + 17 ≤ 17 ⇒ P 2 4 DÊu “=” x¶y √ x − =0 ⇔ x = 17 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P b»ng Đạt đợc x= 4 k Lo¹i Trêng hîp biÓu thøc cã d¹ng P= ( a , b , c , k lµ h»ng sè, x ≥ ) ax +b √ x+ c C¸ch gi¶i Bíc T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mÈu thøc: f ( x)=ax+b √ x +c vµ ®iÒu kiÖn dÊu “=” x¶y Bớc Căn vào dấu số k để suy giá trị lớn nhỏ P Bíc KÕt luËn Lu ý +) Nếu k >0 thì P đạt giá trị lớn ⇔ f ( x) đạt giá trị nhỏ và ngợc lại +) Nếu k <0 thì P đạt giá trị lớn ⇔ f ( x) đạt giá trị lớn và ngợc lại VÝ dô T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P= ( x≥0 ) x − √ x +1 Gi¶i: Ta cã: x − √ x +1= x − √ x + + = √ x − + 4 2 V×: √ x − ≥ 0⇒ √ x − + ≥ 2 4 1 4 ⇒ = ≤ = ⇒P≤ DÊu “=” x¶y ⇔ √ x − =0 ⇔ √ x= ⇔ x= x − √ x +1 3 2 √x− + 4 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P b»ng Đạt đợc x= VÝ dô T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = ( x≥0 ) − x +2 √ x +1 Gi¶i: √ x − 1¿ 2+2 Ta cã: − x +2 √ x +1=−( x −2 √ x +1)+ 2=−¿ √ x −1 ¿2 +2 ¿ −¿ V× √ x −1 ¿2 +2 ≤2 ⇒ ¿ √ x −1 ¿2 ≤ 0⇒ − ¿ −¿ DÊu “=” x¶y √ x −1=0 ⇔ √ x=1 ⇔ x=1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức M Đạt đợc x=1 Lo¹i Trêng hîp biÓu thøc cã d¹ng P= a √ x+ b ( a , b , c , d lµ h»ng sè x ≥ ) c √ x +d Bớc Biến đổi biểu thức P dạng: n P= m+ (m, n Z, f(x) lµ biÓu thøc chøa x) f (x) Bíc BiÖn luËn: Trêng hîp “n > 0” 9 Ta cã: M ¿ −( x −3 √ x − 2)=− x − √ x + − 2− =− 4 [( ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( ] ( ) √x − ) ) ) ) ) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (12) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 +) P đạt giá trị lớn f(x) đạt giá trị nhỏ +) P đạt giá trị nhỏ f(x) đạt giá trị lớn n (Vì: Để P đạt giá trị lớn thì phải đạt giá trị lớn tức là f(x) phải đạt f (x) n giá trị nhỏ Còn để P đạt giá trị nhỏ thì phải đạt giá trị nhỏ f (x) tức là f(x) phải đạt giá trị lớn nhất) Trêng hîp “n < 0” +) P đạt giá trị lớn f(x) đạt giá trị lớn +) P đạt giá trị nhỏ f(x) đạt giá trị nhỏ Bớc Tiến hành tìm giá trị nhỏ lớn f(x) để có đợc giá trị lớn hoÆc nhá nhÊt cña P Bớc Tìm điều kiện để xảy dấu “=” Bíc KÕt luËn VÝ dô 1: Cho P = √ x +3 (víi x 0) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P √ x +1 ( x +1)+2 √ x+1 2 Gi¶i: Ta cã: P = √ x +3 = √ = + =1+ √ x +1 √ x +1 √ x+1 √ x +1 √ x +1 Ta thấy: Vì đây n = > nên: Để P đạt giá trị nhỏ thì √ x+1 phải đạt giá trị lớn V×: √ x ⇒ √ x+1 ≥1 DÊu “=” x¶y x = ⇒ Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña √ x+1 lµ √0+ =3 ⇒ Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ: √0+ Vậy: Giá trị lớn P là 3, đạt đợc x = VÝ dô 2: Cho M = √ x − (víi x 0) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M √ x+2 ( x+2)−3 √ x +2 −3 −3 Gi¶i: Ta cã: M = √ x − = √ = + =1+ √ x+2 √ x+ √ x +2 √ x +2 √ x +2 Ta thấy: Vì đây n = - < nên: Để M đạt giá trị nhỏ thì √ x+2 phải đạt giá trị nhỏ V×: √ x ⇒ √ x+2 ≥ DÊu “=” x¶y x = ⇒ Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña √ x+2 lµ Gi¸ trÞ lín nhÊt cña M lµ: √ −1 =− √ 0+2 VËy: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lµ − , đạt đợc x = Lo¹i Trêng hîp ph©n thøc cã d¹ng P= a x +b √ x +c ( a , b , c ,m , n lµ h»ng sè, x ≥ ) m √ x+ n Bớc Biến đổi biểu thức P dạng: k + m ( f ( x) lµ biÓu thøc chøa biÕn x vµ k ; f ( x)>0 ) P = ± f ( x)+ f (x ) k Bớc áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng f (x) và từ đó tìm đợc f (x) gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P Bớc Tìm điều kiện để xảy dấu “=” Bíc KÕt luËn x +3 VÝ dô 1: Cho A = (víi x 0) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A √ x +1 ( x − 1)+ ( √ x +1)( √ x −1) 4 Gi¶i: Ta cã: A = x +3 = = + =√ x −1+ √ x +1 √ x +1 √ x+1 √ x +1 √ x+1 ¿( √ x +1)+ +(− 2) √ x+1 áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng ( √ x+1) và ta đợc: √ x +1 [ ] Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (13) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 4 ( √ x+1)+ ≥ ( √ x +1) =2 √ 4=4 ( √ x+1) √ x +1 +(−2) ≥ 4+(−2)=2 ⇒ ( √ x+1)+ √ x +1 ⇒ A √ x+1 ¿2=4 ⇔ √ x +1=2 ⇔ √ x=1 ⇔ x=1 DÊu “=” x¶y (√ x +1)= ⇔¿ √ x +1 Vậy: Giá trị nhỏ A là 2, đạt đợc x = x +12 VÝ dô 2: Cho B = (víi x 0) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B √ x +2 ( x − 4)+16 ( √ x +2)( √ x − 2) 16 16 Gi¶i: Ta cã: A = x +12 = = + =√ x −2+ √ x +2 √ x+2 √ x +2 √ x+ √ x +2 16 ¿( √ x +2)+ +(−4 ) √ x+2 16 áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng ( √ x+2) và ta đợc: √ x +2 16 16 ( √ x+2)+ ≥ ( √ x+2) =2 √ 16=8 ( √ x +2) √ x +2 +(− 4)≥ 8+(− 4)=4 ⇒ ( √ x+2)+ √ x +2 ⇒ A √ x+2 ¿2=16 ⇔ √ x+2=4 ⇔ √ x =2⇔ x=4 DÊu “=” x¶y 16 ( √ x +2)= ⇔¿ √ x +2 Vậy: Giá trị nhỏ A là 4, đạt đợc x = PHÇN3 : Bµi tËp √ √ XEM ĐỀ CƯƠNG ÔN THI VÀO 10 CHUY£N §Ò 2: PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH A.PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT I KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1.Phương trình bậc ẩn -Quy đồng khử mẫu -Đưa dạng ax + b = (a ≠ 0) -Nghiệm là x b a *)Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình) Dạng phương trình này sau biến đổi có dạng ax + b = Song giá trị cụ thể a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm phương trình x b a -Nếu a ≠ thì phương trình có nghiệm -Nếu a = và b = thì phương trình có vô số nghiệm -Nếu a = và b ≠ thì phương trình vô nghiệm 2.Phương trình tích Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (14) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Để giái phương trình tích ta cần giải các phương trình thành ph ần c nó A x 0 B x 0 C x 0 Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 3.Phương trình chứa ẩn mẫu : Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: Bíc 1: T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh Bớc 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc Bớc 4: Đối chiếu nghiệm tìm đợc với ĐKXĐ, loại các giá trị không thoả mãn, các giá trị thoả mãn ĐK là nghiệm phơng trình đã cho Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu * Đặt ĐK để phơng trình có nghĩa; * Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu; * Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh bËc hai; * KiÓm tra ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn 4.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối A A 0 A A A Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối biểu thức: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối A nÕu A 0 A A nÕu A < - §Þnh nghÜa: - C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh f ( x ) 0 f ( x ) 0 f ( x ) k( k 0) f ( x ) k f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) Hay f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) , ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch f ( x ) 0 g( x ) 0 f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) 0 g( x ) 0 f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) <=> hoÆc <=> g( x ) 0 HoÆc <=> f ( x ) g( x ) hoÆc f ( x ) g( x ) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (15) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 g( x ) 0 2 f ( x ) g( x ) HoÆc <=> 2 A B A B A B A A A A - Chó ý: ; vµ Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: ax bx c 0 (a 0) §Æt x2 = t ( t 0 ), ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t : at bt c 0 (*) Gi¶i ph¬ng tr×nh (*), lÊy nh÷ng gi¸ trÞ thÝch hîp tháa m·n t 0 Thay vào đặt x2 = t và tìm x = ? Ph¬ng tr×nh bËc cao a) Ph¬ng tr×nh bËc ba d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = Hớng dẫn: Nhẩm nghiệm (nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ớc hạng tử tự d) dùng sơ đồ Hooc- ne dùng máy tính để tìm nhanh nghiệm nguyên phơng trình, đã biết nghiệm thì dễ dàng ph©n tÝch VT díi d¹ng tÝch vµ gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch (hoÆc chia ®a thøc) b) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = Híng dÉn: Ph¬ng ph¸p t¬ng tù nh ph¬ng tr×nh bËc ba trªn c) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: c x4 + ax3 + bx2 + cx + d = (víi d = a ) Ph¬ng ph¸p: Víi x = 0, thay vµo ph¬ng tr×nh vµ kiÓm tra xem x = cã lµ nghiÖm hay kh«ng ? c Với x 0 Chia hai vế cho x2, sau đó ta đặt t = x + ax d) Ph¬ng tr×nh bËc d¹ng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m) ab cd Ph¬ng ph¸p: §Æt t = x2 + mx + e) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k) Ph¬ng ph¸p: k Chia c¶ hai vÕ cho x2 §Æt t = x + x C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.