CÂU 6 : Chứng minh định lí : Trong một đường tròn ,đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.. Tính độ dài dây AB.[r]
(1)HƯỚNG DẪN ÔN TẬP TOÁN LỚP ÁP DỤNG TỪ NĂM HỌC : 2011 - 2012 A PHẦN ĐẠI SỐ: I LÝ THUYẾT: HỌC KÌ I: Câu : Định nghĩa bậc hai số học số a 0 Áp dụng : Tính bậc hai : a, 64 b, 81 Câu 2: CM Định lý a thì c, a2 a 1 ; Áp dụng tính : 15 ; 1 Câu 3: Phát biểu quy tắc khai tích , quy tắc nhân các bậc hai 4,9.250 ; Áp dụng tính : 16.36 ; ; 125 Câu 4: Phát biểu quy tắc khai phương thương, quy tắc chia các thức bậc hai Áp dụng tính : 25 16 ; 121 100 ; 27 ; 32 Câu 5: Phát biểu định nghĩa hệ hai phương trình tương đương Áp dụng giải hệ Phương trình : x y 3 a, 2 x y 1 x y b, x y (1) (2) Câu 6: Cho hai đường thẳng y = a1x + b1 và y = a2x + b2 Khi nào thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau, trùng nhau, song song với Cho d : y = 2x + d’ : y = x – Xác định tọa độ giao điểm d1 và d2 Câu 7: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số bậc y = ax + b Áp dụng vẽ đồ thị hàm số y = 2x + Câu : 1/- Thưc phép tính : a, 32 72 b, 12 20 27 125 2/- Thực phép tính: 27 48 75 : b, a, Câu : Giải PT : a, 25 x 275 x 99 x 11 1 (2) b, Câu 10 : So sánh x x 0 a, và b, 2008 2010 và 2009 HỌC KÌ II: Câu 1: Nêu dạng tổng quát phương trình bậc hai ẩn.Phương trình bậc hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm? Câu 2: Nêu dạng tổng quát hệ hai phương trình bậc hai ẩn số Câu 3:Mỗi hệ hai phương trình bậc hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm? Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai: a/ Hai hệ phương trình bậc hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì luôn tương đương với b/ Hai hệ phương trình bậc hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với Câu 5: Viết dạng tổng quát phương trình bậc hai Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c phương trình 3x 3x 0 Câu 6: Cho phương trình ax2 + bx +c=0 (a 0) Viết công thức tính ngiệm phương trình trên Áp dụng : Giải phương trình x x 0 Câu 7: Phát biểu hệ thức Viet Áp dụng : 5x x 0 Tính x1+ x2 và x1 x2 Câu 8: Cho phương trình : ax bx c 0 (a 0) có hai nghiệm x1 và x2 Chứng S x1 x2 minh : P x1 x2 c a b a Câu 9: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm có tổng là S và có tích là P (không cần chứng minh ) Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: và 2 Câu 10: Nêu tính chất hàm số y ax (a 0) II CÁC BÀI TOÁN : HỌC KÌ I: Câu 1: Thực phép tính A 15 B 4 15 4 C 10 10 Câu 2: Rút gọn (3) A B 3 2 3 2 1 6 120 15 Câu 3: Cho A x x x x a, Tìm TXĐ A b, rút gọn A c, Tính giá trị nhỏ A với x tương ứng Câu 4: Cho A 9x2 4 x (2 x 1)( x 1) a, Tìm đk x để A có nghĩa b, Rút gọn A c, Tìm x để A > Câu 5: Cho x 2 A : x 1 x x x x x x a, Rút gọn A b, Với giá trị nào x thì A nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ đó a a B : a a a a a a Câu 6: Cho a, Rút gọn B b, Tìm a cho B < c, Tính giá trị B a = 19 Câu : Rút gọn A 182 33125 182 33125 Câu 8: Cho hàm số y = 2x + và y = x – a, Vẽ đồ thị (d) hàm số y = 2x + và (d’) y = x – b, Tìm tọa độ giao điểm A (d) và (d’) c, gọi giao điểm (d) và (d’) với oy là B và C Tính diện tích tam giác ABC Câu : Cho A (1, -1); B (2, 0); C (-4, -6) a, Viết phương trình đường thẳng AC b, CMR : A, B, C thẳng hàng Câu 10: Cho ba đường thẳng : d1 : y = x + d2 : y = 2x + d3 : y = 3x – CMR : d1, d2, d3 đồng quy HỌC KÌ II: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 3x y 1 a/ x y 3x y 1 b/ 2 x y (4) 4 x y 15 c/ 3x y 10 1 x y 8 3 e/ x y 3 x y 5 x y 18 d/ x y x y 1 6 f/ x y x y 5( x y ) 3 x h/ 2 x 3( x y ) 12 Bài 2: Câu 1: Với giá trị nào a và b thì hệ phương trình 2ax by 12 ax 2by Có nghiệm là ( x 2; y 1) Câu 2: Với giá trị nào m và n thì hệ phương trình mx y 1 x ny nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm Bài 3: mx y 5 Câu 1: Cho hệ phương trình: 4 x y 9 Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm Câu 2: Tìm giá trị a để hệ phương trình x y 5 ax y a a/ Có nghiệm b/ Vô nghiệm x y m Câu 3: Cho hệ phương trình 2 x y 8 Tìm giá trị m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm Bài 4: Câu 1: Xác định hàm số y ax b biết đồ thị nó qua hai điểm a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9) Câu 2: Xác định đường thẳng y ax b biết d0ồ thị nó qua điểm A(2 ; 1) và qua giao điểm B hai đường thẳng y x và y x 1 Bài 5: Cho hàm số y = -x2 có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d) a/ Xác định m biết (d) qua điểm A trên (P) có hoành độ b/ Trong trường hợp m = -3 Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm chúng c/ Với giá nào m thì (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P) Bài 6: Giải phương trình : (5) a / x 75 0 b / x 384 0 c / x( x 15) 3(27 x ) d / x(2 x 7) 12 4(3 x) e /(3 x 2) 2( x 1)2 2 Bài 7: Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn ) 1/ x 5 x 14 / x 10 x 80 0 / 25 x 20 x 0 Bài 8:Định m để phương trình : a / 3x 2x m 0 voâ nghieäm b/ 2x2 mx m 0 coù nghieäm phaân bieät c/ 25x +mx + = coù nghieäm keùp Bài 9:Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = (1) 1/ Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m 2/ Tìm m cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm Tính nghiệm còn lại 3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối 4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo 5/ Tìm m cho x1 - x2 = 2 6/ Tìm m để x1 x2 đạt gía trị lớn 7/ Tìm m để hai nghiệm dương 8/ Tìm hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc vào m 3 9/ Tính x1 x2 Bài 10: Giải phương trình : 15 2 x 1 2/ 1 x 1 x 3/ x x 0 1/ x / x x x 0 B PHẦN HÌNH HỌC: I LÝ THUYẾT: HỌC KÌ I: CÂU : Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, BC = a, AC = b, AH là đường / / / / cao, BH = c , HC = b Chứng minh : b ab ; c ac / / Áp dụng : Cho c = 6, b = Tính b , c CÂU : Phát biểu định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn Áp dụng : Tính tỉ số lượng giác góc 60 CÂU : Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, BC = a, AC = b, AH là đường cao (6) 1 2 2 (AH = h ) Chứng minh : h b c Áp dụng : Cho c = 5, b =12 Tính h CÂU : Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, BC = a, AC = b Viết công thức tính cạnh góc vuông b và c theo cạnh huyền a và tỉ số lượng giác các góc B và C Áp dụng : Cho B 63 , a 8 Tính b;c ? CÂU : Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b Viết công thức tính cạnh góc vuông b và c theo cạnh góc vuông và tỉ số lượng giác các góc B và C Áp dụng : Cho c = 5, b = 12 Tính các góc B và C CÂU : Chứng minh định lí : Trong đường tròn ,đường kính vuông góc với dây thì qua trung điểm dây Áp dụng : Cho đường tròn (O;6cm), dây AB cách tâm O khoảng 4,8cm Tính độ dài dây AB CÂU : Phát biểu và chứng minh định lí hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm CÂU : Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác ? Cách xác định đường tròn đó ? Áp dụng : Cho tam giác ABC vuông A, AB = 12cm, AC = 16cm.Gọi (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tính r ? CÂU : Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác ? Cách xác định đường tròn đó ? Áp dụng : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 12, AC = 35 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC? CÂU 10 : Hai đường tròn ngoài và hai đường tròn đựng có tính chất giống và khác nào ? / / Áp dụng : Cho hai đường tròn (O;4cm)và ( O ,1cm) , OO 7cm Vẽ tiếp tuyến B O ,C O / chung ngoài BC Tính độ dài BC HỌC KÌ II: Câu : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung căng hai dây nhau” Câu 2: Nêu cách tính số đo cung nhỏ đường tròn Áp dụng:Cho đường tròn (O), đường kính AB Vẽ dây AM cho AMO 40 Tính số đo cung BM ? Câu 3: Chứng minh đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song thì (Chú ý: Học sinh chứng minh trường hợp: hai dây, có dây qua tâm cuả đường tròn) Câu 4: Áp dụng các định lí mối quan hệ cung nhỏ và dây căng cung đó đường tròn để giải bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bán kính OM, ON cho: AOM 40 , BON 80 So sánh: AM, MN và NB ? Câu 5: Chứng minh định lí: “ Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180 ” (7) Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh trường hợp: có cạnh góc qua tâm ) Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung nửa số đo cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh trường hợp: Tâm O đường tròn nằm ngoài góc) Câu 8: Chứng minh định lí: “ Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn” Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung n hình quạt tròn bán kính R Áp dụng: Cho đường tròn ( O; R = cm) Tính độ dài cung AB có số đo 60 ? Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Chứng minh: AB + CD = AD + BC III CÁC BÀI TOÁN HỌC KÌ I: BÀI : Cho hình thang ABCD vuông A có cạnh đáy AB = 6, cạnh bên AD = và hai đường chéo vuông góc với Tính độ dài các cạnh DC, BC và đường chéo BD BÀI : Cho tam giác ABC có C 30 , B 45 , BC 15 Tính độ dài các cạnh AB,AC? O Cho hai đường tròn (O) và / BÀI : cắt A và B Vẽ các cát tuyến chung CAD O Chứng / và EBF hai đường tròn cho CD // EF, C và E thuộc (O), D và F thuộc minh CDFE là hình bình hành O BÀI : Cho hai đường tròn (O) và cắt A và B Qua A vẽ đường thẳng vuông O D Dựng qua A cát tuyến EAF E O , F O góc với AB cắt (O)tại C và cắt / / / a/ Chứng minh CEB DFB 90 / / b/ Chứng minh OO // CD Tính CD biết : AB = 6cm, OA = 8cm, O A 6cm c/ Tìm vị trí cát tuyến EAF cho AE = AF BÀI : Cho tam giác ABC, O là trung điểm BC.Trên các cạnh AB,AC lấy các điểm di động D và E cho DOE 60 a/ Chứng minh : tích BD.CE không đổi b/ Chứng minh BOD OED , từ đó suy tia DO là tia phân giác góc BDE c/ Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường tròn này luôn tiếp xúc với DE HỌC KÌ II: Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là N Đường thẳng d vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến đường tròn (O) N điểm P Chứng minh : a/ Tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn b/ Tứ giác CMPO là hình bình hành c/ Tích CM.CN không đổi Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, điểm A trên nửa đường tròn cho BA = R Lấy M là điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC I Tia BA cắt tia CM D (8) a/ Chứng minh: DI BC b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn c/ Giả sử AMB 45 Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là điểm trên đường tròn cho CA > CB Vẽ hình vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối tia BC Đường chéo CE cắt đường tròn điểm F ( khác điểm C) a/ Chứng minh : OF AB b/ Chứng minh : Tam giác BDF cân F c/ CF cắt tiếp tuyến Ax đường tròn (O) điểm M Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng hàng Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M cạnh BC ) Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB P và AC Q a/ Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng b/ Chứng minh: MA PQ c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp đường tròn Bài 5: Cho đường tròn tâm O có đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây AE qua trung điểm P OC, ED cắt CB Q a/ Chứng minh tứ giác CPQE nôi tiếp đường tròn b/ Chứng minh : PQ // AB c/ So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC C HƯỚNG DẪN TRẢ LỜI: I PHẦN ĐẠI SỐ: LÝ THUYẾT: a HỌC KÌ I: Câu : - Với số dương a, a gọi là bậc hai số học a Số gọi là bậc hai số học Căn bậc hai số học : a, 64 là 64 8 b, 81 là 81 9 c, là Câu : Nếu a 0 => | a | = a => | a |2 = a2 Nếu a < => | a | = -a => | a |2 = (-a)2 = a2 a2 a => Áp dụng : 152 = | 15 | = 15 1 = 1 3 3 1 21 = Câu 3: SGK/ trang 13 Áp dung : 16.36 16 36 4.6 24 (9) 4,9.250 49.25 49 25 7.5 35 2.8 16 4 125 125.5 625 25 Câu : SGK/ trang 173 Áp dung : 25 25 16 16 121 121 11 100 100 10 27 27 3 3 32 32 2 8 Câu : 5 => y = => (x, y) = ( , ) a, <=> 3x = => x = b, <=> y = -2x – vào (2) ta x + 3( 2x + 1) = -4 7x + = -4 7x = -7 => x = -1 => y = -2(-1)-1 = (x, y) = (- 1, 1) Câu : d1 : y = a1x + b1 d2 : y = a2x2 + b2 a1 a2 d1 cắt d2 <=> d1 d2 <=> a1 = a2 và b1 = b2 d1 // d2 <=> a1 = a2 và b1 b2 Vì a1 a2 => (d) và (d’) cắt Xét Pt hoành độ : 2x + = x – => x = -3 => y = -5 Tọa