( tham khảo) C1 Ph¬ng ph¸p t¸ch c¸c gi¸ trÞ nguyªn C2 Ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm nguyªn riªng §Þnh lÝ: Ph¬ng tr×nh ax + by = c víi a, b, c nguyªn, (a; b) = NÕu (x0; y0) lµ mét nghiÖm nguyªn th× ph¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm nguyªn d¹ng: C3 Phơng pháp bất đẳng thức C4: Ph¬ng ph¸p ®a vÒ c¸c íc sè VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 7x + 4y = 23 HDÉn gi¶i 23 −7 x x −1 Biểu thị y qua x ta đợc: y = (hoÆc y = – x + =6 − x + 4 ¿ x=x +at y= y + bt ¿{ ¿ 3−3x ) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (16) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 ¿ ¿ ¿ 3− t x= x=4 t+1 x=1 Suy y=− t+4 (t Z) (hoÆc ) Vì x, y dơng nên t = 0, đó y=4 y =4+ t ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ 1 VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: (1) + = x y HDÉn gi¶i Ph¬ng ph¸p ®a vÒ c¸c íc sè nguyªn x+ y (1) ⇔ = ⇔ (x - 2)(y - 2) = = 2.2 = (-2).(-2) = 1.4 = (-1).(-4) xy Xét các khả xảy với (x - 2) và (y - 2), ta đợc các cặp giá trị (x; y) thoả mãn là: (4; 4), (6; 3), (3; 6) C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ * Ph¬ng tr×nh d¹ng √ f (x )=g(x ) (1) g ( x) 0(2) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) (3) Sơ đồ giải: Giải (3) đối chiếu với điều kiện(2) để loại nghiệm không thích hợp, nghiệm thích hợp là nghiệm phơng trình đã cho * Ph¬ng tr×nh d¹ng √ f (x )+ √ g (x)=h(x) Sơ đồ giải:- Đặt đk có nghĩa phơng trình f ( x )≥ g( x )≥ h ( x) ≥0 - B×nh ph¬ng vÕ , rót gän ®a vÒ d¹ng(1) * Ph¬ng tr×nh d¹ng f ( x ) g ( x ) h( x ) Sơ đồ giải: f (x) 0 g(x) 0 h(x) 0 - §Æt ®k cã nghÜa cña ph¬ng tr×nh -Bình phơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí bình phơng) sau đó cần phải đối chiếu nghiệm vừa tìm đợc với điều kiện! *)Lu ý: Hầu hết giải phơng trình chứa ẩn căn, ta cần xác định điều kiện có nghĩa phơng trình và các điều kiện tơng đơng Nếu không có thể thử lại trực tiếp II BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn *D¹ng BPT bËc nhÊt mét Èn lµ BPT cã d¹ng ax + b > (hoÆc ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0), đó x là ẩn, a và b là các số đã cho, a Ta xÐt BPT d¹ng ax + b > b + NÕu a > 0, BPT cã nghiÖm x > a b + NÕu a < 0, BPT cã nghiÖm x < a Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (17) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 A *D¹ng 2: BPT ph©n thøc >0 ,BPT tÝchA.B>0 B A B A B 0 *Cách giải: Mỗi bất phơng trình tơng đơng với hệ bpt : f ( x) a f ( x ) a f ( x) a *D¹ng 3: f ( x) a f ( x) a |f (x)|< a ⇔ − a<f (x)<a f ( x) a hoÆc *D¹ng 4: B /HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I : Kiến thức cần nhớ by=c {ax+ a ' x+ b ' y=c ' Dạng tổng quát : Số các nghiệm hệ: a b ≠ ⇔ Hệ có nghiệm + Nếu a' b ' a b c = ≠ ⇔ Hệ vô nghiệm + Nếu a' b ' c ' a b c = = ⇔ Hệ có vô số nghiệm + Nếu a' b ' c ' Các phương pháp giải hệ phương trình: Phương pháp thế: - Từ phương trình hệ biểu thị ẩn (chẳng hạn ẩn x) theo ẩn - Thay biểu thức x vào phương trình còn lại để tìm y - Thay y vừa tìm vào biểu thức x để tìm x KL : Nghiệm hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau : (1) x +3 y=6 a) x + y=3 (2) Từ phương trình (2) ta có: x = – y (*) Thay x = – y vào phương trình (1) ta : 2(3 - y) + 3y = 6 – 2y + 3y = ⇒ y = Thay y = vào phương trình (*) ta : x = x=3 Vậy nghiệm hệ là: y=0 (1) x + y=5 b) x −5 y=3 (2) Từ phương trình (1) ta có : y = – 2x (*) Thay y = – 2x vào phương trình (2) ta : 4x – (5 – 2x) = 4x -25 + 10x = 14x = 28 ⇒ x=2 Thay x = vào (*) ta : y = – 2.2 ⇒ y=1 x=2 Vậy nghiệm hệ là : y=1 { { { { Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (18) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Phương pháp cộng : - Biến đổi các hệ số cùng ẩn cho có giá trị tuyệt đối - Cộng trừ vế hệ để khử ẩn - Giải phương trình tìm ẩn chưa khử - Thay giá trị vào phương trình hệ để tìm ẩn còn lại KL : nghiệm hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau : x+ y =14 ¿ a) (1) ¿(2) ¿ − x+ y =−9 Cộng vế hệ ta : 5y = ⇒ y=1 Thay y = vào phương trình (1) ta : x + 2.1 = 14 ⇒ x=12 Vậy nghiệm hệ là (x; y) = (12; 1) { {−53xx++44yy=11 =3 (1) (2) Trừ vế hệ ta : -8x = ⇒ x=−1 Thay x = -1 vào phương trình (2) ta được: 5.(-1) + 4y = ⇔ 4y = ⇒ y=2 x =−1 Vậy nghiệm hệ phương trình là : y=2 Chú ý : ax+ by=c a / Với hệ phương trình a ' x+ b ' y=c ' +Nếu a = a’ b = b’ ta nên sử dụng phép cộng vế +Nếu a = -a’ b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ +Nếu các hệ số a; a’; b; b’ -1 thì ta nên dùng phương pháp + Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác ±1 và không có giá trị tuyệt đối thì ta tìm BCNN (a;a’) BCNN (b; b’) b/ Một số bài tập hệ pt chứa tham số Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện tham số để nghiệm hệ thoả mãn điều kiện α nào đó ta làm sau: + Coi tham số số đã biết + Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ thuộc vào tham số + Giải các phương trình (Bất phương trình) biểu thức chứa tham số Ví dụ: Cho hệ phương trình: (1) x −2 y=0 mx −3 y=2 (2) a) Giải hệ với m = -2 b) Tìm m để hệ có nghiệm dương - Giải (1) x −2 y=0 a) Với m = -2 ta có hệ : − x −3 y=2 (3) Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được: -2.2y – 3y = ⇒ y=− thay vào (*) ⇒ x=− 7 x=− Vậy nghiệm hệ là : y=− b)Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào phương trình (2) ta được: b) { { { { { Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (19) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 m.2y – 3y = ⇔ y (2 m− 3)=2 ⇒ y= m−3 Thay vào (*) ta : x= 2m −3 >0 x >0 ⇔ m−3 ⇒ 2m – > Để hệ có nghiệm y> >0 m−3 ⇒ m> Vậy với m > thì hệ phương trình có nghiệm dương II Bµi tËp C/ ph¬ng tr×nh bËc hai PHẦN I: KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG *Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý a = phương trình trở thành bậc ẩn { { A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Các dạng và cách giải Dạng 1: c = đó x 0 1 ax bx 0 x ax+b 0 b x a Dạng 2: b = đó 1 ax c 0 x c a c c x 0 a -Nếu a thì c 0 a -Nếu thì phương trình vô nghiệm Dạng 3: Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN ' b'2 ac b 4ac : phương trình có nghiệm phân biệt x1 b ; 2a x2 b 2a 0 : phương trình có nghiệm kép b x1 x 2a : phương trình vô nghiệm ' : phương trình có nghiệm phân biệt b' ' b' ' ; x2 a a ' 0 : phương trình có nghiệm kép b' x1 x a ' : phương trình vô nghiệm x1 Dạng 4: Các phương trình đưa phương trình bậc hai Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn mẫu và dạng tích Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (20) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 2.Hệ thức Viet và ứng dụng -Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: b S x x a P x x c a u v S uv P S 4P -Nếu có hai số u và v cho Sx + P = thì u, v là hai nghiệm phương trình x2 – c -Nếu a + b + c = thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = a c -Nếu a – b + c = thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = a 3.Điều kiện có nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (1) (a ≠0) (1) có nghiệm 0 ; có nghiệm phân biệt a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu: { Δ≥ c >0 a b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương : c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm: { Δ≥ c >0 a b − >0 a { Δ≥ c >0 a −b <0 a d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: a.c < (1) có nghiệm : ac < P < * Một số hệ thức áp dụng hệ thức Vi-ét: 2 Tổng bình phương các nghiệm: x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 = S2 – 2P 1 x x S x1 x2 P Tổng nghịch đảo các nghiệm: x1 x2 1 x12 x22 S2 2P 2 x x ( x x ) P2 2 Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (21) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 2 Bình phương hiệu các nghiệm: ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 = S2 – 4P x x23 ( x1 x2 )3 3x1 x2 ( x1 x2 ) Tổng lập phương các nghiệm: = S3 – 3PS Ví dụ: Cho phương trình x – 12x + 35 = Hãy tính giá trị các biểu thức sau: 1 2 3 a) x1 x2 b) x1 x2 c) ( x1 x2 ) d) x1 x2 Giải: Phương trình có ' = > pt có nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): b S x1 x2 a 12 P x x c 35 a x12 x22 ( x1 x2 )2 x1 x2 = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74 1 x x S 12 x1 x2 P = 35 b) x1 x2 ( x x )2 ( x1 x2 )2 x1 x2 S2 -4P c) = 122 – 4.35 = 3 d) x1 x2 ( x1 x2 ) 3x1 x2 ( x1 x2 ) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468 a) 4.Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập tham số:(Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào tham số) * Phương pháp giải: Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm ( ' ; 0 a.c < 0) b S x1 x2 a P x x c a Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ S và P Đó là hệ thức độc lập với tham số 5.Tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó a) x1 x ; b) x12 x 2 m; d) x12 x 2 h; e) x13 x 23 t; c) 1 n x1 x Trong trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương trình B.MỘT SỐ VÍ DỤ CHUY£N §Ò Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (22) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Phần I Các bước giải bài toán cách lập phương trình – hệ phương trình : + Bước 1: Lập phương trình (Hệ phương trình) - Chọn ẩn và xác định ĐK cho ẩn (nếu có) (Thông thường bài toán hỏi cái gì ta chọn cái đó làm ẩn) - Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua đại lượng đã biết ( Dựa vào mối quan hệ các đại lượng để biểu thị) -Tìm mối liên quan các số liệu để lập phương trình (Chú ý đến tình bài toán – giả thiết- để lập phương trình) + Bước 2: Giải phương trình (Hệ phương trình) + Bước 3: Chọn kết thích hợp – Trả lời Chú ý : Trong bài toán thông thường liên quan đến đại lượng Một đại lượng đã biết, đại lượng chưa biết mà bài toán yêu cầu tim, đại lượng chưa biết có liên quan đến tình bài toán Phần II Một số bài toán 1/Dạng toán chuyển động Loại Bài toán chuyển động trên 1) KiÕn thøc cÇn nhí – Bài toán chuyển động có ba đại lợng chính là: Vận tốc (v), quảng đờng (s) và thời s s gian (t) Trong đó: s=v t , v = , t= t v – Trong đại lợng đó, có đại lợng là đã biết, hai đại lợng còn lại là cha biÕt – Trong mæi bµi to¸n thêng cã hai mèi liªn hÖ chÝnh +) Mối liên hệ thứ giúp ta tính đợc các đại lợng cha biết +) Mối liên hệ còn lại giúp ta lập đợc phơng trình bài toán 2) Chó ý: +) Nếu hai vật chuyển động, khởi hành cùng lúc thì vật đích sau nhiều thêi gian h¬n +) Nếu hai vật chuyển động, đích cùng lúc thì vật khởi hành trớc nhiều thêi gian h¬n +) Nếu hai vật chuyển động, khởi hành và đích cùng lúc thì vật nghỉ lại ít thêi gian h¬n +) Nếu hai vật chuyển động, khởi hành từ hai vị trí A và B ( A ≠ B ) ngợc chiều thì tổng quãng đờng chúng đợc kể từ lúc khởi hành đến lúc gặp quãng đờng AB * Các bước giải bài toán cách lập hệ PT: + Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn ( ghi rõ đơn vị ẩn) - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Dựa vào các kiện và điều kiện bài toán để lập hệ phương trình + Bước 2: Giải hệ phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết thích hợp và trả lời * Các kiến thức liên quan: Công thức: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian) II BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Một ô tô từ A và dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến B chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B sớm 1giờ so với dự định Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát ô tô A Bảng phân tích tóm tắt Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (23) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 S(km) Dự định Nếu xe chạy chậm Nếu xe chạy nhanh V(km/ h) x T(giờ) y x 35 y+2 x 50 y-1 Giải: Gọi x km) là độ dài quãng đường AB ( x > 35) Thời gian dự định để đến B lúc 12h trưa là y (h), ( y >1 ) Nếu xe chạy với vận tốc 35 (km/h) thì đến B chậm so với dự định, ta có phương trình: x = 35(y+2) (1) Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B sớm 1giờ so với dự định ta có phương trình: x= 50(y - 1) (2) x=35( y+ 2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x =50( y −1) { Giải hệ phương trình ta được: {x y=8 =350 (TMĐK) Vậy quãng đường AB là 350 km và thời điểm xuất phát ô tô A là: 12 - = (h) Bài tập 2: Hai ô tô A và B khởi hành cùng lúc từ hai tỉnh, cách 150 km, ngược chiều và gặp sau Tìm vận tốc ô tô, biết vận tốc ô tô A tăng thêm 5km/h và vận tốc ô tô B giảm 5km/h thì vận tốc ô tô A lần vận tốc ô tô B Lập bảng tóm tắt bài toán 1, sau đó giải Giải: Gọi vận tốc ô tô A là x (km/h), (x > 5) vận tốc ô tô B là y (km/h), ( y > 5) Hai ô tô A và B khởi hành cùng lúc từ hai tỉnh, cách 150 km, ngược chiều và gặp sau ta có phương trình: 2x + 2y = 150(1) Vận tốc ô tô A sau tăng thêm 5km/h là: x + (km/h) Vận tốc ô tô B sau giảm 5km/h là : y - (km/h) Vì vận tốc ô tô A lần vận tốc ô tô B nên ta có phương trình: x + = 2(y- 5) ⇔ x - 2y = - 15 (2) x +2 y=150 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x −2 y=− 15 x=45 Giải hệ phương trình ta được: (TMĐK) y=30 Vậy vận tốc ô tô A là 45 km/h, vận tốc ô tô B là 30 km/h Loại Bài toán chuyển động trên sông { { Chuyển động có dòng nước : Vx = Vthực - Vn Vngược = Vthực - Vn I KIẾN THỨC CƠ BẢN - Các bước giải bài toán cách lập hệ PT: + Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn ( ghi rõ đơn vị ẩn) - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (24) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 - Dựa vào các kiện và điều kiện bài toán để lập hệ phương trình + Bước 2: Giải hệ phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết thích hợp và trả lời - Các kiến thức liên quan: Công thức: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian) Công thức : Vt xuôi = Vt + Vn Vt ngược = Vt – Vn II BÀI TẬP ÁP DỤNG Ví dụ 1: Một ôtô quãng đường 80 km Nếu xe tăng vận tốc thêm 20 km / h thì đích sớm dự định h Tính vận tốc dự định ôtô? -GiảiPhân tích bài toán: - Đại lượng đã biết: quãng đường = 80 km - Đại lượng phải tìm: Vận tốc - Đại lượng chưa biết có liên quan: Thời gian h - Tình bài toán để lập phương trình: Nếu xe tăng vận tốc thêm 20 km / h thì đích sớm Bước : Lập phương trình + Chọn ẩn và đặt ĐK cho ẩn: Gọi vận tốc dự định ôtô là x km / h (x > 0) + Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn và qua đại lượng đã biết: 80 h Thời gian dự định là : x Xe tăng thêm vận tốc 20 km / h : x + 20 (km/h) 80 h Thời gian thực tế xe là : x +20 + Mối liên quan các số liệu ta lập phương trình: h Ta có phương trình: Xe đích sớm dự định 80 80 − = x x+20 ⇔ 80 ( x+20) −80 x=2 x (x +20) ⇔ x +20 x − 2400=0 Δ' =100+2400=2500; ⇒ √ Δ '=50 x =− 10+50=40 ⇒ x 2=−10 −50=−60 x1 = 40 (thoả mãn) ; x2 = -60 (loại) Vậy vận tốc dự định ôtô là 40 km / h 2.Toán quan hệ các số: KIẾN THỨC CƠ BẢN * Nhắc lại các bước giải bài toán cách lập phương trình lớp 8: + Bước 1: - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập các phương trình biểu thị tương quan các đại lượng + Bước 2: Giải phương trình + Bước 3: Chọn kết thích hợp và trả lời Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (25) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 *Giải hệ phương trình: + Bằng phương pháp thế: - Biểu thị ẩn (giả sử x) theo ẩn từ hai phương trình hệ - Thay biểu thức x vào phương trình tìm giá trị y - Thay giá trị y vừa tìm vào biểu thức x để tìm giá trị x + Bằng phương pháp cộng đại số: - Biến đổi để các hệ số ẩn (giả sử x) có giá trị tuyệt đối Cộng trừ vế hai phương trình để khử ẩn x Giải phương trình tìm có ẩn y, và tìm y Thay giá trị y vừa tìm vào hai phương trình ban đầu để tìm giá trị x Kết luận nghiệm hệ phương trình * Các bước giải bài toán cách lập hệ phương trình: Tương tự giải bài toán cách lập trình bậc ẩn, khác là : - Phải chọn hai ẩn số - Lập hệ hai phương trình - Giải hai cách phương pháp thế, phương pháp cộng đại số nói trên * Nhắc lại công thức liên hệ số bị chia, số chia, thương và số dư Số bị chia = (số chia) x (thương) + (số dư); (Số dư < số chia) * Nhắc cách viết số có hai chữ số dạng tổng (cấu tạo số) a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị thì ab = 10a + b Với a, b N và a 9;0≤ b Tæng qu¸t: an a n− an −2 a1 a0=10n an +10n −1 an −1 +10n − an − 2+ .