độ giao điểm A (d) và (d’) là A (-3, -5) b ,0 Câu 7: Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng qua A (0, b); B ( a ) nên vẽ đồ thị hàm số y = ax + b ta làm sau : + Xác định tọa độ điểm A (0, b) ( Cho x = => y = b) b b ,0 + Xác định tọa độ điểm B ( a ) ( Cho y = => x = a ) + Nối AB Áp dụng : + Xác định tọa độ A : Cho x = => y = đồ thị qua A (0, 1) 1 => đồ thị qua B ( , 0) + Cho y = => x = Vậy đồ thị hàm số y = 2x + là đường thẳng qua hai điểm A, B (10) Câu : 1/- Thưc phép tính : a, 32 72 = 2 12 = b, 12 20 27 125 = 12 5 3 2/- Thực phép tính: 21 27 48 75 : 12 25 : 21 : a, = = 1 2 b, Câu 9: Giải PT : a, 25 x 275 x 99 <=> x 11 x 11 x 11 1 x 11 1 x 11 1 ( ĐK x 11 ) <=> x – 11 = => x = 12 (Thỏa) S 12 b, 4 x x 0 1 x 3 x 3 31 2 (11) x x 3 3 1 x 2 x 1 Câu 10 : So sánh a,Giả sử : 1 5 0 5 vô lý Vậy b, Giả sử 2008 2010 2 2009 2008 2010 2008.2010 4.2009 2008.2010 2009 2009 1 2009 1 2009 20092 2009 20092 20092 vô lý Vậy 2008 2010 2009 b HỌC KÌ II: Câu 1: Phương trình bậc hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax by c Trong đó a,b và c là các số đã biết ( a 0 b 0 ) Phương trình bậc hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm Câu 2: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng ax by c a ' x b ' y c ' Câu 3: Mỗi hệ hai phương trình bậc hai ẩn có thể vô nghiệm, có nghiệm vô số nghiệm Câu 4: Hai hệ phương trình gọi là tương đương với chúng có cùng tập nghiệm a/ Hai hệ phương trình bậc hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì luôn tương đương với ( sai ) b/ Hai hệ phương trình bậc hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau.( Đúng ) Câu 5: SGK trang 40 Áp dụng : x 3x 0(a 3; b 3; c 1) Câu 6/ :SGK trang44 x2 x 0 ( 3)2 4.1.2 Áp dụng : Vậy phương trình vô nghiệm (12) Câu : SGK trang 51 Áp dụng : x x 0 a = -5<0 ; c = 3>0 a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt b a c x1 x2 a x1 x2 Câu : ìï ïï x = - b + D ïï 2a í ïï - b- D ïï x2 = ïî 2a - b + D - b - D - 2b a Þ x1 + x2 = + = = 2a 2a 2a b - b + D - b - D (- b) - D b - b2 + 4ac c x1 x2 = = = = 2a 2a 4a 4a2 a Câu :Phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm là S và tích hai nghịêm là P có dạng : X2 - SX + P = Áp dụng : S = + +2 - =4 P = (2 + 2).(2 - 2) = - = Vaäy 2+ vaø 2- laø hai nghieäm cuûa phöông trình X2 - 4X + = Câu 10 :SGK trang 29 CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ: a HỌC KÌ I: Câu 1: Thực phép tính A 15 5 15 5 B 4 4 82 8 1 2 Do C > (13) C 8 16 10 C 8 C 8 51 C 8 6 1 C Câu 2: Rút gọn 1 15 6 120 1 A (11 30) 30 30 11 30 30 11 30 2 2 32 2 B 3 2 1 A 2 2 2 3 21 2 3 24 2 3 2 2 3 Câu 3: a, TXĐ x R, x 4 b, A x 2 A x 2 x x Khi x 2 x 8 A x x 4 x x 8 A x x 2 x Tóm lại : A= c, nếu x > A x 2 x 4 A x 2 2 x x 22 A 4 x 8 Câu 4: x 4 (14) A 3x x 3x 3x x 1 x 1 x 1 x 1 3x x x 3x 2 x 2 a, A có nghĩa <=> b, A 3x 2 x 1 x 3 x x x 3 x x 2 x x c, A > <=> x x Câu 5: a, x1 A x x 1 x : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x A x 1 x 1 x 1 x 1 x1 x 1 ĐK : x 0, x 1 b, x 1 1 x 1 A x 1 x 0 x 1 2 x 1 A 1 A x 0 Câu 6: a 1 a a B : a a 1 a a 1 a, a a a 1 a a a a 1 a1 a1 Đk : a 0 a 1 2 (15) a a 1 1 a1 b, B < <=> a a 1 1 a1 a2 0 a1 a a2 a a1 a a a 19 (4 3)2 c, B 21 3 21 39 3 13 6 3 13 Vậy B = Câu 7: Đặt 182 33125 a 182 33125 b => A = a + b => A3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) A3 = 364 + 3A 1822 33125 => A3 = 364 + 3A => A3 + 3A – 364 = => (A - 7)(A2 + 7A + 52) = => A = a, thị : Câu 8: Vẽ đồ (16) b, Xét PT hoành độ : 2x + = x – => x = -4 => y = -7 A (-4, -7) c, 1 S ABC BC AH 4.4 2 = ĐVDT Câu 9: a, PTĐT AC có dạng y = ax + b Qua A => -1 = a + b Qua C => -6 = -4a + b => 5a = => a = => b = -2 PTĐT AC có dạng y = x – b, Xét tọa độ B (2, 0) VP = – = = VT => B (2, 0) AC Vậy A, B, C thẳng hàng Câu 10: Xét PT hoành dộ (d2) và (d3) 3x – = 2x + x = => y = 11 Tọa độ A(4, 11) là tọa độ giao điểm (d2) và (d3) Xét A với (d1) xem A có thuộc d1 hay không? VP: + = 11 = VT => Tức là qua A d1 Vậy d1, d2, d3 đồng quy A b HỌC KÌ II: Bài 1: 3x y 1 3 x y 1 x y 2 x y a/ x x y y 5 x x y (17) 3x y 1 3 x y 1 7 x 21 2 x y 10 x y 20 2 x y x x 3 2.