+10 a1 +a II BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 1006 và lấy số lớn chia cho số nhỏ thì thương là và dư là 124 Giải: Gọi số lớn là x và số nhỏ là y (ĐK: x, y N; y >124) Theo đề bài tổng hai số 1006 nên ta có phương trình x + y= 1006 (1) Vì lấy số lớn chia cho số nhỏ thì thương là dư là 124 nên ta có phương trình: x = 2y + 124 (2) x + y =1006 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x =2 y +124 x =712 Giải hệ phương trình ta được: (TMĐK) y=294 Vậy số lớn là 712; số nhỏ là 294 { { Bài tập 2: Một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số nó thì ta số lớn số đã cho là 63 Biết tổng số đã cho và số tạo thành 99 Giải: Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y ĐK: x, y N; x, y Theo đề bài ta có số đã cho là : xy = 10x + y Đổi chỗ hai chữ số cho nhau, ta số là yx = 10y + x Nếu đổi chỗ hai chữ số ban đầu thì ta số lớn số ban đầu là 63 nên ta có: (10y + x) (10x + y) = 63 (1) Biết tổng số đã cho và số tạo thành 99 nên ta có: (10x + y) + (10y + x) = 99 (2) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (26) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta được: {x=1 y=8 (10 y + x ) − ( 10 x+ y )=63 ( 10 x+ y )+ (10 y + x )=99 { (TMĐK) Vậy số đã cho là 18 3.Toán suất: I KIẾN THỨC CƠ BẢN * Các bước giải bài toán cách lập hệ PT: + Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn ( ghi rõ đơn vị ẩn) - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Dựa vào các kiện và điều kiện bài toán để lập hệ phương trình + Bước 2: Giải hệ phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết thích hợp và trả lời * Kiến thức liên quan: Để giải bài toán cách lập hệ phương trình, cần phải “Phiên dịch ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số”, tức là cần biểu thị các đại lượng bài toán theo ẩn và các số đã biết thiết lập hệ phương trình diễn đạt tương quan các đại lượng bài toán Để làm tốt công việc “phiên dịch” này, hãy chú ý đến các công thức có liên quan đến bài toán như: Củng giống nh bài toán chuyển động – Bài toán suất có ba đại lợng chính là: Số sản phẩm (p), suất (n) và thời gian (t) Trong đó: Tổng sản lượng = Năng suất x Thời gian = Năng suất x số người – Trong đại lợng đó, có đại lợng là đã biết, hai đại lợng còn lại là cha biết – Trong mæi bµi to¸n thêng cã hai mèi liªn hÖ chÝnh +) Mối liên hệ thứ giúp ta tính đợc các đại lợng cha biết +) Mối liên hệ còn lại giúp ta lập đợc phơng trình bài toán p p , t= p=n t , n= t n Dạng bài toán làm chung, làm riêng thường phải phân tích được: - Năng suất làm riêng phần công việc - Thiết lập phương trình làm riêng công việc - Thiết lập phương trình làm chung công việc Dạng bài toán suất liên quan đến phần trăm: x 100 x 100 x x% 100 và tăng vượt mức x% tức là : 100 100 100 (§èi víi bµi n¨ng suÊt chóng ta nªn gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh) II BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Hai đội công nhân cùng làm đoạn đường 24 ngày thì xong Mỗi ngày, phần việc đội A làm nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi làm mình thì đội làm xong đoạn đường đó bao lâu? Bảng phân tích Đội Thời gian Hoàn thành công việc (ngày) Đội A x Đội B y Hai đội 24 Năng suất ngày x y 24 Giải Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (27) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Gọi x (ngày) là số ngày để đội A làm mình hoàn thành toàn công việc, y (ngày) là số ngày để đội B làm mình hoàn thành toàn công việc (Điều kiện x, y > 24) Mỗi ngày: Đội A làm x (công việc) Đội B làm y (công việc) Do ngày, phần việc đội A làm nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình: 1 1,5 y x = 2.y x = (1) Hai đội làm chung 24 ngày thì xong công việc nên ngày đội cùng làm thì 24 (công việc), 1 y x + = 24 ta có phương trình: (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: = x y (II) 1 + = x y 24 Giải hệ phương trình ta : x = 40 và y = 60 (TMĐK) Vậy đội A làm mình 40 ngày thì hoàn thành toàn công việc Đội B làm mình 60 ngày thì hoàn thành toàn công việc Bài tập 3: Hai đội xây dựng làm chung công việc và dự định hoàn thành 12 ngày Nhưng làm chung ngày thì đội I điều động làm việc khác Tuy còn mình đội II làm việc, cải tiến cách làm suất đội hai tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần vịêc còn lại 3,5 ngày Hỏi suất ban đầu, đội làm mình thì phải bao nhiêu ngày xong công việc trên Lập bảng phân tích đại lượng: { Đội Thời gian HTCV Đội I x ( ngày) Đội II y (ngày) Hai đội 12 (ngày) Năng xuất ngày x (CV) y (CV) 12 (CV) Giải Gọi thời gian đội I làm mình (với suất ban đầu) để hoàn thành công việc là x (ngày), ( x > 12) Thời gian đội II làm mình (với suất ban đầu) để hoàn thành công việc là y (ngày), (y > 12) 1 Mỗi ngày đội I làm x (công việc), đội II làm y (công việc) Hai đội làm chung 12 ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình: 1 y x+ = 12 (1) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (28) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Hai đội làm ngày 12 ( công việc), cải tiến cách làm suất đội hai tăng gấp đôi 2 7 1 y y , nên họ đã làm xong phần vịêc còn lại 3,5 ngày, ta có phương trình: y y = 21 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 x y 12 1 y 21 x + 21 = 12 x = 28 x 28 Giải hệ phương trình, ta được: y 21 (TMĐK) Vậy: Với suất ban đầu, để hoàn thành công việc đội I làm 28 ngày, đội II làm 21 ngày Bài tập 1: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch 720 thóc Năm nay, đơn vị thứ làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái Do đó hai đơn vị thu hoạch 819 thóc Hỏi năm ngoái đơn vị thu hoạch bao nhiêu thóc? Bảng phân tích đại lượng Năm ngoái Năm Đơn vị x (tấn) 115x% (tấn) Đơn vị y (tấn) 112 y% (tấn) Giải Hai đơn vị 720 (tấn) 819 (tấn) Gọi x (tấn) là số thóc thu hoạch năm ngoái đơn vị 1, y (tấn) là số thóc thu hoạch năm ngoái đơn vị (x; y > 0) Năm ngoái hai đội thu hoạch 720 (tấn) ta có phương trình: x + y = 720 (1) Năm đội thu hoạch 115% (tấn) thóc, đội thu hoạch 112% (tấn) thóc, tổng đội thu hoạch 819(tấn) ta có phương trình: 115% x + 112% y = 819 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x y 720 x y 720 115 112 x y 819 100 100 115 x 112 y 81900 x=420 Giải hệ phương trình, ta được: (TMĐK) y=300 Vậy năm ngoái đội thu hoạch 420 (tấn) thóc Đội thu hoạch 300 (tấn) thóc Bài tập 4: Hai máy cày có công suất khác cùng làm việc, hai máy cày đã cày cánh đồng 15 Nếu máy thứ làm mình 12 giờ, máy thứ hai làm mình 20 thì hai cày 20% cánh đồng Hỏi máy làm việc riêng thì có thể cày xong cánh đồng? Lập bảng phân tích tóm tắt bài sau đó giải Thời gian Khối lượng công việc Khối lượng công việc Khối lượng công việc máy máy máy 1, Máy và máy cùng 15 15 làm 15 x y { Máy làm 12 Máy làm 20 12 x 20 y Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (29) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Giải Gọi thời gian máy thứ cày mình xong cánh đồng là x (h); thời gian máy thứ hai cày mình xong cánh đồng là y (h); (ĐK: x, y > 20) 15 Hai máy cày đã cùng cày cánh đồng 15 giờ, nên máy thứ cày là x (cánh đồng), 15 máy thứ hai cày y (cánh đồng) 15 15 nên ta có phương trình : x y (1) 20 12 Theo đầu bài ta có 12 máy thứ cày là x (cánh đồng), 20 máy thứ hai cày là y (cánh đồng) 20 12 nên ta có phương trình: x + y = (2) 15 15 x y 6 12 20 x y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình, ta có x = 300 ; y = 200 (TMĐK) Vậy máy cày thứ làm mình 300 ; máy cày thứ hai làm mình 200 4.Toán có nội dung hình học, hóa học : I KIẾN THỨC CƠ BẢN * Nhắc lại các bước giải bài toán cách lập phương trình lớp 8: + Bước 1: - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập các phương trình biểu thị tương quan các đại lượng + Bước 2: Giải phương trình + Bước 3: Chọn kết thích hợp và trả lời * Các kiến thức liên quan: * Công thức chu vi diện tích hình chữ nhật, hình tam giác Chu vi hình chữ nhật có các cạnh a, b : C = (a +b).2 - Diện tích HCN có cạnh a, b: S = a.b - Toán nồng độ %: Ta nói nồng độ dung dịch x% thì hiểu 100 gam dung dịch có x gam chất tan III BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập Một hình chữ nhật có chiều rộng chiều dài, giảm chiều dài 1m, tăng chiều rộng 1m thì diện tích hình chữ nhật là 200m2 Tính chu vi, diện tích hình chữ nhật ban đầu? Giải: Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m), thì chiều rộng là x (m), (Điều kiện x> 0) Vì hình chữ nhật có chiều rộng chiều dài, và giảm chiều dài 1m, tăng chiều rộng 1m thì diện tích hình chữ nhật là 200 m2 nên ta có phương trình: (x-1)( x+1) = 200 Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (30) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 67 Giải phương trình ta x1 = 21(TMĐK) x2 = - (loại) Vậy chiều dài hình chữ nhật là 21m, chiều rộng là 9m Chu vi hình chữ nhật ban đầu là (21+ 9) 2= 60m Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 21 = 189m2 Bài tập 2: Cho lượng dung dịch 10% muối Nếu pha thêm 200 gam nước thì dung dịch 6% Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho Giải Gọi số gam dung dịch đã cho là x (g), (Điều kiện x>0) Vậy số gam dung dịch sau đổ thêm 200 gam nước là x + 200 (g) Vì trước và sau đổ thêm nước lượng muối không đổi, đó ta có phương trình 6% (x + 200) = 10%x 6x + 1200 = 10x x = 300 (TMĐK) Vậy số dung dịch đã cho là 300gam 5.Toán làm chung làm riêng công việc: Toán làm chung, làm riêng: -Coi toàn công việc là (đv) - Giả sử công nhân A hoàn thành công việc x ⇒ công nhân A làm công việc x - Công nhân B hoàn thành công việc y ⇒ công nhân B làm công việc y -Cả hai người làm t thì hoàn thành công việc ⇒ hai người làm công việc t 1 + = ⇒ Ta có phương trình : x y t VÝ Dô2: Hai vßi níc cïng ch¶y ®Çy mét bÎ kh«ng cã níc 3h 45ph NÕu ch¶y riªng rÏ , mçi vßi ph¶i ch¶y bao l©u míi ®Çy bÓ ? biÕt r»ng vßi ch¶y sau l©u h¬n vßi tríc h Gi¶i Gäi thêi gian vßi ®Çu ch¶y ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ x ( x > , x tÝnh b»ng giê ) Gäi thêi gian vßiíau ch¶y ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ y ( y > , y tÝnh b»ng giê ) 1 vòi đầu chảy đợc ( bÓ ) x 1 vòi sau chảy đợc ( bÓ ) y 1 hai vòi chảy đợc + ( bÓ ) (1) x y Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (31) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 15 Hai vßi cïng ch¶y th× ®Çy bÓ 3h 45ph = h 15 Vậy hai vòi chảy đợc 1: = ( bÓ ) ( 2) 15 Tõ (1) vµ (2) ta cã ph¬ng tr×nh + = x y 15 Mặt kh¸c ta biÕt nÕu ch¶y mét m×nh th× vßi sau ch¶y l©u h¬n vßi tríc giê tøc lµ y - x = VËy ta cã hÖ ph¬ng tr×nh x 6 (a) x 6 y 10 1 x 2,5 4 x 14 x 60 0 2 x x 30 0 x 2,5 x y 15 (b ) y x y x 4 y x y x y 1,5 HÖ (a) tho¶ m·n ®k cña Èn HÖ (b) bÞ lo¹i v× x < VËy Vßi ®Çu ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ h Vßi sau ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ 10 h 6.Dạng toán qui đơn vị Bµi tËp : Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc NÕu lµm riªng rÏ , mçi ngêi nöa viÖc th× tæng sè giê lµm viÖc lµ 12h 30ph Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời làm việc đó Nh , làm việc riêng rẽ công viÖc mçi ngêi mÊt bao nhiªu thêi gian ? Gi¶i Gọi thời gian ngời thứ làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > ) Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng l;ẻ để xong nửa công việc là y ( y > ) Ta cã pt : x + y = 12 (1) thời gian ngời thứ làm riêng lẻ để xong công việc là 2x => ng ời thứ làm đợc c«ng 2x viÖc Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng lẻ để xong công việc là 2y => ngời thứ hai làm đợc c«ng 2y viÖc 1 1 hai ngời làm đợc c«ng viÖc nªn ta cã pt : + = (2) 2x 2y ¿ x + y=12 1 + = 2x y ⇔ ¿ x=5 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ pt : 15 y= ¿ 15 x= y =5 ¿{ ¿ VËy nÕu lµm viÖc riªng rÏ c¶ c«ng viÖc mét ngêi lµm 10 giê cßn ngêi lµm giê Bµi to¸n phÇn tr¨m (%) , d©n sè (§èi víi bµi to¸n phÇn tr¨m chóng ta nªn gi¶i b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh) 1) KiÕn thøc cÇn nhí Trong bài toán phần trăm thờng có thay đổi số lợng sản phẩm hai lần sản xuất, thay đổi này thờng đợc biểu diển dới dạng tăng hay giảm lợng % Lu ý: +) NÕu s¶n xuÊt thø hai t¨ng (vît møc) a% so víi lÇn s¶n xuÊt thø nhÊt th× sè s¶n Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (32) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 100+a phẩm lần hai ( P2 ) đợc tính theo công thức: P2= P1 100 +) NÕu s¶n xuÊt thø hai gi¶m (gi¶m møc) b% so víi lÇn s¶n xuÊt thø nhÊt th× sè s¶n 100− b phẩm lần hai ( P2 ) đợc tính theo công thức: P2= P1 100 2) C¸ch gi¶i: Bíc Gäi x vµ y lÇn lît lµ sè s¶n phÈm mµ Tæ I (Nhãm I, §éi I…) vµ Tæ II (Nhãm II, Đội II…) sản xuất đợc lần sản xuất thứ nhất, đặt điều kiện cho x, y Bớc Tính số sản phẩm mà Tổ I, Tổ II sản xuất đợc lần sản xuất thứ hai theo x và y Bớc Dựa vào hai mối liên hệ bài toán để lập hệ phơng trình Bớc Giải hệ phơng trình vừa lập, đối chiếu điều kiện kết luận Ví dụ Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy Tháng thứ hai tổ I vợt mức 15% và tổ II vợt mức 10% so với tháng thứ Vì hai tổ đã sản xuất đợc 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ? Gi¶i: Gọi x là số chi tiết máy mà tổ I sản xuất đợc tháng thứ (điều kiện: 0< x <900 ) Gọi y là số chi tiết máy mà tổ II sản xuất đợc tháng thứ (điều kiện: 0< y <900 ) 115 23 Khi đó: Trong tháng thứ hai tổ I sản xuất đợc x= x (chi tiÕt m¸y) 100 20 110 11 Trong tháng thứ hai tổ II sản xuất đợc y = y (chi tiÕt m¸y) 100 10 Vì tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy nên ta có phơng trình: (1) x+ y=900 Vì sang tháng thứ hai hai tổ sản xuất đợc 1010 chi tiết máy nên ta lại có phơng trình: 23 11 x+ y=1010 hay 23 x+22 y=20200 (2) 20 10 ¿ x + y =900 23 x+22 y=20200 ⇔ KÕt hîp (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ y=900 − x 23 x+22( 900 − x)=20200 ¿{ ¿ ⇔ y =900 − x 23 x+19800 −22 x=20200 (tho¶ m·n) ⇔ ¿ x=400 y=500 ¿{ Vậy tháng thứ tổ I sản xuất đợc 400 sản phẩm và tổ II sản xuất đợc 500 sản phẩm / C¸c bµi tËp cã néi dung kiÕn thøc lÝ Khối lượng = Khối lượng riêng x thể tích (m = D.V ) Nhiệt lương thu vào = nhiệt lượng toả ( ( ) ) CHUY£N §Ò IV : ĐỒ THỊ VÀ HÀM SỐ i.KiÕn thøc c¬ b¶n 1.Hµm sè a Kh¸i niÖm hµm sè - Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x cho với giá trị x ta luôn xác định đợc giá trị tơng ứng y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng x và x đợc gọi là biến số - Hµm sè cã thÓ cho bëi b¶ng hoÆc c«ng thøc b §å thÞ hµm sè - Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất điểm M mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ) c Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến * Cho hàm số y = f(x) xác định với giá trị x thuộc R Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R - Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (33) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 NÕu x1 < x2 mµ f(x1) > f(x2) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn R 1.1Hµm sè bËc nhÊt a Kh¸i niÖm hµm sè bËc nhÊt - Hàm số bậc là hàm số đợc cho công thức y = ax + b Trong đó a, b là các số cho trớc và a 0 b TÝnh chÊt Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R và có tính chất sau: - §ång biÕn trªn R a > - NghÞch biÕn trªn R a < c §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) là đờng thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b Song song với đờng thẳng y = ax, b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, b = * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bớc Cho x = thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Bớc Vẽ đờng thẳng qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0) Khi đó a a ' d // d ' b b ' + - d ' d ' A a a ' + a a ' d d ' b b ' + + d d ' a.a ' e Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b (a 0) Góc tạo đờng thẳng y = ax + b và trục Ox - Góc tạo đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo tia Ax và tia AT, đó A là giao điểm đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b - Hệ số a phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc đờng thẳng y = ax +b f Một số phơng trình đờng thẳng - §êng th¼ng ®i qua ®iÓm M0(x0;y0)cã hÖ sè gãc k: y = k(x – x0) + y0 - x y 1 - §êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(x0, 0) vµ B(0; y0) víi x0.y0 0 lµ x0 y0 1.2 Hµm sè bËc hai a §Þnh nghÜa - Hµm sè cã d¹ng y = ax2 (a 0) b TÝnh chÊt - Hµm sè y = ax2 (a 0) x¸c ®inh víi mäi gi¸ trÞ cña c thuéc R vµ: + Nếu a > thì hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > + Nếu a < thì hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > c §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0) - Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là Parabol qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp đồ thị + Nếu a < thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao đồ thị 2.KiÕn thøc bæ xung 2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó - Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính công thức - AB ( xB x A ) ( yB y A ) Tọa độ trung điểm M AB đợc tính công thức x xB y yB xM A ; yM A 2 Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (34) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 2.2 Quan hệ Parabol y = ax (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n Khi đó - Tọa độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm hệ phơng trình y ax y mx n - Hoành độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm phơng trình ax2= mx + n (*) - Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt 3) Khái niệm đồ thị hàm số §å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸ trÞ tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ Chú ý: Dạng đồ thị: a) Hµm h»ng Đồ thị hàm y = m (trong đó Đồ thị hàm x = m (trong đó x là biến, m ) là đờng thẳng y là biến, m ) là đờng thẳng lu«n song song víi trôc Ox lu«n song song víi trôc Oy b) c) Đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) là đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) luôn qua gốc toạ độ *) Cách vẽ: Lấy điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a) Sau đó vẽ đờng thẳng qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) Đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b 0 ) là đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các b ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm ( a , 0) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (35) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 *) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n +) Cách 1: Xác định hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau: Cho x = => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b) Vẽ đờng thẳng qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b 0 ) +) Cách 2: Tìm giao điểm đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể: Cho x = => y = b, ta đợc M(0 ; b) Oy b b a Cho y = => x = , ta đợc N( a ; 0) Ox Vẽ đờng thẳng qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b 0 ) Đồ thị hàm số y = ax2 ( a 0 ) là đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0) Nhận trục Oy làm trục đối xứng - §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > - §å thÞ ë phÝa díi trôc hoµnh nÕu a < d) y y O a>0 6) *) + + + + *) + x đờng thẳng Vị trí tơng đối hai x a<0 O Hai đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) và y = a’x + b’ ( a' 0 ) Trïng nÕu a = a’, b = b’ Song song víi nÕu a = a’, b b’ C¾t nÕu a a’ Vu«ng gãc nÕu a.a’ = -1 Hai đờng thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’ (a, b, c, a’, b’, c’ ≠ 0) a b c b' c' Trïng nÕu a ' + a b c b' c' Song song víi nÕu a ' + a b b' C¾t nÕu a ' 7) Góc tạo đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) và trục Ox Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (36) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Giả sử đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) cắt trục Ox điểm A Góc tạo đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) là góc tạo tia Ax và tia AT (với T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng) - Nếu a > thì góc tạo đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo công thức nh sau: tg a (cần chứng minh đợc dùng) - Nếu a < thì góc tạo đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo c«ng thøc nh sau: 1800 với tg a (cần chứng minh đợc dùng) y y T T (a < 0) (a > 0) A O II x Ph©n A chi tiÕt O d¹ng bµi tËp x D¹ng 1: NhËn biÕt hµm sè D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè, biÕn sè Dạng 3: Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( a 0 ) - Nếu a > thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên - NÕu a < th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn b) Hàm bậc hai ẩn số y = ax2 ( a 0 ) có thể nhận biết đồng biến và nghịch biÕn theo dÊu hiÖu sau: - Nếu a > thì hàm đồng biến x > 0, nghịch biến x < - Nếu a < thì hàm đồng biến x < 0, nghịch biến x > Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số §å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸ trÞ tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ Chú ý: Dạng đồ thị: a) Hµm h»ng Đồ thị hàm y = m (trong đó Đồ thị hàm x = m (trong đó x là biến, m ) là đờng thẳng y là biến, m ) là đờng thẳng lu«n song song víi trôc Ox lu«n song song víi trôc Oy Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (37) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 b) Đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) là đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) luôn qua gốc toạ độ *) Cách vẽ: Lấy điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a) Sau đó vẽ đờng thẳng qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) c) Đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b 0 ) là đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các b ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm ( a , 0) *) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n +) Cách 1: Xác định hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau: Cho x = => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b) Vẽ đờng thẳng qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b 0 ) +) Cách 2: Tìm giao điểm đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể: Cho x = => y = b, ta đợc M(0 ; b) Oy b b a , ta đợc N( a ; 0) Ox Cho y = => x = Vẽ đờng thẳng qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b 0 ) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (38) d) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Đồ thị hàm số y = ax2 ( a 0 ) là đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0) Nhận trục Oy làm trục