( 3) y y 2 b/ 4 x y 15 3x y 10 c/ x 0 3 x y 20 d/ x y 30 9 x y 30 x 0 3.0 y 10 x 0 y 5 3 x y 5 9 x y 15 11 x 33 x y 18 2 x y 18 2 x y 18 x 3 2.3 y 18 1 x y 8 3 x y x 3 y 4 x 9 y 16 e/ Cộng vế hai phương trình ta được: 1 x 2 x 1 Thay x 2 vào x y được: 1 y 8 y y Vậy nghiệm hệ phương trình là (2 ; 8) x y x y 1 6 x y x y f/ Đặt a 1 ;b 2x y x y x y y x Điều kiện 2a b 1 Ta có hệ phương trình 5a b 6 a 1 Giải ta b 1 (18) x y 1 2 x y 1 1 x y 1 Giải hệ phương trình x y x y Vậy nghiệm hệ phương trình x y ( Thỏa điều kiện ) 5( x y ) 3 x 5 x 10 y 3 x 2 x 3x 15 y 12 h/ 2 x 3( x y ) 12 2 x 10 y 2 x 10 y x 15 y 16 x 30 y 32 33 y x 15 y 16 40 40 y 33 x 29 29 33 ( x; y ) ( ; ) 40 Vậy Bài 2: 2ax by 12 a/ ax 2by Do ( x 2; y 1) là nghiệm hệ phương trình 4a b 12 4a b 12 5a 9 a b Nên 2a 2b a b 9 9 a a b b 24 mx y 1 b/ x ny Do ( x 2; y 3) là nghiệm hệ phương trình 2m 3.3 1 2m 1 3n Nên 3n 2m m 4 3n 0 n 0 Bài 3: mx y 5 Câu 1: 4 x y 9 Hệ phương trình có nghiệm m 3.4 m 6 m 2 (19) x y 5 ax y a Câu 2: a/ Hệ phương trình có nghiệm 3.1 a a a 2 b/ Hệ phương trình vô nghiệm a a a x y m Câu 3: 2 x y 8 3 Ta có m m 4 Nếu thì hệ phương trình có vô số nghiệm m m 4 Nếu thì hệ phương trình vô nghiệm Bài 4: Câu 1: a/ Vì đồ thị hàm số qua A(2; -4) nên 2a b 4 Và qua B(-5 ; 4) nên 5a b 4 2a b 4 a b Ta có hệ phương trình a 0 7a 0 2a b 4 b 4 Vậy y 4 b/ Vì đường thẳng y ax b qua A(3 ; -1) nên 3a b Và qua B(-2 ; 9) nên 2a b 9 3a b a b Ta có hệ phương trình 5a 10 2a b 9 a a 2( 2) b 9 b 5 Vậy y x Câu 2: Xác định giao điểm B hai đường thẳng : y x và y x Phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng: x x x 1 y Vậy B(1 ; -1) Xác định tiếp đường thẳng qua A(2 ; 1) và B(1 ; -1) y 2 x Bài : a/ (20) ì ïíï y A = x A Û A(1; - 1) ïîï x A = A Î (d ) Û - =- 2.1 + m Û m = ìïï A Î ( P ) Û í ïïî x A = b/ Bảng giá trị y = -x2 X y=-x2 -3 -9 X y=-2x-3 -3 -2 -1 -4 -1 -1 -4 -9 -3/2 Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P) là : - x =- x - éx =- Û x2 - 2x - = Û ê ê ëx = Tọa độ giao điểm (P) và (d) là B(-1 ;-1) ; C(3 ;-9) y= -2x - B(-1;-1) y = -x -9 C(3;-9) c/ Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P) - x =- x + m Û x - m + m = (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Û D ' = 1- m > Û m <1 Với m<1 thì (d) cắt (P) hai điểm phân biệt d/ (d) tiếp xúc với (P) Û D ' = Û 1- m = Û m = (d) không cắt (P) Û D ' < Û 1- m < Û m > Bài : 1/ (21) x + 75 = x + 75 > " x Nên phương trình vô nghiệm 2/ 2 x - 384 = Û x = 1152 Û x = 576 Û é x1 = 24 ê ê ë x2 =- 24 3/ x ( x - 15) = 3(27 - x ) éx = Û x = 81 Û ê êx2 =- ë 4/ x (2 x - 7) - 12 =- 4(3 - x ) Û x - x - 12 =- 12 + x Û x - 11x = Û x ( x - 11) = éx = Û ê1 êx2 = 11 ë 5/ (3 x - 2)2 - 2( x - 1)2 = Û x - 12 x + - x + x - = Û 7x - 8x = Û x (7 x - 8) = éx1 = ê Û ê êx2 = ê ë Bài : 1/ x 5 x 14 Û x + x - 14 = 0(a = 1; b = 5; c =- 14) D = 25 + 56 = 81 > x1 = 2; x2 =- 2/ 3x 10 x 80 0 (a 3; b 10; c 80) D ' = 25-240 = -215<0 Phương trình vô nghiệm 3/ 25 x 20 x 0(a 25; b 20; c 4) D ' =(-10)2 -25.4=0 Phương trình có nghệm kép : Bài x1 x2 b ' 10 a 25 a/ 3x x m 0(a 3; b ' 1; c m) D ' = (-1)2 -3m = 1-3m Để phương trình vô nghiệm D ' <0 suy 1-3m<0 hay m (22) m thì phương trình đã cho vô nghiệm Với b/ 2x2 + mx - m2 = (a = 2;b = m; c =- m2) D = m2 -4.2(-m2) D = m2 +8 m2 D =9 m2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt Û D > Û 9m > Û m ¹ c/ 25 x2 + mx +2 = (a = 25;b = m;c = 2) D = m2 -4.25.2 D = m2 -200 é m = 10 Û m - 200 = Û ê ê ê ëm2 =- 10 Để phương trình có nghiệm kép thì D =0 Bài 9: 1/ x2 + (m+1)x + m = (a = 1;b = m+1;c = m) D =(m+1)2 -4.1.m D = m2 +2m +1-4m = m2 - 2m +1 = (m+1)2 ³ với m 2/Thay x = -2 vào (1) (-2)2 +(m+1)(-2) + m = 4-2m-2+ m = 2-m = Û m = c x1 x2 = = m a - 2.x2 = Û x2 =- 3/ Phương trình có hai nghiệm đối Û x1 +x2 =0 Û -(m+1) = Û m = -1 4/Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo Û x1 x2=1 Û m = 5/Theo hệ thức Vi-et ìïï x1 + x =- (m +1)(1) í ïïî x1 .x = m(2) x1 - x = Û (x1 - x )2 = Û (x1 + x )2 - 4x1x = Û m + 2m +1- 4m = Û