đối xứng - §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > - §å thÞ ë phÝa díi trôc hoµnh nÕu a < y y O a>0 x x a<0 O D¹ng 5: §iÓm thuéc và không thuộc đồ thị hàm số *) Điểm thuộc đờng thẳng - §iÓm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a 0) vµ chØ yA = axA + b - §iÓm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a 0) vµ chØ yB= axB + b *) §iÓm thuéc Parabol : Cho (P) y = ax2 ( a 0 ) - §iÓm A(x0; y0) (P) y0 = ax02 - §iÓm B(x1; y1) (P) y1 ax12 Dạng 6: Xác định hàm số Dạng 7: Xác định điểm cố định hàm số *) Ph¬ng ph¸p: Để tìm điểm cố định mà đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ; a,b có chứa tham số) luôn qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ta lµm nh sau: Bớc 1: Gọi điểm cố định là A(x0; y0) mà đờng thẳng y = ax + b luôn qua với giá trị cña tham sè m Bớc 2: Thay x = x0; y = y0 vào hàm số đợc y0 = ax0 + b, ta biến đổi dạng <=> A( x0 ,y0 ).m B( x0 ,y0 ) 0 , đẳng thức này luôn đúng với giá trị tham số m hay ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm m Bớc 3: Đặt điều kiện để phơng trình có vô số nghiệm A(x ,y ) 0 A( x0 ,y0 ).m B( x ,y0 ) 0 B(x ,y ) 0 ) ( , cã v« sè nghiÖm Dạng 8: Tìm giao điểm hai đồ thị 8.1: Tìm giao điểm hai đờng thẳng Giao điểm hai đờng thẳng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 y a1x b1 y a x b2 Lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh 8.2: Tìm toạ độ giao điểm Parabol với đờng thẳng Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m x Thay giá trị x vừa tìm đợc vào hàm số y = ax2 y = mx + n ta tìm đợc y + Giá trị x tìm đợc là hoành độ giao điểm + Giá trị y tìm đợc là tung độ giao điểm 8.3: Tìm số giao điểm đờng thẳng và Parabol Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n (*) + Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm ( < 0) (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung + Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp ( = 0) (d) tiÕp xóc víi (P) + Ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ( > hoÆc ac < 0) (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt 8.4: Tìm giá trị tham số biết giao điểm hai đờng thẳng 8.5: Tìm giá trị tham số biết giao điểm hai đờng thẳng 8.6: Tìm giá trị tham số biết số giao điểm Parabol và đờng thẳng Cho (d) : y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’ 0)(a’, a, b cã chøa tham sè) Xét phơng trình hoành độ giao điểm a’x2 = ax + b (*) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (39) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 + (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm ( < 0) + (d) tiÕp xóc víi (P) Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp ( = 0) Nghiệm kép là hoành độ điểm tiếp xúc + (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiệm phân biệt ( > ac < 0) Hai nghiệm đó là hoành độ cña hai giao ®iÓm 8.7: Tìm giá trị tham số biết toạ độ giao điểm Parabol và đờng thẳng Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’ 0) (a’, a, b cã chøa tham sè) Tìm giá trị tham số để (d) và (P) cắt A(xA; yA) Cách làm: Thay tọa độ A vào hàm số (d); (P) để tìm giá trị tham số Dang 9: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm 9.1: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) đó xA xB và yA yB Ph¬ng ph¸p: Gọi phơng trình đờng thẳng (d) cần lập qua A và B có dạng y = ax + b (a 0) Do A (d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b (1) Do B (d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b (2) y A ax A b y axB b Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: B Giải hệ phơng trình này tìm đợc a, b và suy phơng trình đờng thẳng (d) cần lập 9.2: Lập phơng trình đờng thẳng qua M(x0 ; y0) và có hệ số góc là k Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k có dạng y = kx + b y kx0 b Bíc 2: §êng th¼ng nµy ®i qua M(x0 ; y0) => b y0 kx0 => kx y0 kx0 Bớc 3: Phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = 9.3: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A(m; yA) và B(m; yB) đó yA yB Ph¬ng ph¸p: Do A(m; yA) (d): x = m; Do B(m; yB) (d) : x = m; Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): x = m 9.4: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A(xA; n) và B(xB; n) đó xA Ph¬ng ph¸p: Do A(xA; n) (d): y = n; Do B(xB; n) (d) : y = n; Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): y = n xB y ax (a 0) 9.5: Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm A(xA ; yA) và tiếp xúc với đờng cong Bíc 1: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cÇn lËp lµ y = a’x + b’ y ax (a 0) Bớc 2: Đờng thẳng này tiếp xúc với đờng cong và phơng trình hoành độ giao điểm ax a ' x b' có nghiệm kép Ta cho mét hÖ thøc gi÷a a’ vµ b’ (1) 0 , t×m y a 'x A b' Bíc 3: §êng th¼ng ®i qua A(xA ; yA) => A (2) Bớc 4: Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình hai ẩn là a’ và b’ Giải hệ tìm đợc a’ và b’ => phơng trình cần lËp 9.6: Lập phơng trình đờng thẳng có hệ số góc là k và tiếp xúc với đờng cong Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng cần tìm giả sử là y = ax + b Vì đờng thẳng có hệ số góc là k nên a = k => y = kx + b y ax (a 0) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (40) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 y ax (a 0 ) Bớc 2: Đờng thẳng y = kx + b tiếp xúc với đờng cong ®iÓm 2 kx b ax ax kx b 0 cã nghiÖm kÐp <=> phơng trình hoành độ giao 0( ' 0) Cho => b = ? Bíc 3: Tr¶ lêi D¹ng 10: Ba ®iÓm th¼ng hµng 10.1: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm Bớc 2: Chứng minh điểm còn lại thuộc đờng thẳng vừa lập 10.2: Tìm giá trị tham số để ba điểm thẳng hàng Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm có toạ độ đơn giản Bớc 2: Thay toạ độ điểm còn lại vào phơng trình đờng thẳng vừa lập Giải phơng trình và tìm tham sè Dạng 11: Ba đờng thẳng đồng qui 11.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui Bớc 1: Tìm giao điểm hai đờng thẳng Bớc 2: Chứng minh giao điểm đó thuộc đờng thẳng còn lại 11.2: Tìm giá trị tham số để ba đờng thẳng đồng qui Bớc 1: Tìm giao điểm hai đờng thẳng đơn giản Bớc 2: Thay toạ độ giao điểm trên vào phơng trình đờng thẳng còn lại Giải phơng trình và tìm tham số Dạng 12: Vị trí tơng đối hai đồ thị hai hàm số 12.1: Vị trí tơng đối hai đồ thị hai hàm số bậc Cho hai đờng thẳng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 a1 a2 +) (d1) // (d2) a1 = a2 +) (d1) (d2) a1 = a2 vµ b1 = b2 +) (d1) (d2) a1.a2 = -1 (phải chứng minh đợc dùng) +) (d1) c¾t (d2) 12.2: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt điểm trên trục tung Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2 a1 a2 (1) b1 b2 (2) §Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung th× Gi¶i (1) Gi¶i (2) vµ chän nh÷ng gi¸ trÞ tho¶ m·n (1) 12.3: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt điểm trên trục hoành Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2 a1 a2 (1) b1 b2 (2) a a §Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh th× Lu ý: Chỉ nên áp dụng hai phơng trình chứa tham số Dạng 13: Xác định giá trị tham số m để đờng thẳng y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng c Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác thì ta có điều kiện cần là: a 0, b 0 => ®iÒu kiÖn cña m Bớc 2: Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần l ợt là giao điểm đồ thị với trục tung vµ trôc hoµnh b ;0 a ) A(0 ; b) vµ B( Bíc 3: XÐt tam gi¸c vu«ng OAB cã OA.OB b b c 2 a SOAB = => m = ? (kiÓm tra víi ®iÒu kiÖn ë bíc 1) Dạng 14: Xác định giá trị tham số m để đờng thẳng y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác cân C¸ch 1: Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác thì ta có điều kiện cần là: a 0, b 0 => ®iÒu kiÖn cña m Bớc 2: Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần l ợt là giao điểm đồ thị với trục tung vµ trôc hoµnh Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (41) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 A(0 ; b) vµ B( b ;0 a ) b b a Bíc 3: Tam gi¸c OAB c©n <=> OA = OB <=> (*) Giải phơng trình (*) ta tìm đợc giá trị m (kiểm tra điều kiện bớc1) Cách 2: Đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân và đ ờng thẳng y = ax + b song song với đờng thẳng y = x song song với đờng thẳng y = - x Dạng 15: Xác định giá trị tham số để giao điểm hai đờng thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’ nằm các góc phần t hệ trục tọa độ Bớc 1: Tìm tọa độ giao điểm A(x ; y) hai đờng thẳng, chính là nghiệm hệ phơng trình: ax by c a 'x b'y c ' Bíc 2: +) NÕu A n»m gãc phÇn t thø I th× ®iÒu kiÖn lµ: +) NÕu A n»m gãc phÇn t thø II th× ®iÒu kiÖn lµ: x y x y +) NÕu A n»m gãc phÇn t thø III th× ®iÒu kiÖn lµ: x y x y +) NÕu A n»m gãc phÇn t thø IV th× ®iÒu kiÖn lµ: Bíc 3: T×m m = ? D¹ng 16: Xác định giá trị tham số để đa thức f(x) = Ax + B đa thức Bíc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc <=> Bớc 2: Giải hệ này tìm đợc giá trị tham A 0 B 0 Chuyên đề v : bất đẳng thức và các bài toán tìm gtln, gtnn I Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức HS n¾m v÷ng: C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña B§T 1.1: a > b ⇔ a + c > b + c ¿ ac> bc , ∀ c >0 1.2: a > b ⇔ ac< bc , ∀ c <0 ¿{ ¿ 1.3: a > b, b> c ⇒ a > c 1.4: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d 1.5: a > b > 0, c > d > ⇒ ac > bd 1.6: a > b > ⇒ an > bn 1.7: a > b > ⇒ √a > √b Phơng pháp chứng minh trực tiếp dùng định nghĩa: * §N: A B A- B Nªn chøng minh A B ta: Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (42) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 - LËp hiÖu A-B -Chứng tỏ A-B 0 cách biến đổi A-B thành tích thừa số kh«ng ©m hoÆc tæng c¸c b×nh ph¬ng.v.v VÝ dô: Chøng minh r»ng 2(a2+b2) (a+b)2 a,b Gi¶i: XÐt hiÖu 2(a2+b2) -(a+b)2=a2-2ab+b2=(a-b)2 0 a,b Theo định nghĩa 2(a2+b2) (a+b)2 (đpcm) Bµi tËp vËn dông 1) CMR: (a+b)2 4ab 2) CMR: NÕu a b th× a3 b3 x2 2 x x 2 3) CMR: a +b +c ab+bc+ca 4) CMR: Phơng pháp biến đổi tơng đơng Để chứng minh A B, ta dùng tính chất BĐT, biến đổi tơng đơng BĐT cần chứng minh đến đẳng thức đã biết là đúng 1 x, y x y x y VÝ dô: CMR : 1 x+y 2 x + y 4 xy x - y 0 xy x y Gi¶i: x y x y 1 x, y §óng x, y, nªn x y x y (®pcm) Bµi tËp vËn dông x2 4x 0x x2 1 1) CMR: p2 q2 pq 3) CMR: NÕu p,q>0 th×: p q 2006 2007 2006 2007 2006 5) CMR: 2007 7) CMR: NÕu 2x+4y=1 th× : x2+y2 20 a2 a 2) CMR: a 4) CMR: 3x2+y2+z2 2x(y+z+1) x, y, z 6) CMR: NÕu x+4y=1 th× : x2+4y2 x2 x 8)Cho a0.Gi¶ sö x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 4.Phơng pháp sử dụng giả thiết BĐT đã biết 0 4 2a CMR: x1 x2 2 a b ab a, b 0 - Sö dông B§T C«sy: 2 ax by a b x y x, y - Sö dông B§T Bunhiac«psci: - C¸c hÖ qu¶ cña B§T C«sy: 1 x, y x y x y +) +) x, y xy x y 1 x, y, z x y z x y z +) Ví dụ: Cho cạnh ABC có độ dài lần lợt là a,b,c và chu vi là 2p=a+b+c Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (43) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 1 1 1 2 a b c CMR: p a p b p c 1 x, y Gi¶i: ta cã p-a, p-b, p-c >0 nªn ¸p dông B§T x y x y , ta cã: 1 1 1 ; ; p a p b c p b p c a p c p a b 1 1 1 2 4 dpcm a b c p a p b p c Ghi chú: Khi sử dụng BĐT nào để giải thì cần chứng minh trớc vận dụng Bµi tËp vËn dông: 1 6 Bµi 1:Cho sè d¬ng a,b tho¶ m·n a+b=1 CMR: ab a b (cã thÓ hái: T×m GTNN cña biÓu thøc A= 1 ab a b ) 1 2 4a 4b 8ab a b Bµi 2:Cho sè d¬ng a,b CMR: x2 y 2 x y Bµi 3: Cho x>y, xy=1 CMR: 1 x y T×m GTNN cña biÓu thøc A= x y Bµi 4:Cho x>0; y>0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn II T×m GTLN >NN cña mét biÓu thøc Ph¬ng ph¸p 1: Biến đổi biểu thức đã cho cho có chứa số hạng là lũy thừa bậc chẵn ( là biểu thức không âm) tùy theo dấu trớc biểu thức đó là dơng (hay âm) mà biểu thức đã cho là nhỏ (hay lớn nhất) Ch¼ng h¹n: −b a −b A=-(ax+b)2+M M th× maxA =M vµ chØ x= a VÝ dô1: T×m GTNN cña biÓu thøc A= m2-6m+11 Ta cã: A= m2-6m+11=(m-3)2+2 Do =(m-3)2 0 nªn A==(m-3)2+2 2 dÊu “=” x¶y m-3=0 m=3 VËy GTNN cña A lµ m=3 VÝ dô 2: T×m GTLN cña biÓu thøc B= -4x2-8x+5 Ta cã: B= -4x2-8x+5=-(4x2+8x-5)=-[(2x+1)2-6]=- (2x+1)2+6 6 A=(ax+b)2+m m th× minA=m vµ chØ x= VËy GTLN cña B lµ 2x+1=0 x=-1/2 Ph¬ng ph¸p 2:Ph¬ng ph¸p t×m miÒn gi¸ trÞ cña mét hµm sè VÝ dô: T×m GTLN & GTNN cña biÓu thøc: x +1 x + x+ x +1 , ta cÇn t×m GTNN>LNcña y? x + x+ y(x2+x+1)=x2+1 (y-1)x2+yx+y-1=0 (1) - §©y lµ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x +) y-1=0 y=1: (1) cã d¹ng:x=0 (kh«ng cã GTLN hay GTNN) +) y -1 0 y 1: §Ó tån t¹i GTNN & GTLN th× (1) ph¶i cã nghiÖm 0 2 y 2 = y2-4(y-1)2=(-y+2)(3y-2) 0 GTNN lµ GTLN lµ §Æt y= Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (44) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 y y Khi đó x= 2( y 1) 2(1 y ) với y=2/3 thì x=1 víi y=2 th× x=-1 VËy: GTNN lµ Khi x=1 ; GTLN lµ Khi x=-1 Phơng pháp 3: Phơng pháp dùng bất đẳng thức Côsi: a+b + víi a ≥ ; b ≥0 ta cã ≥ √ ab Dấu đẳng thức xảy và a=b 2 Hệ quả: + Nếu a+b =S thì √ ab ≤ S ⇔ ab ≤ S Vậy ab đạt GTLN là S ⇔a=b 4 + Nếu ab =P thì a+b √ P Vậy a+b đạt GTNN là √ P ⇔ a=b VÝ dô: Cho biÓu thøc P= √ ( x+3 )( − x ) Gi¶i : Tõ -3<x<5 P>0 §Æt E= P đạt GTNN thì E đạt GTLN với -3<x<5 Tìm x để P đạt GTNN.Tìm GTNN đó x 3 x x 3 x đạt GTLN 4 2 dÊu‘=’khi (x+3)=(5-x) x=1(TM) x 3 x XÐt (x+3)+(5-x)=8 (h»ng sè) 8 P 2 x 3 x GTLN P là và đạt đợc x=1 IIi bµi tËp ab Bµi 1: Cho hai sè d¬ng a, b CMR: a + b 1+ ab ¿ a+ b ≥2 √ ab HD gi¶i: Ta cã: 1+ab ≥ √ ab (B§T Cosi) ⇒ (a + b)(1 + ab) 4ab suy §PCM DÊu “=” x¶y ¿{ ¿ ¿ a=b vµ chØ 1=ab hay a = b = ¿{ ¿ Bµi 2: Cho sè a, b, c, d CMR: (a2 + b2)(c2 + d2) (ac + bd)2 (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) HD gi¶i: Khai triÓn hai vÕ vµ ®a vÒ: (bc - ad)2 (luôn đúng) suy BĐT cần chứng minh luôn đúng a c DÊu “=” x¶y vµ chØ bc = ad ⇔ = b d ¿ a+3 b=5 Bµi 3: T×m hai sè a, b biÕt r»ng: a2 +3 b2=5 ¿{ ¿ HD gi¶i: Ta cã: 25 = (2a + 3b) = ( √ √ 2a+ √3 √ a )2 [( √ )2 + ( √ )2].[( √ a )2 + ( √ a 2 ) ] = 5.(2a + 3a ) Suy 2a2 + 3a2 DÊu “=” x¶y vµ chØ √2 = √ hay a = b VËy a = b = √2 a √ b a a+k Bµi 4: Cho a, b, k lµ c¸c sè d¬ng, a < b CMR: (1) <¿ b b+k HD giải: Xét hiệu VT - VP ta đợc: k(a - b) < ⇔ a < b BĐT này đúng, (1) đúng Bµi 5: CMR: a2 + b2 + ab + 2(a + b) (1) Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (45) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 HD giải: Xét hiệu VT - VP ta đợc: (a - b)2 + (a - 2)2 + (b - 2)2 đúng DÊu “=” x¶y a = b = m m n n Bµi 6: CMR ∀ a > b > 0, m > n, ta cã: a m −bm > a n−bn (1) a +b a +b m m m n n n a +b 2b a +b 2b bn bm Chia VT cho bn, chia VP HD gi¶i: (1) ⇔ − > − > ⇔ am +b m am + bm a n+ bn an +bn an +bn am +b m cho bm n m a m a n Ta đợc an < a m ⇔ > b b b b Bµi 7: (TH 04 - 05) Cho < x < x +1 CMR: x(1 - x) (1) T×m GTNN cña A = x (1 − x) HD gi¶i (1) ⇔ x− ≥ luôn đúng x 2+ 1 2 Tõ x(1 - x) x suy A ⇒ x (1 - x) 4 x 4 A 16x + 16 x = 2.8 = 16 (B§T Cosi) DÊu “=” x¶y vµ chØ 16x = x x x , mµ ⇔ x= ± Cho < x < suy x = 2 Bµi (TH 09 - 10) Cho x, y, z tho¶ m·n y2 + yz + z2 = - x T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc: A = x + y + z HD gi¶i y2 + yz + z2 = - x ⇔ 2y2 + 2yz + 2z2 = - 3x2 ⇔ (x + y + z)2 + (x - y)2 + (x - z)2 = 2 DÊu “=” x¶y vµ chØ x = y = z ⇔ (x + y + z)2 = -[(x - y)2 + (x - z)2] + x+y+z ⇒ - √2 √ VËy GTLN lµ √ , GTNN lµ - √ x = y = z Bµi 9: (TH 05 - 06) Cho x - y CMR x2 + y2 + xy −1 ≥2 x− y 2 xy −1 HD gi¶i x2 + y2 + xy −1 = x2 - 2xy + y2 + 2(xy - 1) + xy −1 +2 = (x - y + ) +2 x− y x− y x− y 3(b 2+1) b Bµi 10: (TH 06 - 07) Cho b > CMR: + 2 2b b +1 2 3(b +1) b b b +1 5(b +1) HD gi¶i Ta cã: = + + + 2 b 4b b +1 b +1 b (b +1) b b b2 +1 b b2 +1 Ta cã (B§T Cosi) L¹i cã b2 + 2b ⇒ + ≥ =1 ≥ = 4b b2 +1 b b 2+ b 3(b +1) b DÊu “=” x¶y vµ chØ b = VËy 1+ = + 2 2b b +1 () () ( ) √ ( ( ) ) ( ) √ Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi (46)