m - 2m - = ém =- Û ê ê ëm = Vậy với m = -1 m = thì x1 x2 2 6/ x12 + x2 = ( x1 + x2 )2 - x1.x2 Û x12 + x2 = (m +1)2 - 2m Û x12 + x2 = m +1 ³ GTNNlà Û m = 7/ (23) ìï D ³ ïï í P >0 Û ïï ï S >0 Phương trình có hai nghiệm dương Û îï ìï (m - 1)2 ³ ï ïíï m>0 Û ïï ïïî - (m +1) > ìï m ³ ïï í m >0 ïï ïîï m <- Vậy không có giá trị nào m để phương trình có hai nghiệm dương 8/Ta có ïìï x1 + x2 =- (m +1) Û í ïïî x1 x2 = m ïìï x1 + x2 =- m - í ïïî x1 x2 = m Þ x1 + x2 + x1 x2 =- Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào m 9/Ta có x13 + x2 = ( x1 + x2 )( x12 - x1 x2 + x2 ) Û x13 + x2 = (- m - 1)(m +1- m) Û x13 + x2 =- (m +1)(m - m +1) Û x13 + x2 =- (m3 +1) Bài 10: 1/ x- 15 = 2( x ¹ 0) x éx =- x - 15 = x Û x - x - 15 = Û ê ê ëx = (Thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là x1 =-3 và x2 = 2/ 1 = 1( x ¹ ±1) x +1 x - Þ x - 1- ( x +1) = x - Û x - 1- x - = x - Û x =- Vậy phương trình vô nghiệm 3/ 2x4 - 7x2 – = t = x2 ³ Đặt .Ta có phương trình : (24) 2t - 7t - = D = 49 - 4.2(- 4) D = 49 + 32 D = 81 +9 t1 = = 4(tmñk ) 7- - - t2 = = = (ktñk ) 4 éx = Þ x2 = Û ê êx2 =- ë Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = và x2 = -2 4/ x - x - x +1 = Û x ( x - 1) - ( x - 1) = Û ( x - 1)( x - 1) = éx - = Û ê3 Û êx - = ë éx = ê Û êx = ë éx =1 ê êx =- ê êx =1 ë Vậy nghiệm phương trình là x1 1; x2 II PHẦN HÌNH HỌC: LÝ THUYẾT: a HỌC KÌ I: / / CÂU : Chứng minh b ab ; c ac (SGK/tr.65) 2 Áp dụng : a 10 b ab / b / b 82 6, a 10 c ac / c / c 62 3, a 10 ; CÂU : Định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn (SGK/tr.72) 3 ;cos 600 ; tg 600 3;cot g 600 2 1 2 2 CÂU : Chứng minh : h b c (SGK/tr.67) 1 1 169 60 2 h 4 13 13 Áp dụng : C1: h b c 25 144 3600 bc 5.12 60 ah bc h a 13 13 C2: b a sin B a cos C c a sin C a.cos B Câu : sin 600 c a cos 630 8.cos 630 3, 632 b=asin B =8.sin 63 7,128 b ctgB c.cot gC CÂU 5: c b.tgC b.cot gB a 52 122 169 a 13 (25) 12 67 22 / tgB B 22038/ C ; CÂU : Chứng minh định lí : (SGK/tr.103) HB OB OH 62 4,82 3, Kẻ OH vuông góc AB AB=2HB=2.3,6=7,2cm CÂU 7: Chứng minh định lí (SGK/tr.114) CÂU : -Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác (SGK/tr.114) Cách xác định : +Tâm là giao điểm các đường phân giác các góc tam giác + Bán kính là khoảng cách từ tâm đến cạnh tam giác Áp dụng : BC 122 162 400 20 cm ; r AB AC BC 12 16 20 4 cm 2 CÂU 9: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ? –Đường tròn qua ba đỉnh tam giác Khi đó tam giác nội tiếp đường tròn Cách xác định : + Tâm là giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tam giác +Bán kính : Khoảng cách từ tâm đến đỉnh tam giác 2 BC 12 35 1369 37 R BC 37 18,5 2 CÂU 10 : Hai đường tròn ngoài và hai đường tròn đựng có tính chất : +Giống : Không có điểm chung +Khác : -Hai đường tròn đựng thì không có tiếp tuyến chung -Hai đường tròn ngoài có hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung Kẻ O / H OB H OB O / H OO / OH 40 O / H 2 10 cm b HỌC KÌ II: Câu 1: B Cho đường tròn (O) C A GT AB CD O D KL AB = CD Ta có: AB CD ( GT) AOB COD ( góc tâm chắn cung thì nhau) Nên : Câu 2: AOB COD ( c.g.c) AB = CD (đpcm) (26) Cho đường tròn (O) AB: Đường kính M GT Dây AM cho: AMO 40 B A O KL Tính BOM ? Ta có: OA = OB ( bán kính) AOM cân O 0 BOM = AMO 2.40 = 80 ( định lí góc ngoài tam giác AOM) Câu 3: D C GT B A O KL Cho đường tròn (O) CD: dây cung AB: đường kính AB // CD AC BD Ta có: AOC OCD ( So le trong) Mà BOD ODC OCD ODC ( So le trong) ( OCD cân O) AOC BOD AC BD ( góc tâm thì chắn cung nhau) Câu 4: N M A B GT O Cho đường tròn (O) M,N (O): AOM 40 , BON 80 AOM 400 , BON 800 KL So sánh: AM, MN, BN? Ta có: Câu 5: MON 1800 AOM BON MON 1800 400 800 AOM MON NOB AM MN NB ( vì AOB 180 ) ( góc tâm nhỏ thì chắn cung nhỏ hơn) AM < MN < NB ( cung nhỏ thì căng dây nhỏ hơn) (27) B A Cho đường tròn (O) ABCD nội tiếp (O) GT O D A C 1800 D 1800 B C KL A BCD Ta có: sđ ( sđ góc nội tiếp nửa sđ cung bị chắn) BAD C sđ ( sđ góc nội tiếp nửa sđ cung bị chắn) A C 1 sđ( BCD BAD ) = 3600 = 1800 D 1800 D 3600 1800 1800 B B Tương tự: ( tứ giác) Câu 6: Học sinh xem SGK trang 74 Câu 7: Học sinh xem SGK trang 78 Câu 8: : tính chất tổng góc Cho đường tròn (O) D m GT A BEC : góc có đỉnh bên (O) E O B KL C BEC = sđ( BnC AmD ) n Xét tam giác BDE, ta có: D BEC = B ( định lí góc ngoài tam giác BDE) 1 B sđ AmD ( sđ góc nội tiếp nửa sđ cung bị chắn) Mà 1 D sđ BnC ( sđ góc nội tiếp nửa sđ cung bị chắn) BEC Nên: = sđ( AmD + BnC ) Câu 9: Cho đường tròn (O; R = 3cm) B GT A Sđ AB 60 O KL Ta có: Với : Tính độ dài AB Rn l AB 180 R = 3cm và n = sđ AB 60 ( giả thiết) (28) 3.60 l AB (cm) 180 Vậy: Câu 10: Cho đường tròn (O) ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) B M A GT N Q O D KL C P AB+CD = AD+BC Ta có: AM = AQ ( Tính chất tiếp tuyến giao nhau) BM = BN (…nt…) DP = DQ (…nt…) CP = CN (…nt…) Cộng vế, ta có: AM+BM+DP+CP = AQ+BN+DQ+CN Hay: AB + CD = AD + BC ( đpcm) CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC: a HỌC KÌ I: E AC BD BÀI : Gọi BD=? BC=? BD AD AB 52 BD 2 13 BE AB 18 BD 13 DE 13 4.6 12 AD 13 ; AC AE 13 13 BC CE BE 61 64 DC AC.CE DC AE ; 16 13 CE AC AE 39 DC=? BÀI : Kẻ BK vuông góc AC AB=? BK=BC.sin 30 =7,5 ; KBA 600 450 150 BK 7,5 7, 76 0 AB= cos15 cos15 0 AC=? KA=KB tg15 7,5.tg15 2, 01 0 KC=BCcos 30 15.cos 30 12,99 / AC KC KA 10,98 / BÀI : Kẻ OI CD, O K CD, OG EF , O H EF / Do CD // EF nên ba điểm I,O,G thẳng hàng, K, O ,H thẳng hàng -IKHG là hình chữ nhật IK=GH (1) AC AD ; AK 2 -Do tính chất đường kính vuông góc với dây : AC AD CD EF IK AI AK GH 2 (2) Tương tự : -(1),(2),(3) CD = EF AI -Tứ giác CDFE có CD//EF và CD = EF nên nó là hình bình hành BÀI : (3) (29) a/ CEB DFB 90 CAB 900 BC là đường kính (O) : OO / // CD : CEB 900 Chứng minh tương tự: DFB 900 b/ OO / // CD ( vì cùng vuông góc AB) CD=? OH OA2 AI 55 O / H O / A2 AI 3 ; OO / OH O / H 55 3 / / - OO là đường trung bình tam giác BCD CD=2 OO =2 c/ Vị trí EAF cho AE=AF: Giả sử dựng cát tuyến EAF cho AE=AF 55 3 cm / -Kẻ OM EF , O N EF 1 AE , AN AF , AE AF AM AN AM= / Gọi I là trung điểm OO / / -AI là đường trung bình hình thang OMN O IA // OM // O N mà OM EF nên IA EF BÀI : a/ BD.CE không đổi: B DOC D ( tính chất góc ngoài tam giác) O1 D1 BD BO BC BOD CEO BD.CE BO.CO CO CE (không đổi) b/ BOD OED : BD CO OB BOD CEO OD EO OE Vậy BOD OED Suy DO là tia phân giác góc BDE c/ Giả sử đường tròn (O) tiếp xúc AB H vẽ OK DE BDE OH OK O nằm trên phân giác Đường tròn (O;OH) tiếp xúc DE K PHỤ LỤC : HÌNH VẼ CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Ở HỌC KÌ I ( BÀI ĐẾN BÀI 5) C D E A B (30) K A B C C I A K E O D O/ G B H F E M A C D N F O I jH O/ B A D K E H B O b HỌC KÌ II: Bài 1: C (31) C d B A O x Cho đường tròn(O;R) AB, CD: đường kính, AB CD O M AB, CM cắt (O) N Đường thẳng d AB M Tiếp tuyến (O) N cắt d P GT N P D a/ OMNP nội tiếp đường KL tròn b/ CMPO là hình bình hành c/ CM.CN không đổi a/ Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn: Ta có: OMP 90 ( d AB) Và ONP 90 ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính) OMP ONP Nên: Tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn ( Tứ giác có đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc không đổi) b/ Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành: AMC AC BN Ta có: sđ ( Định lí góc có đỉnh bên đường tròn(O)) CNx sđ và AC BN BC ( Định lí góc tạo tiếp tuyến và dây cung) mà sđ = sđ BC = 90 ( AB CD) AMC CNx Do đó: = Ta lại có: CNx = MOP ( cùng bù với MNP ) (1) (2) Từ (1), (2) AMC = MOP Mà AMC , MOP vị trí so le Nên: CM // OP (3) Mặt khác: PM // CO ( Cùng vuông góc với AB) (4) Từ (3), (4) CMPO là hình bình hành ( Tứ giác có cặp cạnh đối song song) c/ Chứng minh tích CM.CN không đổi: Ta có: CND 90 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) Nên ta chứng minh được: OMC NDC (g.g) CM CO CD CN Hay CM.CN = CO CD = R.2R= 2R Mà R không đổi 2R không đổi Nên: CM.CN không đổi (đpcm) (32) Bài 2: D GT A M I B Cho đường tròn (O), đường kính : BC = 2R A (O): BA = R; M cung AC nhỏ BM cắt AC I, BA cắt CM D ABM 450 : (c) C O KL a/ DI BC b/ AIMD nội tiếp (O) c/ Tính độ dài AC và S quatAOM ? a/ Chứng minh : DI BC: Ta có: BAC 90 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) CA BD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC BMC 90 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) BM CD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC Từ (1), (2) I là trực tâm tam giác BDC DI là đường cao thứ ba tam giác BDC Nên DI BC (1) Và (2) b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn: Ta có: IAD 90 ( CA BD ) Và IMD 900 ( BM CD 0 IAD + IMD 90 + 90 180 Nên: Tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn ( Tứ giác có tổng góc đối diện 180 ) c/ Tính độ dài AD Diện tích hình quạt AOM: *Tính AD: Nếu ABM 45 thì ABI vuông cân A ( Tam giác vuông có góc nhọn 45 ) AB = AI = R Xét tam giác ADI vuông A ,ta có: ADI AMI ( 2góc nội tiếp cùng chắn cung AI…) AMI 60 300 2 AB Mà sđ = ( sđ góc nội tiếp nửa sđ cung bị chắn và AOB đều) ADI 300 Nên: Vậy : Tam giác ADI là nửa tam giác ID = 2R Lúc đó: AD = ID AI 3R R (đvđd) (33) * Tính diện tích hình quạt AOM: R2n Ta có: S quatAOM = 360 , với n = AOM 2 ABM 90 R 90 R Nên: S quatAOM = 360 (đvdt) Bài 3: C A O B D GT F Cho đường tròn (O), đường kính AB C (O): CA>CB D tia đối tia BC: ACDE là hình vuông CE cắt (O) F CF cắt tiếp tuyến A (O) M: (c) E M KL a/ OF AB b/ Tam giác BDF cân F c/ D, E, M thẳng hàng a/ Chứng minh: OF AB Ta có: ACF BCF 45 ( Tính chất đường chéo hình vuông) AF BF ( Hai góc nội tiếp chắn cung nhau) AF = BF AFB cân F Mà O là trung điểm AB FO là trung tuyến là đường cao ( Tính chất tam giác cân) Hay : FO AB b/ Chứng minh tam giác BDF cân F: F đường chéo CE hình vuông ACDE FA = FD ( Tính chất đường chéo hình vuông) (1) Mà: FA = BF ( cmt) FD = FB (2) Hay: Tam giác BDF cân F c/ Chứng minh: D, E, M thẳng hàng: Xét tam giác ABM, ta có: O là trung điểm AB Mà OF // AM ( cùng vuông góc với AB) F là trung điểm BM FM = FB (3) Từ (1),(2),(3) FA = FB = FD = FM ABDM là tứ giác nội tiếp đường tròn ( Tứ giác có đỉnh cách F) BAM BDM 1800 Mà BAM 90 ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính) BDM 900 DM BD Ta lại có: DE BD ( BDE 90 ) Từ (4),(5) DM trùng với DE ( hệ qủa tiên đề Ơ- Clit) (4) (5) (34) Hay: D, E, M thẳng hàng ( Chú ý: Học sinh có thể chứng minh DEM 180 cách xét: AEM và ACB ) Bài 4: A GT Q I B H C M P KL Cho ABC vuông A AM: trung tuyến, AH: đường cao Đường tròn (H; HA) cắt AB P và AC Q a/ Chứng minh : P, H, Q thẳng hàng b/ MA PQ c/ BPCQ nội tiếp đường tròn a/ Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng: Ta có: PAQ 90 (GT) Mà PAQ là góc nội tiếp PAQ chắn cung nửa đường tròn PQ là đường kính đường tròn tâm H P, H, Q thẳng hàng ( đường kính qua tâm) b/ Chứng minh: MA PQ: Gọi I là giao điểm AM và PQ Ta có: C MAC ( Tam giác MAC cân M) Mà C HAC 90 ( Tam giác AHC vuông H) Và HAC AQH ( Tam giác AHQ cân H) MAC AQH 90 Nên: Tam giác AIQ vuông I Hay PQ vuông góc với AM I c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp đường tròn: Ta có: C BAH ( cùng phụ với CAH ) BAH mà P ( Tam giác AHP cân H) P C Tứ giác BPCQ nội tiếp đường tròn ( Tứ giác có đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh góc không đổi) Bài 5: (35) Cho đường tròn (O) AB, CD là đường kính:AB CD O AE cắt OC P ( P: trung điểm OC) ED cắt BC Q C E P Q GT B A O KL D a/ CPQE nội tiếp đường tròn b/ PQ // AB c/ So sánh SCPQ và S ABC ? a/ Chứng minh: CPQE nội tiếp đường tròn: Ta có: PCQ chắn cung BD Mà: PEQ chắn cung AD BD AD BOD AOD 900 ( ) Nên: PCQ = PEQ Vậy: Tứ giác CPQE nội tiếp đường tròn ( Tứ giác có đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh góc không đổi) b/ Chứng minh: PQ // AB: Ta có: Tứ giác CPQE nội tiếp đường tròn (cmt) CEP CQP ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CP) Ta lại có: CEP = B ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC đường tròn(O)) CQP B Mà CQP, B vị trí đồng vị Nên: PQ // AB S c/ So sánh CPQ và S ABC ? Ta có: P là trung điểm OC (GT) Mà PQ // AB (cmt) Q là trung điểm BC Nên: PQ là đường trung bình tam giác BOC SCPQ = S BOC Mà CO là trung tuyến tam giác ABC S S BOC = ABC 1 SCPQ S ABC S ABC Do đó: = = (36)